第六章线性空间(DOC)
第六章 线性空间
向量空间又称线性空间，是线性代数中一个基本概念。在第三章中，我们把有序数组叫做向量，并介绍过向量空间的概念。在这一章中，我们要把这些概念推广，使向量及向量空间的概念更具一般性。当然，推广后的向量概念也更抽象化了.
§1 线性空间的定义与性质
定义6.1 设V 是一个非空集合，P 为数域。如果对于V 中任意两个元素α，β
，总有唯一的一个元素V ∈γ
与之对应，称为元素
βα,的和，记作βαγ+=；又对于任一数∈k P ，与任一元素V ∈α，总有唯一的一个元素V ∈δ与之对应，称为α与k 的积。记作αδk =；并且这两种运算满足以下八条运算规律（设,,,V ∈γβα∈l k ,P ）： αββα+=+)(i ；
)())((γβαγβα++=++ii ；
)(iii 集合V 中存在零元素0，使对V 中任何元素α，均有αα=+0；
)(iv 对于集合V 中任何元素α，V 中均存在其负元素α-，使α+（α-）=0；
αα=?1)(v ；
αα)()()(kl l k vi =；
βαβαk k k vii +=+)()(；
αααl k l k viii +=+))((。
那末，V 称为数域P 上的向量空间（或线性空间），V 中的元素不论其本来的性质如何，统称为向量。 简言之，凡满足八条规律的加法及乘法运算，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称向量空间。
例6.1 数域P 上一元多项式环][x P ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用n x P ][表示.
例6.2 实数域上全体m ?n 矩阵，对于通常定义的加法和数与矩阵的乘法，即若A =()n m ij a ?， B =()
n m ij b ?
，R ∈λ， A+B =()n m ij ij b a ?+，λA =()n m ij a ?λ。
显然这个集合非空，并且在这两种运算下封闭，且满足)(~)(viii i ，因此形成实数域上的线性空间，记为n m R ?
例6.3定义在闭区间[a ，b]上的一切连续实函数，对于通常意义下的函数的加法和数与
函数的乘法构成一个线性空间，记作C [a ，b]
例6.4齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。而非齐次线性方程组 A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。 例6.5全体正实数的集合+
R ，在其中定义加法及乘法运算为 ∈=⊕b a ab b a ,(,+
R ），
∈∈=a R a a ,(,λλλ +R ）
验证+R 对上述加法与乘法构成线性空间。 证 实际上要验证十条：
对加法的封闭：对任意的a ，b ∈+R ，有
∈=⊕ab b a +R ； 对乘法封闭：对任意的R ∈λ，∈a +R ，有
∈=λλa a +R ；
;)(a b ba ab b a i ⊕===⊕
)()()()())((c b a bc a c ab c ab c b a ii ⊕⊕===⊕=⊕⊕ )(iii +R 中存在零元素1，使对+
R 中任何元素a ，均有a a a =?=⊕11；
)(iv 对于+R 中任何元素a ，+R 中均存在其负元素∈-1a +R ，使111==⊕--aa a a ；
a a a v ==11)( ；
a a a a a vi )()()()(λμλμλλμλμμ====
a a a a a a a a vii μλμλμλμλμλ⊕=⊕===++))((
b a b a b a ab ab b a viii λλλλλλλλλ⊕=⊕====⊕)()()()(因此，+
R 对于所定义的运算构成线性空间。 下面讨论线性空间的性质
1． 零元素是唯一的； 2． 任一元素的负元素是唯一的。
α的负元素记作α-；
3． ,)1(;0ααα-=-=O O O =λ；
4.若如果λα=O ，则0=λ或O =α。
§2 维数、基与坐标
在第三章中，我们用线性运算来讨论n 维数组向量之间的关系，介绍了一些重要概念，如线性组合、线性相关与线性无关等等。这些对于一般的线性空间中的元素仍然适用，以后我们将直接引用这些概念和性质。
复述：向量的线性相关性(第3章的几乎相同表述)
定义 2 设V 是数域P 上的一个线性空间，r ααα,,,.21 )1(≥r 是V
一组向量,r k k k ,,,21 是
数域P 中的数，那么向量 r r k k k αααα+++= 2211.
称为向量组r ααα,,,.21 的一个线性组合，有时也说向量α可以用向量组r ααα,,,.21 线性表出. 定义3 设
r ααα,,,.21 ; (1)
s βββ.,,21 (2)
是V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么称向量（1）可以用向量组
（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出，那么向量组（1）与（2）称为等价的.
定义4 线性空间V 中向量r ααα,,,.21 )1(≥r 称为线性相关，如果在数域P 中有r 个不全为零的数r k k k ,,,21 ，使
0.2211=+++r r k k k ααα . (3)
如果向量r ααα,,,.21 不线性相关，就称为线性无关.换句话说，向量组r ααα,,,.21 称为线性无关，如果等式（3）只有在021===r k k k 时才成立.
