高中数学不等式习题及详细答案
第三章 不等式
令狐采学
一、选择题
1．已知x≥2
5
，则f(x)＝4－25＋4－2x x x 有()．
A ．最大值45
B ．最小值4
5C ．最大值1D ．最小值1
2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221＋)(x
y 的最小值是()．
A ．3
B ．2
7C ．4D ．2
9
3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是()． A ．a ＋b ＋
ab
1≥22B ．(a ＋b)(
a 1＋b
1)≥4
C
22
≥a＋bD ．
b
a ab
+2≥ab 4．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式
x
x f x f )
()(－－＜0的解集为()．
A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2π时，函数
f(x)＝x
x
x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为()．
A ．2
B ．32
C ．4
D ．34
6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是()． A ．18
B ．6
C ．2
3
D ．2
4
3
7．若不等式组??
???4≤ 34 ≥
30 ≥
y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝kx
＋3
4分为面积相等的两部分，则k 的值是()．
A ．73
B ．37
C ．43
D ．
34
8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为3
5
，则点P 的坐标是()．
A ．(－5，1)
B ．(－1，5)
C ．(－7，2)
D ．(2，－7) 9．已知平面区域如图所示，z ＝mx ＋y(m ＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m 的值为()．
A ．－
207
B ．20
7 C ．2
1D ．不存在
10．当x ＞1时，不等式x ＋1
1
-x ≥a 恒成立，则实数a 的取
值范围是()．
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]
二、填空题
11．不等式组???所表示的平面区域的面积是．
12．设变量x ，y
满足约束条件???
??
若目标函数z ＝ax ＋y(a ＞0)
仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是．
13．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是． 14．设a ，b 均为正的常数且x ＞0，y ＞0，x
a ＋y
b ＝1，则x
＋y 的最小值为．
15．函数y ＝loga(x ＋3)－1(a ＞0，且a≠1)的图象恒过定点A ，
(x －y ＋5)(x ＋y )≥0
0≤x ≤
3 x ＋2y －3≤0 x ＋3y －3≥0， y －1≤0
(第9题)
若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则m
1＋n
2的最小
值为．
16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1，第三年比第二年增长的百分率为p2，若p1＋p2为定值，则年平均增长的百分率p 的最大值为．
三、解答题 17．求函数
y ＝1
＋10
＋7＋2x x x (x ＞－1)的最小值．
18．已知直线l 经过点P(3，2)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．
19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要
用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？
20．(1)已知x ＜4
5，求函数y ＝4x －1＋
5－41
x 的最大值； (2)已知x ，y∈R＊(正实数集)，且x
1＋
y
9
＝1，求x ＋y 的最小值；
(3)已知a ＞0，b ＞0，且
a2＋
2
2
b ＝1，求2
＋1b a
的最大值．
参考答案
1．D
(第18题)
解析：由已知f(x)＝4－25＋4－2x x x ＝)()(2－21＋2－2x x ＝2
1
??
????2－1＋2－x x )(， ∵x≥2
5，x －2＞0，
∴21
??
????2－1＋
2－x x )(≥21·2－12－2x x ?)(＝1，
当且仅当x －2＝
2
－1
x ，即x ＝3时取等号．
2．C
解析：221＋)(y
x ＋221＋)(x
y
＝x2＋
22241
＋＋＋41＋x
x y y y y x ＝??? ?
?22
41＋
x x ＋????
?
?2241＋y y ＋???? ??x y y x ＋． ∵x2＋2
41
x ≥2
2
241x x ?
＝1，当且仅当x2＝
2
41x ，x ＝
2
2时取
等号；
41＋
2
2y y ≥222
41y y ?＝1，当且仅当y2＝
2
41
y ，y ＝
2
2时取等号；
x
y
y x ＋≥2
x
y y x ?＝2(x ＞0，y ＞0)，当且仅当y
x ＝x
y ，y2＝x2时
取等号．
∴??? ?
?22
41＋
x x ＋?
??
? ??2241＋y y ＋????
