结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章 单自由度系统
1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法
适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；
（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m
,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法
适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；
（2） 利用动量距定理J ∑=M θ
,得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法：
适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程
θθ
??-
???L
L dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const
（2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)
(=+dt U T d ，
进一步得到系统的运动微分方程；
（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。
（2）由对数衰减率定义 )ln(
1
+=i i
A A δ， 进一步推导有 2
12ζ
πζδ-=
，
因为ζ较小，所以有
π
δ
ζ
2
=。
方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。
（1）通过实验，绘出系统的幅频曲线，如下图：
单自由度系统的幅频曲线
（2）分析以上幅频曲线图，得到：
4/
2
2
/
max
2,1
ζ
β
β=
=；
于是
2
2
1
)
2
1(
n
ω
ζ
ω-
=；
进一步
2
2
2
)
2
1(
n
ω
ζ
ω+
=；
最后
()
n
n
ω
ω
ω
ω
ω
ζ2/
2/
1
2
?
=
-
=；
1.3 叙述用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用正选弦激励求单自由度系统阻尼比的方法有两个：幅频（相频）曲线法和功率法。
方法一：幅频（相频）曲线法
当单自由度系统在正弦激励t
Fω
sin
作用下其稳态响应为：
)
sin(α
ω-
=t
A
x,
其中：
()()22
2
2
2
2
2
4
1
4ω
ζ
ω
ω
ω
ω+
-
=
+
-
=st
n
x
n
m
F
A；(1)
()
()2
1/
2
arctanω
ω
ζ
α-
=(2)
从实验所得的幅频曲线和相频曲线图上查的相关差数，由上述（1），（2）式求得阻尼比ζ。 方法二：功率法：
（1） 单自由度系统在t F ωsin 0作用下的振动过程中，在一个周期内， 弹性力作功为 0=c W 、 阻尼力做功为 2A W c d πω-=、 激振力做作功为 απsin 0F W f -=；
（2） 由机械能守恒定理得，弹性力、阻尼力和激振力在一个周期内所作功为零， 即： c W +d W +0=f W ；
于是 παsin 0F -02=A c πω 进一步得： ωαc F A sin 0=； （3） 当ωω=n 时，1sin =α， 则 ζ2max st x A =，
得 ζβ21max =, max 2βζ=。
1.4 求图1-35中标出参数的系统的固有频率。
（a ）此系统相当于两个弹簧串联，弹簧刚度为k 1简支梁刚度为 23
48EI
k l =
； 等效刚度为k; 则有 2
11
11k k
k +=；
则固有频率为：(
)
m
l k EI EIl m
k 3134848+==
ω； （b ）此系统相当于两个弹簧并联, 等效刚度为:
3148l EI
k k +=; 1k 则固有频率为:
3
3
148ml
EI
l k m k +==
ω
(c)系统的等效刚度
1133
33EI EI
k k k l l
=+
=+ 则系统的固有频率为
ω==
（d ）由动量距定理
()θ
I F m =∑得：
（l k l l k l 2121212111??+
??θθ）=θ 221ml 得： 021=+θθ
m
k ， 则 m
k 21
=
ω 。
1.5 求下图所示系统的固有频率。图中匀质轮A 半径R,重物B 的重量为P/2,弹簧刚度为k.
解：以θ 为广义坐标，则 系统的动能为
()2
022
121θ I x m T T T +=+=）（轮子重物 ()2
22
2244)21(21221x
g P x g P R x R g P x g P +=??
? ??+=）（ 2
2x g
P = 系统的势能为：
21
2
U U U Px kx =+=+重物弹簧
－ ；
拉格朗日函数为
L=T-U ;
由拉格朗日方程
0)(=??-???x
L x L dt 得
P
x kx P g
+= 则，
0ω=
P
kg 所以：系统的固有频率为
P
kg 1.6求图1-35所示系统的固有频率。图中磙子半径为R ，质量为M ，作纯滚动。弹簧刚度
为K 。
解：磙子作平面运动，
其动能T=T 平动 +T 转动 。
2222
1
;2
11;222T Mx x MR x T I R R =??????== ? ? ?????
??平动转动
2224
3
4121x M x M x M T =+=
； 而势能
22
1
Kx U =
； 系统机械能
C Kx x M U T =+=
+222
1
43 ; 由
()0=+U T t
d d
得系统运动微分方程 02
3
=+Kx x M ； 得系统的固有频率
M
K
n 32=
ω ； 1.7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A 的质量为m A ，半径为r A ，齿轮B 的质量为m B ，半径为r B,杆AC 的扭转刚度为K A , ,杆BD 的扭转刚度为K B , 解：由齿轮转速之间的关系B B A A r r ωω= 得 角速度 A B
A
B r r ωω=
；
转角 A B
A
B r r ??=； 系统的动能为：
222
1
21B B A A B A J J T T T ωω+=
+=
()22222241221221A A B A B B B A A A r m m r m r m T ωωω+=???
? ??+
???? ??=；
系统的势能为：
()
2
2
2
222221212121A B A
B A B B A A B B A A r r K K K K K K U ????????
? ?
?+=+=+=; 系统的机械能为
()C r r K K r m m U T A B A B A A A B A =???
? ?
?+++=+2
2
2222141?? ； 由
()0=+U T t
d d
得系统运动微分方程 ()021222=???
?
?
?+++A B A B A A A B A r r K K r m m ??
； 因此系统的固有频率为：
()()
B A B A
B A A
A B A B A
B A n m m r r K K r r m m r r K K +???
? ?
?+=
+???
? ?
?+=
222
22212ω；
1.8已知图１－３７所示振动系统中，匀质杆长为l ， 质量为m ，两弹簧刚度皆为K ，阻尼
系数为C ，求当初始条件00
0==θθ 时 （１）t F t f ωsin )(=的稳态解； （２）t t t f )()(δ=的解； 解：利用动量矩定理建立系统运动微分方程
2
2
2
()2222l l l l J c k f t k θθθθ??????
=--+- ? ? ?????
??而 2
22
2
2
2
2
12l
l l l
m ml J r dm r dr l --===?? ；
得
222366()ml cl kl lf t θθθ++=；
化简得
366()c k f t m m ml
θθθ+
+= (1) (1)求t F t f ωsin )(=的稳态解；
将t F t f ωsin )(=代入方程（1）得
366sin c k F t m m ml
θθθω+
+= （2） 令23662;;;n c k F
n h m m ml
ω=
== 得 t h n n
ωθωθθsin 22=++ （3） 设方程（3）的稳态解为
)sin(αω-=t A x
（4）
将（4
）式代入方程（3）可以求得：
A =
=
；
222
236n n c arctg
arctg k m ωω
αωωω
==-- ； (2)求)()(t t f δ=的解；
将)()(t t f δ=代入方程（1）得
366
()c k t m m ml
θθθδ+
+= （5） 令2366
2;;;n c k n h m m ml
ω=
== 得 )(22t h n n
δθωθθ=++ （6） 方程（6）成为求有阻尼的单自由度系统对于脉冲激励)(t h δ的响应。由方程（6）可以得到初始加速度
)(0
t h δθ= ； 然后积分求初始速度
h t d t h t d t h t d ====?