几个常用的结论：
1. 单个向量α线性相关的充要条件是0=α
.两个以上的向量r ααα,,,.21 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合.
2. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，而且可以被s βββ.,,21 线性表出，那么s r ≤.
由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量.
3. 如果向量组r ααα,,,.21 线性无关，但βααα,,,,.21r 线性相关，那么β可以由被r ααα,,,.21 线性表出，而且表示法是唯一的.
在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一个重要属性.
定义5 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的；如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的.
无穷维线性空间与有限维线性空间有很大的差别，我们只讨论有限维的线性空间。
定义 6.3 在线性空间V 中，如果存在n 个元素12n ,,,ααα满足：
（1）12n ,,,ααα线性无关
（2）V 中任一元素α总可由12n ,,
,ααα线性表示，那么，12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。记作dim V =n 。 维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。
注1。若12n ,,
,ααα为n V 的一个基，则n V 可表
示为 n V ={}R x x x x x n n n ∈+++=,,|12211 αααα 这就较清楚地显示出线性空间n V 的构造。
注2．n V 的元素a 与有序数组()T n x x x ,,,21 之
间存在着一种一一对应关系。
这是因为 若12n ,,,ααα为n V 的一个基，则对任何a ∈n V ，都有一组有序数,,,,21n x x x 使
n n x x x αααα+++= 2211，
并且这组数是唯一的。
反之，任给一组有序数,,,,21n x x x ，总有唯一的元素
∈+++=n n x x x αααα 2211n V 。
这样，n V 的元素a 与有序数组()T n x x x ,,,21 之间存
在着一种一一对应关系。于是我们有
定义 6.4 设12n ,,,ααα是线性空间n V 的一个基。对于任一元素∈αn V ，总有且仅有一组有序数,,,,21n x x x 使
n n x x x αααα+++= 2211
则n x x x ,,,21 这组有序数就称为元素a 在 12n ,,,ααα这个基下的坐标，并记作
a =()T
n x x x ,,,21 例1 在线性空间n x P ][中，
12,,,,1-n x x x
是n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于n 的数域P 上的多项式都可以被它们线性表出，所以n x P ][是
n 维的，而12,,,,1-n x x x 就是它的一组基.
例2 在n 维的空间n P 中，显然
???????===)
1,,0,0(),0,,1,0(),
0,,0,1(21
n εεε 是一组基.对于每一个向量),,,(21n a a a =α,都有
n n a a a εεεα+++= 2211.
所以),,,(21n a a a 就是向量α在这组基下的坐标. 例3 如果把复数域C 看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数1就是一组基。作为实数域上的线性空间，那么就是二维的，数1与i 就是一组基.这个例子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的.
例4 在线性空间22?R 中，
??? ??=??? ??=??? ??=??? ??=1000,0010,0100,00
014321A A A A
就是22?R 的一个基。任一2阶矩阵
4321dA cA bA aA d b c a A +++=??
? ??= 因此A 在4321,,,A A A A 这个基下的坐标为
()T d c b a ,,,。
若另取一个基
??? ??=??? ??=??? ??=??? ??=1111,0111,0101,00014321B B B B 。 则
4321)()()(dB B d c B c b B b a d b c a A +-+-+-=??
? ??=因此A 在4321,,,B B B B 这个基下的坐标为
()T d d c c b b a ,,,---。
引进了线性空间n V 的基12n ,,,ααα以后，不仅把n V 中的抽象的向量a 与具体的有序数组向量
()T n x x x ,,,21
联系起来了。而且还把n V 中抽象的线性运算与有序数组向量的线性运算联系起来了。
设∈βα,n V ，∈k R 。记
()()??????
? ??=??????
? ??=n n n n y y y x x x 21212121,,,,,,,αααβαααα 于是有
()??????
? ??+++=+n n n y x y x y x 221121,,,αααβα ()??????
? ??=?n n kx kx kx k 2121,,,αααα 这样，线性空间n V 与其对应的坐标空间n
R 从代数结构上看就没有本质的区别了。
定义6.5 设V 与V *是域P 上的两个线性空间，若V 与V *的元素之间可以建立一一对应关系，即
),(,11?∈∈?V x V x x x ，
且当 11,
y y x x ??，
时，必有 ).(,,11
1P k kx kx y x y x ∈?+?+
则称在域P 上线性空间V 与V *是同构的，且称一一对应为V 与V *之间的同构对应。
显然，实数域R 上的n 维线性空间n V 都与n
R 同构，即维数相等的线性空间都同构，从而可知线性空间的结构完全被它的维数所决定。
§3 基变换与坐标变换
同一元素在不同的基下有不同的坐标，那末，不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢？
设n ααα,,,21 及n βββ,,,21 是线性空间n V 中的两个基， ???????+++=+++=+++=n
nn n n n n n n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ 22112222112212211111 （6-1）
把n ααα,,,21 这n 个有序元素记作
（n ααα,,,21 ），利用向量和矩阵的形式，（6-1）式可表示为
),,,(21n βββ
=（n ααα,,,21 ）?????
