2020年衡水中学高三一调数学试卷

v v v v v

v 试卷类型：B

2019-2020 学年普通高等学校招生全国统一考试高三一调考试

文科数学

考试时间 120 分钟，试卷总分 150 分.

命题人：集备组

审核人：教研组

请将答案填写（涂）在答题卡上。在本卷上作答无效！

一、选择题

1．给出下列命题：

（1）存在实数α 使 sin α + cos α =

5

3

.

（2）直线 x =

2019π 是函数 y = cos x 图象的一条对称轴.

2

（3） y = cos (sin x )(x ∈ R ) 的值域是 [cos1,1].

（4）若 α , β 都是第一象限角，且 s in α > sin β ，则 tan α > tan β .

其中正确命题的题号为（

）

A ．（1）（2）

B ．（2）（3）

C ．（3）（4）

D ．（1）（4）

2．已知四个命题：

①如果向量 a 与 b 共线，则 a = b 或 a = -b ；

② x ≤ 3 是 x ≤ 3 的必要不充分条件；

③命题 p ：

?x ∈ (0,2 ) ， x 2 - 2 x - 3 < 0 的 否 定 ?p ： ?x ∈ (0,2 ) ，

x 2 - 2 x - 3 ≥ 0 ；

④“指数函数 y = a x 是增函数，而 y = ? 是指数函数，所以 y = ? 是增函数” r r ? 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? 2 ?

此三段论大前提错误，但推理形式是正确的.

以上命题正确的个数为（

）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

3．是虚数单位，复数（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知直线 m 、 n 与平面 α 、 β ，下列命题正确的是（ ）

A ． m ⊥ α ， n / / β 且 α ⊥ β ，则 m ⊥ n

B ．m ⊥ α ，n ⊥ β 且 α ⊥ β ，则 m ⊥ n

C ． α ? β = m ， n ⊥ m 且 α ⊥ β ，则 n ⊥ α

m / /n

D ． m / /α ， n / / β 且 α / / β ，则

5．已知 f (x ) = 2018x 2017 + 2017x 2016 + L + 2x + 1 ，下列程序框图设计的是求 f (x 0

的值，在“ ”中应填的执行语句是（

）

)

A ． n = 2018 - i

B ． n = 2017 - i

C ． n = 2018 + i

D ． n = 2017 + i

6．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视

图，则该多面体的表面积为（

）

A ．

B ．

C ．

D ．

uuu uuur uuu

7．已知平面内的两个单位向量 O A ， OB ，它们的夹角是 60°， O C 与 OA 、 OB 向

uuur uuur uuur uuur

量的夹角都为 30°，且 | OC |= 2 3 ，若 OC = λOA + μOB ，则 λ + μ 值为（

）

1

2

D．{2}U(1,1]

10．设函数f(x)的最大值为M，最小值为N，则下列结论中：

A．23B．43C．2D．4

8．函数的图象大致是（）

A．B．

C．D．

9．已知函数f(x)2sin(x)(06,)的图象经过点(,2)和

26

(

2

,2).若函数g(x)f(x)m在区间[

32

,0]上有唯一零点，则实数m的取值范

围是（）

A．(1,1]B．{1}U(,

1

]

22

C．(

1

,1]

x e|x|

e|x|

①M N

21M e1

，②M N4，③M N1，④，其中一定成立的有

e e2N e1

（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

11．已知椭圆C：

x2y2

43

1的右焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线l，

1

l，l与椭圆C相交于点A，B，l与椭圆C相交于点C，D，则下列叙述不212

正确的是（）

A．存在直线l，l使得AB CD值为7

12

B．存在直线l，l使得AB CD值

为

12

C．弦长AB存在最大值，且最大值为4

D．弦长AB不存在最小值

48

7

C ．

12．已知函数

的定义域为 ，当 时，

，对任意的

，

成立，若数列 满足

，且

，则

的值为（ ）

A ．

B ． D ．

二、填空题

13． 2 + 2cos8 + 2 1 - sin8 的化简结果是_________.

