0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson法则
0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson 法则
1、问题描述:
n个作业{1,2,…,n}要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工,然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序,使得从第一个作业在机器M1上开始加工,到最后一个作业
在机器M2上加工完成所需的时间最少。
2、问题分析
直观上,一个最优调度应使机器M1没有空闲时间,且机器M2的空闲时间最少。在一般情况下,机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。设全部作业的集合为N={1,2,…,n}。S是N的作业子集。在一般情况下,机器M1开始加工S中作业时,机器M2还在加工其他作业,要等时间t后才可利用。将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。
设π是所给n个流水作业的一个最优调度,它所需的加工时间为
aπ(1)+T’。其中T’是在机器M2的等待时间为bπ(1)时,安排作业π(2),…,π(n)所需的时间。
记S=N-{π(1)},则有T’=T(S,bπ(1))。
证明:事实上,由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。若T’>T(S,bπ(1)),设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度。则π(1),π'(2),…,π'(n)是N的一个调度,且该调度所需的时间为
aπ(1)+T(S,bπ(1)) T’<=T(S,bπ(1))。从而T’=T(S,bπ(1))。这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。 由流水作业调度问题的最优子结构性质可知: 从公式(1)可以看出,该问题类似一个排列问题,求N个作业的最优调度问题,利用其子结构性质,对集合中的每一个作业进行试调度,在所有的试调度中,取其中加工时间最短的作业做为选择方案。将问题规模缩小。公式(2)说明一般情况下,对作业集S进行调度,在M2机器上的等待时间,除了需要等该部件在M1机器上完成时间,还要冲抵一部分原来的等待时间,如果冲抵已成负值,自然仍需等待M1将作业做完,所以公式取max{t-ai,0}。 3、动态规划法求解思路 假设有一组作业需要在M1和M2 两台机器上进行流水作业,他们在M1和M2上的作业时间如下表: 问题是如何安排他们的加工顺序,使得,到最后一个作业在机器M2上加工完成所需要的时间最少。也就是所有作业在两台机器全部加工完成所需的时间最少。 思路如下:考虑如果只有一个作业的情况,肯定所需时间就是它自身需要在M1和M2 上的加工时间总和;如果有两个作业就要考虑在两种不同的加工顺序下选取最优的一种作为候选,三个作业的时会出现三种组合情况(0,(1,2)); (1,(0,2)); (2,(0,1)),拿第一种为例,它表示先加工作业0,然后再按照作业1和作业2的优化顺序加工;将三种的作业时间计算出来,取最小值,即为三个作业的优化结果,同理可对更多的作业进行排序优化。具体做法是,用类似矩阵连乘的办法,自底向上将所有能的情况计算出来,并产生一个表,供后面的计算查用,减少重复计算的工作量。 对于j1 作业M2 的等待时间为b0,实际上在M2加工j0作业的同时,M1 并行加工j1,实际它需要等待b1-a0时间。 2+4+(5-4)+2=9 从J0和J1两个作业的加工顺序,可以看出,先加工J0后J1,所 用时间最短为9,将其填入表中,依此类推,即可得出最优解。 a4+a0+a2+a1+a3+[(b4+b0+b1+b2)-(a0+a1+a2+a3)]+b3 =1+2+3+4+6+[(7+5+2+3)-(2+4+3+6)]+1 =16+[17-15]+1=19 选其中加工时间短的作为候选方案;在具体计算时非最优子集不必 考虑,这样可以减少计算次数。 4、流水作业调度的Johnson法则 设兀是作业集S在机器M2的等待时间为t时的任一最优调度。若 在这个调度中,安排在最前面的两个作业分别是i 和j ,即π(1)=I,π(2)=j。 则有动态规划递归式可得 其中 如果作业i和j满足min{bi,aj} ≥min{bj,ai},则称作业i和j满足Johnson 不等式。如果作业i和j 不满足Johnson不等式,则交换作业i和j满足Johnson不等式。 