差分方程附其建模举例
差分方程模型的理论和方法
1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时
段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。
差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。
第一节 差分方程的基本知识
一、 基本概念
1、差分算子
设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。
而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。
以后我们都是指向前差分。
可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差
分： n n x x 2)(?=??
称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为：
))((1n k n k x x -??=?
2、差分算子 、不变算子、平移算子
记n n n n x Ix x Ex ==+,1，称E 为平移算子，I 为不变算子 。
则有：n n n n x I E Ix Ex x )(-=-=?
I E -=?∴
由上述关系可得：
i n k i i
k i k n i k i i k i k n k
n k x C x E C x I E x +=-=-∑∑-=-=-=?00)1()1()( （1）
这表明n x 在n 处的k 阶差分由n x 在k n n n ++....1,，处的取值所线性决定。
反之，
由 n n n x x x -=?+1 得 n n n x x x ?+=+1：
n n n n x x x x +-=?++1222，得：n n n n x x x x 2122?++-=++,
这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量……..第k 层增量所构成。 ……..
,)1(10k n i n k i i
k i k n k x x C x ++-=-+-=?∑得：
n k i n k i i k i k k n x x C x ?+--=+-=-+∑10)1( （2） 可以看出：
k n x +可以由n k n n x x x ??,...,,的线性组合表示出来
3、差分方程
由n x 以及它的差分所构成的方程
),...,,,(1n k n n n k x x x n f x -??=? （3）
称之为k 阶差分方程。
由（1）式可知（3）式可化为
),...,,,(11-+++=k n n n k n x x x n F x （4） 故（4）也称为k 阶差分方程（反映的是未知数列n x 任意一项与其前，前面k 项之间的关系）。
由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。
我们经常用的差分方程的形式是（4）式。
4、差分方程的解与有关概念
（1） 如果n x 使k 阶差分方程（4）对所有的n 成立，则称n x 为
方程（4）的解。
（2） 如果-=x
x n （-
x 为常数）是（4）的解，即 ),...,,(---=x x n F x
则称-=x x n 为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能 不
只一个。平衡解的基本意义是：设n x 是（4）的解，考
虑n x 的变化性态，其中之一是极限状况，如果x x n n =∞→lim ，
则方程（4）两边取极限（x 就存在在这里面），应当
有 ),...,,(---=x x n F x （3） 如果（4）的解n x 使得--x x n 既不是最终正的，也不是最
终负的，则称n x 为关于平衡点-
x 是振动解。
（4） 如果令：--=x x y n n ，则方程（4）会变成
),...,,(1-++=k n n k n y y n G y （5）
则 0=y 成为（5）的平衡点。
（5） 如果（5）的所有解是关于0=y 振动的，则称k 阶差分
方程 （5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于0
=y 非振动的，则称k 阶差分方程（5）是非振动方程。（6） 如果（5）有解n y ，使得对任意大的y N 有 0
>≥n N n y Sup y
则称n y 为正则解。（即不会从某项后全为零）
（7） 如果方程（4）的解
n x 使得-∞→=x x Lim n n ，则称n x 为稳定解。
5、差分算子的若干性质 （1）n n n n y x y x ?+?=+?βαβα)(.)(
（2）
)(1)(1n n n n n
n n n y x x y y y y x ?-?=?+ （3）n n n n n n y x x y y x ?+?=?+1)(
（4）∑∑==+++?+-=?b a k k k a b a
k a b b k k y x y x y x x y 111 （5）∑=?=+?==n i i i n n n n x C x I x E x 00
00)(
6、Z 变换
定义：对于数列n x ，定义复数级数
∑∞=-==0)()(k k
k n z x x Z z X （6）
这是关于z 洛朗级数。它的收敛域是：21R z R <<，其中2R 可以为∞，1R 可以为0。 称)(n x Z 为n x 的z -变换。
由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：
z 变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：
))((1
z X Z x n -=
（7）
z 变换是研究数列的有效工具 。
z 变换的若干重要性质：
（1）线性性 )
()()(n n n n y Z x Z y x Z βαβα+=+
（2）平移性质 ]
)([)(1
∑-=-+-=N k k
k N N n z x z X z x Z
z 变换举例：
（1）???≠=∞=0,00,)(n n n δ, 则∑∞==--=?==001
)1()())((k k k k z z k n Z δδ
（2）???<≥=0,00,1)(k k n u ，则∑∑∞=∞=-->-===00,1,1)())((k k k k z z z z z k u n u Z
（3）设,)(n a n f =则∑∞=->>-==0,0,,)(k k k n
a a z a z z z a a Z
（4）设,!1)(n n f =则0,!1)!1(01>==∑∞=-z e z k n Z k z k
第三节 差分方程常用解法与性质分析
1、常系数线性差分方程的解
方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8）
其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。 又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （9）
为方程（8）对应的齐次方程。
如果（9）有形如
n n x λ=的解，带入方程中可得： 0
...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （10）
称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。
显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。
基本结果如下：
（1） 若（10）有k 个不同的实根，则（9）有通解：
n