?
?
+
++00
00
00
0)()(δδθθ ； 再积分求初位移
0)00
00
0====?
?
+
+
t d h t d θθ ； 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件0θ 、0θ 和0
θ的瞬态响应 ()?ω+=-t Ae x d t n sin ；
将其代入方程（6）可以求得：
;0;==
?ωd
m h A
最后得
()()t e m h t Ae x d t n d
d t n ωω?ωsin sin --=
+=
1.9图１－３８所示盒内有一弹簧振子，其质量为m ，阻尼为C ，刚度为K ，处于静止状态，方盒距地面高度为H ，求方盒自由落下与地面粘住后弹簧振子的振动历程及振动频率。 解：因为在自由落体过程中弹簧无变形，所以振子与盒子之间无相对位移。在粘地瞬间， 由机械能守恒定理 202
1
mV mgH =
的振子的初速度gH V 20=； 底版与地面粘住后，弹簧振子的振动是对于初速度 gH V 20=的主动隔振
系统的运动微分方程为： 0=++Kx x C x
m ； 或 ;0=++x m
K
x m C x
或 ;022=++x x n x n ω
系统的运动方程是对于初始条件的响应：
()?ω+=-t Ae x d t n sin ；
d d d n gH x
x x
x A ωωωζω202
002
==???
? ??++= ； 0000
=+=x x
x arctg
n d ζωω? ；
();sin 2t gH
x d d
ωω=
1.10汽车以速度V 在水平路面行使。其单自由度模型如图。设m 、k 、c 已知。路面波动情
况可以用正弦函数y=hsin(at)表示。求：（1）建立汽车上下振动的数学模型；（2）汽车振动的稳态解。 解：（1）建立汽车上下振动的数学模型；由题意可以列出其运动方程：
)()(11y y c y y k y
m ----= 其中：y 表示路面波动情况；y 1表示汽车上下波动位移。 将其整理为：
11y c ky ky y c y m
+=++ (1) 将)sin(at h y =代入得
)sin()cos(at kh at ach ky y c y
m +=++
(2)汽车振动的稳态解:
设稳态响应为： )sin(a t A y -=ω
代入系统运动微分方程（1）可解得：
h c m k c k A 2
2222
2)(2ω
ωω+-+=； ))(tan(2
223
ω
ωωc m k k mc acr a +-=； 1.11.若电磁激振力可写为t H t F 02sin )(ω=，求将其作用在参数为m 、 k 、 c 的弹簧振子上的稳态响应。
解：首先将此激振力按照傅里叶级数展开：
∑∞
=++=1
))sin()cos((2)(i i i t i b t i a a t F ωω
其中：dt t i t F T a T i ?=0)cos()(2ω； ?=T
i dt t i t F T b 0
)sin()(2ω
因为)(sin )(02
t H t F ω=是偶函数，所以0=i b 。
于是
)2cos(2
2)(0t H
H t F ω-=
而
)2/2sin(2)(0πω+--=
a t A k
H
t x ；
式中
2
2
2
02
16)4(2ωωωn m
H A n +-=
；
2
242arctan
ωωω
-=n n a ； m
k m c n n ==
2
,2ω
1.1
2.若流体的阻尼力可写为3x
b F d -=,求其等效粘性阻尼。 解：（1）流体的阻尼力为
3x
b F d -= ； （2）设位移为
)cos(αω-=t A x ，
而 t d x
dx =； （3）流体的阻尼力的元功为
)(3t d x x
b dx F dW d d --==； （4）流体的阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：
34
4
34[cos()]3
4
d W F dx bx dx
bx dt b A t a dt b A ωωωπ==-=
-=--=-????
（5）粘性阻尼力在一个振动周期之内所消耗的能量为：2
cA πω- （6）等效粘性阻尼：
取n ωω=， 令=-πω43
4
3A b n 2A c eq n πω- 可得：
22
4
3A b c n eq ω=
第二章 两自由度系统
2.1 求如图2-11
解：（1）系统的振动微分方程
)(2111x x k kx x
m ---= ; 2122)(kx x x k x m ---=
; 即 02211=-+kx kx x m
； 02212=+-kx kx x m
； （1） （2）系统的特征方程 根据微分方程理论，设方程组（1）的解为：
)sin(11αω+=t A x ；)sin(22αω+=t A x （2）
将表达式（2）代入方程组（1）得：
0)sin()2(2112=+-+-αωωt kA kA A m
0)sin()2(2122=++--αωωt kA kA A m （3）
因为)sin(αω+t 不可能总为零，所以只有前面的系数为零：
;
0)2(;0)2(221212=-+-=--A m k kA kA A m k ωω；
即
?
?????=????????????
?
?----00222122
A A m k k k
m k ωω； （4）
(3)系统的频率方程
若系统振动，则方程有非零解，那么方程组的系数行列式等于零，即：
0222
2
=----ω
ωm k k
k m k ；
展开得
0342
2
4
2
=+-k mk m ωω ； （5）
系统的固有频率为：
m K /1=ω ； 2;ω= （6）
(4)系统的固有振型
将1ω，2ω代入系统的特征方程（4）式中的任一式，得系统的固有振型，即各阶振幅比为：
;11
)1(2
)
1(1)
1(==
A A γ
;11
)2(2
)
2(1)
2(-==
A A γ
（7）
系统各阶振型如图所示：其中（a ）是一阶振型，（b ）是二阶振型。
(5)系统的主振动
系统的 第一主振动为
)sin(
)sin(;)sin(
)sin(1)1(1)1(11)
1(2)1(21)1(111)1(1)1(1αγαωααω+=+=+=+=t m
k
A t A x t m
k
A t A x
系统的第一主振动为
)3sin(
)sin(;)3sin(
)sin(1)2(1)2(12)2(2)2(21)2(112)2(1)2(1αγαωααω+=+=+=+=t m
k
A t A x t m
k
A t A x
2.2确定图2-12所示系统的固有频率和固有振型。 解：（1）系统的动能 2
22122212
1)(21)2(21u m u m u m u m T +=+= （2）系统的势能 因为弹簧上端A 、B 两点的位移
;2
;222
1211u u u u u u u B A +=+-
= 所以系统的势能为 2212211)2
(2)22(2u u K u u u K
V +++-= )25(4
2
22121u u u u K +-=
; (3)系统的Lagrange 函数
)25(4
212
221212221u u u u K u m u m V T L +--+
=-= （4）系统的运动微分方程 由Lagrange 方程
()
2,10==??-???
? ????j u l u L t d d
j j
可得
;022;022********=+-=-+u K
Ku K u
m u K
Ku u
m 即
;0022
22522121??????=??????????
?
?????--
+????????????u u K K K K u u m m (5)系统的特征方程
设系统的运动微分方程的解为
)sin(,)sin(2211αωαω+=+=t A u t A u
代入系统的运动微分方程得系统的特征方程
;022;
022********
=???
?
?+-+
-=-??
