2018年上海市浦东新区高三二模数学试卷(含答案)

浦东新区2017学年度第二学期质量抽测

高三数学试卷答案 2018．4

注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．

2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12

题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1.21lim 1n n n →+∞+=-________ .

2 2.不等式01x

x <-的解集为________.(0,1)

3.已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34,a =48a =-，则5S = ________.11

4.已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=________.3

5.91

)x

二项展开式中的常数项为________.84

6.

椭圆2cos ,x y θθ=?????

（θ为参数）的右焦点为________.(1,0)

7.满足约束条件24

23

x y x y x y +≤??+≤?

?≥??≥?的目标函数32f x y =+的最大值为________.163

8.

函数2()cos 2,R f x x x x =+

∈的单调递增区间为____________.,,36Z k k k ππππ?

?-+∈???

?

9.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米。当水面下降1米后，水面的宽为_____

米。10.—个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1，

0)，则该四面体的体积为________.1

3

11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[

)0,+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，

(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是________.[1,0]-

12.已知函数2

()57f x x x =-+.若对于任意的正整数n ，在区间51,n n ??

+

????

上存在1m +个实数012,,,,m a a a a L 使得012()()()()m f a f a f a f a >+++L 成立，则m 的最大值为________.6

二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分．

13.已知方程210x px -+=的两虚根为12,x x ，若121x x -=，则实数p 的值为（ ）A A ． 3± B ．5± C.

3,5 D ． 3,5±±

14.在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ?=?，（3）

123123()()z z z z z z ??=??；相应的在向量运算中，下列式子：（1）a b a b +≤+r r r r ，（2）a b a b ?=?r r r r ，

（3）()()a b c a b c ??=??r r r r r r

；正确的个数是（ ）B

A ． 0

B ．1 C. 2 D ．3

15.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”

是“到蓬莱”的（ ）A

A ．充分条件

B ．必要条件

C.充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件

16.设,P Q 是R 上的两个非空子集，如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足： （1）{}()|Q f x x P =∈；（2）对任意12,x x P ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <；

那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”。以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是（ ）D A ．→R Z

B ． →Z Q

C. []1,2(0,1)→ D ． (1,2)→R

三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）

已知圆锥AO 的底面半径为2，母线长为210，点C 为圆锥底面圆周上的一点，O 为圆心，D 是AB 的中点，且2

BOC π

∠=；

（1）求圆锥的全面积；

（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示） 解：（1）圆锥的底面积214S r ππ== ……………3分

圆锥的侧面积2410S rl ππ==……………3分 圆锥的全面积124(110)S S S π=+=+……………1分

（2）2

BOC π

∠=

Q OC OB ∴⊥ 且OC OA ⊥，OC ⊥平面AOB ……………2分

CDO ∴∠是直线CD 与平面AOB 所成角 ……………1分

在Rt CDO V 中，2OC =

,OD =, ……………1分

tan 5CDO ∠=

,arctan 5

CDO ∴∠= ……………2分 所以，直线CD 与平面AOB

所成角的为。……………1分

18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 在ABC △中，边,,a b c 分别为角,,A B C 所对应的边。

（1）若

()()()22sin 02sin 1sin 2sin c

a b A

b a B C

a b A

-=-+

-，求角C 的大小；

（2）若4

sin 5A =，23

C π=

，c =ABC △的面积。 解：（1）由

()()()()()22sin 02sin 2sin 2sin 2sin 1sin 2sin c a b A

c C a b A b a B b a B C

a b A

-=?=-+--+

-；……………2分

由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴2

2

2

c a b ab =+-，……………2分

∴2221

cos 22a b c C ab +-=

=，∴3

C π=；……………2分 （2）由4sin 5A =

，c =sin sin a c A C =，∴8

5

a =；…………2分

由23

a c A C π

，∴3

cos 5A =,…………2分

∴(

)sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=

；…………2分

∴1sin 2ABC S ca B ?==。…………2分

19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 已知双曲线2

2

:1C x y -=；

(1)求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；

(2)若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点,M N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.

解：(1)

2F …………1分 渐近线 0x y ±=………1分

1R =…………2分

22(1x y +=;………………2分

(2)设经过点B 的直线方程为1y kx =-,交点为1122(,),(,)M x y N x y ………………1分

由22221

(1)2201

x y k x kx y kx ?-=?-+-=?

=-?,…………………1分

则2121210100

k k x x x x ?≠?

?>??<??>?2分 MN 的中点为22

1

(,)11k k k ----，…………1分 得中垂线22

11:()11k

l y x k k k

+=-+--………1分 令0x =得截距2222

211

t k k -==>--………………2分

即线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围是(2,)+∞.

