偏微分方程习题及答案

【篇一：偏微分方程数值解法期末考试题答案】

题答案及评分标准

学年学期：专业：班级：课程：教学大纲：使用教材：教材作者：出版社：

数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治

清华大学出版社

一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）

4、（x）

5、（o）

6、（o）

7、（o）

8、（x）

9、（x） 10、（o）

二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（d） 12、（a） 13、（c） 14、（b）15、（c）

三、填空题（每小题2分，共20分）

?2?2

16、2?2?

?x1?x2?2

?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn

19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、

a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])

?(s)?1?(s)?c[?

?(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?2

v(?)ed? 25、

i?x

u(xj,tn?1)?u(xj,tn)

四、计算题：（每小题12分，共36分）

?u?u

?0（x?r,t?0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?a

?t?x

格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计

算的迭代格式???/h为网格比。

解：在点(xj,tn)处，差分方程为

?1un?unjj

unj?1?uj

?0（j?0,?1,?2,

，n?0,1,2,

）（8分）

便于计算的形式为

?1nnn

???/h （4分） un?u?a?(u?ujjj?1j)，

?u?2u

?a2的有限差分方程（中心差分格式，用第n层27、写出扩散方程?t?x

计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，???/h2为网格比。

解所给对流扩散方程的近似差分方程为

?1nnun?ununjjj?1?2uj?uj?1

?a?0（j?0,?1,?2,，n?0,1,2,）（8分） ?h2

便于迭代计算的格式为

?1nnnn2

，（4分） ???/hun?u?a?(u?2u?u)jjj?1jj?1

?1nn

28、计算差分格式un（其中???/h，a?0）的增

长?unjj?a?(uj?1?uj)，

因子，并根据von neumann条件给出差分格式稳定性条件。

nnijkhn?1nnn

解令uj?ve，代入uj?uj?a?(uj?1?uj)，得到

vn?1eijkh?vneijkh?a?vn(1?e?ikh)eijkh

消去公因子有

vn?1?[1?a?(1?e?ikh)]vn （6分）

增长因子为

g(?,k)?1?a?(1?e?ikh)?1?a?(1?coskh)?a?isinkh

所以有

kh 2

如果a??1，则有|g(?,k)|?1，根据von neumann条件，格式是稳

定的。（6分）

|g(?,k)|2?[1?a?(1?coskh)]2?[a?isinkh]2?1?4a?(1?a?)sin2

五、证明题（12分）

29、把下列richardson格式改写为与其等价的二层差分格式，利

用求增长矩阵的特征值的方法证明该格式破坏了von neumann条件，从而证明此格式不稳定。

2?1?1nn

un?un?2a?(unjjj?1?2uj?uj?1)，???/h 证明把已知的三层格式化

为二层差分方程组

n?1nnnn??uj?vj?2a?(uj?1?2uj?uj?1)

?n?1n

??vj?uj

nnt

令unj?[uj,vj]，则以上方程组可以改写为

n?1nnn

????????uuuu?2a?0?4a?02a?0??????jj?1jj?1n?1

uj??n?1?????n???10??n???00??n?（4分）00????????vj????vj?1????vj????vj?1??

或

?2a?0?n??4a?0?n?2a?0?n

u???uj?1??10?uj??00?uj?1 00??????

nikjh

令un，代入上式消去公因子eikjh，得到 j?vje

n?1

?2a?0?ni(j?1)kh??4a?0?nijkh?2a?0?ni(j?1)kh

ve?????vje?vje??00?vje0010??????

??2a?0?ikh??4a?0??2a?0??ikh?nijkh???e????e?vje（4

分） ???

?10??00???00??

化简系数矩阵得到

??2kh?8a?sin1?vn vn?1??2??

10??

