三角函数知识归纳与典型例题

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：

（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

例1．与角

1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿25-，合＿5

π-

＿弧度。

（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .

（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：

,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2

k k Z π

α=∈.

例2．α的终边与

6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____Z k k ∈+,3

2π

π________。 4、α与2

α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.

例3．若α是第二象限角，则

是第__一、三___象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2

11||2

S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.

例4．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。答案：22cm ）

6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异

于原点），它与原点的距离是0r =

>，那么s i n ,c o s

α==，()tan ,0y x x α=

≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r

α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角函数

值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

例5．（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿7

＿。（2）设α是第三、四象限角，m m --=432sin α，则m 的取值范围是___（－1，)2

____.

（3）若

0|cos |cos sin |sin |=+αα

αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα?的符号答：负 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。

例6．（1）若08

θ-

<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关

系为_____（tan sin cos θθθ<<）

（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ ,（sin tan ααα<<）

（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______,

答案：2(2,2]()33

k k k Z ππ

ππ-+∈

（1）平方关系：2

sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角

函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。

例7．（1）函数sin tan cos cot y αα

αα

+的值的符号为____大于0 ,

（2）若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12

=-成立的x 的取值范围是____ ,

y T

A x

α B S

O M P

答案：[0,

],4

[ππ （3）已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝___ 125

- ,

（4）已知11tan tan -=-αα，则

ααααcos sin cos 3sin +-＝____ 3

- ； 2cos sin sin 2++ααα＝________ 5

_; （5）已知a = 200sin ，则

160tan 等于（ B ）

A 、21a

-- B 、21a a

- C 、a a 21-- D 、a a 2

1-；

（6）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin

f 的值为______ －1 。

10.三角函数诱导公式（2

πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶

数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函

数。

例8．（1）97cos

tan()sin 2146

ππ

π+-+的值为

____ ；（2）已知54)540sin(-=+α

，则=-)270cos( α___ 54- ___，

若α为第二象限角，则=+-+-)

180tan()]360cos()180[sin(2ααα

____1003

- ____。 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ

αβαβαβααα=±=±???→=

()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2

1cos2sin 2

2tan tan 21tan 令＝＝

αβ

αβαβαβααα

αααβααβααβα

αα

=±=???→=-↓=-=-±±=

?-↓=

例9．（1）下列各式中，值为1

的是（ C ）

A 、1515sin cos

B 、221212cos sin ππ-

C 、

22251225tan .tan .- D

；

（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的（） A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件；

（3）已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为___7

_ ；

（4）

110sin -的值是____ 4 __；

(5)已知0

tan110a =，求0

tan 50的值（用a ，乙求得的

结果是2

12a a

-，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______甲、乙都对 ;

12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，

2()()αβαβα=+--，22

αβ

αβ++=?

，

(

)()

2αβ

ααβ+=-

等），

例10．（1）已知2tan()5αβ+=

，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是____3

_ ；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2

sin()αβ-=，求c o s ()αβ

+的值；答案：490

729

（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3

cos()5

αβ+=-，则y 与x 的函数关系

为______ 43

(1)55

y x x =<< ；

(2)三角函数名互化(切割化弦)，

例11．（1）求值sin 50(13tan10)+；（答案：1

（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值；答案：1

(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。

例12．（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B

+＝

__2

_；

(2)设ABC ?中，tan A tan B Atan B ++=，sin Acos A =

是__ 等边 __三角形；

(4)三角函数次数的降升(降幂公式：2

1cos 2cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=与升幂公式：2

1cos 22cos αα+=，2

1cos 22sin αα-=)。

例13．(1)若3

(,)αππ∈，

为_____ sin 2α

；

（2）

函数2

5f (x )sin x cos x x =

-x R )∈的单调递增区间为_______

51212

[k ,k ](k Z )ππππ-+∈

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。例14．（1）化简tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα

αα

+；（）

（2）求证：

1tan 1sin 212sin 1tan 2

2ααα

++=--；（sin α）

（3）：化简

4221

2cos 2cos 22tan()sin ()44

x x x x ππ-+

-+ （1cos 22x ） (6)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22

sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42

ππ===等），

例15．已知tan 2α=，求22

sin sin cos 3cos αααα+-.（35

）

(7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”

，例16．（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = 21

t -± __，特别提醒

：这里

[t ∈；

（2）若1(0,),sin cos 2

απαα∈+=，求tan α的值。

；

（3）已知

2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42

ππ

α<<，试用k 表示sin cos αα-

13、辅助角公式中辅助角的确定

：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在

的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b

θ=

确定)在求最值、化简时起着重要作用。例17．（1）

若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___[－2,2]________.；

（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是___ 3

- ___；（3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= －2 ；

（4）求值：

=?+?

