1 数字式阿贝与信息光学综合实验

数字式阿贝与信息光学综合实验

前言

数字彩色图像编码、解码时基于光学信息处理技术，通过傅里叶变换和光学频谱分析的方法，借助空间滤波技术对光学信息（图像）进行处理的彩色图像记录技术。Reallight采用液晶空间光调制器对物函数进行光栅抽样（编码），再将编码后的物函数通过衍射光学系统进行傅里叶变换和彩色滤波处理，以得原物的彩色图像，本实验将抽象的数学推导，转化为具体的物理现象，帮助学生理解并掌握信息光学系统。

实验1典型图案的傅里叶变换实验

实验目的：

1.1了解菲涅耳衍射、夫琅和费衍射本质区别；

1.2了解不同图形夫琅和费衍光强分布；

1.3对比不同图形菲涅耳衍射、夫琅和费衍射衍射光强分布；

实验原理

傅里叶变换变换实验

傅里叶光学主要研究光波作为载波，实现信息的传递、变换、记录和再现问题。描述光的传播规律的标量衍射理论，显然正是研究这些问题的物理基础。

利用基尔霍夫或瑞利-索末菲衍射公式计算衍射光场复振幅分布虽然准确，但是在计算积分时存在数学上的困难。在一定条件下对瑞利-索末菲衍射公式进行近似，便可以将衍射现象划分为两种类型——菲涅耳衍射和夫琅和费衍射，也称近场衍射与远场衍射。（图1）菲涅耳衍射夫琅和费衍射的划分先简单分析一下单色光经过衍射小孔后的衍射现象。下图表示一个单色平面波垂直照射到圆孔Σ上（圆孔直径大于波长）的情形。若在离Σ很近的K1处观察透过的光，将看到边缘比较锐利的光斑，其形状、大小和圆孔基本相同，可看作是圆孔的投影。这时光的传播可看作是直线进行的。

图1-1夫琅和费和菲涅耳衍射的划分

若距离再远些，例如在K2处，将看到一个边缘模糊的略大的圆光斑，光斑内有一圈圈的亮暗环，这时光斑已不能看作是圆孔的投影了。随着距离的增大，光斑范围将不断扩大，但光斑中圆环数目则逐渐减小（如K3处的情况），而且环纹中心的明暗也表现为交替出现。当观察平面距离很远时，如在K4处，将看

到一个较大的中间亮，边缘暗，且在边缘外有较弱的亮暗交替的光斑。此后观察距离再增大时，只是光斑扩大，但光斑形状不变通常菲涅耳衍射指近场衍射，夫琅和费衍射指远场衍射。下面我们根据瑞利-索末菲衍射公式来讨论远和近的范围是怎样划分的。考虑无限大的不透明屏上的一个有限孔径Σ对单色光的衍射。设平面屏有直角坐标系(x1，y1)，在平面观察区域有坐标系(x ，y)，两者坐标平行，相距z 。

图1-2 衍射孔径和观测平面

菲涅耳衍射

根据瑞利-索末菲衍射公式是：

??∑=dS K r

e P U j jkr

)()(1P U 10θλ）（ (2) ∑为光波的一个波面；11P P U ）为波面任一点

（的复振幅；r 为从P 到P 0距离；θ为P P 1和过1P 点的元波面法线n 的夹角，这里用倾斜因子)(θK 表示子波源在1P 对P 的作用与角度θ有关。

当光源足够远，观察屏和衍射屏的距离的距离z 远远大于∑的线度和观察范围的线度，那么在z 轴附近

1)(≈θK （3）

令系统脉冲为： r

e K j P P h j k r

)(1),(1θλ= （4） 则：

[])

,;()()()()(e x p ),;,(11212122

121221y y x x h y y x x z j y y x x z jk y x y x h -=-+-+-+-+=λ (5)

上图所示的坐标系下，上式可以写为： []112212111011221211101122121221211101121212212121102)()(exp ),(exp 12)()(1exp ),(12)()(12)()(1exp ),(1)()()()()(exp ),(1,U dy dx z y y x x jkz y x U jkz jz dy dx z y y x x jkz y x U jz dy dx z y y x x z z y y x x jkz y x U j dy dx K y y x x z y y x x z jk y x U j y x ??????-+-=??

