高中数学常见题型解法归纳 分段函数常见题型解法
高中数学常见题型解法归纳 分段函数常见题型解法
【知识要点】
分段函数问题是高中数学中常见的题型之一,也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域(最值)、单调性和零点等问题.
1、 求分段函数的解析式,一般一段一段地求,最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为:
1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈??∈?=?∈??∈? ,不要写成11
22
()()()()n n n
y f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈??=∈?=?∈??=∈? .注意分段函数的每一段的自变量的取值范
围的交集为空集,并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.
2、分段函数求值,先要看自变量在哪一段,再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段,就要分类讨论.注意小分类要求交,大综合要求并.
3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似,注意小分类要求交,大综合要求并.
4、分段函数的奇偶性的判断,方法一:定义法.方法二:数形结合.
5、分段函数的值域(最值),方法一:先求每一段的最大(小)值,再把每一段的最大(小)值比较,即得到函数的最大(小)值. 方法二:数形结合.
6、分段函数的单调性的判断,方法一:数形结合,方法二:先求每一段的单调性,再写出整个函数的单调性.
7、分段函数的零点问题,方法一:解方程,方法二:图像法,方法三:方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.
虽然分段函数是一种特殊的函数,在处理这些问题时,方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】
【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ,若当[)1,0∈x 时,
21)2
3
(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .
(1)求[]1,1-∈x 时,)(x f 的解析式;(2)求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.
(2) )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数,且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像,由图像得交点个数为2,所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.
【点评】(1)本题的第一问,根据题意要把[1,1]-分成三个部分,即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时,要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数,一般利用数形结合解答.
【反馈检测1】已知定义在R 上的函数()()2
2f x x =-.
(Ⅰ)若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立,求实数t 的取值范围;
(Ⅱ)设()g x =,求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ?的表达式.
【例2】已知函数()()22log 3,2
{
21,2
x x x f x x ---<=-≥ ,若()21f a -= ,则()f a = ( )
A. 2-
B. 0
C. 2
D. 9
【解析】当22a -< 即0a >时, ()()
211
log 3211,22
a a a ---=?+==- (舍); 当22a -≥ 即0a ≤时, ()22
22
111log 42a a f a ---=?=-?=-=- ,故选A.
【点评】(1)要计算(2)f a -的值,就要看自变量2a -在分段函数的哪一段,但是由于无法确定,所以要就2222a a -<
-≥和分类讨论. (2)分类讨论时,注意数学逻辑,小分类要求交,大综合要求并.当0a >时 ,解得1
2
a =-
,要舍去. 【例3】【2017山东,文9】设()()1
21,1
x f x x x <<=-≥??,若()()1f a f a =+,则
1f a ??
= ???
(
) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【点评】(1)要化简()()1f a f a =+,必须要讨论a 的范围,要分1a ≥和01a <<讨论.当1a ≥时,可以解方程2(
1)2(11)a a -=+-,得方程没有解.也可以直接由2(1)y x =-单调性得到()()1f a f a ≠+.
【反馈检测2】已知函数210
()0x
x f x x -?-≤?=>,若0[()]1f f x =,则0x = .
【例3】已知函数则的解集为( )
A.
B.
C.
D.
【点评】(1)本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段,所以要分类讨论. (2)当20x -<<时,计算()f x -要注意确定x -的范围,02x <-<,所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时,一定要注意数学逻辑,小分类要求交,大综合要求并.
【反馈检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,
x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________.
【反馈检测4】【2017课标3,理15】设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?,,,,
则满足1
()()12f x f x +->的x 的取值
范围是_________.
【例4】判断函数?
??>+-<+=)0()
0()(2
2x x x x x x x f 的奇偶性 【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D
7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:
()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任
高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析:当0=x 时因为)0(f '存在,所以应当用导数定义求)0(f ',当 0≠x 时,)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2,可以按各种求导法同求它的导数. 解:当0=x 时,01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时, x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明:如果一个函数)(x g 在点0x 连续,则有)(lim )(0 0x g x g x x →=,但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续,不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='. 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系. 1.m n bx a y )(+=;2.32ln +=x e y ; 3.)32(log 322+-=x x y ;4.)1sin(x x y +=。 分析:由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外及里,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常
见的基本函数,逐步确定复合过程. 解:函数的复合关系分别是 1.n m bx a u u y +==,; 2.2,3,ln +===x e v v u u y ; 3.32,log ,322+-===x x v v u y u ; 4..1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明:分不清复合函数的复合关系,忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式,而最内层可以是关于自变量x 的基本函数,也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数,导致陷入解题误区,达不到预期的效果. 求函数的导数 例 求下列函数的导数. 1.43)12(x x x y +-=;2.2 211x y -= ; 3.)3 2(sin 2π +=x y ;4.21x x y +=。 分析:选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数.求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.
