平面几何做辅助线的技巧

平面几何做辅助线的技巧
平面几何做辅助线的技巧

平面几何辅助线技巧

几何可以说是数学的半壁江山,囊括了无数的重点知识、难点知识、无数的中高考考点……学好几何,数学考试就不在话下!

在几何问题中,添加辅助线可以说是解题的关键!辅助线画得好,解题轻松又快速!辅助线画不对,可能就是解题绕弯又出错!如何快速添加利于解题的辅助线?诀窍都在下面了!

几何常见辅助线口诀

三角形

图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,倍长中线得全等。

四边形

平行四边形出现,对称中心等分点。梯形问题巧转换,变为三角或平四。平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。上述方法不奏效,过腰中点全等造。证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。

圆形

半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径联。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。

圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内接圆,内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。 要作等角添个圆,证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线

一、截取构全等

如图,AB//CD ,BE 平分∠ABC ,CE 平分∠BCD ,点E 在AD 上,求证:BC=AB+CD 。

分析:在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ,再证明CF=CD ,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自己证明。此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。自己试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等

如图,已知AB>AD ,∠BAC=∠FAC ,CD=BC 。求证:∠ADC+∠B=180

分析:可由C 向∠BAD 的两边作垂线。进而证∠ADC 与∠B 之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形

如图,AB=AC ,∠BAC=90,AD 为∠ABC 的平分线,CE ⊥BE 。求证:BD=2CE 。

分析:延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。四、角平分线+平行线

如图,AB>AC,∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。

分析:AB上取E使AC=AE,通过全等和组成三角形边边边的关系可证。

由线段和差想到的辅助线

截长补短法

AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE。

分析:过C点作AD垂线,得到全等即可。

由中点想到的辅助线

一、中线把三角形面积等分

如图,ΔABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。

分析:利用中线分等底和同高得面积关系。

二、中点连中点得中位线

如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证:∠BGE=∠CHE。

分析:连BD取中点连接,通过中位线得平行传递角度。

三、倍长中线

如图,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。

分析:倍长中线得到全等易得。

四、RTΔ斜边中线

如图,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求证:AC=BD。

分析:取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。

由全等三角形想到的辅助线

一、倍长过中点得线段

已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是。

分析:利用倍长中线做。

二、截长补短

如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180

分析:在角上截取相同的线段得到全等。

三、平移变换

如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE

分析:将△ACE平移使EC与BD重合。

四、旋转

正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数

分析:将△ADF旋转使AD与AB重合。全等得证。

由梯形想到的辅助线

一、平移一腰

所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17。求CD的长。

分析:利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。

二、平移两腰

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。

分析:利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。

三、平移对角线

已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积。

分析:通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。

四、作双高

在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证:BD>AC。

分析:作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得。

五、作中位线

(1)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:EF//AD

分析:连DF并延长,利用全等即得中位线。

(2)在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,E是DC上的中点,连接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。

分析:在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

初中数学几何辅助线技巧

几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角去。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形问题巧转换,变为三角或平四。 平移腰,移对角,两腰延长作出高。 如果出现腰中点,细心连上中位线。 上述方法不奏效,过腰中点全等造。 证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。 直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆形

半径与弦长计算,弦心距来中间站。 圆上若有一切线,切点圆心半径联。 切线长度的计算,勾股定理最方便。 要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。 弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。 弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。 还要作个内接圆,内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。 内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。 要作等角添个圆,证明题目少困难。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等: 如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等: 如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180 分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形: 如图,AB=AC,∠BAC=90 ,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE。 分析:延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。四、角平分线+平行线: 如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。