?
? ??nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 =（n ααα,,,21 ）A （6-2）
（6-2）称为基变换公式，矩阵A 称为由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵。由于n βββ,,,21 线性无关，故过渡矩阵A 可逆。 定理6.2 设n V 中的元素α，在基n ααα,,,21 下的坐标为()T
n x x x ,,,21 ，在基n βββ,,,21 下的坐标为()T
n y y y ,,,21 。若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变换公式
=??????? ??n x x x 21A ??????
? ??n y y y 21，
或??????? ??n y y y 21=1-A ??????
? ??n x x x 21 （6-3） 证 因
()()??????
? ??==??????? ??n n n n y y y x x x 21212121,,,,,,βββαααα
=()?????
?
? ??n n y y y A 2121,,,ααα。 由于n ααα,,,21 线性无关，故即有关系式（6-3）。 这个定理的逆命题也成立。即若任一元素的两种坐标满足坐标变换公式（6-3），则两个基满足基变换公式（6-2）.
例6.7在线性空间22?R 中，它的两个基为
（1）??
? ??=??? ??=??? ??=??? ??=1000,0010,0100,00014321A A A A （2）??
? ??=??? ??=??? ??=??? ??=1111,0111,0101,00014321B B B B
求由基（1）到基（2）的过渡矩阵及坐标变换公式。 解 因为
11A B = ；
212A A B +=；
3213A A A B ++=；
43214A A A A B +++=，
即
??????
? ??=1000110011101111),,,(),,,(43214321A A A A B B B B 。
所以（1）到（2）的过渡矩阵为??????
? ?
?=1000110011101111A ， 及坐标变换公式为 ??????
? ??4321y y y y =1-A ??????? ??4321x x x x =??????? ??-------1000110011101111??????? ??4321x x x x 。 例6.8 设三维向量空间3
R 中的两个基为 （1）()()(),
0,1,1,1,0,1,1,1,0321T T T ===ααα
（2）()()(),0,2,2,3,1,0,1,0,1321T
T T ==-=βββ 求由基（1）到基（2）的过渡矩阵及坐标变换公式。 解 取3R 的标准正交基
()()()T T T 1,0,0,0,1,0,0,0,1321===εεε 于是有
()()????
? ??=011101110,,,,321321εεεααα 从而
()()1
321321*********,,,,-????
? ??=αααεεε 又
()()()????
? ??-????? ??=????? ??-=-031210201011101
110,,031210201,,
,,1321321321αααεεεβββ 所以基（1）到基（2）的过渡矩阵为
????
? ??--=????? ??-????? ??=-2110100210312102010111011101
A 。 及坐标变换公式为 ????? ???????
? ??--=????? ??=????? ??-3213211321212
121010021x x x x x x A y y y 例6.9 在4][x R 中取两个基 ,2231x x x -+=α ,1232++-=x x x α
,12233+++-=x x x α 1234+--=x x α；
及,12231++=x x β ,2222++=x x β
,22233+++-=x x x β ,23234+++=x x x β 求坐标变换公式。
解：由
A x x x )1,,,(),,(2
343,21=αααα
B x x x )1,,,(),,(2343,21=ββββ
其中??????
? ??-=??????? ??-----=2221112031111202,1110011112121111B A
得 =),,(43,21ββββB A 143,21),,(-αααα 故坐标变换公式为
??????
? ??4321y y y y =A B 1-??????? ??4321x x x x 。 用矩阵的初等行变换求A B
1
-：把矩阵（B | A ）中的B 变成E ，则A 即变成A B 1-。计算如下： （B | A ）??????? ??----???→?11111000100001000011001011100001行初等变换， 即得
??????? ??4321y y y y =??????? ?
?----11111000001
11110??????? ??4321x x x x 。 §4 线性子空间
一、线性子空间的概念
定义7 数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合W 称为V 的一个线性子空间（或简称子空间），如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间.
定理2 如果线性空间V 的一个非空集合W 对于V 两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么W 就是一个子空间.
既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.
例1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.
例2 线性空间V 本身也是V 的一个子空间. 在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V 的平凡子空间，而其它的线性子空间叫
做非平凡子空间.
例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间.
例4 n x P ][是线性空间][x P 的子空间.
例5 在线性空间n
P 中，齐次线性方程组 ???????=+++=+++=+++0
,0,
0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于r n -，其中r 为系数矩阵的秩.
二、生成子空间
设r ααα,,,21 是线性空间V 中一组向量，这组向量所有可能的线性组合
所成的集合是非空的，
而且对两种运算封闭，因而是V 的一个子空间，这个子空间叫做由r ααα,,,21 生成的子空间，记为
),,,(21r L ααα .
