湖南省衡阳市2019届高三第三次联考(三模)理科数学试题(Word版)

衡阳市 2019 届高中毕业班联考（三）

理科数学

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求.

1. 已知复数 z 满足12i z i ?=-，则 z 在复平面内所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

2. 若集合{

{

}()12

2log 0x x a x x ->=<，则实数 a 的值为

A ．

12

B ． 2

C ．

32

D ．1

3.若双曲线2

2

3x ty t -= 的焦距为 6 ，则该双曲线的离心率为

A ．

B ．

2

C ．

D ．

4. 已知某批电子产品的尺寸服从正态分布(1,4)N ，从中随机取一件，其尺寸落在区间

(3,5)的概率为

（附：若随机变量 X 服从正态分布2

(,)N μσ，则

()P X μσμσ-<<+= 0.6827, (22)P X μσμσ-<<+= 0.9545 ）

A ． 0.3174

B ． 0.2718

C ． 0.1359

D ． 0.0456

5. 若sin(75)3

α?

+=，则cos(302)α?

-= A.

49 B. 49- C. 59 D. 59- 6. 著名的“31n +猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会 变成 1. 右边的程序框图示意了31n +猜想，则输出的 n 为

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

7. 已知正项等比数列{}n a 满足12348,2a a a a -=-=，若123

1n a a a a =，则 n 为

A ． 5

B ． 6

C ． 9

D ．10

8.设两直线l 1: 220x y --= 与2:10l ax y ++=垂直，则41

(x a x

+的展开式中 x 2的系数为 A ．12

B ．3

C ．

52

D ．

72

9. 函数()()

a x f x x a R =+∈的图像不可能是

10.

， 则 a 的值为

A.

B.

C.

D.

11. 已知函数()(1)1(x

f x e a x =--- e 为自然对数的底数），若0(0,)x ?∈+∞，使得

00(lg )()f x f x >成立，则 a 的取值范围为

A ．

(1,2)

B ．(1,)

+∞C ．[1,)

+∞．(2,)

+∞

12. 已知点 R (1,2)，曲线 C : 4

2

()(0)y px p =>，直线0,2)m m >≠与曲线 C 交于

M , N 两点，若?RMN 周长的最小值为 2 ，则 p 的值为 A ．8 B ．6 C ．4 D ． 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

13. 已知向量(2,1),(,1)a b λ=-=，若a b a b +=

-，则_____λ=

.

14. 如图，茎叶图表示甲、乙两人在 5 次测验中的数学分数，其中有一个 被污损，若乙的中位数恰好等于甲的平均数，则 ? 的值为_______

15.若 x, y 满足约束条件1

4401

x y x

xy ?≤≤???≤≤?，则23z x y =+的最大值为________.

16.已知数列{}n a 满足对,m n N *

?∈，都有m n n m a a a ++=成立，72

a π=

，函数

2

()sin 24cos 2

x

f x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前 13 项和为_________。

.

三、解答题 :本大题共共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分 12 分）已知函数()2cos sin()3

f x x x t π

=-+ 的最大值为 1.

（1）求 t 的值；

（2）已知锐角?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a 、b 、 c ，若a =三角形?ABC

，且()2

f A =

，求 b + c 的值.

18. （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 M —ABCD 中， AB=2DC ，

90,CDA DAB MCD ?∠=∠=与?MAD 都是等边三角形，

且点 M 在底面ABCD 的投影为O . （1）证明： O 为 AC 的中点；

（2）求二面角D —MC —B 的余弦值.

19.（本小题满分 12 分）某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去 40 期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在 20 百斤以上，其中不足 40 百斤的有 8 期，不低于 40 百斤且不超过 60 百斤的有 20 期，超过 60 百斤的有 12 期.根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量 y （百 斤）与使用某种饵料的质量 x （百斤）之间的关系如图所示.

（1）根据数据可知 y 与 x 具有线性相关关系，请建立 y 关于 x 的 回归方程y b x a ∧

∧

∧

=+；如果此人设想使用某种饵料 10 百斤时，草 鱼重量的增加量须多于 5 百斤，请根据回归方程计算，确定此方案 是否可行？并说明理由. （2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求 较高，某商家为该养 殖户提供收费服务，即提供不超过 3 台增氧冲水 机，每期养殖使用 的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量 X 有如下关系：

若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利 5 千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损 2 千元.视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水 机？

附：对于一组数据1122(,),(,)(,)n n x y x y x y ，其回归程y b x a ∧∧∧

=+的斜率和截距的最小二

乘估计公式分别为

20.（本小题满分 12 分）已知以椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点，短轴的一个

端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形，且点(T -在椭圆上。 （1）求椭圆 C 的标准方程;

（2）过点 T 作圆2

2

2x y += 的切线,切点分别为 A 、B ，直线 AB 与 x 轴交于点 E ，过点 E 作直线l 交椭圆 C 于 M , N 两点，点 E 关于 y 轴的对称点为 Q ，求?QMN 面

积的最大值。

21（.本小题满分 12 分）已知函数2

2

()()x

f x e ax x a =++存在极大值与极小值，且在

1x =-处取得极小值.

（1）求实数 a 的值；

（2）若函数()()2g x f x x m =--有两个零点，求实数 m 的取值范围.（参考数据：

2.236e ≈≈）

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线l ：2(62x t

t y t

=+??

=-?为参数），在以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐

标系中，曲线 C 的极坐标方程为2

2

2

45cos 360ρρθ+-=. （1）求曲线 C 的参数方程和直线l 的普通方程；

（2）过曲线 C 上任意一点 M 作与l 夹角为60?

的直线，交 l 于点 N ，求MN 的最小值.

23.（本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知不等式2231x x -->的解集为 A .

（1）求 A ；

（2）若,m n A ∈ ，且 m +n = 4

.证明：

22

811

n m m n +≥--