其特征值为

kh?1,2??4a?sin22取正的为?1，则有

|?1|?1?4a?sin2

由此不满足von neumann条件，所有richardson格式是不稳定的。（4分）

n?1ijkh

六、编程题（12分）：

30、用matlab的m文件的形式（function函数）写出以下迭代格

式的计算程序。

?1nn

???/h un?unjj?a?(uj?1?uj)，初始条件为u(x,0)?sin?x,0?x?1，

u(0,t)?u(1,t)?0,t?0。

解设a为方程中的系数a，tao为时间步长?，h为空间步长，n，

m分别为时间和空间的最大计算步数。function函数如下 function [u]=jch(a,tao,h,n,m) %u=1; t=0.5; x=1;

lamda=tao/h;for j=1:n

x(j+1)=x(j)+tao; for n=1:m

t(n+1)=t(n)+h; if j==1

u(j,n)=sin(pi*x(j));else

if n==1

u(j,n)=0; else

u(j,n)=(1-a*lamda)*u(j,n-1)+a*lamda*u(j-1,n-1);%u(j,n)=0; end end endendend

【篇二：《常微分方程》答案习题5.2】

2—02 02412—03

?t2

1.试验证??t?=?

?2t

t?? 1?

1??x?2?x,x=?1?

?x2?t??

是方程组x

=??2

2??t

，在任何不包含原点的区间a?t?b上

的基解矩阵。

?t2?

?解：令??t?的第一列为?1(t)=??2t???

?2t?

,这时?(t)=??2??

?0=??2?2?t1?2??t?

?1(t)故

?1??0?

?1(t)是一个解。同样如果以?2(t)表示??t?第二列，我们

有?2(t)=????

?0?2??2?t

1?2??2?t?

(t)这样?2(t)也是一个解。因此??t?是解矩阵。又因为

det??t?=-t2故??t?是基解矩阵。

2.考虑方程组x=a(t)x (5.15)其中a(t)是区间a?t?b上的连续n?n 矩阵，它的元素为a(t),i ,j=1,2,…,n

a) 如果x1(t),x2(t),…,xn(t)是(5.15)的任意n个解，那么它们的伏朗斯基行列式w[x1(t),x2(t),…,xn(t)]?w(t)满足下面的一阶线性微分方程w=[a11(t)+a22(t)+…+ann(t)]w

b) 解上面的一阶线性微分方程，证明下面公式：w(t)=w(t0)e

x11

?t[a11(s)?a22(s)?...ann(s)]ds

t0,t?[a,b]

x12x22.xn2

..........

x1nx2n.xnn

x11

..........

x1nx2n.xnn

x11x12x22.?2xn

..........

x1nx2n.?xnn

解：w(t)=

x21.xn1

+…+

x21.?1xn

a11x11?a12x21?..a1nxn1

x21.xn1

x11

a11x12?a12x22?...?a1nxn2 x22.xn2

x12x22.

an1x21?..?annxn2

x11

x12x22.annxn2 .......... ....................

a11x1n?a12x2n?...?a1nxnn x2n.xnn

x1nx2n.

an1xnn?...?annxnnx1nx2n. +…+

x21.

an1x11?...?annxn1

a11x11x21.xn1

a11x12x22.xn2 ..........

a11x1nx2n.xnnx11

x12x22.xn2 ..........

+…+

x21.annxn1x1nx2n.xnn

整理后原式变为

annxnn

（a11+…+ann）

x21.xn1

=（a11+…+ann）w(t)

=（a11(t)+…+ann(t)）w(t)

b)由于w(t)=[ a11(t)+…+ann(t)] w(t),即两边从t0到t积分

lnw(t)=w(t0)e

?t0[a11(s)?...?ann(s)]ds

dw(t)w(t)

w(t0)

=[ a11(t)+…+ann(t)]dt =?t

w(t)

-ln

[a11(s)?...?ann(s)]ds

即

,t?[a,b]

3.设a(t)为区间a?t?b上的连续n?n实矩阵，??t?为方程x=a(t)x 的基解矩阵，而x=?(t)为其一解，试证：

a) 对于方程y=-at(t)y的任一解y=?(t)必有?t(t)

(t)=常数；

b)?(t)为方程y=-at(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵c，使?t(t) 解a)[

(t)=c.

(t)

(t)]=

(t)+

(t)=

(t)+

(t)a(t)?

又因为?=-at(t) [

(t)，所以?

=-?t(t) a(t)

(t)

(t)]=- (t)

(t)a(t)+ (t) a(t)

(t)=0,

所以对于方程y=-at(t)y的任一解y=?(t)必有?t(t) b) “?”假设为方程y=-at(t)y的基解矩阵，则 [

(t)=常数

(t)

(t)]= [?

(t)] ??t?+?

