立体几何的角度问题
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立体几何的角度问题
题型归类
1异面直线所成角[通过平移的方法,使得两条异面直线相交.通过三角形求夹角]
2直线与平面所成角[经过直线,找到一条与平面垂直的直线,通过构成的三角形求角]
3二面角与二面角的平面角问题[根据二面角的定义]
二、直线与平面所成夹角
2、如图。在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC。M、N分别是PC、PB的中点。求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。
三、二面角与二面角的平面角问题
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立体几何中的角度问题
立体几何题中的角度问题 一．异面直线所成的角 例1.（2011年宁波）正方体1111D C B A ABCD -中， （1）.求D A AC 1与所成角的大小. （2）.若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求11C A 与EF 所成角大小. 练习：1.A 是ΔBCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，AC ⊥BD.AC=BD.求EF 与BD 所成的角. 2.如图，在三棱锥S�ABC 中，，SA=AC=BC.求异 面直线SC 与AB 所成角的大小。 3.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2cm ，AD=1cm ，求异面直线A 1C 1与BD 1所成的角的余弦值。
二．直线与平面所成角 例 2.（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G 为线段PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ; (Ⅱ)若G 是PC 的中点,求DG 与APC 所成的角的正切值; (Ⅲ)若G 满足PC⊥面BGD,求 PG GC 的值. 练习：1（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱 长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点. (Ⅰ) 证明EF //平面A 1CD ; (Ⅱ) 证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1; (Ⅲ) 求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值. 错误！未指定书签。 2（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱柱 1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （ ） A ． 23 B ． 33 C ． 23 D ． 13
2018届高三理科数学答题模板 立体几何中角度问题
高考立体几何中角度问题 【直线与平面所成的角】 直线与平面所成的角的定义： ①直线和平面所成的角有三种：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b．垂线与平面所成的角：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角。c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为00. ②取值范围：00≤θ≤900． 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。 最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角（即线面角），是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的角。 【求直线与平面所成的角的方法】 (1)找角：求直线与平面所成角的一般过程：①通过射影转化法，作出直线与平面所成的角；②在三角形中求角的大小． (2)向量法：设PA是平面α的斜线，，向量n为平面α的法向量，设PA与平面α所成的角为θ，则 【异面直线所成的角】 异面直线所成角的定义：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，则把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。 两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。 【求异面直线所成角的步骤】 A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置
立体几何中用传统法求空间角
-立体几何中的传统法求空间角 知识点： 一．异面直线所成角：平移法 二．线面角 1.定义法：此法中最难的是找到平面的垂线.1.）求证面垂线，2）.图形中是否有 面面垂直的结构，找到交线，作交线的垂线即可。 2.用等体积法求出点到面的距离sinA=d/PA 三．求二面角的方法 1、直接用定义找，暂不做任何辅助线； 2、三垂线法找二面角的平面角. 例一：如图,在正方体错误！未找到引用源。中,错误！未找到 引用源。、错误！未找到引用源。分别是错误！未找到引用 源。、错误！未找到引用源。的中点,则异面直线错误！未 找到引用源。与错误！未找到引用源。所成的角的大小是 ______90______. 考向二线面角 例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩 形，AD⊥PD，BC=1， ，PD=CD=2. （I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD； （III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。 N A 1
练 习 ： 如图 ， 在 三棱锥 P ABC -中， PA ⊥底面 ,, 60,A B C P A A B A B C B C A ?? =∠=∠=， 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； （Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC . 又90BCA ? ∠=，∴AC ⊥BC . ∴BC ⊥平面PAC . （Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，
∴1 2 DE BC = ， 又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E . ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴ AD AB = ， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ? ∠=，∴1 2 BC AB = . ∴在Rt △ADE 中，sin 24 DE BC DAE AD AD ∠= ==， 考向三： 二面角问题 在图中做出下面例题中二面角 例三：.定义法（2011广东理18） 如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值． 法一：（1）证明：取AD 中点G ，连接PG ，BG ，BD 。 因PA=PD ，有PG AD ⊥，在ABD ?中，1,60AB AD DAB ==∠=?，有ABD ?为 等边三角形，因此,BG AD BG PG G ⊥?=，所以AD ⊥平面 PBG ,.AD PB AD GB ?⊥⊥ 又PB//EF ，得AD EF ⊥，而DE//GB 得AD ⊥DE ，又FE DE E ?=，所以AD ⊥ 平面DEF 。
