高中物理中动态平衡问题

第一部分动态平衡分析

动态平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，故这是力平衡问题中的一类难题。

根据现行高考要求，物体受到往往是三个共点力问题，利用三力平衡特点讨论动态平衡问题是力学中一个重点和难点。

方法一：三角形图解法

特点：三角形图象法则适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。

方法：先正确分析物体所受的三个力，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形。然后将方向不变的力的矢量延长，根据物体所受三个力中二个力变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

1 质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大

小，在O点向左移动的过程中（）

A．F逐渐变大，T逐渐变大B．F逐渐变大，T逐渐变小C．F逐渐变小，T逐渐变大D．F逐渐变小，T逐渐变小

【答案】A

【解析】动态平衡问题，F与T的变化情况如图：

可得：'''

F F F

→→↑

'''

T T T

→→↑

2 如图所示，一个重力G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态。今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，挡板和斜面对球的压力大小如何变化？

1

2

【解析】取球为研究对象，如图所示，球受重力G 、斜面支持力F 1、挡板支持力F 2。因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，将三个力矢量构成封闭的三角形。F 1的方向不变，但方向不变，始终与斜面垂直。F 2的大小、方向均改变，随着挡板逆时针转动时，F 2的方向也逆时针转动，动态矢量三角形图中一画出的一系列虚线表示变化的F 2。由此可知，F 2先减小后增大，F 1随 增大而始终减小。

3 如图所示，小球被轻质细绳系着，斜吊着放在光滑斜面上，小球质量为m ，斜面倾角为θ，向右缓慢推动斜面，直到细线与斜面平行，在这个过程中，绳上张力、斜面对小球的支持力的变化情况？

【解析】绳上张力减小，斜面对小球的支持力增大

【同类题】如图所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量为m ，斜面倾角α=30°

，细绳与竖直方向夹角θ=30°，斜面体的质量M =3m ，置于粗糙水平面上．求： （1）当斜面体静止时，细绳对小球拉力的大小？ （

2）地面对斜面体的摩擦力的大小和方向？

（3）若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k 倍，为了使整个系统始终处于静止状态，k 值必须满足什么条件？

图1-1

图1-2

方法二：相似三角形法

特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形的问题

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几

何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小

3

变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

4 一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆A O间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N的大小变化情况是( )

A．F N先减小，后增大B. F N始终不变

C．F先减小，后增大 D. F始终不变

【答案】B

【解析】取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力F N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G )的作用，将F N与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对应边成比例可得：(如图所示，

设AO高为H，BO长为L，绳长l,)

l

F

L

F

H

G

N=

=，式中G、H、

L均不变，l逐渐变小，所以可知F N不变，F逐渐变小。正确答案为选项B

5 如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化情况是( )。

(A)N变大，T变小，(B) N变小，T变大

(B)N变小，T先变小后变大(D) N不变，T变小

4

5

【答案】D

【解析】如图所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力mg 不变，支持力

N ，绳子的拉力T 一直在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图

1-2中小阴影三角形）。由于在这个三角形中有四个变量：支持力

N 的大小和方向、绳子的拉力T 的大小和方向，所以还要利用其

它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的三角形也是一个动态的封闭三角形（图中大阴影三角形），并且始终与三力形成的封闭三角形相似，则有如下比例式：

R N

R h mg L T =+=

可得：mg R

h L

T +=

运动过程中L 变小，T 变小。 mg R

h R

N +=

运动中各量均为定值，支持力N 不变。 正确答案D 。

方法三：作辅助圆法

特点：作辅助圆法适用的问题类型可分为两种情况：① 物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。② 物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变，动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形，第一种情况以不变的力为弦作个圆，在辅助的圆中可容易画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。第二种情况以大小不变，方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助的圆中可容易画出一个力大小不变、方向改变的的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。

6 如图所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针转过90°，且保持两绳之间的夹角α不变)