由子空间的定义可知，如果V 的一个子空间包含向量r ααα,,,21 ，那么就一定包含它们所有的线性组
r r k k k ααα+++ 2211
合，也就是说，一定包含),,,(21r L ααα 作为子空间.
在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W 是V 的一个子空间，W 当然也是有限维的.设r ααα,,,21 是W 的一组基，就有 ),,,(21r L W ααα =.
定理3 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）),,,(21r L ααα 的维数等于向量组r ααα,,,21 的秩.
定理 4 设W 是数域P 上n 维线性空间V 的一个m 维子空间，m ααα,,,21 是W 的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在V 中必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,21 ++使得n ααα,,,21 是V 的一组基.
结论 数域P 上线性空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间
W b a W F b a ∈+∈∈??βαβα都有,,,,.
§5 子空间的交与和
定理 5 如果1V ,2V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交21V V 也是V 的子空间.
由集合的交的定义有，子空间的交适合下列运算规律：
线性代数试题及答案.
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
空间分析复习重点
空间分析的概念空间分析：是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。包括空间数据操作、空间数据分析、空间统计分析、空间建模。 空间数据的类型空间点数据、空间线数据、空间面数据、地统计数据 属性数据的类型名义量、次序量、间隔量、比率量 属性：与空间数据库中一个独立对象（记录）关联的数据项。属性已成为描述一个位置任何可记录特征或性质的术语。 空间统计分析陷阱1）空间自相关：“地理学第一定律”—任何事物都是空间相关的，距离近的空间相关性大。空间自相关破坏了经典统计当中的样本独立性假设。避免空间自相关所用的方法称为空间回归模型。2）可变面元问题MAUP：随面积单元定义的不同而变化的问题，就是可变面元问题。其类型分为：①尺度效应：当空间数据经聚合而改变其单元面积的大小、形状和方向时，分析结果也随之变化的现象。②区划效应：给定尺度下不同的单元组合方式导致分析结果产生变化的现象。3）边界效应：边界效应指分析中由于实体向一个或多个边界近似时出现的误差。生态谬误在同一粒度或聚合水平上，由于聚合方式的不同或划区方案的不同导致的分析结果的变化。（给定尺度下不同的单元组合方式） 空间数据的性质空间数据与一般的属性数据相比具有特殊的性质如空间相关性，空间异质性，以及有尺度变化等引起的MAUP效应等。一阶效应：大尺度的趋势，描述某个参数的总体变化性；二阶效应：局部效应，描述空间上邻近位置上的数值相互趋同的倾向。 空间依赖性：空间上距离相近的地理事物的相似性比距离远的事物的相似性大。 空间异质性：也叫空间非稳定性，意味着功能形式和参数在所研究的区域的不同地方是不一样的，但是在区域的局部，其变化是一致的。 ESDA是在一组数据中寻求重要信息的过程，利用EDA技术，分析人员无须借助于先验理论或假设，直接探索隐藏在数据中的关系、模式和趋势等，获得对问题的理解和相关知识。 常见EDA方法：直方图、茎叶图、箱线图、散点图、平行坐标图 主题地图的数据分类问题等间隔分类；分位数分类：自然分割分类。 空间点模式：根据地理实体或者时间的空间位置研究其分布模式的方法。 茎叶图：单变量、小数据集数据分布的图示方法。 优点是容易制作，让阅览者能很快抓住变量分布形状。缺点是无法指定图形组距，对大型资料不适用。 茎叶图制作方法：①选择适当的数字为茎，通常是起首数字，茎之间的间距相等；②每列标出所有可能叶的数字，叶子按数值大小依次排列；③由第一行数据，在对应的茎之列，顺序记录茎后的一位数字为叶，直到最后一行数据，需排列整齐（叶之间的间隔相等）。 箱线图&五数总结 箱线图也称箱须图需要五个数，称为五数总结：①最小值②下四分位数：Q1③中位数④上四分位数：Q3⑤最大值。分位数差：IQR = Q3 - Q1 3密度估计是一个随机变量概率密度函数的非参数方法。 应用不同带宽生成的100个服从正态分布随机数的核密度估计。 空间点模式：一般来说，点模式分析可以用来描述任何类型的事件数据。因为每一事件都可以抽象化为空间上的一个位置点。 空间模式的三种基本分布：1）随机分布：任何一点在任何一个位置发生的概率相同，某点的存在不影响其它点的分布。又称泊松分布
线性代数考试练习题带答案(6)
线性代数考试练习题带答案 说明：本卷中，A -1 表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4，则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0，则矩阵A -1 =（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ） A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0 第六章 线性空间练习题参考答案 一、填空题 1.已知0000,,00V a b c a b c R c b ?????? ? =+∈?? ??? ?+???? 是33R ?的一个子空间，则维（V ） ＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? . 2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2, ,}n i W a x x x P i n =∈= 是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++. 5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基 123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010?? ? ? ???，而α在基321,,εεε下的坐标是 321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110?? ? ? ??? . 6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上 (1) 2 n n -维线性空间，数域P 上n 级上 第六章 线性空间测验 一、填空题 1、已知是的一个子空间，则dim＝ ， 的一组基是 ___________ _. 