-?20sin 6420cos 120sin 32

2_______32_ ； 14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方

法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222

ππ

ππ的五点，

再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：（1）定义域：都是R 。

（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22

x k k Z π

π=+

∈时，y 取最大值

1；当

()322

x k k Z π

π=+

∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。例18．（1）若函数sin(3)6

y a b x π

=-+的最大值为23，最小值为21

-，则=a __，=b ；

答案：1

,12

a b =

=或1b =- （2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,

2[π

π-∈x ）

的值域是____ [－1, 2] ；（3）若2αβπ+=，则6y c o s s i n βα=-的最大值和最小值分别是_7___ 、__－5___；

（4）函数2()2cos sin()3

f x x x x π

=+sin cos x x +的最小值是__2___，

此时x ＝ ()12

k k Z π

π+

∈ ；

（5）己知21cos sin =

βα，求αβcos sin =t 的变化范围；1

[0,]2

（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα2

2sin sin +=y 的最大、最小值。1max =y ，

222min -=y

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||

T πω=

。例19．(1)若3sin

)(x

x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___ 0 ；

(2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4

sin x -的最小正周期为___ π _；

(3) 设函数)5

2sin(

2)(π

+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为__ 2 __；

（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2

x k k Z π

π=+

∈；余弦函数cos ()

y x x R =∈

是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ?

?+∈

?，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。

例20．（1）函数522y sin x π??

=- ???

的奇偶性是______偶函数；（2）已知函数3

1f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=－5_；

（3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________；128k (

,)(k Z )ππ-∈；28

k x (k Z )ππ=+∈ （4）

已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。

k (k Z )π

θπ=+∈

（5）单调性：

()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()

32,222k k k Z ππππ?

?++∈???

?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ 16、形如sin()y A x ω?=+的函数：

（1）几个物理量：A ―振幅；1

f T

=―频率（周期的倒数）；x ω?+―

相位；?―初相；

（2）函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A

由周期确定；?由图象上的特殊点确定，

例21．()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||?<如图所示，则()f x ＝___15()2sin(

)23

f x x π

=+ ；（3）函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，

3,,

,22

ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：

①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；

②函数()s i n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的

，得到函数()sin y x ω?=+的图象；

③函数()s i n y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数

sin()y A x ω?=+的图象；

④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。

要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移

个单位，例22．（1）函数2sin(2)14

y x π

-的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？；

2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象，

再向左平移8

个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小

到原来的1

即得sin y x =的图象

(2) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2

y =的图象向_左__平移

__2

__个单位；（3）将函数72sin(2)13

y x π

+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量；

答案：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6

a π

-答：

）（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的

交点，则k 的取值范围是

；

（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将

sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。

例23．（1）函数23

y sin(x )π

=-+

的递减区间是______ ；

（2）12

34x y log cos(

)π

=+的递减区间是_______ ；（3）设函数)22,0,0)(sin()(π?πω?ω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3

2π=x 对称，

它的周期是π，则（）

A 、)21

,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[

,]123

ππ

上是减函数 C 、)0,12

5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A ；（4）对于函数()2sin 23f x x π??

=+ ??

给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12

x π

=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移

个单位得到；④图像向左平移

个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。其中正确结论是_______ ；（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距离

为

，那么此函数的周期是_______ ； 17、正切函数tan y x =的图象和性质：

（1）定义域：{|,}2

x x k k Z π

π≠+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的

定义域了吗？

（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =

cos x +的周期为

，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期

不变；

（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π??

???

()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称

轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ??

++∈ ???

内都是增函数。但要注意

在整个定义域上不具有单调性。如下图：

(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于

第三边的平方.

(2)正弦定理：

2sin sin sin a b c R A B C

===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b

ii A B C R R

=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：2

2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc

+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三

角形的形状.

(4)面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.