k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，
（2） 若（10）有m 重根λ，则通解中有构成项：
n m m n c n c c λ)...(121----+++
（3）若（10）有一对单复根 βαλi ±=，令：?ρλi e ±=，
αβ?βαρarctan
,22=+=，则（9）的通解中有构成项： n c n c n n
?ρ?ρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（9）的通项中有构
成
项
： n
n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ?ρ?ρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++
综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程
（9）的通解中必有k 个独立的任意常数。通解可记为：-
n x 如果能得到方程（8）的一个特解：*n x ，则（8）必有通解：
=n x -n x +*
n x （11） （1） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为m 次多项式；如
果b 是r 重根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（8）中确定出系
数即可。2、差分方程的z 变换解法
对差分方程两边关于n x 取Z 变换，利用n x 的Z 变换F （z ）
来表示出k n x +的Z 变换，然后通过解代数方程求出F （z ），并把F(z)在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的n x 例1 设差分方程1,0,0231012===++++x x x x x n n n ，求n x
解：解法1：特征方程为0232=++λλ，有根：2,121-=-=λλ
故：n n n c c x )2()1(21-+-=为方程的解。
由条件1,010==x x 得：n
n n x )2()1(---=
解法2：设F （z ）=Z(n x ),方程两边取变换可得： 0)(2))((3)1.)((0102=+-+--z F x z F z z x x z F z
由条件1,010==x x 得
23)(2++=z z z
z F 由F （z ） 在2>z 中解析，有
∑∑∑∞=∞=-∞=--=---=+-+=+-+=000)21()1(2)1(1)1(211111)2111()(k k k k k k k k k k
z z z z z z z z z F 所以，n
n n x )2()1(---=
3、二阶线性差分方程组
设=)(n z )(
n y x n ，)(d c b a A =，形成向量方程组 )()1(n Az n z =+ （12）
则
)1()1(z A n z n =+ （13） （13）即为（12）的解。
为了具体求出解（13），需要求出n A ，这可以用高等代数的方法计算。常用的方法有：
（1）如果A 为正规矩阵，则A 必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A 的特征值，相似变换矩阵由A 的特征向量构成：)1()()1(,,111z p p n z p p A p p A n n n Λ=+∴Λ=Λ=---。 （2）将A 分解成ηξξη,,/,=A 为列向量，则有
A A n n n .)(.......).(1//.//-===ηξηξηξηξηξ
从而，
)1(.)()1()1(1/Az z A n z n n -==+ηξ （3） 或者将A 相似于约旦标准形的形式，通过讨论A 的特征值的性态，
找出n
A 的内在构造规律，进而分析解)(n z 的变化规律，获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果
（1）k 阶常系数线性差分方程（8）的解稳定的充分必要条件
是它对应的特征方程（10）所有的 特征根k i i ...2,1,=λ满足1
)(1n n x f x =+ （14）
（14）的平衡点-x 由方程)(--=x f x 决定，
将)(n x f 在点-
x 处展开为泰勒形式：
)())(()(/---+-=x f x x x f x f n n （15）
故有：1)(/<-
x f 时，（14）的解-
x 是稳定的，
1)(/>-
x f 时，方程（14）的平衡点-
x 是不稳定的。
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第四节 差分方程建模举例
差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历 背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能 通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。模型1 种群生态学中的虫口模型：
在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为，每年一个成虫平均产卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：，这是一种简单模型；
如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为，故减少数应当与它成正比，从而有：
这个模型可化成：，这是一阶非线性差分方程。这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法，即（14）式来获得。
如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以
用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、增量关系等等。
模型2 具周期性的运动过程的差分方程模型
建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程，即把运动过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来。
假设：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为
振动台台面的上下位移是，乒乓球初始时刻在离台面垂直距离为H处为自由落体运动。又假设为第j 次碰撞时刻，第 j次碰撞前的速度为，碰撞后的速度为。假设。振动台台面的运动速度为
；又记，则有：
，，
（3.1）
另外，由碰撞规律分析可知：
该式经简化处理后可得：
（3.2）
由（1）和（2）式联立可得二阶差分非线性方程组
模型3 蛛网模型
经济背景与问题：在自由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。试分析市场经济中经营
者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。
2.模型假设与模型建立
将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示；
设第n个时段商品的数量为，价格为，n=1,2….;
由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有（3. 3）
这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系;
又假设下一期的产量是决策者根据这期的价格决定的，即：设，h是单调增加的对应关系，
从而，有关系：（3.4）
g 也是单调增加的对应关系.