初中几何常用辅助线专题.doc

初中几何常见辅助线做法 一、三角形常见辅助线做法 方法 1:有关三角形中线的题目,常将 中线加倍 ; 含有中点的题目,常常做 三角形的中位线 ,把结论恰当的转移 例 1、如图 5-1:AD 为△ ABC 的中线,求证: AB +AC > 2AD 。 【分析】:要证 AB + AC > 2AD ,由图想到: AB +BD >AD,AC + CD >AD ,所以有 AB +AC + BD +CD >AD + AD = 2AD ,左边比要证结论多 BD +CD ,故不能直接证出此题,而由 2AD 想到要构造 2AD ,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明:延长 AD 至 E ,使 DE=AD ,连接 BE ,则 AE =2AD A ∵AD 为△ ABC 的中线 (已知) ∴BD = CD (中线定义) 在△ ACD 和△ EBD 中 BD CD (已证 ) B D C ADC EDB ( 对顶角相等 ) AD ED (辅助线的作法 ) E 图5 1 ∴△ ACD ≌△ EBD (SAS ) ∴BE =CA (全等三角形对应边相等) ∵在△ ABE 中有: AB + BE >AE (三角形两边之和大于第三边) ∴AB + AC >2AD 。 例 2、如图 4-1:AD 为△ ABC 的中线,且∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4,求证: BE +CF > EF 证明:延长 ED 至 M ,使 DM=DE ,连接 CM , MF 。在△ BDE 和△ CDM 中, BD 中点的定义 ) A CD( ∵ 1CDM (对顶角相等 ) ED MD ( 辅助线的作法 ) E F ∴△ BDE ≌△ CDM (SAS ) 2 3 4 C 1 又∵∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4 (已知) B D ∠1+∠ 2+∠ 3+∠ 4= 180°(平角的定义) ∴∠ 3+∠ 2=90°,即:∠ EDF =90° 图 4 1 M

初中几何辅助线技巧大全

初中几何辅助线技巧大全 一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。梯形问题巧转换,变为△和□。 平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。 上述方法不奏效,过腰中点全等造。证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。 注意点 辅助线,是虚线,画图注意勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。 基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。

切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。 二 由角平分线想到的辅助线 口诀: 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 角平分线具有两条性质:a 、对称性;b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线; ②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 (一)、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地 去猜想,按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1,∠AOC=∠BOC ,如取OE=OF ,并连接DE 、DF ,则有△OED ≌△OFD ,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1. 如图1-2,AB//CD ,BE 平分∠BCD ,CE 平分∠BCD ,点E 在AD 上,求证:BC=AB+CD 。 图1-1 B D B C

初中平面几何辅助线专题复习

初中平面几何辅助线专题复习 目录 第01讲辅助线的初步认识 第02讲截长补短法 第03讲中点模型——倍长中线 第04讲三垂直模型 第05讲角平分线模型(一) 第06讲角平分线模型(二) 第07讲手拉手模型——全等 第08讲最短路径问题 第09讲平面直角坐标系中的几何问题

第01讲辅助线的初步认识 【知识提要】 初中辅助线的添加时几何部分学习的重要内容,同时也是学生学习的难点之所在。当 问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立 已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略。 辅助线的添加通常有两种情况: 1.按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线 段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往 往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫 做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。 本节课我们就以启东作业中的问题为例,来介绍常见的辅助线的画法. 【典型例题】 例1:小春在做数学作业时,遇到一个这样的问题:如图,AB=CD,BC=AD,请说明 ∠A =∠C 的道理. BC=AD,所以只需连接BD,构造全等三角形即可. D

例2. 如图,O 是△ABC 内一点,连接OB 和OC. 你能说明OB +OC < AB + AC 的理由吗? 【思路点拨】要证明线段之间的不等关系,要将线段放在三角形中,利用三边关系来证明。△ABC 和△OBC 中无法解决,所以只需要将OB (OC )延长交AC (AB )于点D ,在△ABD (△ACD )和△OCD (△OBD )利用三边关系解决即可. 归纳:构造线段时辅助线的写法: 1. 连接**。例如:连接AB 2. 延长**。①例如:延长AB 交CD 于E 点;②延长AB 到E ,使BE = AB . 例题3:已知:如图AB ∥DE . 求证:∠B +∠C +∠D = 360° 【思路点拨】要证明这三个角的和是360°,可以 构造周角,2个180度或四边形的内角和来证明。 通过作平行线就可实现角的位置的转移,将角移动到 适当的位置。 归纳:构造平行线时辅助线的写法: 1. 过*作* ∥ *。例如:过点A 作AB ∥CD. 练习:叙述并证明三角形内角和定理。 例题4:已知:如图,△ABC 的∠B 的外角的平分线BD 和∠C 的外角平分线CE 相交于点P 求证:点P 也在∠BAC 的平分线上。 【思路点拨】已知CP 和BP 为外角平分心线,要证明P 角平分线上,只需要过P 向AM 、AN 、BC 归纳:构造垂线,中线,角平分心线时辅助线的写法: 1. 垂线:过*作*⊥*于点*。例如:过点A 作AB ⊥CD 于点B . C E A N B