如ABC ?中，若C B A B A 2

2222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角三

角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：

,sin()sin ,sin

cos 22

A B C

A B C A B C π++=-+==；

（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

例24．（1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、

，且A=60 4,a b ==，那么满足条件的ABC ? A 、有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定（）；

（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的__ __条件；（3）在ABC ?中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝___ __；

(4)在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++

3sinC )a sin B -=，则C ∠＝__ __；

（5）在ABC ?中，若其面积222

S =，则C ∠=___ _；

（6）在ABC ?中，60 1A ,b ==ABC ?外接圆的直径是_____ __；

（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C

的对边，2

1,cos 32

B C

a A +==

则= ，22b c +的最大值为

；

（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是；

（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=，且,,AOB BOC COA ???的面积满

足关系式AOB BOC COA S S ???+=，求A ∠．

19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsin a 表示一个角，这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ??

???

?内(11)a -≤≤。(2)反正弦arcsin x 、反余弦arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2

,2(],,0[],2,2[πππππ--.

在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？

(0,],[0,],[0,]22πππ，[)π,0， [0,),[0,),[0,]2

ππ．

20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。例25．（1）若,(0,)αβπ∈，且t a n α、tan β是方程2

560x x -+=的两根，则求αβ+的值______ ；

（2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_____ __；

（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求

βα-的值

例26．已知函数x

x x x f 2cos 4

sin 5cos 6)(24-+=，求：（1）函数f (x )的定义域；

（2）函数f (x )的周期和值域.

例27．已知.0cos 35cos sin )515(sin ),2

(22=---∈θθθθπ

πθ（I ）求θcos ；（Ⅱ）若)(,2

cos sin cos 34cos sin 15154)(2x f x x x x f 求+-=θθ的最小正周期及单调递减区间.

例28．已知：（Ⅰ）(),x R f x ∈若求的最小正周期;

（Ⅱ） (

)()

22cos 2.

f x x x a a R =+∈其中(),3,66f x a ππ??

-??若在上最大值与最小值之和求的值.

（答：25-；5

π-）（答：Z k k ∈+

2π

π）

（答：一、三）（答：22cm ）（答：713

）；（答：（－1，)23）；（答：负）(答：

tan sin cos θθθ<<)；（答：sin tan ααα<<）；（答：2(2,2]()33

k k k Z ππ

ππ-+∈）

（答：

大于0）；（答：[0,]4π],4

[ππ）；

（答：12

5-）；（答：35-；513）；答：B （答：－1）（答：23-）（答：54-；1003-）（答：C ）（答：725）（答：4）（答：甲、乙都对）（答：322）（答：490

729

）

（答：43(1)55y x x =<<）

（答：1）（答：1

）（答：2-）（答：等边）（答：sin 2α）（答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）（答：sin α）（答：1cos 22x ）（答：35）（答：212

t -±）

（答：43+-）（答：[－2,2]）(答：32-)(答：－2)(答：32)（答：1

a b ==或1b =-）（答：[－1, 2]）（答：7；－5）（答：2；()12k k Z ππ+∈）（答：1

[0,]2

）

（答：1max =y ，222min -=y ）

（答：0）（答：π）（答：2）（答：偶函数）（答：－5）（答：128

k (,)(k Z )ππ

-∈、

28k x (k Z )ππ=+∈）

（答：6k (k Z )πθπ=+∈）（答：15()2sin()23

f x x π

=+）（答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象，

再向左平移8

个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原

来的

12即得sin y x =的图象）（答：左；2π）（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6a π=--）

（答：）

（答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）（答：336644

[k ,k ](k Z )π

πππ-+∈）

（答：C ）（答：②④）（答：π）答：C （答：充要）（答：1

）（答：60）（答：30）

（答：3）（答：

1932;）

（答：06C π<≤）（答：45）（答：34π）（答：3

）（答：23π）解：（1）2

202cos π

π+

≠?≠k x x

得)(2

2Z k k x ∈+≠

π （2）化简得 ).4

2(212cos 23)(ππ+≠+=

k x x x f 所以周期T=]2,2

()21,1[,?-值域为π

解：（I ）035tan )515(tan ),2

3,(2=---∈θθπ

πθ则

解出5tan 15tan -==θθ或（舍去）

)

](65,3[)()