立体几何(角度、距离、体积)
立体几何 一、角度问题。 1. 如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面, 2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】
2. 如图,圆锥顶点为p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底 面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°. (Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠. 【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=??设面面直线且面面 //AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? . 所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ)
r PO OPF F CD r =??=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ? -?=?∠==????=?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[2 1cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以. 3. 如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是 AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=. (1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大 小. 【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且 3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以 //PQ 面BDC ; 方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1// 2 PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以A B C D P Q M （第20题图）
空间向量与立体几何(角度问题)教学设计
空间向量与立体几何 (角度问题)教学设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
空间向量与立体几何（角度问题）教学设计 一、学习目标： 1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角； 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 3、探究题型，掌握解法。 二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型，掌握解法。 三、学情分析： 本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。 四、教学过程 本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法
教师总结规律两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小 θ＝． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角 的小大θ＝ ． 求空间角：设直线l1，l2的方向向量分别 为a，b，平面α、β的法向量分别为n，m. ①异面直线l1与l2所成的角为θ，则cosθ ＝ |a·b| |a||b|. ②直线l1与平面α所成的角为θ，则sinθ ＝ |a·n| |a||n|. ③平面α与平面β所成的二面角为θ，则 |cosθ|＝ |n·m| |n||m|.、 结合图像，让学生更 直观地了解到二面角与直 线方向向量同平面法向量 之间所成的角存在的区别 与联系，从而找到适当的 方法进行调整 通过之前的对比，分 析清楚空间角与向量角之 间存在的差异后，找寻适 当的方法去解决差异，从 而统一解题方法。
高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结
线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，
立体几何中角度与距离求法
立体几何中角度距离的求法 一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?______________ a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB → |＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则 称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是 ________________________. 推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB → ＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝______. (3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.
立体几何角度大小比较问题(浙江高考热点)
立体几何角度大小比较问题（浙江高考热点） 1.已知是正四面体（所有棱长都相等的四面体），是中点，是上靠近点的三等分点，设与、、所成角分别为、、，则（） A. B. C. D. 2.(2015·浙江,8)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD翻折成 △A′CD,所成二面角A′CDB的平面角为α,则() A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α 3．【2018年浙江卷】已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S?AB?C的平面角为θ3，则 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 4.【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】直线a与平面所成角的为30o，直线b在平面内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为，则( ) A. 0o<≤30o B. 0o<≤90o C. 30o≤≤90o D. 30o≤≤180o5．如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将△ABD翻折成△A′BD，异面直线CD 与A′B所成的角为α，则( ) A．α<∠A′CD B．α>∠A′CD C．α<∠A′CA D．α>∠A′CA