因此可以建立差分方程：（3.5）
（3.6）
这就是两个差分方程。属一阶非线性差分方程。
3.模型的几何表现与分析。
为了表现出两个变量和的变化过程，我们可以借助已有的函数f和g ,通过对应关系的几何表现把点列，和在坐标系中描绘出来，进而分析它们的变化规律、趋势、找稳定点等等。其中
将点列连接起来，就会形成象蛛网一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。可以设想，这种形式可作为差分方程分析与求解的重要手段，它的主要数学技术是：图形的描绘，曲线上点列的描绘（设法由前一个点的一个坐标分量来算出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了一个分量，就可以作出另一个分量。可见几何形式表示有关系的变量是既方便又有意义的。
易见：如果点列最后收敛于点，则，并且就是两条曲线的交点，从而稳定的。这也表明，市场在长期运行之后会保持一种稳定的状
数学建模常用模型方法总结精品
【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型
数学建模例题及解析
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ，则
第1章 数学建模与误差分析
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
差分方程模型理论与方法
差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易
数学建模之差分方程
差分方程模型 ①建立差分方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1） ②求解一阶常系数齐次线性差分方程 10,(0)t t y ay a +-=≠（2） 常用的两种解法 1）迭代法 假设0y 已知，则有 2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----====== 一般有 0(0,1,2,).t t y a y t == 10t t y ay +-=（3） 2）特征方程法 假设 (0)t Y λλ=≠ 为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程 10(0),t t a λλλ+-= ≠ 解得特征根：.a λ= 则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数) 例题： 设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？ 解：设每月应付x 元，月利率为12 r ，则第一个月应付利息为 1.12224 r a ra y =?=
第二月应付利息为 2111,2121212a r r rx y x y y ????=-+?=+- ? ????? 以此类推得到 11,1212t t r rx y y +??=+- ??? 此方程为一阶常系数非线性差分方程。其相应的特征方程为 (1)012 r λ-+= 特征根为112 r + 则得到通解为 1(12t t r y c c ??=+ ??? 为任意常数). 解得特解为 t y x *= 所以原方程通解为 112t t r y c x ??=++ ??? 当112224r a ra y =?=时，解得24112 ra x c r -=+。 所以解得满足初始条件的特解为 1124112112 11. 2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---??=++ ???+????=??++-+ ? ????? 于是得到n 年的利息之和为 11212121212121221112n n n I y y a r r a n r =++???+? ???=?-??+- ??? 元，
差微分方程 数学建模经典案例
差分方程作业题 黄冈职业技术学院 宋进健 胡敏 熊梦颖 1．一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择： (1)使用银行贷款60000元。月利率0.01，贷款期25年=300个月； (2) 到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。只要（i ）每半个月还316元，(ii) 预付三个月的款。 你能帮他们做出明智的选择吗？ 模型假设： （1）银行及借贷公司在贷款期限内利率不变; （2）不考虑物价变化和经济等因素从而影响利率； （3）银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化 建立模型： 对第一种情况有: 设n 年期贷款月利率为r ，共贷款 元，贷款后第k 个月时欠款余额为 元，月还款m 元。 模型求解： 由MATLAB 得出结果m=631.9345 建立模型： 对第二种情况有: 设n 年期贷款半月利率为r ，共贷款A 0元，贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，半月还款m 元。 模型求解： ()() 011 1,k k k r A A r m k N r +-=+-∈1 0)1()1(300 300 300 -= ?=++r r A A r m N k m r A A k K ∈-+=+,) 1(1 N k m r A A k K ∈-+=+,) 1(1 ()() 011 1,k k k r A A r m k N r +-=+-∈1 0)1()1(528 528 528 -= ?=++r r A A r m A k A 0
由MATLAB 得出结果m= 313.0038 模型分析：由第一种方式计算m=631.9345小于月节余额900元，能够承受月还款；由第二种方式计算m= 313.0038小于借贷公司要求没半个月还款316元，如果按照借贷公司要求则每月还款为632元大于第一种还款方式631.9345元，故选择第一种还款方式。 2. 在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分 店。据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3顾客转移到“麦当劳”；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯德基”。 用二维向量X k =[x k y k ]T 表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为X 0 = [200 200]T 如果有矩阵L 存在，使得 X k +1 = LX k ，则称 L 为状态转移矩阵。 （1） 写出X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式，以及状态转移矩阵L 。 （2） 根据递推关系计算近几年的市场分配情况； 模型假设： （1） 当前的肯德基和麦当劳的市场份额继续不变。 （2） 肯德基和麦当劳不推出优惠活动和新的经营计划。 模型建立： 初始的市场分配数量为：200,2000 0==y x 以一年为一时间段，则某时刻两个快餐店的顾客数量可用向量] ,[1 1y x T X =表 示。用向量] ,[y x X k k T k =表示第K 年两个快餐店顾客数量分布。 ??? ????+ = + = ++x y y y x x k k k k k k 3 22 121311 1 模型求解： 故X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式为??? ? ?? ? + =+ =++x y y y x x k k k k k k 3 221 21311 1，状 态转移矩阵?????? ? ???? ???=3221213 1 L 由初始数据计算近几年的市场分配情况，MATLAB 程序如下：
