微分方程的求解公式_高阶变系数线性偏微分方程的分离变量解

变系数线性常微分方程的求解

变系数线性常微分方程的求解 张慧敏，数学计算机科学学院 摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数 二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.

(整理)常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义

一阶线性偏微分方程

第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极

二阶线性偏微分方程的分类与小结

第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=

xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为

第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解

第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解 本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）解的特征线方法。 典型的偏微分方程：扩散方程t xx u ku =，t u k u =?；波动方程2tt xx u c u =，2tt u c u =?。这是本课程讨论的主要两类方程。 偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。 §1.1 一维空间中的偏微分方程 例1 （刚性污染流的方程） 假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是(,)u x t （即x 处在时刻t 的污染物的密度） 。如果流速是c ，问题：(,)u x t 满足什么样的方程？ 解 如图，在[,]x x x +?内的流体，经过时间t ?，一定处于[,]x c t x x c t +?+?+?。所含污染物应相同，即 (,)(,)x x x x c t x x c t u t d u t t d ξξξξ+?+?+?+?= +?? ? ， 由此 (,)(,)u x t u x c t t t =+?+?， 从而， 0t x u cu +=。 【End 】 可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。 例2 （扩散方程） 假设水流静止，在t ?时间内，流经x 处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为k ： ()x u dm t k dt ku dt x ?==?， 所以，在时间段12[,]t t 内，通过12[,]x x 的污染物为 2 1 2 1 [(,)(,)]t x x t k u x t u x t dt -?。 在时刻1t 和2t ，在12[,]x x 内的污染物分别为2 1 1(,)x x u x t dx ?和2 1 2(,)x x u x t dx ? ，由物质守恒定律 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 (,)(,)[(,)(,)]x x t x x x x t u x t dx u x t dx k u x t u x t dt -=-??? 由1t ，2t 的任意性，

数学物理方法之二阶线性偏微分方程的分类

第十三章二阶线性偏微分方程 的分类 本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.

13.1 基本概念 (1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如 22222(,,,,,,,,,,)0u u u u u F x y u x y x y x y ??????????????=??????其中(,,)u x y ???是未知多元函数，而,,x y ???是未知变量；,,u u x y ???????为u 的偏导数. 有时为了书

写方便，通常记 2 2,,,,x y xx u u u u u u x y x ???==???=??????(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．

(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程． (5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．

例13.1.2：方程的通解和特解概念 二阶线性非齐次偏微分方程2xy u y x =?的通解为 2 21(,)()()2u x y xy x y F x G y =?++其中(),()F x G y 是两个独立的任意函数．因为方程为 例13.1.1：偏微分方程的分类（具体见课本P268）

(整理)一阶线性偏微分方程.

第七章 一阶线性偏微分方程 例7-1 求方程组 ()()()yz B A Cdz xz A C Bdy yz C B Adx -=-=- 通积分，其中C B A ,,为互不 相等的常数。 解 由第一个等式可得 xyz ydy A C B xyz xdx C B A -=-， 即有 0=---ydy A C B xdx C B A ， 两边积分得方程组的一个首次积分 122,C y A C B x C B A z y x Φ=---= ),(。 由第二个等式可得 xyz zdz B A C xyz ydy A C B -=-， 即有 0=---zdz B A C ydy A C B ， 两边积分得方程组的另一个首次积分 222,C z B A C y A C B z y x Ψ=---= ),(。 由于，雅可比矩阵 ? ???? ?????------=????? ???? ????ψ??ψ??ψ ??Φ??Φ ??Φ ?=?ψΦ?z B A C y A C B y A C B x C B A y y x z y x z y x 002),,(),( 的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为 122C y A C B x C B A =--- 222C z B A C y A C B =--- 。