6. 已知得内角所对的边分别为，且，点在所在平面上的投影 恰好是的重心，设平面与底面所成的锐二面角分别为，则 A. B. C. D. 7. 已知三棱锥 S －ABC 的底面 ABC 为正三角形， SA ＜SB ＜SC ，平面 SBC ， SCA ， SAB 与平面 ABC 所成的锐二面角分别为 α1， α2， α3，则（ ） A. α1＜α2 B. α1＞α 2 C. α2＜α3 D. α2＞α3 8. 在三棱锥中， 平面 ，， 分别是 的中点， ， 且.设 与所成角为， 与平面 所成角为，二面角 为，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正四面体A BCD -， P 是棱CD 上的动点，设CP tCD =（()01t ∈，），分别记AP 与BC ， BD 所成角为α， β，则（ ） A. αβ≥ B. αβ≤ C. 当102t ??∈ ???，时， αβ≥ D. 当102t ?? ∈ ??? ，时， αβ≤ 10，已知两个平面βα,和三条直线b a m ,,，若m =βα ，α?a 且m a ⊥，β?b ，设α和 β所成的一个二面角的大小为1θ，直线a 和平面β所成的角的大小为2θ，直线b a ,所成的 角的大小为3θ，则 A ．321θθθ≥= B ．213θθθ=≥ C ．31θθ≥，32θθ≥ D ．21θθ≥，23θθ≥ 11.已知在矩形ABCD 中，AD = ，沿直线BD 将ABD ? 折成'A BD ?，使得点' A 在平面BCD 上的射影在BCD ?内（不含边界），设二面角'A BD C --的大小为θ，直线 ','A D A C 与平面BCD 所成的角分别为,αβ，则（ ）
立体几何中的常见模型化方法
立体几何中的常见模型化方法 建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景 例题一个多面体的三视图如图1 所示，则该多面体的体积是 A. 23/3 B. 47/6 C.6 D.7 分析该几何体的三视图为 3 个正方形，所以可建构正方体模型辅助解答. 解图 2 为一个棱长为2 的正方体. 由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2 X 1/3X 1/2X 1 X 1 X仁23/3选A. 解后反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便. 变式1已知正三棱锥P-A BC，点P, A , B , C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为_______ 分析由于在正三凌锥P-ABC 中，PA，PB，PC 两两互 相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型.
解构造如图 3 所示的正方体. 此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点0,且EP丄平面ABC , EP与平 面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3, 所以又0P为球的半径，所以0P=.故球心0到截面ABC的距离解后反思从正方体的8 个顶点之中选取不共面的点，可构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征. 变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A.3 n B.4 n C.3 n D.6 n 分析将一个正方体切掉四个大的“角” ，就可得到一个正四面体. 解如图4 所示，构造一个棱长为1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，连接AB1，AD1 ，AC，CD1，CB1， B1D1，?t 四面体B1-ACD1 为符合题意的四面体，它的外接球的直径 AC1=,所以此正方体外接球的表面积S=4 n R2=3 n .选A. 解后反思正四面体的体积也可通过这种切割的方法求 得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的｝.若正四面体的棱长为a,则其体积为 变式 3 四面体A-BCD 中，共顶点A 的三条棱两两互相垂直，且其长分别为1，2， 3.若四面体A-BCD 的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为_____________ .
直角坐标系解决立体几何问题
在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。 重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。 难点：建立恰当的空间直角坐标系 关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。 Ⅰ、空间直角坐标系的建立 空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。(用媒体分步显示下列内容) 1． 向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）: 若与的夹角为θ(0≤θ≤π),且={x 1,y 1,z 1},={x 2,y 2,z 2},则 ⑴ a ·b =|a ||b |cos θ 或 a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ⑵若a 与b 非零向量 cos θ = 22 22 22 21 21 21 212121x z z y y x x z y x z y ++?++++ 2． 向量的数量积的几何性质: ⑴两个非零向量与垂直的充要条件是·=0 ⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a ·b =±|a ||b | 利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤： （1）根据图形建立合理的空间直角坐标系； （2）确定关键点的坐标； （3）求空间向量的夹角； （4）得出异面直线的所成角。 D 1 x y o . M x y o . M 平面直角坐标系 空间直角坐标系 z
用向量解决角的问题 ①两条异面直线a 、b 间夹角 在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ， 则cos |cos ,|AB CD θ=<>u u u r u u u r =。 注意,由于两向量的夹角范围为[]??180,0,而异面直线所成角的范围为 ()?<
立体几何二面角5种常见解法
立体几何二面角大小的求法 二面角的类型和求法可用框图展现如下： 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 A P H