初中几何辅助线大全 最全

三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形: 例如:如图7-1:已知AC =BD ,AD ⊥AC 于A ,BC ⊥BD 于B , 求证:AD =BC 分析:欲证 AD =BC ,先证分别含有AD ,BC 的三角形全等,有几种方案:△ADC 与△BCD ,△AOD 与△BOC ,△ABD 与△BAC ,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。 证明:分别延长DA ,CB ,它们的延长交于E 点, ∵AD ⊥AC BC ⊥BD (已知) ∴∠CAE =∠DBE =90° (垂直的定义) 在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE (AAS ) ∴ED =EC EB =EA (全等三角形对应边相等) ∴ED -EA =EC -EB 即:AD =BC 。 (当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。) 二 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。 例如:如图9-1:在Rt △ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,∠1=∠2,CE ⊥BD 的延长于E 。求证:BD =2CE 分析:要证BD =2CE ,想到要构造线段2CE ,同时CE 与 ∠ABC 的平分线垂直,想到要将其延长。 证明:分别延长BA ,CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF (已知) ∴∠BEF =∠BEC =90° (垂直的定义) 在△BEF 与△BEC 中, 1 9-图D C B A E F 1 2 A B C D E 1 7-图O

初中几何常见辅助线作法口诀

初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。梯形里面作高线,平移一腰试试看。平行移动对角线,补成三角形常见。证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。辅助线,是虚线,画图注意勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。

作辅助线的常用方法

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出 来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如: 例1、 已知如图1-1:D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明:(法一) 将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N , 在△AMN 中,AM+AN > MD+DE+NE;(1) 在△BDM 中,MB+MD>BD ; (2) 在△CEN 中,CN+NE>CE ; (3) 由(1)+(2)+(3)得: AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC (法二:图1-2) 延长BD 交 AC 于F ,廷长CE 交BF 于G , 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有: AB+AF> BD+DG+GF (三角形两边之和大于第三边)…(1) GF+FC>GE+CE (同上)………………………………..(2) DG+GE>DE (同上)…………………………………….(3) 由(1)+(2)+(3)得: AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。 一、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两 点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理: 例如:如图2-1:已知D 为△ABC 内的任一点,求证:∠BDC>∠BAC 。 因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC 处于在外角的位置,∠BAC 处于 在内角的位置; 证法一:延长BD 交AC 于点E ,这时∠BDC 是△EDC 的外角, A B C D E N M 1 1-图A B C D E F G 2 1-图A B C D E F G 1 2-图

初一数学-几何题辅助线技巧详解

巧添辅助线 解证几何题 在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点:一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。 [例题解析] 一、倍角问题 例1:如图1,在△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 。 求证:∠DBC=1 2 ∠BAC. 分析:∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ,可利用 三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一:∵在△ABC 中,AB=AC , ∴∠ABC=∠C= 12(180°-∠BAC )=90°-12 ∠BAC 。 ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90 ° ∴∠DBC=90° -∠C=90° -(90° - 12∠BAC)= 1 2 ∠BAC 即∠DBC= 1 2 ∠BAC 分析二:∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ?∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把?∠A 放在直 角三角形中求解;也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。 证法二:如图2,作AE ⊥BC 于E ,则∠EAC+∠C=90° ∵AB=AC ∴∠EAG= 1 2 ∠BAC ∵BD ⊥AC 于D ∴∠DBC+∠C=90 ° ∴∠EAC=∠DBC (同角的余角相等) 即∠DBC= 1 2 ∠BAC 。 证法三:如图3,在AD 上取一点E ,使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC ∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C ∴∠EBC=2∠DBC=180° -2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠BAC=180° -2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC= 1 2 ∠BAC 说明:例1也可以取BC 中点为E ,连接DE ,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰

八年级几何辅助线专题训练

常见的辅助线的作法 1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线:(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。 4.垂直平分线联结线段两端:在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。 5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长, 6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形. 7.角度数为30度、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8.面积方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答. 一、等腰三角形“三线合一”法 1.如图,已知△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BD于E, 求证:CE=BD. 中考连接:

E D F C B A O E C B ABC ?(2014?扬州,第7题,3分)如图,已知∠AOB =60°,点P 在边OA 上, OP =12,点M ,N 在边OB 上,PM =PN ,若MN =2,则OM =( ) A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 二、倍长中线(线段)造全等 例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3, 则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图,△ABC 中,E 、F 分别在AB 、AC 上,DE ⊥DF ,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图,△ABC 中,BD=DC=AC ,E 是DC 的中点,求证:AD 平分∠BAE. 中考连接: (09崇文)以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt ACE ?,90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ,M 、N 分别是BC 、DE 的中点.探究:AM 与DE 的关系.(1) 如图① 当ABC ?为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是 ,线段AM 与DE 的数量关系是 ; (2)将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转? θ(0<θ<90)后,如图②所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变?并说明理由. 三、借助角平分线造全等 1、如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ,求证:OE=OD 2、如图,已知点C 是∠MAN 的平分线上一点,CE ⊥AB 于E ,B 、D 分别在AM 、AN 上, AE=(AD+AB ).问:∠1和∠2有何关系? 且 中考连接: ()如图①,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全

几何中常见的辅助线添加方法

几何专题——辅助线 平面几何是初中教学的重要组成部分,它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用,又是继续学习数学和其他学科的基础,但许多初中生对几何证实题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证实题,往往束手无策。 一、辅助线的定义: 为了证实的需要,在原来图形上添画的线叫做辅助线。 二、几种常用的辅助线:连结、作平行线、作垂线、延长等 注意:1)添加辅助线是手段,而不是目的,它是沟通已知和未知的桥梁,不能见到题目,就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多,图形越乱,反而妨碍思考问题。 2)添加辅助线时,一条辅助线只能提供一个条件 三、正确添加辅助线歌 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形里面作高线,平移一腰试试看。平行移动对角线,补成三角形常见。 证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证实有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。 半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证实是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆假如碰到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证实题目少困难。 辅助线,是虚线,画图注重勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。 基本作图很关键,平时把握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。 切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。几何证题难不难,关键常在辅助线; 知中点、作中线,中线处长加倍看;底角倍半角分线,有时也作处长线; 线段和差及倍分,延长截取证全等;公共角、公共边,隐含条件须挖掘; 全等图形多变换,旋转平移加折叠;中位线、常相连,出现平行就好办; 四边形、对角线,比例相似平行线;梯形问题好解决,平移腰、作高线; 两腰处长义一点,亦可平移对角线;正余弦、正余切,有了直角就方便; 非凡角、非凡边,作出垂线就解决;实际问题莫要慌,数学建模帮你忙; 圆中问题也不难,下面我们慢慢谈;弦心距、要垂弦,碰到直径周角连; 切点圆心紧相连,切线常把半径添;两圆相切公共线,两圆相交公共弦; 切割线,连结弦,两圆三圆连心线;基本图形要熟练,复杂图形多分解;以上规律属一般,灵活应用才方便。

初中数学几何辅助线常用方法

第一章 中点模型的构造 当已知条件中出现一个中点时,你首先想到的辅助线的解题方法是什么?如果已知两个中点呢? 介绍以下方法: 1) 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形; 2) 三角形中位线定理; 3) 已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线; 4) 已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接用“三线合一”。 例1 在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC 边上的中线AD=2,求BC 的长. 例2 已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,连接BE 并延长交AC 于点F ,AF=EF ,求证:AC=BE. 变式: 如图,在△ABC 中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF//AD 交CA 的延长线于点F ,交AB 于点G ,若AD 为△ABC 的角平分线,求证:BG=CF. B C A D D B C D E B C

例3 在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,点D 为BC 的中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且ED ⊥FD. 以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形,还是直角三角形,或者是钝角三角形? 例4 已知在△ABC 中,BE 、CF 分别为边AC 、AB 上的高,D 为BC 的中点,DM ⊥EF 于点M. 求证:FM=EM. 例5 已知:△ABD 和△ACE 都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°. 如图,连接DE ,设M 为DE 的中点,连接MB 、MC. 求证:MB=MC. D B A D B A B D