14．若曲线 C 与直线 l 满足：① l 与 C 在某点 P 处相切；②曲线 C 在 P 附近位于直

线 l 的异侧，则称曲线 C 与直线 l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有

________．（填写相应的编号）

① y = x 3与 y = 0 ② y = ( x + 2)2 与 x = -2 ③ y = e x 与 y = x + 1

④ y = sin x 与 y = x

⑤ y = tan x 与 y = x

15．已知函数 f ( x ) = sin x - x + 3 ，则不等式 f ( x + 1) + f (2 x - 7) > 6 的解集为 ________．

16．已知直线 与椭圆

线 与 轴、 轴分别交于点 、 ，当

相切于第一象限的点

( 为坐标原点)的面积最小时，

，且直

( 、 是椭圆的两个焦点)，若此时在

中， 的平分

线的长度为

，则实数 的值是__________．

三、解答题

17．在

径.

中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，R 表示

的外接圆半

（Ⅰ）如图，在以 O 圆心、半径为 2 的

O 中，BC 和 BA 是 O 的弦，其中

，求弦 AB 的长;

(Ⅱ)在 中，若 是钝角，求证： ;

∑ (x - x )= 10 ， ∑ (x - x ) ? ∑ (y - y )

5 5

5

∑ (x - x )= 10 ， ∑ (x - x ) ? ∑ (y - y )

5 5

5

(Ⅲ)给定三个正实数 a 、b 、R ，其中

b 为边长，R 为外接圆半径的

，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以 a 、

不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形

算作同一个）？在

存在的情况下，用 a 、b 、R 表示 c.

18．为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了 A ，B,C 三类，经过一段时间的学

习后在三类学生中分别随机抽取了 1 个学生的 5 次考试成缎，其统计表如下：

A 类

第x 次

1 2 3 4 4

分数 y （满足 150）

145 83 95 72 110

i

i

i

2 2

≈ 180 ；

i =1

i =1 i =1

B 类

第x 次

1 2 3 4 4

分数 y （满足 150）

85 93 90 76 101

i

i

i

2 2

≈ 60 ；

i =1

i =1

i =1

C 类

第x 次

1 2 3 4 4

分数 y （满足 150） 85 92 101 100 112

∑

(x-x)=10

，∑

(x-x)?∑(y-y)≈63

；

22

1

??

∑(x-x)(y-y)

∑(x-x)?∑(y-y)

2n2

y?=bx+a?∑(x-x)(y-y)

∑(x-x)?∑(y-y)

22

，

a?=y-bx

．

?

2

5

i i i

55

i=1i=1i=1

（1）经计算己知A，B的相关系数分别为r=-0.45，r2=0.25．，请计算出C学生的(x,y)(1=1,2,3,4,5)的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最

i i

稳定；（结果保留两位有效数字，r越大认为成绩越稳定）

（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归直线方程为y=6.2x+a，

利用线性回归直线方程预测该生第十次的成绩．

附相关系数

r=

n

i=1i

=1

n

i=1

i i

i i

，线性回归直线方程

?

，n

i i

b=

i=1

n n

i i

i=1i=1

19．（本题满分12分）如图，

?

的外接圆的半径为，所在的平面，，，，且，．

（1）求证：平面ADC平面BCDE．

（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2y2

+

a b2

=1(a＞b＞0)的左、右

顶点分别为A

1

(﹣2，0)，A

2

(2，0)，右准线方程为x＝4．过点A

1

的直线交椭圆C于

x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D．直线A D与椭圆C的另一交点为G，直

2

线OG与直线A

1

D交于点H．

曲线 C 的极坐标方程为 pcos 2θ = 4sin θ , P 点的极坐标为 3, ? ，在平面直角坐

(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点，求

1

（1）求椭圆 C 的标准方程；

（2）若 HG⊥A 1D ，试求直线 A 1D 的方程；

uuuur uuuur

（3）如果 A H = λ A P ，试求 λ 的取值范围．

1 1

21．设函数 f ( x ) = x e x + a (1 - e x )

+ 1 ， a ∈ R .

（I ）求函数 f ( x ) 的单调区间；

（Ⅱ）若方程 f ( x ) = 0 在 (0, +∞) 上有解，证明： a >2 .

考生注意：请从第 22、23 题中选择一题作答。两题都做者以第一题计分。

22．选修 4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 0 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若

? π ? ?

2

?

标系中，直线 l 经过点 P ，斜率为 3 .

(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程;

1 + 的值. P A PB

23．选修 4-5：不等式选讲

⑴求证：对于任意实数 x 、y 、z 都有 x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥ 3 (xy + yz + zx ).

⑵是否存在实数 k > 3 ，使得对于任意实数 x 、y 、z 有

x 2 + 2 y 2 + 3z 2 ≥ k (xy + yz + zx )恒成立？试证明你的结论。

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