(t)

(t)=[- at(t)

(t)]??t?+

(t) at(t) )??t?+

(t)[ a(t)

(t)]=- (t) at(t) ??t?+?(t) at(t)

??t?=0,故?(t)

(t)=c

“?”若存在非奇异常数矩阵c，detc?0,使?t(t) 则[ ?

(t)=c，

(t)

(t)]=

(t)+

(t)=0，故?

(t)?(t)=-

(t)

(t)a(t)

(t)=-

(t) a(t) 所以?(t)=-

(t) a(t), (t)=-

(t) at(t)即?(t)为方程y=-at(t)y的基解矩阵

4.设??t?为方程x=ax（a为n?n常数矩阵）的标准基解矩阵（即?（0）=e），证明:

??t??

(t0)=?(t- t0)其中t0为某一值.

证明：（1）??t?,?(t- t0)是基解矩阵。

（2）由于??t?为方程x=ax的解矩阵，所以??t???1(t0)也是x=ax

的解矩阵，而当t= t0时，?(t0)??1(t0)=e,

(t- t0)=?（0）

=e. 故由解的存在唯一性定理，得??t???1(t0)=?(t- t0)

5.设a(t),f(t)分别为在区间a?t?b上连续的n?n矩阵和n维列向量，证明方程组x=a(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。证明：设x1,x2,…xn是x=a(t)x的n个线性无关解，

是

x=a(t)x+f(t)的一个解，则x1+x, x2+x,…, xn+x,x都是非齐线性方程的解，下面来证明它们线性无关，假设存在不全为零的常数

ci,(i=1,2,…,n)使得?ci(xi

i?1n

?x)

=0,从而x1+x, x2+x,…,

xn+x,x在a?t?b上线性相关，此与已知矛盾，因此x1+x, x2+x,…, xn+x,x线性无关，所以方程组x=a(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解。

6、试证非齐线性微分方程组的叠加原理：

x?a(t)x?f1(t)

x?a(t)x?f2(t)

的解，则x1(t)?x2(t)是方程组

x?a(t)x?f1(t)?f2(t)

的解。证明：x

?a(t)x?f1(t)

（1）

x?a(t)x?f2(t)

（2）

分别将x1(t),x2(t)代入（1）和（2）则x则x

?a(t)x1?f1(t)

x2?a(t)x?f2(t)

?x2?a(t)[x1(t)?x2(t)]?f1(t)?f2(t)

[x1(t)?x2(t)]?a(t)[x1(t)?x2(t)]?f1(t)?f2(t)

令x?

x1(t)?x2(t)

x?a(t)x?f1(t)?f2(t)

即证

7．考虑方程组x

?2a??

1?? 2?

?ax?f(t)，其中

?x1?

?x2?

2t2t

?sint?

f(t)???

?cost?

a)试验证

?e2t

?(t)??

tee

???

是x

?ax

的基解矩阵；

?1?

?的解?(t)。 ?1??

b)试求x?ax?f(t)的满足初始条件?(0)??证明：a)首先验证它是基解矩阵

以?1(t)表示?(t)的第一列

?2e2t

则?1(t)??

?0?

?e2t

?1(t)??

?0?

?? ??

??2?????0??

1??e2t???2???0

??2

?????0??1?

??1(t) 2??

故?1(t)是方程的解

如果以?2(t)表示?(t)的第二列

?e2t?2te2t

我们有?2(t)??2t?2e?

?te2t

?e2t?

??2?????0??

?? ??1?

??2(t) 2??

??2

?????0??

1??te2t

???2t2??e?

故?2(t)也是方程的解从而?(t)是方程的解矩阵又det?(t)?故?(t)是x e

tee

2t2t

?ax

的基解矩阵；

的解

?1?

b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件?(0)???

??1?

?(t)??(t)?

?1`

(0)???(t)??

f(s)ds

而?

(t)?

?e2t??0?

?tee

????

?t??2t

?e 1??

2t2t

?(1?t)e

??(t)??

??e2t?

??e?????0??

tee

?t?e????0?0??

?2s

?see

?2s

11?1?2t

(?15t?27)e?cost?sint????sins?252525????ds?? ??coss?3212t??????e?cost?sint??

555??

8、试求x

a??

?ax?f(t)，其中 1?? 2?

?x1?

x???

?x2?

?0?

f(t)??2t?

?e?

满足初始条件

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