90

(0

>

α，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则（）。

(A)F1先减小后增大(B)F1先增大后减小

(C)F2逐渐减小(D)F2最终变为零

【答案】B、C、D

【解析】取绳子结点O为研究对角，受到三根绳的拉力，如图2所示分别为F1、F2、F3

，将三力构成矢量三角形(如图3所示的实线三角形CDE)，需满足力F3大小、方向不变，角∠CDE不变(因为角α不变)，由于角∠DCE为直角，则三力的几何关系可以从以DE边为直径的圆中找，则动态矢量三角形如图3中一画出的一系列虚线表示的三角形。由此可知，F1先增大后减小，F2随始终减小，且转过90°时，当好为零。

正确答案选项为B、C、D

6 如图所示，在做“验证力的平行四边形定则”的实验时，用M、N

两个测力计通过细线拉橡皮条的结点，使其到达O点，此时α+β= 90°．然后保持M的读数不变，而使α角减小，为保持结点位置不变，可采用的办法是（）。

(A) 减小N的读数同时减小β角(B)减小N的读数同时增大β

角

(C)增大N的读数同时增大β角(D)增大N的读数同时减小β

角

6

【答案】A

【解析】要保证结点不动，应保证合力不变，则由平行四边形定则可知，合力不变，M方向向合力方向靠拢，则N的拉力应减小，同时应减小β角；

故选A

方法四：解析法

特点：解析法适用的类型为一根绳挂着光滑滑轮，三个力中其中两个力是绳的拉力，由于是同一根绳的拉力，两个拉力相等，另一个力大小、方向不变的问题。

原理：先正确分析物体的受力，画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析方程式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系。当受力动态变化是，抓住绳长不变，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系。

7 如图所示，在水平天花板与竖直墙壁间，通过不计质量的柔软绳子和光滑的轻小滑轮悬挂重物G=40N，绳长L=2.5m，OA=1.5m，求绳中张力的大小，并讨论：

（1）当B点位置固定，A端缓慢左移时，绳中张力如何变化？（2）当A点位置固定，B端缓慢下移时，绳中张力又如何变化？

图2

′

图3

′

图4

7

8

【解析】取绳子C 点为研究对角，受到三根绳的拉力，如图2所示分别为F 1、F 2、F 3，延长绳AO 交竖直墙于D 点，由于是同一根轻绳，可得：21F F =，BC 长度等于CD ，AD 长度等于绳长。

设角∠OAD 为θ；根据三个力平衡可得：θ

sin 21G

F = ；在三角

形AOD 中可知，AD

OD

=θsin 。如果A 端左移，AD 变为如图3中

虚线A ′D ′所示，可知A ′D ′不变，OD ′减小，θsin 减小，F 1变大。如果B 端下移，BC 变为如图4虚线B ′C ′所示，可知AD 、OD 不变，θsin 不变，F 1不变。

8 如图所示，长度为5cm 的细绳的两端分别系于竖立地面上相距为4m 的两杆的顶端A 、B ，绳子上挂有一个光滑的轻质钩，其下端连着一个重12N 的物体，平衡时绳中的张力多大？

【解析】由于绳上挂的一个光滑的轻质挂钩不是结点，即左右两部分绳子其实是一根绳子，同一根绳子上的力必然是相等的，设绳与水平方向夹角为α、β，

则水平方向：T cosα=T cosβ，得：α = β

设两杆间的距离为S ，细绳的总长度为L ，挂钩右侧长度为L 1，左侧长度为L 2，由题有S =4m ，L =5m ． 由几何知识：得 S =L 1cosα+L 2cosα=L cosα 得 cos α =

5

4=L S 分析挂钩受力情况，根据平衡条件2T cos[2

1

(π-2α)]=G

解得，T =α

sin 2G

=10 N

方法五：极限分析法

特点：运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去思考解决实际问题的方法。具有好懂、易学、省时、准确的特点。

