广东省深圳市2019届高三第二次(4月)调研考试数学理试题(WORD版)

深圳市2019年高三年级第二次调研考试

数学理 2019.4

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合2{|0},{|40},M x x N x x =>=-≥则M N =U ( A ).

A. (,2](0,)-∞-+∞U

B. (,2][2,)-∞-+∞U

C. [3,)+∞

D. (0,)+∞

2.在复平面内，复数i(1i)12i

z +=-所对应的点位于（ C ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

3.2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（ D ）.

A.甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数

B.甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数

C.甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数

D.甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差

4.已知等比数列{}n a 满足11,2

a =且2434(1),a a a =-则5a =（ A ）. A. 8 B.16 C.32 D.64 5.已知函数2

2()(1)f x ax a x x =+-+

是奇函数，则曲线()y f x =在1x =处的切线得倾斜角为（ B ）. A.

π4 B.3π4 C.π3 D.2π3 6.在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设,,AB a AD b ==u u u r r u u u r r

则FB =uur （ D ）. A.3142a b -+r r B.1324a b +r r C.1324a b -r r D.3142a b -r r 7. 如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何

体的表面积为( A ). A.(842)π+ B. (942)π+ C.(882)π+ D. (982)π+

8.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一

条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？” 贝特朗用“随机半径”、 “随机端点”、 “随机中点”三种方法求解，所得结果均不相同.该悖论的矛头直击概率概念本身，这极大地促进了概率论基础的严格化.已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B,连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的

内接等边三角形边长的概率.记该概率为p ，则p =（ C ）. A.1

5 B.14 C.13 D.12

9.已知函数()ln 1a f x x x

=+-有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为( A ). A. (,0]{1}-∞U B. [0,1] C. (,0]{2}-∞U D. [0,2]

10.设12,F F 分别为椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左右焦点，点,A B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ C ）. A.312- B.313- C.512

- D.22 11.已知函数()3sin cos (0)f x x x =+>ωωω在区间ππ[,]43

-上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为（ B ）. A.8

[,7)3 B. C. 20[4,)3 D. 20(,7)3

12.如图，在四面体ABCD 中，2,3,5,,AB CD AC BD AD BC E F ======分别是 ,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的

每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个

多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ B ）. A.6 B.62 C. 52 D. 54

第II 卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.

13.设实数,x y 满足23,12,4,x y x y ≤≤??≤≤??+≤?则1y x -的最大值为_______.

14.已知双曲线2222:1,x y C a b

-=且圆22:(2)1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点.若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为____________.

15.精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障.某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个扶贫地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作.若每一个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A 地区，则不同的派驻方式有_____种.

16.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13,a =当2n ≥时，有1122n n n n n S S S S na --+-=， 则使得122019m S S S ≥L 成立的正整数m 的最小值为__________.

三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17、（本小题满分12分）

已知△ABC 中，AB ＝2BC ，AC ＝25，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，∠ABD ＝2∠CBD 。

（1）求∠ABC 的大小；

（2）求△ABC 的面积。

18、（本小题满分12分）

在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD的中点，以CE，CF

为折痕将△DFG和△BCE折起，使点B、D重合于点P，连结PA，得到如图所示的

四棱锥P一AEF．

（1)求证：EF⊥PC；

（2）求直线PA与平面PEC所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与月售价x（单位：元／件）之间的关系，对近几年的月销售量y i和月销售价x i(i＝1,2,3,- .. 10)数据进行了统计分析，得到了下面的散点图

(1）根据散点图判断，y＝c+d lnx与y＝bx+a哪一个更适宜作为月销量y关于

月销售价x的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(2）利用（1)中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z（单位：千元），当

月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量x当月售价）

20.（本小题满分12分）

己知抛物线C ：x 2＝4y ，过点(2,3)的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线交于点P ．

（l ）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；

(2）若Q 是抛物线C 上的动点，当|PQ |取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程．

21．（本小题满分12分）

已知函数f (x) =(1)()x x e ae a x a R ---+∈.（其中常数e=2.71828...，是自然对数的 底数）．

（1)求函数f (x) 极值点；

(2)若对于任意0＜a ＜1，关于x 的不等式[f (x)]2＜在区间(a 一1,+∞)

上存在实数解，求实数λ的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos (sin x y ααα=??=?

为参数）。圆C 2 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的 极坐标方程为0(0)θθρ=≥．

（l ）求曲线C 1和圆C 2的极坐标方程：

(2)当002π

θ<<时，射线l 与曲线C 1和圆C 2分别交于异于点O 的M 、N 两点，

若｜ON ｜＝2｜OM ｜，求△MC 2N 的面积．

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||||(1)f x x m x m m

=-++>。 （Ⅰ）当2m =时，求不等式)(x f ＞3的解集； （Ⅱ）证明：1()3(1)f x m m +

≥-。