评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。要得到通积分需要求得n 个独立的首次积分，n 为组成方程组的方程个数。用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。 例7-2 求方程组 () () ???????-+--=-+-=11d 222 2y x y x dt dy y x x y dt x 的通解。 解 由原方程组可得 )1)((2222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x 即 dt y x y x y x d )1)((2)(2 2 2 2 2 2 -++-=+ 这个方程关于变量t 和2 2 y x +是可以分离的，因此易求得它的通积分为 122 2221),,(C e y x y x t y x t =+-+=Φ 这是原方程组的一个首次积分。 再次利用方程组，得到 )(22y x dt dx y dt dy x +-=-， 即有 1arctan -=?? ? ?? x y dt d 由此得到原方程组的另一个首次积分 2arctan ),,(C t x y t y x =+=ψ 。 由于，雅可比矩阵为 ()( ) ???? ? ?????? ?++-++=????????? ????ψ??ψ ??Φ??Φ ?=?ψΦ?2222 222 222 2222),(),(y x x y x y e y x y e y x x y x y x y x t t ，

偏微分方程数值解法试题与答案

x 1 ?若步长趋于零时，差分方程的截断误差 R m 0,则差分方程的解 U i m 趋近于微分方 程的解U m ?此结论 ________ (错或对)； 1 2.一 阶 Sobolev 空间 H ( ) f (x,y) f , f x , f y L ?() 关于内积(f,g )1 _____________________________________ 是Hilbert 空间； 3 ?对非线性(变系数)差分格式，常用 ____________ 系数法讨论差分格式的 ________ 稳定性； 4?写出y x 3在区间［1,2］上的两个一阶广义导数： ______________________________________ _____ ____ ______________ _ ____ ________ ; 5 ?隐式差分格式关于初值是无条件稳定的 ?此结论 ________ (错或对)。 (13分)设有椭圆型方程边值问题 0.1作正方形网格剖分 。 (1) 用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； (2) 用截断误差为 O (h 2)的差分法将第三边界条件离散化; (3) 整理后的差分方程组为 U C 三.(12)给定初值问题 u x,0 x 1 取时间步长 0.1，空间步长h 0.2。试合理选用一阶偏心差分格式(最简显格式) 2 u ~2 x 2 u ~2 y 0 x 0.3 0.2 x 0.3 2y 1, — u n 2x y 0.2

并以此格式求出解函数u(x,t)在x 0.2,t 0.2处的近似值。 x

1.所选用的差分格式是： 2 .计算所求近似值： 1 a k 1 四.（12分）试讨论差分方程 u l 1 k k k 1 u | r u | 1 u | , r h a 1 h 逼近微分方程 u a u 0 t x 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（ l+1/2,k+1/2 ）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。 2 —2 ,考虑 Du Fort-Frankel 格式 X 试论证该格式是否总满足稳定性的 Von-Neumann 条件？ 六. （12分）（1 ）由Green 第一公式推导 Green 第二公式: （2） 对双调和方程边值问题 n 2 选择函数集合（空间）为： 推导相应的双线性泛函和线性泛函: A （u,v ） F （v ） 相应的虚功问题为： 极小位能问题为 七. （ 12分）设有常微分方程边值问题 y y f （x ） , a x b y a 1, y b 1 五.（12分） 对抛物型方程 U |k1 U |k 2 |k 1 (U |k1 U |k1) U |k 1 ) 2 (u)vdxdy G (u) u vdxdy :[v v u ]ds n f (x,y) (x,y) g 1(x , y), g 2(x, y) (x,y),

常系数线性微分方程的解的结构分析

常系数线性微分方程的解的结构分析 【 摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。 【关键词 】常系数 线性 微分方程 结构 一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ， （1.1） 的求解 上式可以改写为 adt x dx -= ， （1.2） 于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ， （1.3） 这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ， （1.4） 其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。 这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。 一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ， （2.1） 其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ， （2.2） 上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ， （2.3） 两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ， （2.4） 这里c 是常数。 若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。 我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶

齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ， （2.5） 中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ， （2.6） 微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ， （2.7） 以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8） 即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (， 积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。 二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1） 其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特 解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法版.