原理：三角形中一条边a 的大小和方向都确定，另一条边b 只能

确定其方向（即a 、b 间的夹角θ 确定），欲求第三边c 的最小值，

则必有c垂直于b，且c=b tanθ，如图所示。

9 如图所示，用等长细绳OA和OB悬挂着一个重物，保持重物的位置不变。现使OB端沿半径等于绳长的圆周轨迹向C移动，在这过程中，OB绳中的张力T B的最小值是多少？

【解析】O点在重力G、OA和OB绳的张力T A和T B的三个力作用下处于平衡状态，G、T A、T B组成闭合三角形。G的大小、方向已知，T A方向与G的夹角为θ，欲求T B最小值，则必需T B垂直于T A，且T B=T A tanθ =G sinθ。

10 如图所示，两个质量都是m的小球A、B用轻杆连接后斜放在墙上处于平衡状态．已知墙面光滑，水平地面粗糙．现将A球向

上移动一小段距离．两球再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，地面对B球的支持力N和轻杆上的压力F的变化情况是()

. A. N不变，F变大 B. N不变，F变小

. C. N变大，F变大 D. N变大，F变小

.

【答案】B

【解析】：对整体进行受力分析，知F1=2mg，移动两球后，仍然平衡，则F1仍然等于2mg，所以N不变．

再隔离对A进行受力分析，轻杆对A的作用力等于轻杆上受到的

压力，轻杆对A球的作用力F =

cos

mg

，当A球向上移动一小段距离，夹角θ减小，cosθ变大，所以F减小．故B正确，A、C、D 错误．

9

故选B．

第二部分平衡中的死结与活结和动杆和定杆

一、“活结”与“死结”

绳是物体间连接的一种方式，当多个物体用绳连接的时候，其间必然有“结”的出现，根据“结”的形式不同，可以分为“活结”和“死结”两种。“活结”是绳子间的一种光滑连接，其特点是结的两端同一绳上的张力相等；而“死结”是绳子间的一种固定连接，结的两端绳子上的张力不一定相等。

1 建筑工人要将建筑材料运送到高处，常在楼顶装置一个定滑轮（图-1中未画出），用绳AB通过滑轮将建筑材料提到某一高处，为了防止材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还另外用绳CD拉住材料，使它与竖直墙面保持一定的距离L不变。若不计两根绳的重力，在提起材料的过程中，绳AC和CD的拉力T1和T2的大小变化情况是（）

A．T1增大、T2增大B．T1增大、T2不变

C．T1增大、T2减小D．T1减小、T2减小

【答案】A

【解析】：三根绳子连接于C点不动，所以属于“死结”的问题，三根绳上的张力不相等，画出C点的受力如图-2所示，因材料在上升过程中与墙保持L的距离不变，所以上升过程中α和β均增大，由力的平行四边形定则可知，T1、T2均增大，所以正确答案为A。

2 如图所示，一轻绳的两端分别固定在不等高的A、B两点，现

用另一轻绳将一物体系于O点，设轻绳AO、BO相互垂直，α>β，且两绳中的拉力分别为F A、F B，物体受到的重力为G，下列表述正确的是()

A．F A一定大于G B．F A一定大于F B

C．F A一定小于F B D．F A与F B大小之和一定等于G

10

11

【答案】B

【解析】A 、B 、C 以结点O 为研究对象，分析受力，作出力图如图，根据平衡条件得知；拉力F A 和F B 的合力与重力G 大小相等、方向相反．由题，α＞β，根据几何知识得到：F A ＞F B ． D 、由上可知，F A 大于F B ，但F A 与F B 之和不一定等于G ．故D 错误． 故选B

3 如图所示，在水平天花板的A 点处固定一根轻杆a ，杆与天花板保持垂直．杆的下端有一个轻滑轮O.另一根细线上端固定在该天花板的B 点处，细线跨过滑轮O ，下端系一个重为G 的物体，BO 段细线与天花板的夹角为θ＝30°.系统保持静止，不计一切摩擦．下列说法中正确的是( )