2、在中，若线性无关，则的取值范围是____________. 3、已知是数域P中的一个固定的数，而 是的一个子空间，则＝__________，而维()＝__________. 4、设是数域P上的维列向量空间，记 则1、2都是的子空间，且1＋2＝____________，＝____________. 5、设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T ＝__________，而在基下的坐标是__________. 6、在中, 在基的坐标是________________. 7、令，，，，则是的一组基，判定是否在中，若在，求在基下的坐标____________. 8、已知，则dim=_____，的一组基_______________. 二、判断题 1、 设，则是的子空间. 2、已知为上的线性空间，则维(）＝2. 3、设，是的解空间，1是的解空间，2是的解空间，则. 4、设线性空间的子空间中每个向量可由中的线性无关的向量组线性表出，则维()＝. 5、设是线性空间的子空间，如果但则必有 三、计算题 1、设，，其中 ，，；， 求与的基和维数。 2、在线性空间中，求由基到基的过渡矩阵， 在基下的坐标，其中 四、证明题 1、前4个埃尔米特多项式为1， ，和，这些多项式是在研究数学物理中的某种重要的微分方程时产生的．证明这前4个埃尔米特多项式构成的一组基． 2、在中，令 证明： (1) 都是的子空间；(2) 3、为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令 证明：1、2皆为的子空间，且 第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1．下列说法正确的是（ C ） A.n 元齐次线性方程组必有n 组解； B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解； C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解； D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ） A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解； B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解； C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =； D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题 1．已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解， 则λ= 1 ，μ= 0 . 2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=??+=? 解： 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-， 28212 63 D = =- 所以，125,62D D x y D D = ===- 2．123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解： 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---， 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----， 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以， 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3．21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解： 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=， 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--， 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以， 3121,0,1D D D x y z D D D = ===== 第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间． 本次作业是本门课程本学期的第3次作业，注释如下： 一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题) 1. 设A为n阶方阵，且A2+A?5E=0,则(A+2E)?1=( )。 (A) A?E (B) A+E (C) 1 3 ( A?E ) (D) 1 3 ( A+E ) 正确答案：C 解答参考：A 2 +A?5E=0 ?A 2 +A?2E=3E?( A+2E )(A?E)=3E ?( A+2E ) ?1 = 1 3 (A?E) 2. 若n维向量α 1 ，α 2 ，?, α n 线性相关，β为任一n维向量，则( )。 (A) α 1 , α 2 ,?, α n ,β线性相关； (B) α 1 , α 2 ,?, α n ,β线性无关； (C) β一定能由α 1 , α 2 ,?, α n 线性表示； (D) α 1 , α 2 ,?, α n ,β的相关性无法确定。 正确答案：A 解答参考： 3. 设线性方程组{ 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 ?3 x 2 ?2 x 3 =1 }则此方程组。 (A) 有唯一解 (B) 有无穷多解 (C) 无解 (D) 有基础解系 正确答案：A 解答参考： 4. 设n维向量组α1,α2,?,αs,若任一维向量都可由这个向量组线性表出,必须有。 (A) s= n (B) s< n (C) s> n (D) s≥ n 你选择的答案：[前面作业中已经做正确] [正确] 正确答案：D 解答参考： 5. 设α 1 , α 2 , α 3 ,β,γ 都是4维列向量，且4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β |=a ，| γ, α 1 , α 2 , α 3 |=b ，则4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β+γ |= (A) a+b (B) ?a?b (C) a?b (D) b?a 正确答案：C 解答参考： 6. 