20. （本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分）

已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意R x ∈恒有(2)2()f x f x =-； （1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；

（2）若(1,2]x ∈时，2

()22f x x x =-+，求函数(),(1,8]y f x x =∈的解析式及值域； （3）若(1,2]x ∈时，3()2

f x x =--

，求()y f x =在区间*

(1,2],n n N ∈上的最大值与最小值. 解：1）(1)3f =-Q 且(2)2()f x f x =-

(2)3(2)f ∴=-?-……………1分

22(2)3(2)f ∴=-?-……………1分 33(2)3(2)f ∴=-?-……………1分

44(16)(2)3(2)48f f ∴==-?-=-……………1分

2）(2)2()()2()2

x f x f x f x f =-?=-Q

(1,2]x ∈时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+， ()(1,2]f x ∈……………1分

(2,4]x ∈时，221

()2()2[(1)1](2)2222x x f x f x =-=--+=---，……………1分

()[4,2)f x ∈--……………1分

(4,8]x ∈时，2211

()2()2[(2)2](4)42224x x f x f x =-=----=-+，……………1分

()(4,8]f x ∈……………1分

得：22

2(1)1,(1,2]1()(2)2,(2,4]21

(4)4,(4,8]4x x f x x x x x ?

?-+∈??=---∈???-+∈??，

值域为[4,2)12](4,8]--U

U （，……………1分 3）(2)2()()2()2

x

f x f x f x f =-?=-Q

当(1,2]x ∈时，3()2f x x =--

得：当2

(2,2]x ∈时，()2()32

x f x f x =-=-……………1分 当1

(2

,2]n n x -∈时，

1

(1,2]2n x -∈，

21122113

()2()(2)()(2)()(2)(1)3222222

n n n n n n x x x x f x f f f x -----=-=-=-=---=--?L …………

…2分 当1

(2

,2]n n x -∈，n 为奇数时，2

2()32

[,0]4

n

n f x x -=--?∈-

当1

(2

,2]n n x -∈，n 为偶数时，2

2()32

[0,]4

n

n f x x -=-?∈

综上：1n =时，()f x 在(1,2]上最大值为0，最小值为1

2

-

……………1分 2n ≥，n 为偶数时，()f x 在(1,2]n

上最大值为24n ，最小值为28

n

-……………1分

3n ≥，n 为奇数时，()f x 在(1,2]n

上最大值为28n ，最小值为24

n

-……………1分

21.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）

已知数列{}n a 中11a =，前n 项和为n S ，若对任意的N*n ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且N*k ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”；

（1）若数列{}n a 为“()1H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；

（2）若数列{}n a 为“()2H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在数列{}n a ，使得21140n n n a a a -+-≤对一切*

2,n n N ≥∈恒成立？如果存在，求出2a 的所有可能值；如果不存在，请说明理由；

（3）若数列{}n a 为“()H k 数列”，且121k a a a ====L ，证明：当21n k ≥+时，1

112n k n k a --??≥+ ?

??

.

解：（1）数列{}n a 为“()1H 数列”，则11n n S a +=-，故121n n S a ++=-， 两式相减得：212n n a a ++=， …………………1分

又1n =时，121a a =-，所以2122a a ==，………………1分 故12n n a a +=对任意的N*n ∈恒成立，即

1

2n n

a a +=（常数）， 故数列{}n a 为等比数列，其通项公式为1

2,*n n a n N -=∈；………………1分

21,*n n S n N =-∈………………1分

（2）2132321132

()2

N*n n n n n n n n n n S a a a a a a a n S a +++++++++=-??=-?=+∈?

=-?

21(2,)N*n n n a a a n n ++?=+≥∈………………1分

当*

2,n n N ≥∈时，

()222121111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++-=-+=--

因为*

11,(3,)n n n a a a n n N +--=≥∈成立，

则22*

1211,(3,)n n n n n n a a a a a a n n N ++-+-=-≥∈成立；

则22*1211,(3,)n n n n n n a a a a a a n n N ++-+-=-≥∈………………2分

则22*11324(3,)n n n a a a a a a n n N -+-=-≥∈ 因为432

a a a =+

则

222*113232(3,)n n n a a a a a a a n n N -+-=--≥∈………………1分 因为13132,13S a a a =-=?=， 则2229340

a a --≤

且2n =时，22340a -≤，

解得：20,1,2,3,4,5,6a =±±±±±-。………………2分

（3）*

1*11(2,)(2,)n k n n k n k n n k n a S k a a a n n N a S k n n N +++--+-=+???=+≥∈?=+≥∈??…………1分 110k a S k +=+>，由归纳知，20,,0k n a a +>?>L ，…………1分

1211,1k k a a a a k +=====+L ，由归纳知，*1,()n n a a n N +≤?∈，…………2分

则*

11112(2,)

n k n k n n k n k n k a a a a a a n n N ++-+-+-+-=+≤+=≥∈

*12(2,)n k n k a a n n N ++-≤≥∈…………1分

*122121111

,()222

n k n k n k n k k a a a a n N ++++++--?≥

≥≥≥∈L …………1分 于是*

2212111(1),()2

n k n k n k n k k a a a a n N ++-++--=+≥+

∈

于是1

*2211(1),()2

n n k k k a a n N -+-≥+

∈…………1分 22k k a S k k

=+=

于是112111

111(1)2(1),(2(1))222n n k k

n k k k k a k k ----+---≥+

?>+>+…………1分 结论显然成立。