A ．细线BO 对天花板的拉力大小是2

G B ．a 杆对滑轮的作用力大小是

2

G C ．a 杆和细线对滑轮的合力大小是G D ．a 杆对滑轮的作用力大小是G 【答案】D

【解析】A 、对重物受力分析，受到重力和拉力T ，根据平衡条件，有T =mg ，同一根绳子拉力处处相等，故绳子对天花板的拉力也等于mg ，故A 错误；

B 、D 、对滑轮受力分析，受到绳子的压力（等于两边绳子拉力的合力），以及杆的弹力（向右上方的支持力），如图 根据平衡条件，结合几何关系，有 F =T =mg

故B错误，D正确；

C、由于滑轮处于平衡状态，故a杆和细线对滑轮的合力大小是零，故C错误；

故选D．

二、“活杆”与“死杆”

轻杆是物体间连接的另一种方式，根据轻杆与墙壁连接方式的不同，可以分为“活杆”与“死杆”。所谓“活杆”，就是用铰链将轻杆与墙壁连接，其特点是杆上的弹力方向一定沿着杆的方向；而“死杆”就是将轻杆固定在墙壁上（不能转动），此时轻杆上的弹力方向不一定沿着杆的方向。

4 如图-5所示，绳与杆均轻质，承受弹力的最大值一定，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可不计），B 端吊一重物。现施拉力F将B缓慢上拉（均未断），在AB杆达

到竖直前（）

A．绳子越来越容易断B．绳子越来越不容易断

C．AB杆越来越容易断D．AB杆越来越不容易断

【答案】B

【解析】因为轻杆AB是用铰链固定在墙壁上，所以AB是一根“活杆”，可知杆中的弹力方向一定沿着AB方向，而B点是一个“死结”，所以两根绳中的弹力不相等。画出B点的受力如图-6所示，由于力的矢量三角形与几何三角形ABC相似，所以有：

AC

G

BC

F

AB

F

A=

=，而在动态变化过程中，AB、AC、G不变，BC 逐渐减小，所以得到F A不变，F逐渐减小。正确选项为B。

5如图所示，硬杆BC的一端固定在墙上的B点，另一端装有滑轮

12

C，重物D用绳拴住通过定滑轮固定于墙上的A点，若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端从A点稍向下移，则在移动过程中（）

A．绳的拉力、滑轮对绳的作用力增大

B．绳的拉力减小，滑轮对绳的作用力增大

C．绳的拉力不变，滑轮对绳的作用力增大

D．绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变

解析：因为轻杆BC固定在墙壁上，所以BC为“死杆”，而C端装有滑轮，所以C端相当于一个“活结”，滑轮两边绳上的弹力相等，均为F=G，画出C点的受力如图-8所示。当A点向下移动时，夹角α逐渐减小，而绳上的张力F不变，故F N增大，而F N的方向也发生变化，不沿杆的方向。正确选项为C。

物体的平衡问题中，常常遇到“动杆和定杆活结与死结”的问题，我们要明确几个问题：

①动杆上的弹力必须沿着杆子的方向，定杆上的弹力可以按

需供给；

②活结两边的绳子上的张力一定相同，死结两边的绳子上的

张力可以不同；

③动杆配死结，定杆配活结。

【同步练习】

1.半圆形支架BCD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬

重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，如图所示，分析OA 绳和OB绳所受力的大小如何变化？

13

【解析】：对结点O受力分析如图：

结点O始终处于平衡状态，所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的．故答案为：OA绳受力大小变化情况：变小；OB绳受力大小变化情况是：先变小后变大2.如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为F N

１

，球对板的压力为F N2．在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是（）

A．F N１和F N2

都增大B．F N

１

和F N2都减小

C．F N１增大，F N2减小D．F N１减小，F N2增大

【答案】B

3.如图所示，电灯悬挂于两壁之间，更换水平绳OA使连结点A 向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时（）