? ?
?+-A
K m KA K A K A K m ωω
即
;002222522122
???
???=???????????
?????????? ??+---??? ??+-A A K m K K K m ωω （6）系统的频率方程
系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
;022225222
=??? ?
?+---?
?? ??+-K m K K K m ωω 即
;02742242=+-K Km m ωω
解得,系统的固有频率
m
K
m
K
18
.1;6
.021==ωω ； (7)系统的固有振型
将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得系统的固有振型
;67.11
;
28.01
)
2()2(2
)
2(1)
1()1(2
)
1(1-==
==
γγA A A A
（8）系统的主振动
(1)(1)(1)111111(1)(1)(1)221111sin());sin()0.28)u A t A u A t A ωααωαα=+=+=+=+
)18
.1sin(67.1)sin(;)18
.1sin()sin(1)2(111)2(2)2(21)2(111)2(1)2(1ααωααω+-=+=+=+=t m
k
A t A u t m
k
A t A u
2.3
别为2K 和K 。 （1）写出用杆端铅直位移u1和u2（2）写出它的两个固有频率； （3）画出它的两个固有振型；
解：(1) 均质杆的运动微分方程 C 的位移为 ();2
1
21u u u C +=
均质杆绕质心C 的转角为 sin 21L u u ≈-=-? 均质杆的运动微分方程
1212(2)
2
c C mu K u u KL J Ku L u φ=-+???=-?? 12122
1212
()
(2)
2122
m u u K u u u u mL KL Ku L u
L +?=-+???+?=-??
即 12121212
420
1260mu mu Ku Ku mu mu Ku Ku +++=??+-+=? （1）
（2）系统的特征方程
设运动微分方程（1）的解为 )sin(11αω+=t A u 、)sin(22αω+=t A u ，代入方程（1）
22121222
12124201260m A m A KA KA m A m A KA KA ωωωω?--++=?--+=?
即
;0061224212222?
??
???=??????????????----A A m K K
m m K m K ωωωω
（4） 系统的频率方程
系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
;0612242
22
2=----ωωωωm K K
m m K m K
即
;024122242=+-K Km m ωω
解得
系统的两个固有频率
066.3;612.121==ωω；
（5） 系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
系统的两阶固有振型
;67371;731
)2()2(2)2(1)
1()1(2
)
1(1-====
γ
γA A A A （6）系统的两阶主振动
(1)(1)(1)111111(1)(1)(1)
221111sin()sin(1.612)
sin() 2.33sin(1.612)
u A t A t u A t A t ωααωαα?=+=+?=+=+?
(2)1111(2)(2)(2)
221111
sin()sin(3.066)
sin() 1.81sin(3.066)t A t u A t A t ωααωαα?+=+?=+=-+?
2.4确定图2-14
解：（1）系统运动微分方程
;)(2;)(22122121u u K u
m u u K u
m --=-= 即
;022;022*******=+-=-+Ku KKu u
m Ku Ku u
m （1）
（2）系统特征方程 设运动微分方程（1）的解为
)sin(11αω+=t A u
和 )sin(22αω+=t A u ， 代入方程（1）
()()2122
120220
K m A KA KA K m A ωω?--=?
?-+-=?? 即
;00222122?
?????=??????????????----A A m K K
K
m K ωω （3）系统频率方程
系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
;0222
2=----ωωm K K
K
m K
即
;0324=-ωωK m
解得
m
K
3;021=
=ωω; （4）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得
系统的两阶固有振型
;2
11
;
11
)
2()2(2
)
2(1)
1()1(2
)
1(1-
==
==
γγA A A A
2.5图2-15所示的均质细杆悬挂成一摆，杆的质量为m ，长为L 的固有频率和固有振型。 解：（1）求均质细杆质心的坐标和质心的速度
()()2121cos cos 2
,sin sin 2θθθθ+=+=L
y L x c c ；
()()
22112211sin sin 2
,cos cos 2θθθθθθθθ +-=+=L y L x
c c ； （2）求系统的Lagrange 函数
()
()2
12222cos cos 2
12121θθθ++++=
-=mgL J y x m V T L C C C ； ()()
(1222212122212cos cos 2
124cos 28θθθθθθθθ+++-++=mgL mL mL （3）求系统的运动微分方程
由Lagrange 方程 ()
2,10==??-???
? ????j l L
t d d j j θθ
可得
2212122
122
04420
4
32mL mL L
mg mL mL L mg θθθθθθ?++=????++=?? 即 ;0020
02
34
4421
2122
22???
???=???????
???
?
?????+???????????
?????
??θθθθmgL mgL
mL mL mL mL （4）系统特征方程
设运动微分方程（1）的解为 )sin(11αωθ+=t A 和)sin(22αωθ+=t A ，代入方程（1）
2222
1222
2212
()0244()0
4
23L mL mL mg A A mL L mL A mg A ωωωω?--=????-+-=?? 即 ;00)32(44)42(2122222
222???
???=???????????
???
?
???----A A mL L mg mL mL mL L mg ωωωω （3）系统频率方程
系统的特征方程有非零解得充分必要条件是其系数行列式为零
2222
22
22()244
0;()423
L mL mL mg mL L mL mg ωω
ωω--=-- 即 ;012142242=+-g g L ωω 解得系统的两个固有频率
;6
.3;21L
g
L
g
==
ωω； （4）系统的固有振型 将系统的固有频率代入系统的特征方程中的任何一个可得 系统的两阶固有振型
;131
;
11
)
2()2(2
)
2(1)
1()1(2
)
1(1-
==
==
γγA A A A
2.6两层楼用集中质量表示如图2-16所示的系统。其中2121m m =
；212
1
k k =；证明该系统的固有频率和固有振型为：1;2;2;2)2(2
)
2(1)1(2)1(1
112111-====x x x x m k m k ωω ；
解：(1)系统振动微分方程
002221122221211111=++=++x k x k x
m x k x k x
m （1）
（2）系统特征方程 设方程组的解为 ()()
1122sin sin x A t x A t ωαωα=+???
=+??
代入方程组（1）式得，系统特征方程
()()2
11111222
21122220
k m A k A k A k m A ωω?-+=?
?+-=?? （2） （3）系统频率方程
因为考虑系统振动的情况，所以要求方程（2）有非零解，而方程（2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零：
02
2
2212
121
211=--m K K K m K ωω
即
1211m k ω-）（22
22m k ω-）02112=-k k (3)
（4）系统固有频率 根据已知条件 111k k =，11221k k k -==，
121223k k k k =+=，2121m m =，2121
k k =; 12122
3k k k k =+=，2121m m =，212
1
k k =;
代入（3）式得
0252
111142=???
?