设B,C 为4阶矩阵，A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ，且α 1 , α 2 , α 3 是线性方程组Ax=0 的解，则它们是 (A) 基础解系 (B) 线性相关的 (C) 线性无关的 (D) A,B,C都不对 你选择的答案：[前面作业中已经做正确] [正确] 正确答案：B 解答参考： 7. 设n维列向量α= ( 1 2 ,0,?,0, 1 2 ) T ，矩阵A=I?α α T ，B=I+2α α T ，则AB= (A) 0 (B) ?I (C) I (D) I+α α T 正确答案：C 解答参考： 8. 设矩阵A m×n的秩r(A)=m<，下述结论中正确的是> (A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零 (C) 齐次方程组Ax=0只有零解 (D) 齐次方程组Ax=0只有零解 你选择的答案： D [正确] 正确答案：D 解答参考： 二、判断题(判断正误，共5道小题) 第六章 线性空间 §1 集合映射 一 授课内容:§1 集合映射 二 教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算,求和号 与乘积号的定义. 三 教学重点:集合映射的有关定义. 四 教学难点:集合映射的有关定义. 五 教学过程: 1.集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义:(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?；把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?；从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \. 定义:(集合的映射) 设A 、B 为集合.如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ).(,:a f a B A f → 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像.A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即 {}A a a f A f ∈=|)()(. 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射.若 ,B b ∈?都存在 A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射.如果f 既是单射又是满射,则称f 为 双射,或称一一对应. 2.求和号与求积号 (1)求和号与乘积号的定义 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号. 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21 ,我们使用如下记号: 空间计量经济学模型 空间相关性是指 () ,i j y f y i j =≠即i y 与j y 相关 模型可表示为() (),1i j j i i y f y x i j βε=++≠ 其中，()f g 为线性函数，(1)式的具体形式为 () ()2,0,2i ij j i i i i j y a y x N βεεδ≠=++∑: 如果只考虑应变量空间相关性，则(2)式变为(3)式 ()()21 ,0,,1,2...3n i ij j i i i y W y N i n ρεεδ==+=∑: 式中 1 n ij j i W y =∑为空间滞后算子，ij W 为维空间权重矩阵n n W ?中的元素，ρ为待估的空间自相 关系数。0ρ≠，存在空间效应 (3)式的矩阵形式为() ()21, 0,4u n y Wy N I ρεδ?=: (4)式称为一阶空间自回归模型，记为FAR 模型 当在模型中引入一系列解释变量X 时，形式如下 () ()2,0,5n y Wy X N I ρβεεδ=++: (5)式称为空间自回归模型，记为SAR 模型 当个体间的空间效应体现在模型扰动项时有 () ()21,,0,6u n y X u u Wu N I βλεδ?=+=: （6）式成为空间误差模型，记为SEM 模型 当应变量与扰动项均存在空间相关时有 () ()2121,,0,7u n y W y X u u W u N I ρβλεεδ?=++=+: （7）式称为一般空间模型，记为SAC 模型 当0X =且20W =时，SAC →FAR ；当20W =时，SAC →SAR 当10W =时，SAC →SEM ||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 1 页 共 18 页 行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2. ||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 2 页 共 18 页 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i 第六章 线性空间—自测练习 一.判断题 1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。 2.两个线性子空间的并仍是子空间。 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。 4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。 5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。 6.同构映射的逆映射仍是同构映射。 7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。 8.同构的线性空间有相同的维数。 ? 9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。 10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。 二.计算与证明 1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维 数。 2. 求22P ?中由矩阵12113A ??= ?-??，21020A ??= ???，33113A ??= ???，41133A ??= ?-??生成的子空间的基与维数。 3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。求12W W +与12W W 的基与维数。 4．P 为数域，22P ?中1,,x x V x y z P y z ?-???=∈?? ?????，2,,a b V a b c P a c ????=∈?? ?-???? 