????-+-+≈??

????-+-+??????-+-+≈-+-+-+-+=????????∑

∑∑

λλλθλ）（ (6) 这一近场近似成为菲涅耳衍射公式。使以上近似成立的观察区称菲涅耳衍射区，使菲涅耳衍射公式成立的条件是：Z 远远大于

[]3max 22121)()(121y y x x -+-λ；

夫琅和费衍射 菲涅耳衍射公式是： 11221211102)()(e x p ),(e x p 1,U dy dx z y y x x jkz y x U jkz jz y x ??????-+-=??∑

λ）（ 如果我们的观察区域远远大于衍射孔线线度，即x 远远大于max x ,y 远远大于max y ,那么上式进一步近似为：

11111102211112211)(exp ,U )2(exp 1222exp ),()exp(1,U dy dx z yy xx jk y x z y x z jk jz dy dx z yy xx y x jk y x U jkz jz y x ????∑∑

+-++=--+≈）（）（λλ

这样我们对于菲涅耳衍射公式的进一步近似称远常近似，得到的衍射公式称为夫琅和费公式，这一积分公式对菲涅耳衍射公式在数学上又简单了一些。对应的衍射区域称夫琅和费衍射区。

容易看出，满足夫琅和费衍射的条件是：

πλπ22m a x )(22m a x )(2

1212121 z y x z y x k +=+ (7) 即:

λ2)(m a x 2

121y x z + (8) 这是一个很强的条件，比如当600nm =λ，孔径为直径2mm 时，要观察夫琅和费衍射，观察位置必须在远远大于1666mm 的地方。实际中，往往用，102max )(2221212121πλπ=+=+z y x z y x k 即λmax )(102

121y x z +=来确定出现夫琅和费衍射的位置。在实际操作过程中我们一般采用正透镜把远处的像转移到正透镜的焦平面上。

几种典型的夫琅和费衍射

在无限远处观察的衍射是严格的夫琅和费衍射，用一正透镜在后焦面上观察的衍射就是这种情况。夫琅和费衍射在分析光学仪器的极限分辨本领时有着重要的意义。夫琅和费衍射计算较为简单，同时它与傅立叶变换有着直接的联系，为此我们有必要进行专门的讨论。

我们已经得到夫琅和费衍射公式是：

11111102

2)(exp ,U )2(exp 1),(U dy dx z yy xx jk y x z y x z jk jz y x ??∑

+-++=）（λ如果令,,z y f z x f y x λλ==并根据傅里叶变换的定义，则

[]202

21102

2111111022),()2(exp 1),()2(exp 1

)(2exp ）,（U )2(exp 1），U(fy fx G z

y x z jk jz y x U F z

y x z jk jz dy dx y z y x z x j y x z y x z jk jz y x ++=++=+-++=??∑

λλλλπλ

所以观察屏上的光强分布

2222),(01)

,(,I y x f f G z y x U y x λ==）（

（9） 可以看出。观察屏上的衍射花样主要由[]),(),(0110fy fx G y x U F =决定。

下面利用[]),()2(exp 1,U 1102

2y x U F z

y x z jk jz y x ++=λ）（分析几种典型的夫琅和费衍射。

矩孔的夫琅和费衍射

设矩孔的边长分别设矩孔的边长分别为Lx ，Ly ，在单位振幅的平行光垂直照明的情况下，衍射屏后表面的复振幅与屏的透过率函数是相等的，即

)()(),(,U01

1

11y

x L y rect L x rect y x t y x ==）（

而：

)

(sin )(sin )

(sin )(sin rect rect F 11z y

L c z x L c L L f L

c f L c L L L y L x y x y x x y x x y x y x λλ==????

????）

（）（

2

22y x 2

2y

x )

()(s i n jz L L ),()

()(sin )2(exp jz L L ),(z y L sicn z x L c y x I z y

L sicn z x L c z y x z jk y x U y x y x λλλλλλ????