??+???? ??-m k m k ωω ， 11122m k =
ω ,1
122
2m k =ω ；
（5）系统固有振型：
将系统固有频率 代入系统特征方程（2）得系统固有振型
22
11
111
112
12
)1(2
)1(1=--=
-=
k k k k m k A A ω；
121
11
11
12212
)2(2
)
2(1-=--=
-=
k k k k m k A A ω；
（6） 系统的主振动：
2)1(2
)
1(1)1(2)1(1==
A A x x
1)2(2
)
2(1)2(2
)2(1-==
A A x x ；
证毕。
2．7 如图
解: (1)建立系统运动微分方程根据牛顿第二定律， 分别对1m 和2m 列出振动微分方程
0)()()(122222121111=-+=-++x x k x
m t f x x k x k x
m （1-1）
即：
0)sin )(22122222212111=+-=-++x k x k x
m t e m x k x k k x
m ωω （1-2）
(2)求系统的稳态响应：设系统的稳态响应为 )sin()
sin(222111a t A x t A x -=-=ωαω （1-3）
即
t
D t D x t C t C x ωωωωcos sin cos sin 212211+=+= （1-4）
将表达式（1-4）代入式（1-2），根据两个方程中包含t ωsin 的系数和为零及包含t ωcos 的系数和为零，可得如下方程组：
;
0)(;)(222212
121212121=-++-=-++-D k C k k m e m D k C k k m ωωω
即
;
0;0)(2222122212=+-=+-+-D k C k D k m C k ω （1-5）
求解方程组（1-5）得：0
22==D C
;
0;;
)
(222
22212
122
214
212
212
222121222142122221==-+--=
-+---=D C k m k k k m k m m m ek m D k m k k k m k m m m m k e m C ω
ωωωωωωωωωω （1-6）
所以在公式 )sin(,)sin(222111a t A x t A x -=-=ωαω中有
;
0;;
)
(212
22212
122
214
212
222
222121222142122221==-+--=
-+---=ααω
ωωωωωωωωωωk m k k k m k m m m ek m A k m k k k m k m m m m k e m A (1-7)
2.8在如图2-18所示的系统中，一水平力Fsin(ωt)作用于质量块M 上，求使M 不动的条件。 解：（1）系统有两个自由度，选广义坐标为x,φ （2）系统的动能
φφ22
1)(212121222 x ml l m X m X M T -++=（3）系统的势能
)cos (22
1
2φ-+=l mgl kx U
（4）Lagrange 函数
U T L -=
哈工大结构动力学大作业2012春
结构动力学大作业 对于如下结构，是研究质量块的质量变化和在简支梁上位置的变化对整个系统模态的影响。 1 以上为一个简支梁结构。集中质量块放于梁上，质量块距简支梁的左端点距离为L. 将该简支梁简化为欧拉伯努利梁，并离散为N 个单元。每个单元有两个节点，四个自由度。 单元的节点位移可表示为： ]1122,,,e v v δθθ?=? 则单元内一点的挠度可计作： 带入边界条件： 1 3 32210)(x a x a x a a x v +++=0 1)0(a v x v ===3 322102)(L a L a L a a v L x v +++===1 10 d d a x v x ===θ2 321232d d L a L a a x v L x ++===θ1 0v a =
[]12 3 4N N N N N = 建立了单元位移模式后，其动能势能均可用节点位移表示。单元的动能为： 00111()222 l l T T T ke e e e e y E dx q N Ndxq q mq t ρρ?===??? 其中m 为单元质量阵，并有： l T m N Ndx ρ=? 带入公式后积分可得： 222215622541322413354 1315622420133224l l l l l l l m l l l l l l ρ-?? ??-??= ?? -?? ---? ? 单元势能可表示为 22 200 11()()22 2 T l l T T e pe e e e q y E EI dx EI N N dxq q Kq x ?''''== =??? 其中K 为单元刚度矩阵，并有 ()l T K EI N N dx ''''=? 2 23 2212 612664621261266264l l l l l l EI k l l l l l l l -????-??=??---??-?? 以上为单元类型矩阵，通过定义全局位移矩阵，可以得到系统刚度矩阵和系统质量矩 1 1θ=a )2(1)(3211222θθ+--=L v v L a )(1)(22122133θθ++-= L v v L a 1232133222231)(θ???? ??+-+???? ??+-=L x L x x v L x L x x v 2 2232332223θ??? ? ??-+???? ??-+L x L x v L x L x 2 4231211)()()()()(θθx N v x N x N v x N x v +++=
结构动力学大作业
结构动力学作业 姓名： 学号：
目录 1.力插值法 (1) 1.1分段常数插值法 (1) 1.2分段线性插值法 (4) 2.加速度插值法 (7) 2.1常加速度法 (7) 2.2线加速度法 (9) 附录 (12) 分段常数插值法源程序 (12) 分段线性插值法源程序 (12) 常加速度法源程序 (13) 线加速度法源程序 (13)
1.力插值法 力插值法对结构的外荷载进行插值，分为分段常数插值法和分段线性插值法，这两种方法均适用于线性结构的动力反应计算。 1.1分段常数插值法 图1-1为一个单自由度无阻尼系统，结构的刚度为k ，质量为m ，位移为y (t )，施加的外力为P (t )。图1-2为矩形脉冲荷载的示意图，图中t d 表示作用的时间，P 0表示脉冲荷载的大小。 图1-1 单自由度无阻尼系统示意图 图1-2 矩形脉冲荷载示意图 对于一个满足静止初始条件的无阻尼单自由度体系来说，当施加一个t d 时间的矩形脉冲荷载，此时结构在t d 时间内的位移反应可以用杜哈梅积分得到： 0()sin ()2 (1cos )(1cos ) (0) t st st d P y t t d m t y t y t t T ωττω πω=-=-=-≤≤? (1-1) 如果结构本身有初始的位移和速度，那么叠加上结构自由振动的部分，结构的位移反应为： 02()cos sin (1cos ) (0 )st d y t y t y t t y t t T πωωω =+ +-≤≤ (1-2)
图1-3 分段常数插值法微段示意图 对于施加于结构任意大小的力，将其划分为Δt 的微段，每一段的荷载都为一个常数(每段相当于一个矩形的脉冲荷载)，如图1-3所示，则将每一段的位移和速度写成增量的形式为： 1cos t sin t (1cos t)i i i i y P y y k ωωωω +=?+ ?+-? (1-3) i+1/sin t cos t sin t i i i y P y y k ωωωωω =-?+ ?+ ? (1-4) 程序流程图如下