53,

)(,)(2

326222:2

2)62sin(2cos 212sin 232122cos 12sin 2321cos cos sin 321cos sin )41(34cos )415(15154)()2

3,(,415cos 1sin )(4

1tan 11cos 2222Z k k k x f Z k k x k x f Z k k x k x T x x x x x x x x x x x x f II ∈++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+==∴-=-=++-=+

-=+-?--?=∈-

=--=-

=+-

=∴π

ππππππππ

πππππ

ππππθθθθ

θ单调减区间为即是减函数时满足当

已知：（Ⅰ）(),x R f x ∈若求的最小正周期;

（Ⅱ）

解：()1cos 222sin(2)16

f x x x a x a π

=++=+++ ……3分

（Ⅰ）最小正周22T π

π== ……6分

（Ⅱ）1[,]2[,]sin(2)16666226

x x x ππππππ

∈-∴+∈-∴-≤+≤ ……9分

即max min ()21

()11

f x a f x a =++??

=-++?233a ∴+= 即：0a =解：（I ）

035tan )515(tan ),2

(2=---∈θθπ

πθ则解出5tan 15tan -==θθ或（舍去）

)

](65,3[)()

53,

)(,)(2

326222:2

2)62sin(2cos 212sin 232122cos 12sin 2321cos cos sin 321cos sin )41(34cos )415(15154)()2

3,(,415cos 1sin )(4

1tan 11cos 2222Z k k k x f Z k k x k x f Z k k x k x T x x x x x x x x x x x x f II ∈++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+==∴-=-=++-=+

-=+-?--?=∈-

=--=-

=+-

=∴π

πππ

πππππ

ππππθθθθ

θ单调减区间为即是减函数时满足当

()()

2cos 2.

f x x x a a R =+∈其中(),3,66f x a ππ??

-???若在上最大值与最小值之和求的值.

解：()1cos 222sin(2)16

f x x x a x a π

=++=+++ ……3分

（Ⅰ）最小正周22T π

π== ……6分

（Ⅱ）1[,]2[,]sin(2)16666226

x x x ππππππ

∈-∴+∈-∴-≤+≤ ……9分

即max min ()21

()11

f x a f x a =++??

=-++?233a ∴+= 即：0a =

三角函数知识点及题型归纳

三角函数高考题型分类总结一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为最大值为。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是（）.

高中文科数学三角函数知识点总结

三角函数知识点一．考纲要求考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、三角恒等变换、解三角形三角函数任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +

(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o|cosx| |cosx|>|sinx| |cosx|>|sinx| |sinx|>|cosx| sinx>cosx cosx>sinx 16. 几个重要结论:O O x y x y T M A O P x y

上海高一反三角函数典型例题

反三角函数典型例题例1：在下列四个式子中，有意义的为__________：解：（4）有意义。（1）（2）arcsin 4 π ；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。例2：求下列反正弦函数值（1）= 解：3 π （2）arcsin 0= 解：0 （3）1arcsin()2-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2 π 点评：熟练记忆：0，1 2 ±、，，1±的反正弦值。思考：1sin(arcsin )24 π +该如何求？例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x ＝变式：x [,]2 π ∈π? 解：x [,]2π ∈π时，π－x [0,]2 π∈，sin(π－x)＝sinx ∴π－x ＝，则x ＝π－变式：x [0,]∈π? 解：x ＝x ＝π－(2)1sin x 4=-，x [,]22ππ∈- 解：1 x arcsin 4 =- 变式：1 sin x 4=-，3x [,2]2π∈π 解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2 π∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝1 4 ∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1 4 点评：当x [,]22ππ ∈-时，x arcsin a =；而当x [,]22ππ?-，可以将角转化到区间[,]22 ππ-上，