差分方程模型
差分方程模型 数学建模讲座 一、关于差分方程模型简单的例子 1. 血流中地高辛的衰减 地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可建立模型如下： 设某病人第n 天后血流中地高辛剩余量为n a ， 则 1.05.01+=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程) n n n n a a a a 5.01?=?=?+ 2. 养老金问题 对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款， 直到提尽为止。月利息为1℅，月提款额为1000元，则可建模型如下： 设第n 月的存款额为n a ，则 100001.11?=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程)
3. 兔子问题（Fibonacci 数） 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时(即第三个月)开始,每月初产雌雄各一的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n 月末共有n F 对兔子，则建模如下： ==+=??12 12 1F F F F F n n n (二阶线性差分方程初值问题) 342 3214 3 21221 1 F F F F F F F F F F ≠+=+ 注意上月新生的小兔不产兔 (因第n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为1?n F ， 另一部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数) 4．车出租问题 A ， B 两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个城市还车。 A ， B 两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要，以便估算成本。分析历史记录数据得出： n x ： 第n 天营业结束时A 公司的车辆数 n y ：第n 天营业结束时B 公司的车辆数 则 +=+=++n n n n n n y x y y x x 7.04.03.06.01 1 (一阶线性差分方程组) (问题模型可进一步推广)
差分方程模型的理论和方法
第九章 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为：
差分方程数学建模举例
差分方程建模举例 差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历 背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。 当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。 模型1 种群生态学中的虫口模型：
在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。 建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。 模型建立：假设第n 年的虫口数目为 n P ，每年一个成虫平均产 卵c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有： n n cP P =+1，这是一种简单模型； 如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为 )1(2 1 -n n p p 221n p ≈，故减少数应当与它成正比，从而有： 2 1n n n bP cP P -=+ 这个模型可化成：)1(1n n n x x x -=+λ，这是一阶非线性差分方程。这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法来获得。 如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、增量关系等等。
差分方程模型习题+答案
1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得： 01k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a = - (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，240 0240 1 A ra b a =- 利用 MA TLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240
思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MA TLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为
数学建模作业_差分方程
猫头鹰—老鼠种群数量差分方程模型 假定斑点猫头鹰的食物来源是单一的食饵：老鼠. 生态学家希望预测在一个野生了鸟类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平. 令M n表示n年后老鼠的种群量，而O n表示n年后斑点猫头鹰的种群量，生态学家提出了下列模型： M n+1 = 1.2 M n– 0.001 O n M n O n+1 = 0.7 O n + 0.002 O n Mn 生态学家想知道在栖息地中两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感. (a)模型分析： 在该模型中，系数1.2代表了老鼠的繁殖能力，即在没有天敌（栖息地不存在斑点猫头鹰）而资源充足的情况下，模型适用的时间段内老鼠的种群数量将以J曲线的形式指数上涨，增长率是1.2；而系数0.7则代表了斑点猫头鹰的死亡率，即在不存在老鼠的情况下斑点猫头鹰种群量的衰减率. 该模型又假设，两个物种之间相互影响的效果可用两物种相互作用的次数来决定，而相互作用次数又与O n以及M n成正比关系，因此O n M n项及其前面的系数就代表了两物种间相互作用的效果，系数为正号表示两物种相互作用有利于该物种数量的增长，负号则表示不利. (b)对下表中的初始种群量进行检验并预测其长期行为： 情形A O0 = 150 M0 = 200 持续69年：
情形B O0 = 150 M0 = 300 持续39年： 情形C O0 = 100 M0 = 200 持续96年： 情形C O0 = 100 M0 = 200 持续26年：
(c)系数敏感情况分析： 改变老鼠的繁殖力系数且只对情况B做实验分析，则： 老鼠繁殖力系数持续时间/年 1.2 39 1.4 7 1.6 6 1.8 5 非常敏感 改变猫头鹰死亡率系数且只对情况B做实验分析，则： 猫头鹰死亡率系数持续时间/年 0.9 99 0.7 39 0.5 58 0.3 32 较敏感 改变对老鼠相互作用系数且只对情况B做实验分析，则： 对老鼠相互作用系数持续时间/年-0.0005 47 -0.001 39 -0.002 36 -0.003 37 -0.004 42 -0.005 50 不敏感 改变对猫头鹰相互作用系数且只对情况B做实验分析，则： 对猫头鹰相互作用系数持续时间/年 0.001 111 0.002 39 0.003 54 0.004 5 0.005 4 非常敏感