哈工大结构风工程课后习题答案
结构风工程课后思考题参考答案 二、大气边界层风特性 1 对地表粗糙度的两种描述方式：指数律和对数律（将公式写上）。 2 非标准地貌下的风速换算原则（P）和方法（P公式）。1514 3 脉动风的生成： 近地风在流动过程中由于受到地表因素的干扰，产生大小不同的涡旋，这些涡旋的迭加作用在宏观上表现为速度的随机脉动。在接近地面时，由于受到地表阻力的影响，导致风速减慢并逐步发展为混乱无规则的湍流。 脉动风的能量及耗散机制：而湍流运动可以看做是能量由低频脉动向高频脉动过渡，并最终被流体粘性所耗散的过程。在低频区漩涡尺度较大，向中频区（惯性子区）、高频区（耗散区）漩涡尺度逐渐减小，小尺度涡吸收由惯性子区传递过来的能量，能量最终被流体粘性所耗散。 4 Davenport谱的特点：先写出公式 通过不同水平脉动风速谱的比较： （1）D谱不随高度变化，而其他谱（如Kaimal谱、Solari谱、Karman谱）则考虑了近地湍流随高度变化的特点；（D谱不随高度变化，在高频区符合-5/3律，没有考虑近地湍流随高度变化的特点；） （2）D谱的谱值比其它谱值偏大，会高估结构的动力反应，计算结果偏于保守。（3）S(0)=0,意味着L=0，与实际不符。uu5 湍流度随高度及地面粗糙程度的变化规律：随地面粗糙度的增大而增大，随高度的增加而减小。 积分尺度随高度及地面粗糙程度的变化规律：大量观测结果表明，大气边界层中的湍流积分尺度是地面粗糙度的减函数，而且随着高度的增加而增加。 功率谱随高度及地面粗糙程度的变化规律：随着高度增大和粗糙度的减小，能量在频率上的分布趋于集中，谱形显得高瘦；随着高度减小和粗糙度的增大，能量在频率上的分布趋于分散，谱形显得扁平。 相干函数随高度及地面粗糙程度的变化规律：随地面粗糙度的增大而减小，随高度的增加而增大。 6 阵风因子与峰值因子的区别：阵风因子G=U'/U,是最大风速与平均风速的比/ σ是最大脉动风速与脉动风速均方根的比值。g=u 值；峰值因子umax联系：二者可以相互换算：G=(U'+gσ)/U'=1+gσ/U'=1+gI。Uuu 三、钝体空气动力学理论 1 钝体绕流的主要特征有： ）粘性效应：气体粘性随温度升高而增大，液体粘性随温度升高而减小。1（（2）边界层的形成：由于粘性效应，使靠近物体表面的空气流动速度减慢，形 成气流速度从表面等于零逐渐增大到与外层气流速度相等，形成近壁面流动现象。 （3）边界层分离：如果边界层内的流体微粒速度因惯性力减小到使靠近表面的气流倒流，便出现了边界层分离。 （4）再附：在一定条件下，自建筑物前缘分离的边界层会偶然再附到建筑物表面，这时附面层下会形成不通气的空腔，即分离泡。每隔一段时间分离泡破裂产生较大的风吸值，产生一个风压脉冲。 （5）钝体尾流：对于细长钝体，漩涡脱落是在其两侧交替形成的。漩涡脱落时导致建筑物出现横向振动的主要原因。
哈工大结构力学题库七篇(I)
第七章影响线 一判断题 1. 图示梁AB与A0B0，其截面C与C0弯矩影响线和剪力影响线完全相同。（X） 题1图题2图 2. 图示结构Q E影响线的AC段纵标不为零。（X） 3. 图示梁K截面的M K影响线、Q K影响线形状如图a、b所示。 4. 图示梁的M C影响线、Q C影响线形状如图a、b所示。 5. 图示梁的M C影响线、M B影响线形状如图a、b所示。 6. 图示结构M B影响线的AB段纵标为零。 7. 图示梁跨中C截面弯矩影响线的物理意义是荷载P=1作用在截面C的弯矩图形。（X） 8. 用静力法作静定结构某量值的影响线与用机动法作该结构同一量值的影响线是不等价 的。（X） 9. 求某量值影响线方程的方法，与恒载作用下计算该量值的方法在原理上是相同的。（√） 10. 影响线是用于解决活载作用下结构的计算问题，它不能用于恒载作用下的计算。（X） 11. 移动荷载是指大小，指向不变，作用位置不断变化的荷载，所以不是静力荷载。（X） 12. 用静力法作影响线，影响线方程中的变量x代表截面位置的横坐标。（X） 13. 表示单位移动荷载作用下某指定截面的内力变化规律的图形称为内力影响线。（√） 14. 简支梁跨中截面弯矩的影响线与跨中有集中力P时的M图相同。（X） 15. 简支梁跨中C截面剪力影响线在C截面处有突变。（√） 16. 绝对最大弯矩是移动荷载下梁的各截面上最大的弯矩。（√） 17. 静定结构及超静定结构的内力影响线都是由直线组成。（X） 18. 图示结构Q C影响线的CD段为斜直线。 19. 图示结构K断面的剪力影响线如图b所示。（√） 题19图 20. 用机动法作得图a所示Q B左结构影响线如图b。 题20图题21图 21. 图示结构a杆的内力影响线如图b所示 22. 荷载处于某一最不利位置时，按梁内各截面得弯矩值竖标画出得图形，称为简支梁的弯
结构动力学哈工大版课后习题集解答
第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律∑=F x m ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析； （2） 利用动量距定理J ∑=M θ ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程 θ θ??-???L L dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0) (=+dt U T d ，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。 （2）由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ， 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ， 因为ζ较小， 所以有 π δζ2= 。 方法二：共振法求单自由度系统的阻尼比。 （1）通过实验，绘出系统的幅频曲线， 如下图：
结构动力学
结构动力学试题 2016年4月 重庆交通大学结构工程硕士研究生考试 1.试述结构动力问题和静力问题的主要区别（10分） 答：结构静力学相比，动力学的复杂性表现在： （1）动力问题具有随时间而变化的性质； （2）数学解答不是单一的数值，而是时间的函数； （3）惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部分； （4）引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解； （5）需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼特性分布的影响。 2.什么是结构动力系统的阻尼？一般结构系统的阻尼有何特性？在结构分析中 阻尼问题的处理方法有哪些？（20分） 答：（1）结构在震动过程中的能量耗散作用称为阻尼； （2）阻尼的特性：a、阻尼耗能与质量（反映附属部分大小）和刚度（反映位移大小）有关。b、难以采用精确的理论分析方法； （3）对于多自由度体系：在结构动力分析中，通常从系统响应这个角度来考虑阻尼，而且能量的损耗是由外界激励来平衡的。一个振动系统可能存在多种不同类型的阻尼，一般来说，要用数学的方法来精确描述阻尼目前是比较困难的。因此，人们根据经验提出了一些简化模型，常用的阻尼模型有黏性阻尼和结构阻尼。黏性阻尼系统：黏性阻尼的特点是阻尼力和运动速度成真封闭。 在用振型叠加法进行分析时，能否将联立的运动方程化为解耦的一系列单自由度运动方程，将取决于阻尼矩阵的性质，即结构的振型是否关于阻尼阵满足正交条件。