??x y y x ＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x ＝y ＝2
2
时原
式取最小值4．
3．D 解析：
方法一：特值法，如取a ＝4，b ＝1，代入各选项中的不等
式，易判断只有b
a a
b +2≥
ab 不成立．
方法二：可逐项使用均值不等式判断 A ：a ＋b ＋ab
1≥2ab ＋
ab
1≥2ab
ab 12?＝2
2，不等式
成立．
B ：∵a＋b≥2
ab >0，
a
1
＋b 1≥2ab 1>0，相乘得(a ＋b)(a
1
＋
b
1)≥4成立．
C ：∵a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab≥(a＋b)2－22
2?
?
?
??+b a ＝22
2?
?
? ??+b a ，
又
ab ≤2b
a +?
ab
1≥b a +2
22≥a＋b 成立．
D ：∵a＋b≥2ab ?
b a +1
≤ab
21，∴b a ab
+2≤ab
ab 22＝ab ，
即
b
a ab
+2≥ab 不成立． 4．D
解析: 因为f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
x x f x f )
()(－－＜0x
x f )(2?＜0?xf(x)＜0，满足x
与f(x)异号的x 的集合为所求．
因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，画出f(x)在(0，＋∞)的简图如图，再根据f(x)是奇函数的性质得到f(x) 在(－∞，0)的图象．
由f(x)的图象可知，当且仅当x∈(－1，0)∪(0，1)时，x 与f(x)异号．
5．C
(第4题)
解析：由0＜x ＜2
π，有sinx ＞0，cosx ＞0．
f(x)＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12＝
x
x x
x cos sin 2sin 8＋cos 222＝x
x sin cos ＋x
x cos sin 4
≥2
x
x x x cos sin 4sin cos · ＝4，当且仅当x
x sin cos ＝x
x cos sin 4，即tan x ＝2
1时，
取“＝”．
∵0＜x ＜2
π，∴存在x 使tan x ＝2
1，这时f(x)min ＝4．
6．B
解析：∵a＋b ＝2，故3a ＋3b≥2b
a 33?＝2
b
a +3＝6，当且仅
当a ＝b ＝1时取等号． 故3a ＋3b 的最小值是6．
7．A
解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分 △ABC．
由???4
343＝＋＝＋y x y x 得A(1，1)，又B(0，4)，C(0，43
)．
由于直线y ＝kx ＋4
3
过点C(0，43
)，设它与直线 3x ＋y ＝4的交点为D ，
则由S△BCD＝2
1S△ABC，知D 为AB 的中点，即xD ＝2
1，
∴yD＝2
5，
∴25＝k×21＋34，k ＝3
7．
8．A
解析：设P 点的坐标为(x0，y0)，则??
???
?
?解得???. 1＝，
5＝－0
0y x
∴点P 坐标是(－5，1)． 9．B
解析：当直线mx ＋y ＝z 与直线AC 平行时，线段AC 上的每个点都是最优解．
∵kAC＝
1
－5522
－
3＝－207，
∴－m ＝－20
7
，即m ＝
20
7
． 10．D
解析：由x ＋
1－1
x ＝(x －1)＋1
－1x ＋1， ∵x＞1，∴x－1＞0，则有(x －1)＋1－1
x ＋1≥21
－11－x x )·(＋
1＝3，
则a≤3． 二、填空题 11．24．
解析：不等式(x －y ＋5)(x ＋y)≥0可转化为两个 二元一次不等式组．
???
??
????
或??
??? 这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不
(x －y ＋5)(x ＋y )≥0
0≤x ≤3
x －y ＋5≥0
x ＋y ≥0 0≤x ≤3 x －y ＋5≤0
x ＋ y ≤0 0≤x ≤3 . 53＝5
6＋2， 0＜1－－
， 0＝3＋2＋000000-y x y x y x (第11题)
等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．
图中A(3，8)，B(3，－3)，C(0，5)，阴影部分的面积为2
5＋113)
(?＝24．
12．?
???
