立体几何线线垂直专题(史上)

立体几何垂直总结

1、线线垂直得判断：

线面垂直得定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线与两条平行直线中得一条垂直，也必垂直平行线中得另一条。 2、线面垂直得判断：

（1）如果一直线与平面内得两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中得一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中得一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线得直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直得判断：

一个平面经过另一个平面得垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直得常用方法：

例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 就是AB 得中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）

BC AC CE AB AE BE =??⊥?=?

同理，AD BD DE AB AE BE =?

?⊥?=?

又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC

例2、（菱形得对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -得底面就是菱形．PB PD =，E 为PA 得中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．

例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ?中90ACB ∠=o

,SA 求证：AD ⊥面SBC ．

证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC

BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 例4、(直径所对得圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于

A

E

D

B

C

圆O在平面，AB就是圆O得直径，C就是圆O得圆周上异于A、B得任意一点，且PA AC

=，点E就是线段PC得中点、求证：AE⊥平面PBC、

证明：∵PA⊥O

e所在平面，BC就是O

e得弦，∴BC PA

⊥、

又∵AB就是O

e得直径，ACB

∠就是直径所对得圆周角，∴BC AC

⊥、∵,

PA AC A PA

=?

I平面PAC，AC?平面PAC、

∴BC⊥平面PAC，AE?平面PAC，∴AE BC

⊥、

∵PA AC

=，点E就是线段PC得中点、∴AE PC

⊥、

∵PC BC C

=

I,PC?平面PBC，BC?平面PBC、

∴AE⊥平面PBC、

例5、（证明所成角为直角）在如图所示得几何体中，四边形ABCD就是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF、求证：BD⊥平面AED；

证明因为四边形ABCD就是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，

所以∠ADC＝∠BCD＝120°、

又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，

因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD、

又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，

所以BD⊥平面AED、

例6、（勾股定理得逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC得中点．

求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF、

例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C

⊥平面BC1D

证明：连结AC

BD AC

∵⊥∴AC为A

1

C在平面AC上得射影

∴⊥

⊥?

?

?

?⊥

BD A C

A C BC A C BC D

1

1111

同理可证平面

11

A1B1

D C

B

练习；

1、 如图在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 得中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上、证明：AP ⊥BC ；

2、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1

2AA 1，D 就是棱AA 1得中点，DC 1⊥BD 、证明：DC 1⊥BC 。

3．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4、将△CBD 沿BD 折起到△EBD 得位置，使平面EBD ⊥平面ABD 、(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求三棱锥EABD 得侧面积．

、

4、在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11=AA ，求点A 到平面BC A 1得距离。

5、如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 就是矩形，侧

棱P A 垂直于底面，E 、F 分别就是AB 、PC 得中点，P A ＝AD 、 求证：(1)CD ⊥PD ； (2)EF ⊥平面PCD 、 、

6、如图7－5－9(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 得中点，点F 为线段CD 上得一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 得位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．

(1)求证：DE ∥平面A 1CB 、

(2)求证：A 1F ⊥BE 、

(3)线段A 1B 上就是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．

立体几何垂直总结

1、线线垂直得判断：

线面垂直得定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线与两条平行直线中得一条垂直，也必垂直平行线中得另一条。 2、线面垂直得判断：

（1）如果一直线与平面内得两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中得一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中得一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线得直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直得判断：

一个平面经过另一个平面得垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直得常用方法：

例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 就是AB 得中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）

BC AC CE AB AE BE =??⊥?=?

同理，AD BD DE AB AE BE =?

?⊥?=?

又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC

例2、（菱形得对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -得底面就是菱形．PB PD =，E 为PA 得中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．

例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA 求证：AD ⊥面SBC ．

证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC

A

E

D

B

C

BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC

例4、(直径所对得圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 就是圆O 得直径，C 就是圆O 得圆周上异于A 、B 得任意一点，且PA AC =，点E 就是线段PC 得中点、求证：AE ⊥平面PBC 、

证明：∵PA ⊥O e 所在平面，BC 就是O e 得弦，∴BC PA ⊥、 又∵AB 就是O e 得直径，ACB ∠就是直径所对得圆周角，∴BC AC ⊥、

∵,PA AC A PA =?I 平面PAC ，AC ?平面PAC 、 ∴BC ⊥平面PAC ，AE ?平面PAC ，∴AE BC ⊥、 ∵PA AC =，点E 就是线段PC 得中点、∴AE PC ⊥、 ∵PC BC C =I ,PC ?平面PBC ，BC ?平面PBC 、 ∴AE ⊥平面PBC 、