2015中考数学几何辅助线画法详解大全

中考数学几何辅助线画法详解大全 线、角、相交线、平行线 规律1.如果平面上有n(n≥2)个点,其中任何三点都不在同一直线上,那么每两点画一条直线,一共 可以画出1 2 n(n-1)条. 规律2.平面上的n条直线最多可把平面分成〔1 2 n(n+1)+1〕个部分. 规律3.如果一条直线上有n个点,那么在这个图形中共有线段的条数为1 2 n(n-1)条. 规律4.线段(或延长线)上任一点分线段为两段,这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例:如图,B在线段AC上,M是AB的中点,N是BC的中点. 求证:MN =1 2 AC 证明:∵M是AB的中点,N是BC的中点 ∴AM = BM =1 2 AB ,BN = CN = 1 2 BC ∴MN = MB+BN =1 2 AB + 1 2 BC = 1 2 (AB + BC) ∴MN =1 2 AC 练习:1.如图,点C是线段AB上的一点,M是线段BC的中点. 求证:AM = 1 2 (AB + BC) 2.如图,点B在线段AC上,M是AB的中点,N是AC的中点. 求证:MN = 1 2 BC 3.如图,点B在线段AC上,N是AC的中点,M是BC的中点. 求证:MN =1 2 AB 规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有1 2 n(n-1)个. 规律6.如果平面内有n条直线都经过同一点,则可构成小于平角的角共有2n(n-1)个. 规律7. 如果平面内有n条直线都经过同一点,则可构成n(n-1)对对顶角. 规律8.平面上若有n(n≥3)个点,任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三角形一共可作出1 6 n(n -1)(n-2)个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o. 规律10.平面上有n条直线相交,最多交点的个数为1 2 n(n-1)个. N M C B A M C B A N M C B A N C B A

最新初中-数学几何图形的辅助线添加方法大全

最新初中-数学几何图形的辅助线添加方法 大全 作辅助线的基本方法 一:中点、中位线,延长线,平行线。 如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二:垂线、分角线,翻转全等连。 如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三:边边若相等,旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似,和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有

两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表) 五:两圆若相交,连心公共弦。 如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。六:两圆相切、离,连心,公切线。 如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。 七:切线连直径,直角与半圆。 如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。 如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。 八:弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。 如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。 如遇平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助线;反之,亦

平面几何辅助线添加技法总结与例题详解

平面几何辅助线添加技法总结与例题详解 一.添辅助线有二种情况: 1按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。举例如下: (1)平行线是个基本图形: 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 (2)等腰三角形是个简单的基本图形: 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形: 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 (6)全等三角形:

初中几何添加辅助线的 条规律

规律1 如果平面上有n(n≥2)个点,其中任何三点都不在同一直线上,那么每两点画一条直线,一共可以画出n(n-1)条。 规律2 平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。 规律3 如果一条直线上有n个点,那么在这个图形中共有线段的条数为n(n-1)条。 规律4 线段(或延长线)上任一点分线段为两段,这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。 规律5 有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n-1)个。 规律6 如果平面内有n条直线都经过同一点,则可构成小于平角的角共有2n (n-1)个。 规律7 如果平面内有n条直线都经过同一点,则可构成n(n-1)对对顶角。规律8 平面上若有n(n≥3)个点,任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三角形一共可作出n(n-1)(n-2)个。 规律9 互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。 规律10 平面上有n条直线相交,最多交点的个数为n(n-1)个。 规律11 互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。 规律12 当两直线平行时,同位角的角平分线互相平行,内错角的角平分线互相平行,同旁内角的角平分线互相垂直。 规律13 在证明直线和圆相切时,常有以下两种引辅助线方法:

(1)当已知直线经过圆上的一点,那么连结这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可。 (2)如果不知直线与圆是否有交点时,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径的长即可。 规律14 成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。 规律15 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如果直接证不出来,可连结两点或延长某边构造三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再利用三边关系定理及不等式性质证题。 注意:利用三角形三边关系定理及推论证题时,常通过引辅助线,把求证的量(或与求证有关的量)移到同一个或几个三角形中去然后再证题。规律16 三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角,等于第三个内角的一半。 规律17 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。 规律18 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半。 规律19 从三角形的一个顶点作高线和角平分线,它们所夹的角等于三角形另外两个角差(的绝对值)的一半。 注意:同学们在学习几何时,可以把自己证完的题进行适当变换,从而使自己通过解一道题掌握一类题,提高自己举一反三、灵活应变的能力。规律20 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时,如果直接证不出来,可连结两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形外角的位置上,小角处在内角的位置上,再利用外角定理证题。 规律21