??21 ＞a a ．
解析：若z ＝ax ＋y(a ＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的倾斜角一定小于直线x ＋2y －3＝0的倾斜角，直线z ＝ax ＋y 的斜率就一定小于直
线x ＋2y －3＝0的斜率，可得：－a ＜－2
1，即a ＞2
1．
13．ab≥9．
解析：由于a ，b 均为正数，等式中含有ab 和a ＋b 这个特征，可以设想使用2
＋b a ≥
ab 构造一个不等式．
∵ab＝a ＋b ＋3≥ab 2＋3，即ab≥ab 2＋3(当且仅当a ＝b
时等号成立)，
∴(ab )2－ab 2－3≥0，
∴(
ab
－3)(ab ＋1)≥0，∴ab ≥3，即ab≥9(当且仅当a ＝
b ＝3时等号成立)．
14．(
a ＋b
)2．
解析：由已知x
ay ，y
bx 均为正数，
∴x＋y ＝(x ＋y)(x
a ＋y
b )＝a ＋b ＋x ay ＋y
bx ≥a＋b ＋y
bx x ay ·2 ＝
a ＋
b ＋2ab ，
即x ＋y≥(a ＋
b )2，当且仅当 1＝＋ ＝y
b x a y bx x ay 即ab b y ab a x ＋＝＋＝时取等号． 15．8．
解析：因为y ＝logax 的图象恒过定点(1，0)，故函数y ＝loga(x ＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)，把点A 坐标代入直线方程得m(－2)＋n(－1)＋1＝0，即2m ＋n ＝1，而由mn ＞0知m
n ，
n
m
4均为正， ∴m
1＋n
2＝(2m ＋n)(m
1＋n
2)＝4＋m
n ＋n
m 4≥4＋n
m m n 42
?＝8，当
且仅当1＝＋24＝n m n m m n 即2
1
＝
41
＝
n m 时取等号． 16．2
21p p +．
解析：设该厂第一年的产值为a ，由题意，a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)，且1＋p1＞0， 1＋p2＞0，
所以a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)≤a 2
212＋1＋＋1?
?
? ??p p ＝a 2
212＋＋1?
?? ?
?p p ，
解得
p≤2
＋21p p ，当且仅当1＋p1＝1＋p2，即p1＝p2时取等号．所
以p 的最大值是2
＋21p p ．
三、解答题
17．解：令x ＋1＝t ＞0，则x ＝t －1，
y ＝
t
t t 10
＋1－7＋1－2)()(＝t t t 4＋5＋2＝t ＋t
4＋5≥t t 4
2?＋5＝9，
当且仅当t ＝t
4，即t ＝2，x ＝1时取等号，故x ＝1时，y
取最小值9．
18．解：因为直线l 经过点P(3，2)且与x 轴y 轴都相交， 故其斜率必存在且小于0．设直线l 的斜率为k ，
则l 的方程可写成y －2＝k(x －3)，其中k ＜0．
令x ＝0，则y ＝2－3k ；令y ＝0，则x ＝－k ＋3． S△AOB
＝
2
1
(2－3k)(－
k
2＋3)＝
2
1?????
?
)()(k k 4－＋9－＋12≥???????)()(k k 4－9－2＋1221＝12，当且仅当(－9k)＝(－k
4)，即k ＝－3
2时，S△AOB 有最小值12，所求直线方程为
y －2＝－3
2(x －3)，即2x ＋3y －12＝0．
19．解：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：
A 原料用量
B 原料用量
甲产品x 吨 3x 2x 乙产品y 吨
y
3y
则有??????
?++>> 18≤
3213≤
30
0y x y x y x ，目标函数z ＝5x ＋3y
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元. 20．解：(1)∵x＜4
5
，∴4x－5＜0，故5－4x ＞0． y ＝4x －1＋541x －＝－(5－4x ＋x
－451
)＋4．
∵5－4x ＋
x
－451≥x
－x －451
452)
(＝2，
∴y≤－2＋4＝2，
x
O
A
y
P (3,2)
B (
第18题) (第18题)
当且仅当5－4x ＝x
－451，即x ＝1或x ＝2
3(舍)时，等号成立，
故当x ＝1时，ymax ＝2． (2)∵x＞0，y ＞0，x
1＋y
9＝1，
∴x＋y ＝(x
1＋y
9)(x ＋y)＝x y ＋y
x 9＋10≥2y
x x y 9 · ＋10＝6＋
10＝16．
当且仅当x y ＝y x 9，且x 1＋y
9＝1，即??
?12
＝， 4＝y x 时等号成立， ∴当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y)min ＝16． (3)a
2
＋1b
＝a
????
??2＋2122b ＝2·a 2＋212b ≤
2
2
???
? ??2＋21＋22b a ＝423，
当且仅当a ＝2
＋212
b ，即a ＝
2
3
，b ＝
2
2时，a
2
＋1b 有最大
值4
23
．