波利亚的解题训练与思想数学

波利亚的解题训练与“题海战术”的辨析

　

　徐利治先生早就指出，我们要培养一大批波利亚型的数学家，要按照波利亚思想改革数学教材和教学方法．目前，从理论研究方面来看，已出现“超越波利亚”的苗头，但从中学数学教学的现状来看，离波利亚的想法还存在很大差距；对于很多学校，波利亚思想还没有“进入校门”，其主要原因是，很多中学同志买不到波利亚的著作，对波利亚的数学教育思想缺乏认识．为此，徐利治先生前年来宁讲学期间再次强调，为了搞好中学素质教育，我们还要加大力度传播波利亚思想．

　

有些中学同志讲，我们没有办法，要提高学生应试能力，不得不搞题海战术，“题海”是客观存在，无法回避，波利亚也是强调解题训练的．的确，“题海”是客观存在，波利亚也强调解题训练，他说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练．”但波利亚的解题训练与题海战术有很大区别．

一、训练的目的不同

“题海战术”的目的明显表现为应考．而波利亚强调解题训练的目的在于提高学生的数学素质．波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面．对于数学，能力比起仅仅具有一些知识来重要得多．因此，“学校的目的应该是发展学生本身的内蕴能力，而不仅仅是传授知识”．波利亚发现，在日常解题和攻克难题而获得数学上重大发现之间，并没有不可逾越的鸿沟．他说：“一个重大的发现可以解决一些重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现．”要想有重大的发现，就必须重视平时的解题．

数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学；另一方面，在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．波利亚指出，通过研究解题方法，我们可以看到数学的第二个侧面，也就是看到“处于发现过程中的数学”．因此，波利亚把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同．1976年数学管理者委员会把解题能力列为10项基本技能的首位，美国数学教师联合会理事会把解题提到了“80年代学校数学的核心”这一高度．

波利亚的解题思想集中反映在他的《怎样解题》一书中，该书的中心思想就是谈解题过程中怎样诱发灵感．书的一开始就是一张“怎样解题表”，在“表”中收集了一些典型的问题与建议．波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型有

用的智力活动．他说《怎样解题》这本书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样解题表”实质上就是试图诱发灵感的“智力活动表”．正如波利亚在书中所写：“我们的表实际上是一个在解题中典型有用的智力活动表．”“表中的问题和建议并不直接提到好念头，但实际上所有的问题和建议都与它有关．”

“怎样解题表”包含四部分内容：弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾．波利亚说：“ 弄清问题是为好念头的出现做准备；制订计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，是试图更好地利用它．”波利亚所讲的好念头，就是指灵感．

《怎样解题》书中有一部分内容叫“探索法小词典”，从篇幅上看，它占全书的4/5．“探索法小辞典”的主要内容就是配合“怎样解题表”，对解题过程中典型有用的智力活动做进一步解释．

全书的字里行间，处处给人一个强烈的感觉：波利亚强调解题训练的目的是引导学生开展智力活动，提高数学才能．

二、训练的方式不同

“题海战术”是让学生做大量的题，熟悉题型及其解法．波利亚反对让学生做大量的题，他认为，一个数学教师，如果“把分配给他的时间塞满了例行运算来训练他的学生，他就扼杀了学生的兴趣，妨碍了他们的智力发展……”因此，他主张与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如选择一个有意义但又不太复杂的题目去帮助学生深入发掘题目的各个侧面，使学生通过这道题目，就如同通过一道大门而进入一个崭新的天地．比如，“证明是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目，前者通向实数的精确概念，而后者是通向数论的门户，打开数学发现大门的金钥匙往往就在这类好题目之中．

过去，国内外有关学习数学的著作和习题集基本上偏重于解决个别类型的问题，例如算术问题、几何问题、代数问题等，但很少涉及解题的一般方法．然而，“学生熟悉了解答个别类型问题的特殊方法之

后，有可能只限于掌握一种千篇一律的死板方法而并不具备独立解决新问题的本领．”波利亚的《怎样解题》就弥补了这一空白，这本书给出了求解数学问题的一般方法．今天人们公认，在数学解题研究方面，波利亚是一面旗帜，他做出了划时代的贡献．

“怎样解题表”中的指导性意见，具有普适性．不仅适用于“不太能独立工作”的人，而且适用于那些能独立解题的人；不仅适用于数学学科，而且可适用于其他学科．例如，未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题(代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的)，我们提出这些问题都会取得良好效果．波利亚解题训练的方式是引导学生按照“表”中的问题和建议思考问题，探索解题途径．试图引导学生逐步掌握解题过程的一般规律．这与“题海战术”的“题型＋解法”的训练方式是绝然不同的．