初中数学必须掌握的几何辅助线技巧

初中数学必须掌握的几何辅助线技巧! 几何可以说是初中数学的半壁江山,囊括了无数的重点知识、难点知识、无数的中考考点……学好几何,初中数学就不在话下!! 在几何问题中,添加辅助线可以说是解题的关键!辅助线画得好,解题轻松有快速!辅助线画不对,可能就是解题绕弯又出错!如何快速、添加利于解题的辅助线??诀窍都在下面了! 几何常见辅助线口诀 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,倍长中线得全等。四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。梯形问题巧转换,变为三角或平四。平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。

上述方法不奏效,过腰中点全等造。证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。圆形 半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径联。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。

弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆。如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。 由角平分线想到的辅助线 o截取构全等

初中几何证明题思路及做辅助线总结

中考几何题证明思路总结 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。 4.两条平行线的同位角、错角或平行四边形的对角相等。 5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。 6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 三、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等,错角相等或同旁角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。 四、证明两直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。

初中数学必须掌握的几何辅助线技巧!

初中数学必须掌握的几何辅助线技巧! 在几何问题中,添加辅助线可以说是解题的关键!辅助线画得好,解 题轻松又快速!辅助线画不对,可能就是解题绕弯又出错!如何快速、添加利于解题的辅助线?诀窍都在下面了! 图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 线段和差及倍半,延长缩短可试验。 线段和差不等式,移到同一三角去。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,倍长中线得全等。

平行四边形出现,对称中心等分点。 梯形问题巧转换,变为三角或平四。平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。上述方法不奏效,过腰中点全等造。证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。 半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径联。切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内接圆,内角平分线梦圆。如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。

若是添上连心线,切点肯定在上面。 要作等角添个圆,证明题目少困难。 一、截取构全等如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。 分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180 分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

初中几何辅助线大全最全

初中几何辅助线大全-最全 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形: 例如:如图7-1 :已知AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证:AD= BC 分析:欲证AD = BC,先证分别含有AD, BC的三角形全等,有几种方案:△KDC与ABCD , △XOD与△BOC’MBD与ABAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可 设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。 证明:分别延长DA CB它们的延长交于E点, ?/ AD丄AC BC丄BD (已知) ???/ CAE=Z DBE = 90 ° (垂直的定义) 在厶DBE与△ CAE中 E E(公共角) DBE CAE(已证) BD AC(已知) ? A DBE^A CAE (AAS ?ED= EC EB = EA (全等三角形对应边相等) ?ED- EA= EC— EB 即:AD= BC (当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。) 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。 例如:如图9-1 :在Rt△ ABC中,AB= AC, / BAC= 90°,/ 1 = Z 2, CEL BD的延长于E。求证:BD= 2CE

分析:要证BD = 2CE,想到要构造线段2CE,同时CE

与/ABC的平分线垂直,想到要将其延长。 证明:分别延长BA CE交于点F。 ?/ BEX CF (已知) ???/ BEF=/ BEC= 90°(垂直的定义) 在厶BEF与厶BEC中, 1 2(已知) BE BE(公共边) BEF BEC(已证) 1 ? △ BEF^A BEC(ASA ?- CE=FE」CF (全等三角形对应边相等) 2 ?// BAC=90 BE 丄CF (已知) ???/ BAC=/ CAF= 90°/ 1 + / BDA= 90°/ 1 + Z BFC= 90° ???/ BDA=/ BFC 在厶ABM A ACF中 BAC CAF (已证) BDA BFC (已证) AB = AC(已知) ? △ ABD^A ACF (AAS ? BD= CF (全等三角形对应边相等)? BD= 2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如:如图11-1 : AB= DC / A=/ D 求证:/ ABC=/ DCB 分析:由AB = DC ,ZA =/D,想到如取AD的中点N,连接NB , NC,再由SAS公理有△ ABN也Q CN,故BN = CN , ZABN =ZDCN。下面只需证/ NBC =ZNCB,再取BC的中点 M,连接MN,则由SSS公理有△ NBM也A CM,所以/NBC = ZNCB。问题得证。 证明:取AD, BC的中点N、M连接NB NM NC贝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCN

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