数学建模案例分析4习题五--差分方程方法建模
数学建模 数学建模 习题五 1、养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择。其中一种方案是：投保人从某个年龄开始，每月固定向保险公司交纳一定数额的保费，直到60周岁为止。从满60周岁的下个月开始，每个月从保险公司领取一份养老金，直到身故为止。在此期间，保险公司需要用投保人所交的保费进行投资，才能保证到时能够兑付投保人的保险养老金，并尽量为保险公司创造一定的利润。请通过建立数学模型解决下面问题： （1）男性若从25周岁起投保，60周岁以后开始领取养老金每月2000元，直到75周岁身故为止（这里不妨可以假设男性的平均寿命为75周岁）。在此期间的50年里，保险公司投资的月平均收益率为0.5%（按复利计算），如果到投保人身故时，保险公司的利润是零，即不赔不赚，请你们计算投保人应该每月交保费多少元？ （2）如果到投保人身故时，保险公司从他身上获得的利润是10000元，请你们计算投保人又应该每月交保费多少元？ 2、假设一个关于某个专题的一年内新发表的论文数目和现在的论文数成正比，有关该专题的论文数目会怎么变化？如果再加上一个假设：新发表的论文数不能超过有关的学术杂志所能发表的论文的总数，有关该专题的论文数目又会如何变化？ 3、对短期能够生产出来的产品，建立其价格的数学模型，并将得到的数学模型与方程（6）作对比。 4、如果发现某个市场上牛肉的价格变化每四年为一个周期，试建立一个基于期望价格的数学模型来解释这个现象。这时的期望价格应该有什么特点？ 5、某地1996~1999年汗衫背心的销售情况（单位：万件）如下表所示，试建立销售与季节关系 6、汉诺（Hanoi ）塔问题。有三根针A 、B 、C 。A 针上有64个盘子，大小不等，大的在下，小的在上。要求把这64个盘子从A 针移到C 针上，在移动过程中可以借助B 针，每次只允许移动一个盘子，且在移动过程中在三根针上都要保持大盘在下，小盘在上。试写出移动n 个盘子所需要的次数n a 满足的差分方程。 7、下表的数据给出了一辆汽车的速率n （以5英里/每小时的增量计）以及从刹车到停止的距离n a ，例如，6=n （表示6?5=30英里/小时）时所需的停止距离是ft a 476=。 （1）计算并画出变化n a ?对n 的图形。该图形能合理地近似表示一种线性关系吗？ （2）根据你在（1）中的计算，对停止距离数据求一个差分方程模型。通过画出与n 相对应的预测值的误差来测试你的模型，讨论模型的正确性。
差分方程附其建模举例
差分方程模型的理论和方法 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时
段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。
全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结
学院本科毕业论文 题目全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨学生柴云飞 指导教师闫峰教授 年级2009级本科 专业数学与应用数学 二级学院数学系 （系、部） 学院数学系 2013年6月
重声明 本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此重声明．论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80%． 毕业论文作者（签名）： 年月日
全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨 摘要 全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要．随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求．由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明． 关键词：数学建模竞赛统计学方法数学规划图论
Commonly Used Modeling Method of China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling Chai yunfei Directed by Professor Yan feng ABSTRACT The China undergraduate mathematical contest in modeling has been attention by more and more people as a basic subject of the largest national college competition. The method of modeling competition has become more and more important. Open questions gradually increased with the development of competition. Most of the games can be solved by lots of solutions. Sometimes these methods can be used together. And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players. The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar year’s test questions. KEY WORDS：Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theory
数学建模之差分方程
差分方程 对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题. 一、差分的定义 定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为 )()1(x y x y y x -+=?, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=?+1. 称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=??+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2?. 同样记)(2x y ??为x y 3?,并称为三阶差分. 一般记)(1x n x n y y -??=?,称为n 阶差分.且有i n x i n i i n x n y C y -+=-=?∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时, (1) Δ(C )=0; (2) Δ(Cy x )= C Δ(y x ); (3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ; (4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ; (5) 1111++++?-?=?-?=??? ? ???x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ). 解 Δ(y x )= α αx x -+)1(. 特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C -=∑1, 阶数降了一阶.