??=++=

(10) 圆孔的夫琅和费衍射

对于圆孔，采用极坐标。单位振幅的平行光垂直照明的情况下

）（）（）（2r circ r t r U 1

110l ==

观察屏处的复振幅分布:

[]??

?

?

?

???????

??

? ??+=??? ??+=??

?

???+=+=z klr z klr J z r z jk jz kl l

l J l z r z jk jz l r circ F z r z jk jz r U F z r z jk jz r 222)2(exp 82)

(2)2(exp 1)2()2(exp 1)()2(exp 1

U 12212

21

2102

ρ

ρπ

λλλ）（

观察屏处的强度分布

212222228)(r I ??????????????? ?????? ??==z k l r z k l r J jz kl r U ）（ （11）

图1-3圆孔衍射光强分布模拟图

可以看出，中央有一强度远远高于其它条纹的亮斑（这一亮斑叫爱里斑），中央亮斑的半径，D

l z r 122.122.1λλ==而D 就是光学仪器的相对孔径，D 越大，亮斑的半径越小，也就是由于衍射产生的像模糊越小，光学仪器的分辨本领越高。

在光学上，透镜是一个傅里叶变换器，它具有二维傅里叶变换的本领。理论证明，若在焦距为F 的正透镜L 的前焦面（X-Y 面）上放一光场振幅透过率为g(x ，y)的物屏，并以波长为λ的相干平行光照射，则在L 的后焦面（X '-Y '面）上就得到g(x ，y)的傅里叶变换，即g(x ，y)的频谱，此即夫琅禾费衍射情况。其空间频谱就是空间频率为的频谱项的复振幅，是物的复振幅分布的傅里叶变换，这就为函数的傅里叶变换提供了一种光学手段，将抽象的函数演算变成了实实在在的物理过程。由于分别正比于x '，y '，所以当λ、F 一定时，频谱面上远离坐标原点的点对应于物频谱中的高频部分，中心点x '=y '=0，fx=fy=0对应于零频。

实验器件

空间光调制器、激光器、准直镜、激光管夹持器、导轨、滑块支杆套筒、偏振片、白板、相机。

实验内容

4.1 按照下图安装各光学器件；

图1-4 典型图像的傅里叶变换实验原理示意图

4.2 安装30mm 准直镜在激光管夹持器中，安装可变光澜调制与准直镜等高，

打开激光器，把可变光澜放在准直镜的近处、远处让光束恰好通过可变

光澜，光轴与导轨平行；

4.3 依次加入多孔板、正透镜（f=150）调节高度使光光轴通过各光学器件中

心。

4.4 在正透镜像方焦面上安置相机，开相机采集软件，微调相机于透镜之间

距离，调整相机频率、增益使相机采集清晰衍射图像。

实验2 阿贝成像与空间滤波实验

1 实验目的

1.1 验证和演示阿贝成像原理，加深对傅里叶光学中空间频谱和空间滤波概念

的理解；

1.2 初步了解简单的空间滤波在光信息处理中的实际应用

1.3 了解透镜孔径对成像的影响和两种简单的空间滤波。

2 实验原理

傅立叶变换在光学成像系统中的应用

在信息光学中、常用傅立叶变换来表达和处理光的成像过程。设一个xy 平面上的光场的振幅分布为g(x,y)，可以将这样一个空间分布展开为一系列基元函数[])(exp y f f iz y x +π的线性叠加。即：