如果满足阻尼阵的正交条件，则采用振型叠加法分析时，就可以把多自由度体系的动力反应问题化为一系列单自由度问题求解；如果不满足阻尼阵的正交条件，则对位移向量用振型展开后，关于振型坐标的运动方程成为耦联的，必须联立求解，与解耦方程相比，增加了难度和计算量。 3.试述多自由度体系振型矩阵关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性的意义，并写出广义正交性的表达式且加以证明。（20分） 答：（1）由振型关于质量、刚度正交性公式可知，i振型上的惯性力在j振型上作的虚功为0。由此可知，既然每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，那么它的振动能量就不会转移到别的主振型上去。换句话说，当一个体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。这说明各个主振型都能单独出现，彼此线性无关。这就是振型正交的物理意义。一是可用于校核振型的正确性；二是在已知振型的条件下，可以通过折算质量与折算刚度计算对应的频率。而更主要的是任一同阶向量均可用振型的线性组合来表示，在受迫振动分析中，利用振型的正交性，在阻尼矩阵正交的假设下可使运动方程解藕. （2）振型正交性的证明在Clough书中应用的是Betti互易定理，就像D’Alember 原理一样考虑了惯性力，是运动学中功的互等定理。实际振型正交性的证明可
哈工大结构动力学作业_威尔逊_θ法
结构动力学大作业（威尔逊- 法） ： 学号： 班级： 专业：
威尔逊-θ法原理及应用 【摘要】在求解单自由度体系振动方程时我们用了常加速度法及线加速度法等数值分析方法。在多自由度体系中，也有类似求解方法，即中心差分法及威尔逊-θ法。实际上后两种方法也能求解单自由度体系振动方程。对于数值方法，有三个重要要求：收敛性、稳定性及精度。本文推导了威尔逊-θ法的公式，并利用MATLAB 编程来研究单自由度体系的动力特性。 【关键词】威尔逊-θ法 冲击荷载 阻尼比 【正文】威尔逊-θ法可以很方便的求解任意荷载作用下单自由度体系振动问题。实际上，当 1.37θ>时，威尔逊-θ法是无条件收敛的。 一、威尔逊-θ法的原理 威尔逊-θ法是线性加速度法的一种拓展（当1θ=时，两者相同），其基本思路和实现方法是求出在时间段[],t t t θ+?时刻的运动，其中1θ≥，然后通过插得到i t t +?时刻的运动（见图 1.1）。 图 1.1 1、公式推导 推导由t 时刻的状态求t t θ+?时刻的状态的递推公式： 对τ积分
{}{}{}{}{}{})(623 2 t t t t t t t y y t y y y y &&&&&&&-?+++=?++θτ θτττ {}{}{}{}{})2(6)(2t t t t t t t y y t y t y y &&&&&+?+?+=?+?+θθθθ {}{}{}{}{}t t t t t t t y y t y y t y &&&&&26 )()(62-?--?=?+?+θθθθ []{}{} {}[]{}{}{}[]{}{}{})223()26)(6( )(2t t t t t t t t t t y t y y t c y y t y t m P P P R &&&&&&?++?++?+?+-+=?+θθθθθ 2、MA TLAB 源程序： clc;clear; K=input('请输入结构刚度k(N/m)'); M=input('请输入质量(kg)'); C=input('请输入阻尼(N*s/m)'); t=sym('t');%产生符号对象t Pt=input('请输入荷载); Tp=input('请输入荷载加载时长(s)'); Tu=input('请输入需要计算的时间长度(s) '); dt=input('请输入积分步长(s)'); Sita=input('请输入θ'); uds=0:dt:Tu;%确定各积分步时刻 pds=0:dt:Tp; Lu=length(uds); Lp=length(pds); if isa(Pt,'sym')%荷载为函数 P=subs(Pt,t,uds); %将荷载在各时间步离散 if Lu>Lp P(Lp+1:Lu)=0; end elseif isnumeric(Pt)%荷载为散点 if Lu<=Lp
哈工大结构力学题库一章
第一章平面体系的几何组成分析 一判断题 1. 图示体系是几何不变体系。（） 题1图题2图题3图题4图 2. 图示体系为几何可变体系。（） 3. 图示体系是几何不变体系。（） 4. 图示体系是几何不变体系。（） 5. 图示体系是几何不变体系。（） 题5图题6图题19图题20图 6. 图示体系为几何不变有多余约束。（） 7. 几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结 构。（） 8. 两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中，不仅指明了必需的约束数目，而且指明了 这些约束必需满足的条件。（） 9. 在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全不反力和内力的体系是几何不变体系。 （） 10. 计算自由度W小于等于零是体系几何不变的充要条件。( ) 11. 几何可变体系在任何荷载作用下都不能平衡。( ) 12. 三个刚片由三个铰相联的体系一定是静定结构。( ) 13. 有多余约束的体系一定是超静定结构。( ) 14. 有些体系为几何可变体系但却有多余约束存在。（） 15. 平面几何不变体系的三个基本组成规则是可以相互沟通的。（） 16. 三刚片由三个单铰或任意六根链杆两两相联，体系必为几何不变。（） 17. 两刚片用汇交于一点的三根链杆相联，可组成几何不变体系。（） 18. 若体系计算自由度W<0，则它一定是几何可变体系。（） 19. 在图示体系中，去掉其中任意两根支座链杆后，所余下都是几何不变的。（） 20. 图示体系按三刚片法则分析，三铰共线，故为几何瞬变体系。（） 21. 有多余约束的体系一定是几何不变体系。（） 22. 几何不变体系的计算自由度一定等于零。（） 23. 几何瞬变体系的计算自由度一定等于零。（） 24. 图中链杆1和2的交点O可视为虚铰。（） 题24图 二选择题
结构动力学论文
《结构动力学》 课程论文 任课老师:许凌云 专业:水利水电工程姓名: 班级: 学号:
结构动力学在房屋建筑抗震减震隔振中的作用 姓名 专业 中文摘要：结构动力学是一门研究结构在荷载作用下的响应规律的学科。虽然在短短的几周时间内学习这门课程，但还是了解到结构动力学在水利工程方面的一些应用，在这里浅谈结构动力学在房屋抗震减震隔振中的作用。 关键词：结构动力学，房屋建筑，抗震，减震，隔振 正文： 结构动力学着重研究结构对于动荷载的响应（如位移、内力、速度、加速度等时间的历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。然而，在房屋抗震减震方面，结构动力学既是抗震设计的基础，又是减震隔振的理论依据。 对于动荷载，如果荷载的大小、方向、和作用点随时间变化，使得质量运动加速度所以起得惯性力与荷载相比大到不可忽视时，则称为动荷载。如引起基础震动的地震作用，而地震作用引起地面运动通过基础传给上部结构，使之产生惯性力，而此惯性力往往可以达到较高的水平。地震力是典型的动力作用，在此对结构动力学在房屋建筑抗震、减震、隔振方面的作用做简单分析。从房屋结构抗震设计的角度对房屋建筑的抗震设计进行了分析探讨,对于进一步提高我国房屋建筑的结构抗震设计水平及其应用水平具有一定借鉴意义.