证明:在作业集S中,对于机器M2 的等待时间为t的调度π,交换作业i和j 的加工顺序,得到作业集S 的另一个调度π’,它所需的加工时间为 当作业i和j 满足Johnson 不等式min{bi,aj} ≥min{bj,ai}时,有 从而 由此可得 因此,对任意t 有 从而,tij≤tji,由此可见,换句话说,当作业i 和j 不满足Johnson 不等式时,交换它们的加工顺序后,作业i和j满足Johnson 不等式,且不增加加工时间。由此可知,对于流水作业调度问题,必存在最优调度π,使得作业π(i)和π(i+1)满足Johnson 不等式: 这样的调度π称为满足Johnson 法则的调度。进一步还可以证明,调度满足Johnson 法则当且仅当对任意i 由此可知,任意两个满足Johnson 法则的调度具有相同的加工时间,从而所有满足Johnson 法则的调度均为最优调度。 5、流水作业调度问题Johnson算法 从上面的分析可知,流水作业调度问题一定存在满足Johnson法则 的最优调度,且容易由下面的算法确定: 流水作业调度问题的Johnson算法: (1)令N1={i|ai (2)将N1中作业按ai的非减序排序;将N2中作业按bi的非增序排序; (3)N1中作业接N2中作业构成满足Johnson法则的最优调度。 Johnson算法中分类及排序的作用(验证不等式)设数组c[]为排序后的作业排列,排序结果如下: 红线左侧满足a[c[i]]<=b[c[i]] 和a[c[i]]<=a[c[i+1]] 符合johnson 不等式,min(b[c[i]],a[c[i+1]])>=min(b[c[i+1]],a[c[i]])其调度顺序最优; 红线右侧满足b[c[i]]<=a[c[i]] 和b[c[i]]>=b[c[i+1]] 符合johnson 不等式,min(b[c[i]],a[c[i+1]])>=min(b[c[i+1]],a[c[i]])其调度顺序最优; 中间过渡部分横向比较,左侧a[c[i]]< b[c[i]] 右侧b[c[i+1]]<=a[c[i+1] ]满足min(b[c[i]],a[c[i+1]])>=min(b[c[i+1]],a[c[i]])其调度顺序也最优; 程序具体代码如下: [cpp]view plain copy 1.//3d9 动态规划流水作业调度问题 2.#include "stdafx.h" 3.#include https://www.360docs.net/doc/cd1088903.html,ing namespace std; 5. 6.const int N = 5; 7. 8.class Jobtype 9.{ 10.public: 11.int operator <=(Jobtype a) const 12. { 13.return(key<=a.key); 14. } 15.int key,index; 16.bool job; 17.}; 18. 19.int FlowShop(int n,int a[],int b[],int c[]); 20.void BubbleSort(Jobtype *d,int n);//本例采用冒泡排序 21. 22.int main() 23.{ 24.int a[] = {2,4,3,6,1}; 25.int b[] = {5,2,3,1,7}; 26.int c[N]; 27. 28.int minTime = FlowShop(N,a,b,c); 29. 30. cout<<"作业在机器1上的运行时间为:"< 31.for(int i=0; i 32. { 33. cout< 34. } 35. cout< 36. cout<<"作业在机器2上的运行时间为:"< 37.for(int i=0; i 38. { 39. cout< 40. } 41. cout< 42. 43. cout<<"完成作业的最短时间为:"< 44. cout<<"编号从0开始,作业调度的顺序为:"< 45.for(int i=0; i 46. { 47. cout< 48. } 49. cout< 50.return 0; 51.} 52. 53.int FlowShop(int n,int a[],int b[],int c[]) 54.{ 55. Jobtype *d = new Jobtype[n]; 56.for(int i=0; i 57. { 58. d[i].key = a[i]>b[i]?b[i]:a[i];//按Johnson法则分别取对应的b[i]或a[i] 值作为关键字 59. d[i].job = a[i]<=b[i];//给符合条件a[i] 60. d[i].index = i; 61. } 62. 63. BubbleSort(d,n);//对数组d按关键字升序进行排序 64. 65.int j = 0,k = n-1; 66. 67.for(int i=0; i 68. { 69.if(d[i].job) 70. { 71. c[j++] = d[i].index;//将排过序的数组d,取其中作业序号属于N1的从前面 进入 72. } 73.else 74. { 75. c[k--] = d[i].index;//属于N2的从后面进入,从而实现N1的非减序排序, N2的非增序排序 76. } 77. } 78. 