第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

第二章 二阶线性偏微分方程的分类

第二章 二阶线性偏微分方程的分类 1．把下列方程化为标准形式： （1）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx 解：因为 02 22112 12=?-=-a a a a a a 所以该方程是抛物型方程，其特征方程为 12 2 =-± =a a a a dx dy 。 它只有一族实的特征线 c x y =- 在这种情况下，我们设x y -=ξ，x =η（或令y =η，总之，此处η是与ξ无关的任一函数，当然宜取最简单的函数形式x =η或y =η）。 方法一：用抛物型方程的标准形式 ][12122 F Cu u B u B A +++- =ηξηηη 先算出： ? ??? ? ? ?? ? ? ?-====?+?+?+?+?=++++=?+-+?+?+?=++++==?+?+=++=b c C b c b a a a b b a a a B c b a a a b b a a a B a a a a a a a A y x yy xy xx y x yy xy xx y y x x 0F ,1010020 2 1)1(0020 2 002 2212212112 2122121112 221221122ηηηηηξξξξξηηηη ∴])[(1 u bu u c b a u +++--=ηξηη 即 01=+ + -+ u a u a b u a b c u ηξηη 方法二：应用特征方程，作自变量变换，求出 ??? ??=+-=+-=+--==+-= ,2 ,ξξηξξξηηξηξξηηηξξηξξξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y x 代入原方程得，0)(=++-+u bu u b c au ηξξη

一阶线性偏微分方程

第七章一阶线性偏微分方程 7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。 dx dt dy dt 空2z dt 解之得 所以，方程组的通积分为 1 1 2t 1（t,x, y ） （x y -t -）e G ， 2 4 z C 1e 2t 即得一个首次积分为 1 (t, x, y) (x 1t 2 1 y 2t 1 4）e 2t C 1。 方程组的两式相减，得 d （x y ） dt 解之得另一个首次积分为 2（t, x, y ） 1 t 1 2 2 C 2。 易验证det x det 0。 因此，1(t,x, y) C 1和 2 （t,x, y ） C 2是两个独立的首次积分, 1) 2) 3) dx dt dy dt dx 1) 2y dy x z ，当 t 0 时，x y 1 dz d(x y) dt x y ，上方程化为一阶线性方程 方程组的两式相加，得 2（x y ） t 。

从中可解得通解为 即 i (t,x,y) (x y)2 y 2 C ；。 给方程组第一式乘以 y ，第二式乘以x ，再相减得 yx yy xy yy 2 2 (x y) y yx yy xy yy 1 1 (x y) y 两边积分，得另一个首次积分为 y 2 (t,x, y) arctan t C 2， x y 2 易验证 i (t,x, y) C i 和 2(t,x,y) C 2是两个独立的首次积分， 222 y 所以，方程组的通积分为 (x y) y C i ，arctan t C 2， x y x (C 2 CJcost (C 2 C i )si nt ，其中 C I C i si nc 2，C 2 C 1 cosC 2。 y C 1 cost C 2 si nt C 2 1 2 1 1 t -t — 4 4 8 C 2 1 2 1 1 -t -t 4 4 8 dx x 2y dy x y 2ydy ydx xdy 0， x C i e 2t y C i e 2t 2)方程组的两式相比，得 变形得恰当方程 xdx 容易得满足t 0时，x y 1的解为 x cost sint y cost 3) 三个分式相加，得 d(x y z) dy x z dz y x 解之得一个首次积分为 2 2 x 2y 2xy C 1， yx xy (x 2 2y 2 2xy) [(x y)2 y 2]， 通解为

阶偏微分方程基本知识

一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y Λ， （ ） 在变换 ()1'12,,,,n n y y y y y y -===L （ ） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=??L L M M M M L （ ） 在第三章中，已经介绍过方程组（ ）通解的概念和求法。但是除了常系 数线性方程组外，求一般的（ ）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ ）的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组 ()()22221, 1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ ） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ ） 1C 为积分常数。（ ）叫做（ ）的首次积分。

二阶线性偏微分方程的分类与小结

二阶线性偏微分方程的分类与小结

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第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 １ 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中 f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数, 假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且 221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=，),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ ＝x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =，),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=,y y y u u u ηξξξ+=

xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高,由变换的可逆性,方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为