二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。 例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O
例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小 例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小. 图4 B1 A α β A1 B L E F
《立体几何中的角度与距离问题》
二年级下学期小学期末检测 数学试卷 （考试时间：60分钟，满分100分) 题号一二三四五六总分 得分 一、我会算。（12分） 35÷7＝900－700＝73－(13＋27)＝9×9÷9＝ 280＋300＝1000-600＝56－(90－60)= 37＋8÷8= 860－260= 60－27÷3= 4×(78－70)= (40－8)÷4= 二、我会填。（22分） 1、有一个四位数，最高位上是5，十位上是3，其余各位上是0，这个数是（），读作（）。 2、□÷7＝3……□，余数最大是（），当余数最大时，被除数是（）。 3、找规律填数。 537，437，（），237，（）；150，200，（），300，（）。 4、605是（）位数，最高位上的数字是（），这里的5表示（）个（）。 5、（）×7<50，括号里最大能填（）。 6、在（）里填上合适的单位名称： 教室的门高2（）；铅笔长14（）；数学书厚4（）；课桌高8（）。7、在○里填上“>”、“<”、“＝”。 5千米○5000米30mm○3dm纯角○锐角 8、最大的两位数是（），与它相邻的两个数分别是（）和（）。 三、我是小判官。（对的画“√”，错的画“×”）（12分） 1、50÷7＝6……8。…………………………………………………………………（） 2、“333”里的“3”表示的意思一样。…………………………………………（） 3、正方形和长方形都有4条边，4个直角。………………………………………（） 4、角的大小与边的长短有关系。…………………………………………………（） 5、2＋10÷2＝12÷2＝6。…………………………………………………………（） 6、左图中共有6个角。………………………………………………（） 四、我是计算能手。（14分） 1、用竖式计算并验算。（6分） 284＋357923－657
立体几何五 夹角的计算
空间向量在立体几何中的应用 一：两直线的夹角： 1.当两条直线1l 与2l 共面时，我们把两条直线交角中，范围在0,2π?? ???? 内的角叫 作两直线的夹角．当直线1l 与2l 是异面直线时，在直线1l 上任取一点A 作AB ∥2l ，我们把直线1l 和直线AB 的夹角叫作异面直线1l 与2l 的夹角． 异面直线的夹角的范围是0,2π?? ?? ? . 2. 直线夹角的向量计算方法： 已知空间两条直线a ，b ，且A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上 不同的两点，设直线a ，b 的夹角θ由向量AC BD ，确定，满足|| cos |||| AC BD AC BD θ?= ?. 要点诠释：空间两直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角. 例1. 如图所示，在四棱锥P ABCD －中，底面是矩形，⊥底面 . 是 的中点，已知， ， ，求异面直线与 所成的角的大小． 【变式2】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =2=，AC BC =，D 为1BB 的中点，若异面直线1AB 与CD 的夹角为 ，求AC 的长．
要点二：平面间的夹角 1. 平面间的夹角的定义：平面 1π与2π相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面1π上作直线1l ⊥ l ，在平面2π上作直线2l ⊥l ，则1 2l l =R 。我们把直线 1l 和2l 的夹角叫做平面1π与2π的夹角. 2. 平面间夹角的向量计算方法： 设平面1π与2π的法向量分别为1n 和2n ，平面1π与2π的夹角为θ，则 12 1212cos =cos = .θ?n n n n n n ， 两平面的夹角范围是02π?? ????，. 3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角--a αβ或--AB αβ. （2）区别：
立体几何专题复习空间角的求法(三)
立体几何专题复习-----空间角的求法（三） （一）异面直线所成的角： 定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点0作直线a //a,b //b， a ,b■所成的角的大小与点0的选择无关，把a,b?所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）?为了简便，点0通常取在异面直线的一条上? （1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。 （2）异面直线所成的角的范围：（0,—]. 2 （3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直?两条异面直线a,b垂直，记作a_b. （4）求异面直线所成的角的方法： 法1:通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； 法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求+ （二）直线和平面所成的角 1.线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 2.记作：二；3 、范围：0，】1; 当一条直线垂直于平面时，所成的角二 2 即直线与平面垂直； 2 当一条直线平行于平面或在平面内，所成角为二二0。 3.求线面角的一般步骤： （1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线 I 面角；（3）解直角三角形。cos^=L，sin日 l l （三）二面角 1.二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB，则AOB叫做二面角〉-丨- 一：的平面角. （2）一个平面垂直于二面角〉-丨- 1的棱丨，且与两半平面交线分别为0A,0B,0 为垂足，则.A0B也是〉-丨- 1的平面角* 说明：（1）二面角的平面角范围是[0：,180打； （2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平
向量法求空间角(高二数学,立体几何)
A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6． （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； （3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． B
3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点． = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; （1）求证:// （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.