79. j = a[c[0]]; 80. k = j+b[c[0]]; 81.for(int i=1; i 82. { 83. j += a[c[i]];//M1在执行c[i]作业的同时,M2在执行c[i-1]号作业,最短执行时 间取决于M1与M2谁后执行完 84. k = j 85. } 86. 87.delete d; 88.return k; 89.} 90. 91.//冒泡排序 92.void BubbleSort(Jobtype *d,int n) 93.{ 94.int i,j,flag; 95. Jobtype temp; 96. 97.for(i=0;i 98. flag = 0; 99.for(j=n-1;j>i;j--){ 100.//如果前一个数大于后一个数,则交换 101.if(d[j]<=d[j-1]){ 102. temp = d[j]; 103. d[j] = d[j-1]; 104. d[j-1] = temp; 105. flag = 1; 106. } 107. } 108.//如果本次排序没有进行一次交换,则break,减少了执行之间。 109.if(flag == 0){ 110.break; 111. } 112. } 113.} 运行结果如下: 实验名 称 作业调度 实验内容1、设计可用于该实验的作业控制块; 2、动态或静态创建多个作业; 3、模拟先来先服务调度算法和短作业优先调度算法。 3、调度所创建的作业并显示调度结果(要求至少显示出各作业的到达时间,服务时间,开始时间,完成时间,周转时间和带权周转时间); 3、比较两种调度算法的优劣。 实验原理一、作业 作业(Job)是系统为完成一个用户的计算任务(或一次事物处理)所做的工作总和,它由程序、数据和作业说明书三部分组成,系统根据该说明书来对程序的运行进行控制。在批处理系统中,是以作业为基本单位从外存调入内存的。 二、作业控制块J C B(J o b C o nt r o l Bl o ck) 作业控制块JCB是记录与该作业有关的各种信息的登记表。为了管理和调度作业,在多道批处理系统中为每个作业设置了一个作业控制块,如同进程控制块是进程在系统中存在的标志一样,它是作业在系统中存在的标志,其中保存了系统对作业进行管理和调度所需的全部信息。在JCB中所包含的内容因系统而异,通常应包含的内容有:作业标识、用户名称、用户帐户、作业类型(CPU 繁忙型、I/O 繁忙型、批量型、终端型)、作业状态、调度信息(优先级、作业已运行时间)、资源需求(预计运行时间、要求内存大小、要求I/O设备的类型和数量等)、进入系统时间、开始处理时间、作业完成时间、作业退出时间、资源使用情况等。 三、作业调度 作业调度的主要功能是根据作业控制块中的信息,审查系统能否满足用户作业的资源需求,以及按照一定的算法,从外存的后备队列中选取某些作业调入内存,并为它们创建进程、分配必要的资源。然后再将新创建的进程插入就绪队列,准备执行。 四、选择调度算法的准则 1).面向用户的准则 (1) 周转时间短。通常把周转时间的长短作为评价批处理系统的性能、选择作业调度方式与算法的重要准则之一。所谓周转时间,是指从作业被提交给系统开始,到作业完成为止的这段时间间隔(称 流水车间调度问题的研究 机械工程学院 2111302120 周杭超 如今,为了满足客户多样化与个性化的需求,多品种、小批量生产己经为一种重要的生产方式。与过去大批量、单一的生产方式相比,多品种、小批量生产可以快速响应市场,满足不同客户的不同需求,因此,受到越来越多的企业管理者的重视。特别是以流水线生产为主要作业方式的企业,企业管理者致力于研究如何使得生产均衡化,以实现生产批次的最小化,这样可以在不同批次生产不同品种的产品。在这种环境下,对于不同批次的产品生产进行合理调度排序就显得十分重要。 在传统的生产方式中,企业生产者总是力求通过增加批量来减小设备的转换次数,因此在生产不同种类的产品时,以产品的顺序逐次生产或用多条生产线同时生产。这样,必然会一次大批量生产同一产品,很容易造成库存的积压。在实际生产中如果需要生产A, B, C, D 四种产品各100件,各种产品的节拍都是1分钟,如果按照传统的做法,先生产出100件A产品,其次是B,然后是C,最后生产产品D。在这种情况下,这四种产品的总循环时间是400分钟。然而,假设客户要求的循环时间为200分钟(四种产品的需求量为50件),那么在200分钟的时间内就只能生产出产品A和产品B,因而不能满足客户需求,同时还会过量生产产品A和B,造成库存积压的浪费。这种生产就是非均衡的,如图1所示。 比较均衡的生产方式(图2 )是:在一条流水线上同时将四种产品 混在一起生产,并且确定每种品种一次生产的批量。