A.? ????36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11)
8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)
与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )
A.1π
B.2π
C.3π
D.π4
9．(2010·吉林质检)函数f (x )＝?
???? x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )
A.32 B ．1 C ．4 D.12 10．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，
[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x 3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象
交点的个数记为n ，则??m
n g (x )d x 的值是( ) A ．－52 B ．－43 C ．－54 D ．－76
11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机
等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )
A.13
B.23
C.12
D.34
12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )
A.12
B.14
C.13
D.25
二、填空题
13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若?
?1－1f (x )d x ＝2f (a ) 成立，则a ＝________.
14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x
)6的展开式中含x 2项的系数是________．
15．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．
16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y2＝ax(a>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为4
3，若直线l
与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则l的方程为______．
17．(2010·福建福州市)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为
1
12，则a的值为________．
三、解答题
18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S2最小．
2016年专项练习题集-定积分的计算
2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函
数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v
高中数学 定积分练习与解析1 苏教版选修2-2
定积分 练习与解析1 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义，dx x ?2 02=( ) A. n n i n i 112 1???? ??-∑= B. n n i n i n 1 12 1lim ??? ? ??-∑=∞→ C. n n i n i 2 22 1??? ? ??∑= D. n n i n i n 222 1lim ??? ? ??∑=∞→ 解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2、?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为（ ） A 0 B 4 π C 2 D 4 解析：?-+22 )cos (sin π πdx x x =() 22 sin cos ππ- +-x x ?? ? ?????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2， 故选C. 3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 解析：直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积 ()()[]1812303 1213021248221 4 2 3242=-=?-=---?+= --?y dy y s .此题选取y 为积分变量较容易. 选D. 4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高时的高度为（ ） A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320 解析：由 2 1040t v -==0，得物体达到最高时 t =2.高度 () ()m t t dt t h 3160310401040203202= ??? ? ? -=-=? 5.一物体在力()5232+-=x x x F （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是（ ）
(新)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的计算 编稿老师 马利军 一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分? b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ） 与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、 函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=? ，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图（3）中：dx )x (f b a ? 表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(，仅 当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3） ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则
定积分典型例题11198
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据
高中数学定积分知识点
数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如
定积分典型例题20例答案
定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，
高中数学~定积分和微积分基本原理
高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：
规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。
高中数学定积分计算习题
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解教学内容
定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 高中数学定积分训练题
定积分训练题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?101 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+10 )1( C ．dx ? 1 01 D ．dx ?1 021 3．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ．325 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ） A ．320gt B ．2 0gt C ．2 2 0gt D ．6 2 0gt 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ） A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6．dx e e x x ? -+1 )(= （ ） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ?--1 1 B ． ()[]dx x x ?-+-210 1 C ． ()[]dy y y ?--210 1 D ．()[]dx x x ? +--10 1 9．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.28 10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米， 则该正方形薄片所受液压力为 （ ） A ．? 3 2 dx x ρ B ． ()?+2 1 2dx x ρ C ．? 1 dx x ρ D ． ()?+3 2 1dx x ρ 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．将和式)21 .........2111( lim n n n n +++++∞ →表示为定积分 ． 12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ．
高中数学定积分知识点
高中数学定积分知识点Newly compiled on November 23, 2020
数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：
用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表 f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大格，检查/() 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求) f在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下： (x a,上的极值； ⑴求) (x f在[]b ⑵将) f a f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小 f的各极值与(),() (x 值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤（“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
高中数学16微积分基本定理(教案)
三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
定积分计算例题
第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y
最新高中数学选修2-2-定积分的简单应用
[学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题. 知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用 1.求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①，f (x )＞0，??a b f (x )d x ＞0，所以S ＝??a b f (x )d x . (2)如图②，f (x )＜0，??a b f (x )d x ＜0，所以S ＝??????a b f (x )d x ＝－??a b f (x )d x . (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，??a c f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，??a b f (x )d x ＞0.所以 S ＝???? ? ?a c f (x )d x ＋??c b f (x )d x ＝－??a c f (x ) d x ＋? ?c b f (x )d x . 2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )＞g (x ))，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成平面图形的面积S . (1)如图④，当f (x )＞g (x )≥0时，S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x .
(2)如图⑤，当f (x )＞0，g (x )＜0时，S ＝? ?a b f (x )d x ＋??????a b g (x )d x ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 3.当g (x )＜f (x )≤0时，同理得S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可. (2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以 S ＝??a b (0－f (x ))d x ＝－??a b f (x )d x . 4.利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b
高等数学第五章定积分总结
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b
第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?
高中数学人教版选修2-2导数及其应用(定积分)知识点总结
数学选修2-2导数及其应用（定积分）知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
高等数学第五章定积分及自测题
第五章定积分 一、基本要求： 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容
Ⅰ. 定积分概念： 1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=，小 区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1 ()n i i i f x ξ=?∑， 若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面 积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定：(1)当a b =时， ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质： (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则 ()0,()b a f x dx a b ≥
高中数学选修2-2精品学案：§1.6 微积分基本定理
学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式) 思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则?10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？ 思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )? 梳理 (1)微积分基本定理 ①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且______； ②结论：?b a f (x )d x ＝__________； ③符号表示：?b a f (x )d x ＝________＝__________. (2)常见的原函数与被积函数关系 ①?b a c d x ＝cx |b a (c 为常数)． ②?b a x n d x ＝ ??1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)． ③?b a sin x d x ＝－cos x |b a .
④?b a cos x d x ＝sin x |b a . ⑤?b a 1x d x ＝ln x |b a (b >a >0)． ⑥?b a e x d x ＝e x |b a . ⑦?b a a x d x ＝ ??a x ln a b a (a >0且a ≠1)． ⑧?b a x d x ＝ ???233 2x b a (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系 思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？ 梳理 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则?b a f (x )d x ＝________. (2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则?b a f (x )d x ＝________. (3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则?b a f (x )d x ＝________________.特别地，若S 上＝S 下，则?b a f (x )d x ＝____.