例5、（证明所成角为直角）在如图所示得几何体中，四边形ABCD 就是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF 、 求证：BD ⊥平面AED ；

证明 因为四边形ABCD 就是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，

所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°、 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD 、

又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ?平面AED ， 所以BD ⊥平面AED 、

例6、（勾股定理得逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 得中点． 求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF 、

例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D

A

C

B

P

E

O

g

图2

11

A 1

B 1

D C

B

证明：连结AC

BD AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上得射影

∴⊥⊥?

??

?⊥BD A C A C BC A C BC D

11111同理可证平面

练习；

1、 如图在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 得中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上、证明：AP ⊥BC ；

2、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1

2AA 1，D 就是棱AA 1得中点，DC 1⊥BD 、(1)证明：DC 1⊥BC ；

证明 由题设知，三棱柱得侧面为矩形．由于D 为AA 1得中点，故DC ＝DC 1、

又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 2

1，所以DC 1⊥DC 、 又DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD 、 因为BC ?平面BCD ，所以DC 1⊥BC 、

3．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4、将△CBD 沿BD 折起到△EBD 得位置，使平面EBD ⊥平面ABD 、

(1)求证：AB ⊥DE ；

(2)求三棱锥EABD 得侧面积． (1)证明：在△ABD 中，

∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°， 设F 为AD 边得中点，连接FB ， ∴△ABF 为等边三角形， ∠AFB ＝60°，

又DF ＝BF ＝2，∴△BFD 为等腰三角形． ∴∠FDB ＝30°，故∠ABD ＝90°、 ∴AB ⊥BD 、又平面EBD ⊥平面ABD ，

平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB ?平面ABD ， ∴AB ⊥平面EBD 、∵DE ?平面EBD ，∴AB ⊥DE 、

(2)【解析】由(1)知AB ⊥BD ，∵CD ∥AB ，∴CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD 、 在Rt △DBE 中，∵DB ＝23，DE ＝DC ＝AB ＝2，∴S △DBE ＝1

2DB ·DE ＝23、 ∵AB ⊥平面EBD ，BE ?平面EBD ，∴AB ⊥BE 、∵BE ＝BC ＝AD ＝4，

∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝4、∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABD 、而AD ?平面ABD ，∴ED ⊥AD ，∴S △ADE ＝1

2AD ·DE ＝4、综上，三棱锥EABD 得侧面积S ＝8＋23、 4、在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11=AA ，求点A 到平面BC A 1得距离。 6 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 就是矩形，侧棱P A 垂直于底面，E 、F 分

别就是AB 、PC 得中点，P A ＝AD 、 求证：(1)CD ⊥PD ； (2)EF ⊥平面PCD 、

证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ，∴CD ⊥P A 、

又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD 、

(2)取PD 得中点G ，连接AG ，FG 、又∵G 、F 分别就是PD 、PC 得中点， ∴GF 綊1

2CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 就是平行四边形，∴AG ∥EF 、

∵P A ＝AD ，G 就是PD 得中点，∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG

平面P AD 、∴CD ⊥AG 、∴EF ⊥CD 、

∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD 、

6、如图7－5－9(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 得中点，点F 为线段CD 上得一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 得位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．

(1)求证：DE∥平面A1CB、

(2)求证：A1F⊥BE、(3)线段A1B上就是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【规范解答】(1)因为D，E分别为AC，AB得中点，

所以DE∥BC、2分

又因为DE?平面A1CB，

所以DE∥平面A1CB、4分

(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC、

所以DE⊥A1D，DE⊥CD、

所以DE⊥平面A1DC、6分

又A1F?平面A1DC，

所以DE⊥A1F、

又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，

所以A1F⊥平面BCDE，

又BE?平面BCDE，所以A1F⊥BE、9分

(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ、理由如下：

如图，分别取A1C，A1B得中点P，Q，则PQ∥BC、

又因为DE∥BC，所以DE∥PQ、

所以平面DEQ即为平面DEP、

由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C、

又因为P就是等腰三角形DA1C底边A1C得中点，

所以A1C⊥DP、又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEP、12分从而A1C⊥平面DEQ、

故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ、14分