[]y x y x y x df df y f x f f f G y x g )(2exp ),(),(+=??∞∞-π

y x f f ，为x,y 方向的空间频率，

量纲为1L -;)(y x f f G 是相应于空间频率y x f f ，的基于原函数额权重，额称未光场恶空间频率，)(y x f f G 可由求得：

[]d xdy y f x f i f f f f G y x y x y x )(2-exp ),(g )(+=??∞∞-π

),(y x g 和)(y x f f G 实际上是对同一光场的的两种本质上的等效的描述。

当g(x,y)是一个空间的周期性函数时，其空间频率就是不连续的。例如空间频率为0f 的一维光栅，其光振幅分布展开成级数：)2exp()(0∑

∞

-==n x nf i x g π 阿贝成像原理

傅立叶变换在光学成像中的重要性，首先在显微镜的研究中显示出来。1874年，德国人阿贝从波动光学的观点提出了一种成像理论。他把物体通过凸透镜成像的过程分为两步：（1）从物体发出的光发生夫琅和费衍射，在透镜的像方焦平面上形成其傅立叶频谱图；（2）像方焦平面上频谱图各发光点发出的球面次级波在像平面上相干叠加形成物体的像。阿贝成像原理是现代光学信息处理的理论基础，空间滤波实验是基于阿贝成像原理的光学信息处理方法。

成像的这两步骤本质上就是两次傅立叶变换，如果物的振幅分布是),(y x g ，可以证明在物镜物镜后面焦面x'，y ' 上的光强分布正好是g(x,y)的傅立叶变换

)(y x f f G 。（只要令,,F

y f F x f y x λλ'='=为F 为波长，λ物镜焦距）。所以第一步骤起的作用就是把一个光场的空间分布变成空间频率的分布；而第二步骤则是进行傅里叶逆变换将)(y x f f G 还原到物空间。

下图显示了成像的这两个步骤，为了方便起见，我们假设物是一个一维光栅，平行光照在光栅上，经衍射分解成为向不同方向的很多束平行光（每一束平行光相应于一定的空间频率）。经过物镜分别聚集在后焦面上形成点阵，然后代表不同空间频率的光束又从新在像平面上复合而成像。

图2-1阿贝成像原理示意图

但一般说来，像和物不可能完全一样，这是由于透镜的孔径是有限的，总有一部分衍射角度较大的高次成分（高频信息）不能进入到物镜而被丢弃了，所以像的信息总是比物的信息要少一些，高频信息主要是反映物的细节的，如果高频信息受到了孔径的阻挡而不能到达像平面，则无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像平面上分辨出这些细节，这是显微镜分辨率受到限制的根本原因，特别当物的结构是非常精细（例如很密的光栅），或物镜孔径非常小时，有可能只有0级衍射（空间频率为0）能通过，则在像平面上就完全不能形成图像。

光学空间滤波

如果在焦平面上人为的插上一些滤波器（吸收板或移相板）以改变焦平面上光振幅和位相就可以根据需要改变像平面上的频谱，这就叫做空间滤波。最简单的滤波器就是把一些特殊形式的光阑插到焦平面上，使一个或几个频率分量能通过，而挡住其他频率分量，从而使像平面上的图像只包括一种或几种频率分量，对这些现象的观察能使我们对空间傅立叶变换和空间滤波有更明晰的概念。

阿贝成像原理和空间滤波预示了在频谱平面上设置滤波器可以改变图像的结构这是无法用几何光学来解释的。除了实验中的高通滤波、低通滤波、方向滤波及θ调制等较简单的滤波特例外，还可以进行特征识别、图像合成、模糊图像复原等较复杂的光学信息处理．因此透镜的傅里叶变换功能的涵义比其成像功能更深刻、更广泛。