一、建筑结构抗震的前景 目前房屋建筑抗震设计中存在的问题：我国房屋建筑的结构材料一直以钢筋混凝土为主。随着设计思想的不断更新,结构体系日趋多样化,房屋建筑平面布置与竖向体型也越来越复杂,出现了许多超高超限钢筋混凝土建筑,这就给房屋建筑的结构分析与设计提出了更高的要求。尤其是在抗震设防地区,如何准确地对这些复杂结构体系进行抗震分析以及抗震设计,已成为房屋建筑研究领域的主要课题之一。 近年来,许多科研和软件设计人员对房屋建筑结构进行的大量的分析与研究,目前我国已有多种房屋建筑结构分析设计软件,如中国建筑科学研究院结构所研制的TBSA、TAT、SATWE,清华大学建筑设计研究院研制的TUS,广东省建筑设计研究院研制的广厦CAD等,为房屋建筑的结构分析与抗震设计提供了方便、高效的计算分析手段。但是,在房屋建筑功能等要求复杂多样化的今天,工程设计中经常会遇到一些问题,如果简单地直接应用设计软件计算设计,可能会出现不必要的浪费,有的甚至造成工程事故,这就要求结构工程师不断积累经验,运用概念设计的原则,结合理论分析与试验数据对具体工程一些特殊问题具体分析、具体处理。 二、房屋建筑结构抗震的设计 2 . 1 设计阶段的结构动力特性分析 房屋建筑进入初步设计阶段后,首先按方案阶段确定的
哈工大结构力学题库七章
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第七章影响线 一判断题 1. 图示梁AB与A0B0，其截面C与C0弯矩影响线和剪力影响线完全相同。 6. 图示结构MB影响线的AB段纵标为零。 7. 图示梁跨中C截面弯矩影响线的物理意义是荷载P=1作用在截面C的弯矩图形。 18. 图示结构QC影响线的CD段为斜直线。 19. 图示结构K断面的剪力影响线如图b所示。<√） 题19图 20. 用机动法作得图a所示QB左结构影响线如图b。 题20图题21图 21. 图示结构a杆的内力影响线如图b所示 22. 荷载处于某一最不利位置时，按梁内各截面得弯矩值竖标画出 得图形，称为简支梁的弯矩包络图。 习题 2.1 一个重型工作台由扁钢支柱支撑（图P2.1），其侧向振动固有周期为0.5秒。当一个50磅力的平板固定在其表面时，侧向振动固有周期延长到0.75秒。工作台的重量和侧向刚度为多少？ 图P2.1 2.2 一个重400磅力的电磁铁悬挂在刚度为100磅力/英寸的弹簧下端(图P2.2a )，吸起200磅力的废铁(图P2.2b )。试确定电流切断废铁掉落时（图P2.2c ）的运动方程。 图P2.2 2.3 质量为m 的块体被弹簧和挡块共同支撑处于静止状态(P2.3)。在图示位置，弹簧中的力为m g /2。t = 0时，挡块旋转，突然释放质量块。试确定质量块的运动。 图P2.3 2.4 如图P2.4示的木块重量为10磅力，弹簧刚度为100磅力/英寸。一个重0.5磅力的子弹以60英尺/秒的速度射入木块，并嵌在里面。试确定因而发生的木块运动u (t )。 图P2.4 2.5 质量为1m 的块体1悬挂于刚度为k 的弹簧上，处于静力平衡。另一个质量为2m 的块体2从高度h 处落下粘在块体1上并无回弹(P2.5)。试确定从m 和k 的静平衡位置算起的后续运动u (t )。 图P2.5 2.6 一个仪器的包装可如图P2.6所示模拟。在图中，质量为m 由总刚度为k 的弹簧约束的仪器被置于一箱子内。m =10磅力/g ，k =50磅力/英寸。箱子意外地从离地3英尺的高处掉下。假定接触没有弹跳，试确定箱子内部包装的最大位移和仪器的最大加速度。 图P2.6 2.7 考虑一个重200磅力的跳水者站在悬出3英尺的跳板端部。跳水者以2赫兹的频率振荡，跳板的弯曲刚度EI 为多少？ 2.8 试证明：由初位移(0)u 和初速度(0)u 引起的临界阻尼体系的运动为 2.9 试证明：由初位移(0)u 和初速度(0)u 引起的过阻尼体系的运动为 式中，D ωω'= 2.10 试推导粘滞阻尼单自由度体系由初速度()0u 引起的，在如下三种情况下的位移反应方程：(a) 欠阻尼体系; (b) 临界阻尼体系; (c) 过阻尼体系。画出()()0n u t u ω÷随n t T 变化在0.1,1ζ=和2情况下的图形。 2.11 阻尼比为ζ的体系作自由振动，试确定初速度为零，位移幅值减少到初始幅值的10%时所需的周期数。 2.12 若粘滞阻尼比为(a)0.01ζ=，(b)0.05ζ=，(c)0.25ζ=时，相邻振幅的比值为多少？ 2.14 一个汽车的竖向悬挂体系被理想化为粘滞阻尼单自由度体系。在汽车为3000磅力的重量作用下，悬挂体系有2英寸的变形。悬挂体系被设计成为临界阻尼体系。 (a) 计算悬挂体系的阻尼系数和刚度系数。 结构动力学大作业（威尔逊- 法） 姓名： 学号： 班级： 专业： 威尔逊-θ法原理及应用 【摘要】在求解单自由度体系振动方程时我们用了常加速度法及线加速度法等数值分析方法。在多自由度体系中，也有类似求解方法，即中心差分法及威尔逊-θ法。实际上后两种方法也能求解单自由度体系振动方程。对于数值方法，有三个重要要求：收敛性、稳定性及精度。本文推导了威尔逊-θ法的公式，并利用MATLAB 编程来研究单自由度体系的动力特性。 【关键词】威尔逊-θ法 冲击荷载 阻尼比 【正文】威尔逊-θ法可以很方便的求解任意荷载作用下单自由度体系振动问题。实际上，当 1.37θ>时，威尔逊-θ法是无条件收敛的。 一、威尔逊-θ法的原理 威尔逊-θ法是线性加速度法的一种拓展（当1θ=时，两者相同），其基本思路和实现方法是求出在时间段[],t t t θ+?时刻的运动，其中1θ≥，然后通过内插得到 i t t +?时刻的运动（见图 1.1）。 图 1.1 1、公式推导 推导由t 时刻的状态求t t θ+?时刻的状态的递推公式： {}{}{}{})(t t t t t y y t y y -?+=?++θτθτ 对τ积分 {}{}{}{}{})(22 t t t t t t y y t y y y -?++=?++θτθττ {}{}{}{}{}{})(623 2 t t t t t t t y y t y y y y -?+++=?++θτ θτττ t ?=θτ {}{}{}{}{})(2 1 t t t t t t t y y t y t y y -?+?+=?+?+θθθθ {}{}{}{}{})2(6)(2 t t t t t t t y y t y t y y +?+?+=?+?+θθθθ {}{}{}{}{}t t t t t t t y y t y y t y 26 )()(62 -?--?=?+?+θθθθ {}{}{}{}{}t t t t t t t y t y y y t y 22)(3?---?=?+?+θθθθ []{}[]{}[]{}{}P y k y C y m =++ []{}[]{}[]{}{}t t t t t t t t P y k y C y m ?+?+?+?+=++θθθθ []{} {}t t t t R y k ?+?+=θθ [][][][] c t m t k k ?+?+=θθ3)(6 2 []{}{} {}[]{}{}{}[]{}{}{})223()26)(6( )(2t t t t t t t t t t y t y y t c y y t y t m P P P R ?++?++?+?+-+=?