求解偏微分方程的几种特殊方法

求解偏微分方程的几种特殊方法 程哲 PB06001070 （中国科学技术大学数学系， 合肥， 230026） 摘要：经过一个学期偏微分方程课程的学习，我们掌握了几种求解初等拟（半）线性方程，特别是三种典型方程的方法，如特征曲线法、反射法、降维法、分离变量法、特征函数展开法、求解非齐次方程的Duhamel 原理等。此外，我们通过学习还掌握了求解波动方程的D＇Alembert 公式，求解高维波动方程的Kirchhoff 公式和Poisson 公式，求解位势方程的Green 公式等等。这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程，故而是基本而重要的。本文还将总结作者了解的几种求解偏微分方程的特殊方法，它们是：级数法，Laplace 变换法，Fourier 变换法。 关键词：偏微分方程 级数法Laplace 变换 Fourier 变换 1. 级数法求解偏微分方程 1.1 波动方程Cauchy 问题的级数解法 1.1.1 问题引入 我们以三维波动方程的初值问题(P)为例： 2()0,(1)()(,,,0)(,,),(,,,0)(,,) tt xx yy zz t u a u u u P u x y z x y z u x y z x y z ??++=??=Φ=Ψ?? 由叠加原理易知问题(P)可分解为两个问题的叠加： 2()0,()(,,,0)0,(,,,0)(,,) tt xx yy zz t u a u u u I u x y z u x y z x y z ??++=??==Ψ?? 2()0,()(,,,0)(,,),(,,,0)0 tt xx yy zz t u a u u u II u x y z x y z u x y z ??++=??=Φ=??

第一章--偏微分方程定解问题

第一章 偏微分方程定解问题 引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。 如 牛顿定律 22d x dt m g = ------(1) 波动方程 222222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ?? ? ???+????=++????------(2) 热传导方程 2222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ?? ? ??? +????=++???? ------(3) 静电场位方程 2222 222(,,)f x y z u u u a x y z ?? ?=- ??? ???++??? ------(4) 激波方程 0u u u t x ??+=?? ------(5) 等等。 其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。 这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。 数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。 本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。 为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念

(术语)。 1. 常，偏微分方程 只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。 含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。 2. 阶 上述(1)----(5)均可改写成如下形式 220d x m g dt -= ------(1’) 222 30u t a u f -???-= -------(2’) 230u t a u f -???-= ------(3’) 230a u f ?+= ------(4’) 0u u t x u +????= ------(5’) 其中 222 3222x y z ????=++???，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z) 或f(x,y,z)。 这些方程可归纳为如下形式 12 121212,,,,,,,,,,n m n m m m n n u u u u F x x x u x x x x x x ?? ? ?? ? ?????????????????????????=0， 其中12n m m m m =++???+为导数的最高阶数，成为方程的阶。 3. 线性、非线性偏微分方程

线性常系数微分方程典型例题

二阶常系数非齐次微分方程典型例题 例1：y′′?5y′+6y=e?x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k e?x y?′=?k e?x ,y?′′=k e?x 代入原方程得：12ke?x=e?x, k=1 12 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 12 e?x 例2：y′′?5y′+6y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k xe3x y?′=k(1+3x)e3x ,y?′′=k(6+9x)e3x 代入原方程得：k e3x=2e3x ,k=2 答案：y=C1e2x+C2e3x+2xe?x 例3：y′′?5y′+6y=2x+4cos3x?e x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=ax+b+ccos(3x)+dsin(3x)+ke x y?′=a?3csin3x+3dcos3x+ke x ,y?′′=?9ccos3x?9dsin3x+ke x 代入原方程得：a=1 3,b=5 18 ,c=?2 39 ,d=?10 39 ,k=?1 2 . 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 3x+5 18 ?2 39 cos(3x)?10 39 sin(3x)?1 2 e x 例4：y′′?2y′+y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k e3x y?′=3k e3x ,y?′′=9k e3x 代入原方程得：k=1 2 答案：y=C1e x+C2xe x+1 2 e x 例5：y′′?2y′+y=2e x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k x2e x