3 实验器件

光纤耦合半导体激光器、正交光栅、狭缝，白板

4 实验内容

4.1按照下图安装各光学器件；

4.2安装30mm准直镜在激光管夹持器中，安装可变光澜调制与准直镜等高，

打开激光器，把可变光澜放在准直镜的近处、远处让光束恰好通过可变光澜，光轴与导轨平行；

4.3加入正交光栅、正透镜，调节正交光栅，使光束通过光栅、正透镜中心；

4.4 在正透镜的焦平面加入狭缝，调节高度使，狭缝正好滤掉x （y ）向衍射

级次，并且在白板上观察滤波后的条纹方向，改变狭缝方向，观察，分析现象。

2-2阿贝成像与空间滤波实验示意图

实验3 θ调制与伪彩色编码实验

1 实验目的

1.1 掌握θ调制假彩色编码的原理；

1.2 巩固和加深对光栅衍射基本理论的理解；获得假彩色编码图像。

2 实验原理

对于一幅图像的不同区域分别用取向不同(方位角θ不同)的光栅预先进行调制，经多次曝光和显影、定影等处理后制成透明胶片，并将其放人光学信息处理系统中的输入面，用白光照明，则在其频谱面上，不同方位的频谱均呈彩虹颜色。如果在频谱面上开一些小孔，则在不同的方位角上，小孔可选取不同颜色的谱，最后在信息处理系统的输出面上便得到所需的彩色图像。由于这种编码方法是利用不同方位的光栅对图像不同空间部位进行调制来实现的，故称为θ调制空间假彩色编码。具体编码过程如下：

物的样品如图1所示。若要使其中草地、天安门和天空3个区域呈现3种不同的颜色，则可在一胶片上曝光3次，每次只曝光其中一个区域(其他区域被挡住)，并在其上覆盖某取向的光栅，3次曝光分别取3个不同取向的光栅，如图中线条所示。将这样获得的调制片经显影、定影处理后，置于光学信息处理的输入平面。用白光平行光照明，并进行适当的空间滤波处理。

图3-1 被调制物示意图

由于物被不同取向的光栅所调制，所以在频谱面上得到的将是取向不同的带状谱(均与其光栅栅线垂直)，物的3个不同区域的信息分布在3个不同的方向上，互不干扰，当用白光照明时，各级频谱呈现出的是色散的彩带，由中心向外按波长从短到长的顺序排列。在频谱面上选用一个带通滤波器，实际是一个被穿了孔的光屏或不透明纸。

本实验所用的物是一个空间频率为100/mm的正弦光栅，并把它剪裁拼接成一定图案，如图3-1（a）中的天安门图案。其中天安门用条纹竖直的光栅制作，天空用条纹左倾60度的光栅，地面用条纹右倾60度的光栅制作。因此在频谱面上得到的是三个取向不同的正弦光栅的衍射斑，如图3-1（b）所示。由于用白光照明和光栅的色散作用，除0级保持为白色外，正负1级衍射斑展开为彩色带，蓝色靠近中心，红色在外。在0级斑点位置、条纹竖直的光栅正负1级衍射带的红色部分、条纹左倾光栅正负1级衍射带的蓝色部分以及条纹右倾光栅正负1级衍射带的绿色部分分别打孔进行空间滤波。然后在像平面上将得到蓝色天空下，绿色草地上的红色天安门图案，如图3-1（c）。

因此，在代表草地、天安门和天空信息左斜和水平方向和右倾方向的频谱带上分别在红色、绿色和黄色位置打孔，使这3种颜色的谱通过，其余颜色的谱均被挡住，则在系统的输出面就会得到绿地、蓝天和红色天安门效果的彩色图像。很明显，θ调制空间假彩色编码就是通过θ调制处理手段，“提取”白光中所包含的彩色，再“赋予”图像而形成的。

3 实验仪器

Led白光光源、三维光栅、白屏、θ滤波板

4 实验内容

4.1根据“调制空间假色彩编码实验”实验装配图安装所有的器件。

图3-2调制空间假色彩编码实验原理示意图 4.2

调整个器件高度，使LED 光源、准直透镜、天安门光栅、双凸透镜、滤波版、白屏处于同一水平高度。 4.3

调整LED 光源高度与方向，使其射出的光沿导轨方向。 4.4 调整准直透镜与LED 光源之间的距离，使用白屏观察准直后的光斑，使

光斑在近处和远处直径大致相等插入天安门光栅，调节天安门光栅高度，使光斑尽可能的打到光栅上。

4.5 调整双凸透镜的高度和方向，做傅里叶变换。

4.6

将滤波版调整在双凸透镜的焦点位置上，通过白屏一侧观察，使得6个焦点分别打到六条色彩条纹上，前后移动白屏，观察滤波后的天安门光栅像的变化。

圆孔和矩孔的衍射图样

空间滤波效果