+θθθθθ 2、MA TLAB 源程序： clc;clear; K=input('请输入结构刚度k(N/m)'); M=input('请输入质量(kg)'); C=input('请输入阻尼(N*s/m)'); t=sym('t');%产生符号对象t Pt=input('请输入荷载); Tp=input('请输入荷载加载时长(s)'); Tu=input('请输入需要计算的时间长度(s) '); dt=input('请输入积分步长(s)'); Sita=input('请输入θ'); uds=0:dt:Tu;%确定各积分步时刻 第四章 力 法 一 判 断 题 1. 图示结构，据平衡条件求出B 点约束力，进而得图示弯矩图，即最后弯矩图。（ ） （X ） 题1图 题2图 2. 图示结构用力法求解时，可选切断杆件2，4后的体系作为基本结构。（ ）（X ） 3. 图a 结构，支座B 下沉a 。取图b 中力法基本结构，典型方程中1C a ?=-。（ ） （X ） 题3图 题4图 4. 图a 所示桁架结构可选用图b 所示的体系作为力法基本体系。（ ）（√） 5. 图a 结构，取图为力法基本结构，1C l θ?=。（ ） （X ） 题5图 题6图 6. 图a 结构的力法基本体系如图b ，主系数3311/(3)/()l EI l EA δ=+。（ ）（X ） 7. 图示结构用力法解时，可选切断1，2，3，4杆中任一杆件后的体系作为基本结构.（ ） （X ） 题7图 题9图 8. 图示结构受温度变化作用，已知α，h ，选解除支杆B 为力法基本体系(设B X 向上为正)，典型方程中自由项2121()/(4)t a t t l h ?=--。（ ）（X ） 9. 图a 结构，力法基本体系如图b ，自由项412/(8)P ql EI ?=-。（ ） （X ） 题10图 题11图 10.图示超静定梁在支座转动1A ?=时的杆端弯矩26.310AB M KN m =??， 22( 6.310)EI KN m =??。 （ ）（√） 11. 图a 结构，取图b 为力法基本结构，h 为截面高度，α为线胀系数，典型方程中 2121()/(2)t a t t l h ?=--。 （ ） （X ） 题12图 题13图 12. 图a 结构，取力法基本体系如图b 所示，则1/C l ?=?（ ）。 （X ） 13. 超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。（ ）（√） 14. 图示结构的超静定次数为4。（ ） （X ） 高等结构动力学实验报告 学院：航天学院 专业：固体力学 姓名：沈延臣 学号：12S118003 2012年11月11日 悬臂桁架结构模态分析实验报告 一、试验目的： 1、通过对较复杂的悬臂桁架结构的模态试验，掌握模态试验的方法； 2、了解模态试验的全过程及注意事项，初步熟悉模态参数识别的基本方法； 3、通过模态试验，获得悬臂桁架结构的模态频率； 4、初步了解传感器优化布置在结构动态测试中的重要性。 5、让同学们在实验室里所做的模型试验更接近于工程结构实测。 二、实验内容： 1、测试悬臂桁架结构的固有频率； 2、将实测固有频率和振型与计算固有频率进行比较，分析讨论二者之间的差别及原因。 三、模态识别方法——特征系统实现方法（ERA ）： 特征系统实现方法是一种在直接模型识别之后，根据多输入数据对系统极点、模态参欲因子和复模态振型进行整体估计的多自由度时域法。 对于状态—空间方程： {}{}{}{}{}{}()[]()[]()()[]()[]()x t A x t B u t y t C x t D u t ?=+??=+?? （1） 其中：x(t)状态向量；y(t) 输出向量；u(t) 输入向量；[A]状态转移矩阵；[B] 输入矩阵；[C]输出矩阵；[D]直接输入输出传输矩阵。对（1）用于时间间隔△t 恒定不变的离散信号，具有如下形式： （2） 假定系统的初始状态为零，并且每个输入点上零瞬时的输入都是脉冲，那么这些输入就构成一个单位矩阵：[u(0)]=[I]。于是在后继瞬时k 的那些输出便构成所谓Markov 参数矩阵： [][][][][][][][][][][]1 (t)(2t)(k t),k y C B y C A B y C A B -?=?=?= （3） 这些参数矩阵又可以集中起来构成一个广义Hankel 矩阵： [][][][][]1q-11111q-1p-1p-11p-1q-1(k t)(k+j )t (k+j )t (k+i )t (k+i +j )t (k+i +j )t (t),(k+i )t (k+i j )t (k+i j )t pq y y y y y y h k y y y ?? ??????? ? ???????????=?????? ???????+?+??????? ???? （4） 其中， 1p-11p-1 i ,i j , j 和为任意整数，根据Markov 参数的定义，可以把上式写成 {}[]{}[]{}{}[]{}x(k+1)t x(k t)u(k t), y(k t)x(k t).0,1,2 A B C k ?=?+??=? =其中 P2.3 解答 2.3 如图所示，刚性梁AB 受到弹簧BC 的激励。C 点的运动方程为z (t )。试用B 点的位移u 为变量来推导系统的运动方程。假设为小运动，采用牛顿定律来求解。 解： 1. 画自由体受力图 2. 列力矩平衡方程 ∑=0A M 根据受力分析，可知： 02 2211=+---L f L f L f M c I 3. 力与位移关系 弹簧力2/11u k f =； 阻尼力2/11u c f c &=； 弹簧力)(22u z k f -= 惯性力矩ML u dl L l M u l u L l dl L M l a dm M L L L I &&&&&&31 )()(02200 ==??=??=??? 4. 将力与位移关系代入到力矩平衡方程，并化简： z k u k k u c u M 2211)41 (4131=+++&&& P2.13 解答 2.13 一根均匀的杆的质量密度为ρ，其杆端有一集中质量M 。应用假定振型法 （ L x x /)(=ψ）推导如下系统的轴向自由振动的运动方程。 解： 1. 形函数及几何边界条件 0),0(=t U )()(),(t u x t x U ψ= 2. 建立虚功方程 0'=+-=inertia nc W V W W δδδδ 因为没有外力，所以0=nc W δ u L AEu dx L u L u AE Udx AEU V L L δδδδ===? ?0 )'( 对于惯性力而言，其虚功包括杆本身的虚功1inertia W δ和杆端集中质量的虚功2 inertia W δ。 u u AL dx x L u u A Udx U A W L L inertia δρδρδρδ&&&&&&3 )(0 22 1- =- =-=? ? u u M t L U t L U M W inertia δδδ&&&&-=-=),(),(2 3. 化简 0)3 (=??????++-u u L AE u M AL δρ&& 因为u δ为虚位移，即0≠u δ，所以运动方程为 0)3(=++u L AE u M AL &&ρ P3.7 解答 3.7 一台机器的质量为70kg ，安装在弹簧上，弹簧的总刚度为15kN/m ，总阻尼为1.2kN.s/m 。试求如下初始条件的运动u(t)。 解：哈工大结构动力学考试题
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哈工大高等结构动力学实验报告
结构动力学作业答案