A．绳OA的拉力逐渐增大；B．绳OA的拉力逐渐减小；

C．绳OA的拉力先增大后减小；D．绳OA的拉力先减小后增大。

【答案】D

4：如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN上。现用水平力F拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动。在这一过程中，水平拉力F、环与杆的摩擦力F

摩

和环对杆的压力F N的变化情况是（）

A. F逐渐增大，F摩保持不变，F N逐渐增大

B. F逐渐增大，F摩逐渐增大，F N保持不变

C. F逐渐减小，F摩逐渐增大，F N逐渐减小

14

D. F逐渐减小，F摩逐渐减小，F N保持不变

【答案】D

【解析】：物体在3个力的作用下处于平衡状态，根据矢量三角形法，画出力的矢量三角形，如图所示。其中，重力的大小和方向不变，力F的方向不变，绳子的拉力FT与竖直方向的夹角θ减小，由图可以看出，F随之减小，F摩也随之减小，故选项D 正确。

5.如图所示，细绳一端与光滑小球连接，另一端系在竖直墙壁上的A点，当缩短细绳小球缓慢上移的过程中，细绳对小球的拉力

F、墙壁对小球的弹力N的变化（）

A．F、N都不变B．F变大、N变小

C．F、N都变大D．F变小、N变大

【答案】C

【解析】：以小球为研究对象，受力分析如图，设绳子与墙的夹角为θ，由平衡条件得：F＝

cos

mg

，N＝mg tanθ，把绳的长度减小，θ增加，cosθ减小，tanθ增大，则得到F和N都增大，故选项C正确．答案：C

6.重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时

针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？

A F1逐渐变小

B F1先变小后变大

15

C F2逐渐变小

D F2先变小后变大

【答案】A,D

7：如图所示，在半径为R的光滑半球面上高为h处悬挂一定滑

轮，重力为G的小球被站在地面上的人用绕过定滑轮的绳子拉住，

人拉动绳子，在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，

求小球对半球的压力N和绳子的拉力大小F将如何变化

？

【解析】力的G

AF

N

?∽几何OAB

?，因此有

OB

G

OA

F

N=

得OA

OB

G

F

N

=，

N

F不变；由

OB

G

AB

F

=，AB

OB

G

F=，F与AB成

正比，上移过程中AB减小，F减小。

8.一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂

一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F

拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆A O间的夹

角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N的大

小变化情况是( )

A．F N先减小，后增大B.F N始终不变

C．F先减小，后增大 D.F始终不变

【答案】B

【解析】设物体的重力为G．以B点为研究对象，分析受力情况，

作出力图，如图．作出力F N与F的合力F2，

根据平衡条件得知，F2=F1=G．

F

16

17

【同类题】一长为L 1的轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一质量为m 的重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住静止不动，如图所示．设AO 和AB 的长度分别为h 和L 2，试求细绳拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小．（重力加速度大小为g ，要求保留作图痕迹）

【解析】以B 点为研究对象进行受力分析如图所示： 由图可知，△AOB 相似于△T ’BFOB 由相似比可得：

得：

；

答：细绳的拉力F 为

，BO 所受压力F N 的大小为

．

9 .如图所示，当人向左跨了一步后人与物体保持静止，跨后与垮前相比较，下列说法正确的是:（ ）

A ．地面对人的摩擦力减小

B ．地面对人的摩擦力增加

C ．人对地面压力增大

D ．绳对人的拉力变小

18

【答案】A

【解析】对人受力分析，重力G 、绳子的拉力T 、支持力F 与地面给的静摩擦力f ，四力处于平衡状态．人向左跨了一步后绳子与竖直方向夹角θ 变小时，则对绳子的拉力T 进行力的分解得： T sin θ = f T cos θ+F =G

由题意可知，绳子的拉力大小T 等于物体的重力不变，所以随着夹角θ 变小，得静摩擦力减小，支持力减小，人对地面压力减小； 故选：A ．

10：人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，若水的阻力不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是（ ） （A ）绳的拉力保持不变 （B ）绳的拉力不断增大 （C ）船受到的浮力保持不变 （D ）船受到的浮力不断减小