当然,如果在混合生产时不需要对设备进行转换,那么单件流的生产方式是最好的。然而,在实际生产A, B, C , D 四种不同产品时,往往需要对流水线上的某些设备进行工装转换。单件流的生产方式在此难以实现,需要根据换装时间来确定每种产品一次生产的批量。同时,由于现实生产中不同产品在流水线上各台机器的加工时间很难相同,因此,流水线的瓶颈会随着产品组合的不同而发生变化。当同一流水线加工多产品,并且每种产品在各道工序(各台机器)的加工时间差异较大时,瓶颈就会在各道工序中发生变化,如何对各种产品的投产顺序进行优化以协调这些变化的瓶颈是生产管理中一个很重要的问题。 图1 图2 因而对流水线调度问题的研究正是迎合这种多品种、小批量生产方式的需要,我们要讨论得是如何对流水线上生产的不同产品的调度顺序进行优要化。 流水车间调度问题一般可以描述为n 个工件要在 m 台机器上加工,每个工件需要经过 m 道工序,每道工序要求不同的机器,n 个工件在 m 台机器上的加工顺序相同。工件在机器上的加工时间是给定的,设为(1,,;1,,)ij t i n j m ==L L 。问题的目标是确定个工件在每台机器上的最优加工顺序,使最大流程时间达到最小。 流水作业调度问题 描述: N个作业{1,2, ..... ,n}要在由两台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业 加工的顺序都是先在M1上加工,然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi , 1 < i < n。流水作业高度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序,使得从第一个作业在机器M1上开始加工,到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。 可以假定任何任务一旦开始加工,就不允许被中断,直到该任务被完成,即非优先调度。输入: 输入包含若干个用例, 第一行为一个正整数K(1<=K<=1000), 表示用例个数, 接下来K 个用例,每个用例第一个为作业数N(1<=N<=1000),接下来N行,每行两个非负整数,分别表 示在第一台机器和第二台机器上加工时间。 输出: 每个用例用一行输出采用最优调度所用的总时间,即从第一台机器开始到第二台机器结束的时间。 样例输入: 1 4 5 6 12 2 4 14 8 7 样例输出: 33 假定直接按顺序进行完成,则机器1 可以不用考虑,因为作业1 完成后就可以完成作业 2,直到作业n,需要的时间为所有作业在机器1上的时间总和。 但是,机器2 上完成的时间呢? 机器2上完成的时间显示除了作业在机器2上完成的时间总和, 还要加上等待时间, 即要求先在机器1 上完成后,才能在机器2 上开始。 例如 5 6 12 2 两个作业,顺序如下: 按顺序,则在机器1 上进行作业1 需要5小时,后进行作业2, 需要12小时,和为17 小时; 机器2 上,作业1 只能从第5 小时开始,第11 小时完成,等待了5 小时,等到作业2 在机器1 上完成后(已经是第17时),再完成2小时,共19小时。机器2的等待时间总计为11 小时。 逆序,在机器1上进行作业2需要12小时,后进行作业1 需要5小时,和为17小时, 1、问题描述: n个作业{1,2,…,n}要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工,然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序,使得从第一个作业在机器M1上开始加工,到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。 2、问题分析 直观上,一个最优调度应使机器M1没有空闲时间,且机器M2的空闲时间最少。在一般情况下,机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。设全部作业的集合为N={1,2,…,n}。S是N的作业子集。在一般情况下,机器M1开始加工S中作业时,机器M2还在加工其他作业,要等时间t后才可利用。将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。 设π是所给n个流水作业的一个最优调度,它所需的加工时间为 aπ(1)+T’。其中T’是在机器M2的等待时间为bπ(1)时,安排作业 π(2),…,π(n)所需的时间。 记S=N-{π(1)},则有T’=T(S,bπ(1))。 证明:事实上,由T的定义知T’>=T(S,bπ(1))。若T’>T(S,bπ(1)),设π’是作业集S在机器M2的等待时间为bπ(1)情况下的一个最优调度。作业调度_实验报告
流水车间调度问题的研究-周杭超
流水作业调度问题
0018算法笔记——【动态规划】流水作业调度问题与Johnson法则