1）证明：12,V V 均为22P ?的子空间。 2）求12V V +和1 2V V 的维数和一组基。 5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈ { Word 文档 行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3 sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2. Word 文档 4.n 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在n 阶行列式ij a D =中，当i 第十一章 空间复用MIMO 系统的信号均衡 11.1 线性均衡 如图11所示为一个R T N N ?的MIMO 系统，H 为信道矩阵，ji h （1,2,...;1,2...R T j N i N = =）为第i 根发射天线到第j 根接受天线的增益, i h 为H 的第i 行。12x [,,,]T T N x x x = 为空间复用后的发射信号，12y [,,,]R T N y y y = 为对应的接收信号，其中i x ，i y 分别为第i 根发射天线和第i 根接受天线的发射或接受信号。i z 为第i 根接受天线处方差2 z σ的高斯白噪声, 12z [,,...,]R T N z z z =。则： 1122y Hx+z z T T N N h x h x h x = =+++ （11.1） 图11.1 空间复用MIMO 系统模型 MIMO 系统中每个接收天线上收到的都是各个发送天线上发送的信号的叠加，线性均衡即通过接收信号y 与加权矩阵W 的相乘来减小甚至消除其他天线对目标天线信号的干扰。即： 12x [,,,]Wy T T N x x x == ， （11.2） 可见每个符号的判决都是通过接收信号的线性组合得到的，故称为线性均衡，它包括破零算 法（ZF ）和最小均方二乘算法（MMSE ）。 11.1.1 ZF 均衡 ZF 均衡的的加权矩阵为： 1W (H H)H H H ZF -= (11.3) 则接收信号y 均衡得到的对应发射信号为： 1x W y x (H H)H z x z ZF ZF H H ZF -==+=+ (11.4) 其中1 z W z (H H)H z H H ZF ZF -== 。由于误码率与z ZF 的功率紧密相关，由9.1章可知后验噪 线性代数（经管类)综合试题一 （课程代码 4１84) 一、单项选择题（本大题共10小题,每小题2分，共2０分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设D==M≠0,则D1＝= ( B ). A．-2M B.2MＣ.-6Ｍ D.６M 2.设A、B、C为同阶方阵,若由AＢ= AC必能推出B＝C, 则A应满足 ( D)． A. A≠ O B．A=Ｏ C.|A|= 0 D．|A|≠0 3．设A，B均为n阶方阵，则（A)． A.|A+AB|=０,则|Ａ|＝0或|Ｅ+Ｂ｜=０ B.(A+B)2=Ａ2+２ AB+B2 C.当ＡB=O时,有A=O或B=Ｏ D．（AＢ）-1=B－1A-1 4．二阶矩阵Ａ,|Ａ|＝1,则Ａ-1= ( B). A.Ｂ. C. D. ，则下列说法正确的是( B). Ａ.若两向量组等价,则ｓ＝t . Ｂ.若两向量组等价，则ｒ()＝ｒ() C.若s = t，则两向量组等价. D．若ｒ()=ｒ(),则两向量组等价. 6.向量组线性相关的充分必要条件是 （C )． A.中至少有一个零向量 B.中至少有两个向量对应分量成比例 Ｃ.中至少有一个向量可由其余向量线性表示 Ｄ.可由线性表示 ７.设向量组有两个极大无关组与 ,则下列成立的是( Ｃ). Ａ. r与s未必相等 B. r + s ＝ｍ Ｃ. r = s D. r + s > m ８.对方程组Ａx ＝b与其导出组Ax＝o,下列命题正确的是( Ｄ). A. Ax =o有解时,Ax = b必有解. Ｂ．Ax＝o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C．Ax = b无解时，Ax= o也无解. D．Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解. 9．设方程组有非零解，则ｋ=( D)． A. ２B．3 C. -1 D. 1 １0．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D). A.|A｜>０Ｂ.存在n阶方阵C使A=C T C C.负惯性指标为零 D．各阶顺序主子式均为正数 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.四阶行列式D中第３列元素依次为-1，2,0,1，它们的余子式的值依次为５,3,-7，4，则D= -1５． １２.若方阵A满足A2= A,且A≠Ｅ，则|A|= 0 . 13.若A为3阶方阵,且,则|2A｜= 4． 14.设矩阵的秩为２,则t= -３ . １５.设向量＝(6，８，0），=(4，–3，5),则（，)= 0 . 1６.设n元齐次线性方程组A x= o,r（A)= r＜n,则基础解系含有解向量的个数为ｎ-r个. 空间分析的概念 空间分析：是基于地理对象的位置和形态特征的空间数据分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。包括空间数据操作、空间数据分析、空间统计分析、空间建模。 空间数据的类型 空间点数据、空间线数据、空间面数据、地统计数据 属性数据的类型 名义量、次序量、间隔量、比率量 属性：与空间数据库中一个独立对象（记录）关联的数据项。属性已成为描述一个位置任何可记录特征或性质的术语。 空间统计分析陷阱1）空间自相关：“地理学第一定律”—任何事物都是空间相关的，距离近的空间相关性大。空间自相关破坏了经典统计当中的样本独立性假设。避免空间自相关所用的方法称为空间回归模型。2）可变面元问题MAUP ：随面积单元定义的不同而变化的问题，就是可变面元问题。其类型分为：①尺度效应：当空间数据经聚合而改变其单元面积的大小 、形状和方向时，分析结果也随之变化的现象。②区划效应：给定尺度下不同的单元组合方式导致分析结果产生变化的现象。3）边界效应：边界效应指分析中由于实体向一个或多个边界近似时出现的误差。 生态谬误 在同一粒度或聚合水平上，由于聚合方式的不同或划区方案的不同导致的分析结果的变化。（给定尺度下不同的单元组合方式） 空间数据的性质 空间数据与一般的属性数据相比具有特殊的性质 如空间相关性，空间异质性，以及有尺度变化等引起的MAUP 效应等。一阶效应：大尺度的趋势，描述某个参数的总体变化性；二阶效应：局部效应，描述空间上邻近位置上的数值相互趋同的倾向。 空间依赖性：空间上距离相近的地理事物的相似性比距离远的事物的相似性大。 空间异质性：也叫空间非稳定性，意味着功能形式和参数在所研究的区域的不同地方是不一样的，但是在区域的局部，其变化是一致的。 