数学建模自测题举例
数学建模自测题 一．某城市自来水的水源地为A 、B 、C 三个水库，分别由地下管道把水运往该市所辖甲、乙、丙、丁四个地区，惟一的例外是C 水库与丁区之间没有地下管道．自来水公司对各区的引水管理费见表1．其中“最低需求”行数字表示必须保证的用水量，而“最高需求”行中数字表示，除乙区外，其它三个区向公司申请额外再分给的用水量：甲区20，丙区30，丁区要求越多越好．本问题可否转化为运输模型？若可以则转化之（只需写出其产销平衡运价表即可），否则说明理由． 解：可以转化为运输模型，具体做法如下： 首先确定总的供求量. 总产量显然为160吨；总需求量中，地区丁的需求量在保证其他地区最低需求条件下，最多是60吨．因此，总需求量按最高需求应为210吨，因而可视问题为供小于求的运输问题． 其次，为产销平衡，虚设一个水库D ，其产量为50吨 再次，为确定需求量，将有最低需求与额外需求量的地区分别视为两个子区，并确定各自需求量，注意最低需求量不能由虚设水库供给，从而可设其引水费M （M 是一个充分大的正数）. 综合上述讨论得产销平衡运价表如下： 二．求解生产计划问题的数学模型 21350500max x x z +=
???????≥≤+≤+≤+??0 ,) 3(81046)2(60034)1(30022 12121 21x x x x x x x x t s 其中21,x x 表示A 、B 两种产品的生产量，300、600和810分别表示生产用三种原料可供给量，500和350则是生产单位产品A 、B 所获利润. 并分析解决下述问题： ① 最优生产方案是什么？最优值达到多少？最优解是否唯一？ ② 三种原料的使用情况如何？是否都被充分利用？ 解：① 使用图解法可知最优解为X *=（15，180）T ，而最优值为Z *=7.05万，最优解是唯一的． ② 将最优解代入约束条件可知第一个约束条件为严格不等式，而其他为严格等式. 这说明第一种资源尚有90个单位未被利用，利用率仅为70%。又将x *代入约束条件（2）和（3），两约束条件均成为严格等式，这说明原料Ⅱ和Ⅲ的进货量被完全充分地利用了. 三、计算题 1．某运输公司要将某种物资从总站A 运往终点站D ，可以选择经过6个中间站 123,,B B B 、123,,C C C ，从A 到123,,B B B 的路长依次为3、8、7(km)；从1B 到12,C C 的 路长为4、3(km)；从2B 到123,,C C C 的路长为2、8、4(km)；从3B 到23,C C 的路长为7、6(km)；从1C 、2C 、3C 到D 的路长依次为12(km)、 13(km)和8(km)，试利用图模型协助公司制定一个总运输费用最少的运输路线，并求出最小运费． 解：这是一个最短路问题，先建立图模型如图1． 图1 图2 利用双标号法计算结果如图2． 利用逆向搜索可得两条运输路线： 11min 12min ,19;,19. A B C D l A B C D l →→→=→→→= （少写一条路线扣3分） 2. 试求如表5所示产销不平衡运输问题的最优运输方案和最小运输费用： (12) (19)