【答案】BD

【解析】船受重力、浮力、拉力和阻力做匀速运动，设绳子与水平方向的夹角为α．

则F cos α=f F sin α+F 浮=mg ．

因为船在匀速靠岸的过程中，α 增大，阻力不变，则拉力增大，船的浮力减小．故B 、D 正确，A 、C 错误． 故选：BD ．

11．如图所示，两个质量分别为m 和4m 的质点A 、B 之间用一轻杆固定，并用长为L 的细绳挂在光滑的定滑轮上，求系统平衡时，OA 、OB 段绳各为多长？

19

【解析】先对A 、B 整体分析，受重力和两个拉力，根据平衡条件，两个拉力的合力竖直向上，如图所示：

绳子的两个拉力大小相等、合力竖直向上，故两侧绳子与竖直方向的夹角相等；

对整体，以O 为支点，根据力矩平衡条件，有： mgl 1sinα=4mgl 2sinα 故l 1=0.8L l 2=0.2L

答：系统平衡时OA 、OB 段绳长分别为0.8L 与0.2L ．

12．如图所示，一个重为G 的小环套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆环上，一个劲度系数为k ，原长为L (L <2R )的轻弹簧，一端固定在大圆环顶点A ，另一端与小环相连，小环在大圆环上可无摩擦滑动，环静止于B 点时，则弹簧与竖直方向的夹角θ为多少？

【解析】选小环为研究对象，其受力情况如图所示：重力G

，竖直向下；弹簧对小环的拉力F ，沿弹簧向上；大环对小环的弹力N ，其作用线过圆心O 。由于小环处于平衡状态；G ，N ，

F 三个力合力为零，如图，设弹簧与竖直方向夹角为θ。由几何关系可以看出

G 与N 夹角为2θ，F 与N 夹角为180o – θ 。

根据正弦定理，有 s i n 2s i n (180)F

G

θθ=?- （1）

由胡克定律，有 (2c o s )F k R L θ=- （2）

由（1）（2）解得

a r c c o s

2()kL kR G θ=-

13 体育器材室里，篮球摆放在如图所示的球架上．已知球架的宽度为d ，每个篮球的质量为m 、直径为D ，不计球与球架之间的

N

G

20

摩擦，则每个篮球对一侧球架的压力大小为 (

)

A .12mg B. mgD d C. mgD

2D 2－d 2 D .2mg D 2－d 2D

【答案】 C

【解析】 篮球受力平衡，设一侧球架的弹力与竖直方向的夹角为θ，如图，由平衡条件，F 1＝F 2＝mg

2cos θ，

而cos θ＝(D 2)2－(d 2)2

D 2＝

D 2－d

2

D

， 则F 1＝F 2＝

mgD 2

D 2

－d

2

，选项C 正确．

14 如图所示，三根细线共系于O 点，其中OA 在竖直方向上，OB 水平并跨过定滑轮悬挂一个重物，OC 的C 点固定在地面上，

整个装置处于静止状态．若OC 加长并使C 点左移，同时保持O 点位置不变，装置仍然处于静止状态，则细线OA 上拉力F A 和OC 上的拉力F C 与原先相比是( )

A ．F A 、F C 都减小

B ．F A 、F

C 都增大

C ．F A 增大，F C 减小

D ．F A 减小，F C 增大

【答案】A

【解析】 O 点受F A 、F B 、F C 三个力平衡，如图．当按题示情况变化时，OB 绳的拉力F B 不变，OA 绳拉力F A 的方向不变，OC 绳拉力F C 的方向与拉力F B 方向的夹角减小，保持平衡时F A 、F C 的变化如虚线所示，显然都是减小了．

15 如图将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线相连悬挂于O 点，用力F 拉小球a ，使整个装置处于静止状态，且悬线Oa 与竖直方向的夹角为θ＝30°，则F 的最小值为( )