H P G F E D C B 5．如图，在直三棱柱111AB C A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小. 6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点． （1）求证：FG 平面PED ； （2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.
立体几何距离的求法
五、距离的求法： （1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的 距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。 注意：求点到面的距离的方法： ①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式。 （2）线线距离： 关于异面直线的距离，常用方法有： ①定义法，关键是确定出b a ,的公垂线段； ②转化为线面距离，即转化为a 与过b 而平行于a 的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离； （3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化； 六、常用的结论： （1）若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l 与l ' 所成的角为1θ，l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是cos cos cos θθθ=； （2）如何确定点在平面的射影位置： ①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角 的平分线上； Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等， 那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上； Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点为 端点的线段的垂直平分线上。 ②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上 的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)； ③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面 的交线上(面面垂直的性质定理)； ④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。 （3）在四面体ABCD 中： ①若AD BC CD AB ⊥⊥,，则BD AC ⊥；且A 在平面BCD 上的射影是BCD ?的垂心。
立体几何中的角度与距离问题
立体几何中的角度与距离问题 【基础知识】 一．空间角度问题 （一）理解空间中各种角的定义及其取值范围 1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。 2．各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< θ ≤90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0°≤ θ ≤90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< θ ≤180° （二）空间中的角的计算 1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形） 2、异面直线所成的角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。 当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°. 3． 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。 4． 二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面 另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角 注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。 2.计算题必须有推理过程。 二．空间距离问题 1．立体几何中的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离 2．空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算 α β A O P A B O P α β (1) (2) (3)
高中立体几何中二面角经典求法
高中立体几何中二面角求法 摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。 （一）、二面角定义的回顾： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 α β (二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角； * 2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； 3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长（展）线（面）法 6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ 7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。 例1、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。 ∵PA ⊥α, аα ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB 又∵OA 平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB. ∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. O A B ) A B l P . B A
∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60° 2、 （ 3、 三垂线定理（逆定理）法 由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。 例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中 由三垂线定理可得： CD CE=1, DE= 5 3、找（作）公垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。 例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。 \ 解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P 又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． A D 而CD 平面PCD ， B C 所以 平面PCD ⊥平面PAD ． A B C D A 1 B 1 C 1 （ E O CO DE O C C ，连结，作过点⊥11DE CO ⊥的平面角 为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形 是边长为又2ABCD CO DE CE CD S CDE Rt CDE ?=?=??2 1 21中，在1 1=CC 又5 52tan 1= ∠∴OC C 5 52tan arg 1=∠∴OC C 5 5 2= ∴CO
立体几何第三课用传统方法求距离和角度
D B A C α 立体几何第三课 §用传统方法求距离和角度 一、知识点 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是] 2 ,0( π 。 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①作平行四边形对边； ②作三角形中位线； （2）直线与平面所成的角的范围是] 2 ,0[ π 。 求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有α θ≤； （3）二面角的范围是] ,0(π， 作二面角的平面角常有三种方法 ①定义法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； ②三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面 上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； ③射影面积法：θ cos ? = 'S S(S为原斜面面积,S'为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角) 2．空间的距离 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长． 常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长，“一找二证三求”； ②等体积法锥体体积：Sh V 3 1 =（S为底面积，h为高）