高一数学抽象函数常见题型
抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f +=
因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(,
分段函数的几种常见题型及解法好
分段函数的几种常见题型及解法 1.求分段函数的定义域和值域 例1.求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2.求分段函数的函数值 例2.(05年浙江理)已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以31 222 3214 [()]()1()13 f f f =-= =+-. 3.求分段函数的最值 例3.求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 4.求分段函数的解析式 例4.在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对
称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函数()f x 的表达式为( ) 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移 1 个单位, 得解析式为11 22(2)111 y x x =-+-=-, 所以()22([f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 ()2([0,2]) f x x x =+∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5.作分段函数的图像 例5.函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是( ) A y x
(完整版)高一数学分段函数练习题
高一数学函数的定义与分段函数测试题 1、给出函数?????<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ,则=)3(f ( ) A.823- B. 111 C. 19 1 D. 241 2、若f(x)=???≥)0()0(2πx x x x ???<-≥=) 0()0()(2x x x x x ?,则当x<0时,f[?(x)]=( ) A. -x B. -x 2 C.x D.x 2 3、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|,g(x)=???<-≥) 0()0(x x x x ② f(x)=242--x x ,g(x)=x+2 ③f(x)=2x ,g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+ -x x g(x)=0 x ∈{-1,1} A.①③ B.① C.②④ D.①④ 4、设f(x)=?????>+≤--1||111||,2|1|2x ,x x x ,则f[f(21)]=( ) A. 21 B.134 C. -59 D.4125 5、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥?=?+ ,则(5)f = 。 设函数f(x)=? ??>≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(-4)=___________,若f(x 0)=8,则x 0=________ 6.、函数y =+的定义域为( ) A . {x |x ≤1} B . {x |x ≥0} C . {x |x ≥1或x ≤0} D . {x |0≤x ≤1} 7、.函数f (x )=的定义域为( ) A . [1,2)∪(2,+∞) B . (1,+∞) C . [1,2) D . [1,+∞) 8、函数 的定义域是( ) A . B . C . D .
【智博教育原创专题】抽象函数常见题型解法
冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<,则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<,则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +,且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立,若(8)4f =,则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中,令4x y ==,得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==,(4)2f ∴=,又令2x y ==,得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =,则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =,则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n =
分段函数的几种常见题型和解法
函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下: 1.求分段函数的定义域和值域 例1.求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2.求分段函数的函数值 例2.已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f .
例3.求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4.求分段函数的解析式 例4.在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示), 则函数()f x 的表达式为( ) 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? y x
1-1函数的表示方法与分段函数
函数的表示方法与分段函数 一、选择题 1.已知A={x|x=n2,n∈N},给出下列关系式:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=x4;⑤f(x)=x2+1,其中能够表示函数f:A→A的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 2.函数() y f x =的图象与直线1 x=的公共点数目是() A.1B.0C.0或1D.1或2 3.如图所示,能表示“y是x的函数”的有( ). ① A.1个B.2个C.3个D.4个 4.下列对应中有几个是映射?() ①②③④A.1个B.2个C.3个D.4个 5.已知集合{} 04 A x x =≤≤,{} 02 B y y =≤≤,下列从A到B的对应f不是映射的是A. 1 : 2 f x y x →=B. 1 : 3 f x y x →=C. 2 : 3 f x y x →=D.2 1 : 8 f x y x →= 6. 函数y=+) 2 ln(x -的自变量x的取值范围是() A.) ,0[+∞B.)2, (-∞C.)2,0[D.)2,1( )1,0[ 7.下列各组函数中,表示同一个函数的是() A.y=x-1和y= x2-1 x+1 B.y=x0和y=1 C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D.f(x)= x 2 x和g(x)= x x 2
8设()12 32, 2()log 1,2 x e x f x x x -?=?-≥??,则((2))f f 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 9.下表表示y 是x 的函数,则函数的值域是( ) A.[2,5] C .(0,20] D .{2,3,4,5} 10.设函数???<+≥+-=0 ,60 ,64)(2x x x x x x f ,则不等式)1()(f x f >的解集是( ) A.),3()1,3(+∞?- B.),2()1,3(+∞?- C.),3()1,1(+∞?- D.)3,1()3,(?--∞ 11.函数y = 2 x -1 的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( ) A .(-∞,0)∪???? 12,2 B .(-∞,2] C.? ???-∞,1 2∪[2,+∞) D .(0,+∞) 12.函数f (x )=???? ? sin (πx 2),-1
抽象函数题型Word版
高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,