ESDA 是在一组数据中寻求重要信息的过程，利用EDA 技术，分析人员无须借助于先验理论或假设，直接探索隐藏在数据中的关系、模式和趋势等，获得对问题的理解和相关知识。 常见EDA 方法：直方图、茎叶图、箱线图、散点图、平行坐标图 主题地图的数据分类问题 等间隔分类；分位数分类：自然分割分类。 空间点模式：根据地理实体或者时间的空间位置研究其分布模式的方法。 茎叶图：单变量、小数据集数据分布的图示方法。 优点是容易制作，让阅览者能很快抓住变量分布形状。缺点是无法指定图形组距，对大型资料不适用。 茎叶图制作方法：①选择适当的数字为茎，通常是起首数字，茎之间的间距相等；②每列标出所有可能叶的数字，叶子按数值大小依次排列； ③由第一行数据，在对应的茎之列，顺序记录茎后的一位数字为叶，直到最后一行数据，需排列整齐（叶之间的间隔相等）。 箱线图&五数总结 箱线图也称箱须图需要五个数，称为五数总结：①最小值②下四分位数：Q1③中位数④上四分位数：Q3⑤最大值。分位数差：IQR = Q3 - Q1 3密度估计是一个随机变量概率密度函数的非参数方法。 应用不同带宽生成的100个服从正态分布随机数的核密度估计。 空间点模式：一般来说，点模式分析可以用来描述任何类型的事件数据。因为每一事件都可以抽象化为空间上的一个位置点。 空间模式的三种基本分布：1）随机分布：任何一点在任何一个位置发生的概率相同，某点的存在不影响其它点的分布。又称泊松分布 2）均匀分布：个体间保持一定的距离，每一个点尽量地远离其周围的邻近点。在单位(样方)中个体出现与不出现的概率完全或几乎相等。 11?()n i i x x f x K nh h =-??= ???∑ 第一章 行列式 一、填空 1. 按自然数从小到大为标准次序，则排列3421的逆序数为 5 ，32514的逆序数 为 5 . 2.四阶行列式中含有因子a a 2311的项44322311a a a a -，42342311a a a a . 3.按定义，四阶行列式有!4项，其中有12项带正号，有12项带负号. 4.在函数x x x x x x f 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数是2-. 5. =c b a c b a 2 2 2 1 11 ))()((b c a c a b ---. 6.设2 10 132 1 13 ---=D ，A ij 为元素a ij 的代数余子式)3,2,1,(=j i ，则=-+33231342A A A 37. 二、选择 1. 四阶行列式 a b a b b a b a 4 43322 1 100 00000 0的值等于（ D ） （A ） b b b b a a a a 43214321- （B ） b b b b a a a a 43214321+ （C ） ))((43432121b b a a b b a a -- （D ） ))((41413232b b a a b b a a -- 2.设1 2111231112 11 )(x x x x x f -= ，则x 3 的系数为 （ C ） （A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 3.在五阶行列式)det(a ij 中，下列各项中不是)det(a ij 的项为 （ A ） （A ）a a a a a 5552214331 （B ）a a a a a 5412452331- （C ）a a a a a 5145342312 （D ）a a a a a 3352251441 4.行列式1 11111111 1111111--+---+---x x x x 的值为 （ D ） （A ）0 （B ）2 2 )1()1(-+x x （C ）2 x （D ）4 x 三、计算 1.2605232112131 412- 21 r r +=====2 60523212 605141 2 0=（因有两行相同） 2.ef cf bf de cd bd ae ac ab --- 123 r a r d r f ÷=====÷÷e c b e c b e c b adf ---123 c b c c c e ÷=====÷÷111111111---abcdef 21 31 r r r r +=====+abcdef abcdef 40 20200111=- 3. d c b a 1 001100110 01--- 12 r ar +=====d c b a ab 10 1 100 11 10---+1 c =====d c a ab 1011 01--+ 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λ s αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（） 高等代数第六章——线性空间测试题 一、填空题 （1） 已知R 3的两组基Ⅰ)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα； Ⅱ)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ 那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为 。 （2）在22?P 中，已知???? ??=11111A ，???? ??=01112A ，???? ??=00113A ，??? ? ??=00014A 是22?P 的基，那么，??? ? ??=4321A 在该基下的坐标为 。 （3）设1W 是方程组04321=+++x x x x 解空间，2W 是方程组???=+-+=-++0 043214321x x x x x x x x 那么1W ∩2W 是方程组 的解空间。 （4）设()()()()()()3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121L W L W == ()=+21dim W W 。 （5）设1W 、2W 都是V 的子空间，且1W +2W 为直和，那么()=?21dim W W 。 二、判断题： （1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（ ） （2）实数域R 上的全体n 几级可逆矩阵做成n n P ?的子空间。（ ） （3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（ ） （4）线性空间V 中任意两个子空间的并集仍是V 的子空间。（ ） （5）在子空间的和1W +2W 中，如果),(0221121w w ∈∈+=αααα，且这种表示形式唯一，那么1W +2W 为直和。（ ） 三、在22?P 中，,1111??? ? ??=a G ,111,11132???? ??=???? ??=a G a G ???? ??=a G 1114第六章线性空间练习题参考答案
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