波利亚高度重视解题过程中的合情推理．数学中的合情推理是多种多样的，而归纳和类比是两种用途最广的特殊合情推理，拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳与类比．”因而波利亚对这两种合情推理给予了特别重视，并注意到更广泛的合情推理；他不仅讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，还指出了其中的教学意义和教学方法．

波利亚反复呼吁：只要我们能承认数学创造过程中需要合情推量、需要猜想的话，数学教学中就必须有教猜想的地位，必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试．对于一个想以数学作为终身职业的学生来说，为了在数学上取得真正的成就，就得掌握合情推理；对于

一般学生来说，他也必须学习和体验合情推理，这是他未来生活的需要．

怎样教猜想?怎样教合情推理?没有十拿九稳的教学方法．波利亚说，教学中最重要的就是选取一些典型教学结论的创造过程，分析其发现动机和合情推理，然后再让学生模仿范例去独立实践，在实践中发展合情推理能力．波利亚欣赏苏格拉底的名言：“思想应当诞生在

学生的心里，教师仅仅应当像助产士那样办事．”他指出，教师要选择典型的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想．

“学生自己提出了猜想，也就会有追求证明的渴望，因而此时的数

学教学最富有吸引力，切莫错过时机”．波利亚指出，要充分发挥班级教学的优势，鼓励学生之间互相讨论和启发，教师只有在学生受阻的时候才给些方向性的揭示，不能硬把他们赶上事先预备好的道路，这样学生才能体验到猜想、发现的乐趣，才能真正掌握合情推理，提高思考问题、解决问题的能力．

三、能力培养的效果不同

应该承认，“题海战术”对提高学生的能力也有一定的积极作用，但经验表明，“题海战术”在能力培养方面主要表现为提高模仿力与复制力，所谓“高分低能”症正是如此产生的．

在数学学科中，能力指的是什么?波利亚说：“这就是解决问题的才智——我们这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神．”波利亚致力于培养学生的独立探索能力．从教育心理学角度看，“怎样解题表”的确是十分可取的，利用这张表教师可行之有效地指导学生自学，发展学生独立思考和进行创造性活动的能力．如果我们提出一个“波利亚探索法”的话，那么“波利亚探索法” 的主要特点就是变更问题，诱发灵感．在波利亚看来，解题过程就是不断变更问题的过程．事实上，“怎样解题表”中许多问题和建议都是“直接以变化问题为目的的”．如，你知道与它有关的问题吗?你能不能试想出一个有相同或相似未知数的熟悉问题?你是否见过形式稍微有不同样的题目?你能改述这题目吗?你能不能用不同的方法重新叙述它?你能不能想出一个更容易着手的有关问题，一个更普遍的题，一个更特殊的题，一个类似的题?你能否解决这道题的一部分?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?能不能想出适于确定未知数的其他数据?你能改变未知数，或已知数，必要时改变两者，使新未知数和新的已知数更加互相接近吗?

波利亚说：“如果不‘变化问题’，我们几乎不能有什么进展．”“变更问题”是《怎样解题》一书的主旋律．书中多次强调了“变更问题”的几种特殊手段．例如“回到定义去” ，“分解与重新组合”，“引入辅助元”，“普遍化、特殊化及类比”．

这里只谈谈“回到定义”．波利亚说，“回到定义”是一项重要的智力活动．回到定义是为了“掌握那些专业术语后面数学对象间的实际关系”．面对一个数学题，“如果我们只知道概念的定义，别无其他，我们就不得不回到定义”．

《怎样解题》书中，有个精彩的实例：

已知抛物线的焦点Ｆ，准线ｄ和一直线l，求作此抛物线与已知直线的交点．

观察题意可见，眼下的情况就是“只知道概念的定义，别无其他”，因此，我们不得不回到定义．考虑到抛物线的定义，原问题就变化为：

在直线ｌ上求一点，使它和已知点Ｆ及已知直线ｄ等距离．

这是第一次变化，解析几何题变成了平面几何题．这道平面几何题本身也是一道有意义的题．

“你能不能用不同的方法重新叙述它?”

这道题可以换个说法叙述为：

在直线ｌ上求一点，以它为圆心作圆与直线ｄ相切且通过点Ｆ．

这是第二次变化．

所作的圆要满足两个条件．“你能否解决这问题的一部分?”可以，先放弃一个条件，第三次变化问题．

（下略）

“怎样解题表”风靡全球．经验证明，适当使用表中的问题与建议，对培养学生的探索力是有益的．

“题海”是客观存在，我们应研究对付“题海”的战术．波利亚的“表”虽不如阿里巴巴的金钥匙，但却切实可行，给出了探索解题途径的可操作机制，被人们公认为“指导学生在题海游泳”的“行动纲领”．著名的现代数学家瓦尔登早就说过：“每个大学生，每个学者，特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书《怎样解题》．”

这种训练方式与“题型＋解法”的做法也是完全不同的．