再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。练习： (1)sin x = ，x [,]22ππ ∈- 解：x 3π= (2)sin x =，x [0,]∈π 解：x arcsin =x =π-(3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3 x arcsin 5 =π+ 例4：求函数y 2arcsin(52x)=-的定义域和值域。解：由152x 1-≤-≤，则x [2,3]∈，arcsin(52x)[,]22ππ-∈-，则y [,]∈-ππ。变式：y sin x arcsin x =+ 解：x [1,1]∈-，y [sin1,sin1]22 ππ ∈--+ 思考：当3x [,]44 ππ ∈-时，求函数y arcsin(cos x)=的值域。解：当3x [, ]44ππ∈-时t cos x [=∈，而y arcsin t =为增函数，则y [,]42 ππ∈-。例5：求下列函数的反函数 (1) y sin x =，x [,]2 π∈π 解：y [0,1]∈，x [,0]2 π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-，则x arcsin(y)-π=-，则x arcsin y =π-，则反函数是1f (x)arcsin x -=π-，x [0,1]∈。 (2) y arcsin x =，x [0,1]∈ 解：y [0,]2π∈，x sin y =，则反函数是1f (x)sin x -=，x [0,]2 π∈。

高中三角函数典型例题(教用)

【典型例题】： 1、已知2tan =x ，求x x cos ,sin 的值．解：因为2cos sin tan == x x x ，又1cos sin 22=+a a ，联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=???????==x x x x 2、求) 330cos()150sin()690tan() 480sin()210cos()120tan(οοοοοο----的值。解：原式) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o ο οοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3、若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求x x cos sin 的值．解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=- 得到x x cos 3sin -=，又1cos sin 22=+a a ，联立方程组，解得，，??? ??? ?=-=???????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =10 3 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-，所以2 2)cos (sin 4)cos (sin x x x x +=-，所以x x x x cos sin 84cos sin 21+=-，

三角函数知识点及典型例题

三角函数知识点及典型例题 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、与角α终边相同的角的集合：{} |360,S k k Z ββα==+?∈ . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l =α. 3、弧长公式： R 4、扇形面积公式： S=21 lr=2 1αr 2. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么： x y x y = ==αααtan ,cos ,sin . 2、设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=） _______ sin r y =α，________cos r x =α，_____tan x y =α. 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余和三角函数线的画法. 4、诱导公式一： ()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+k k k （Z k ∈） 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、平方关系：2 2 sin cos 1αα+=.2、商数关系：sin tan cos α αα =. §1.3、三角函数的诱导公式 1、诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四： ()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=- 4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=?? ? ??-=??? ??-

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

反三角函数典型例题

精品文档 5 5 (1) sin x 解: (2) sin x [0,] 解: (3) sin x 处］解: 3 ?胚或 arcs in 或 x 3 .3 arcsin .3 arcsin - 3 反三角函数典型例题例2:求下列反正弦函数值 1 sin( arcs in )该如何求? 2 4 用反正弦函数值的形式表示下列各式中的变式：x ［一，］? 2 解: x [2,] 时，n —x 【°,2]， sin( n — x) =sinx = ￡ ? n — x = arcsin —3 ，贝U x = n — arcsin — 3 5 5 解: x = arcsin — 3 或 x = n — arcsin —3 5 例1:在下列四个式子中，有意义的为解：（4）有意义。 (1) arcs in . 2 ； (2) arcsin _ ； (3) 点评：arcsinx 4 1,1]。 sin( arcs in 2) ； ( 4) arcsin(sin2)。 (1) arcsin - 2 (2) arcsin0 解：0 (3) arcsin(-) 2 点评: 1 熟练记忆：0,- 2 解：- 6 2， (4) arcs ini 1的反正弦值。思考: (1)sinx ￡，x [ -,^] 解: .43 x = arcs in 5 变式：x ［0, ]? ⑵ sin x - 4 变式：si nx 2 2 x [—,2 ] 2 解: .1 arcs in 4 3 解：x [ ,2 2 ]时，2 - x [0,2]， 1 sin( 2 n — x) = — sinx =— 4 2 n — x = 1 山 arcs in ，贝U x = 2 n — arcs in — 点评：当 x ［ 2, 2 ］时， x arcsina ；而当处理对应角之三角比值即可。［舊］，可以将角转化到区间［形］上，再用诱导公式练习:

高中数学基础知识典型例题4——三角函数

数学基础知识与典型例题第四章三角函数三角函数相关知识关系表角的概念1.①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）:{}Z k k∈ + ? =, 360 |α β β ; ②终边在x轴上的角的集合:{}Z k k∈ ? =, 180 | β β; ③终边在y轴上的角的集合： {}Z k k∈ + ? =, 90 180 | β β; ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k∈ ? =, 90 | β β. 2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2π180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，例1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( ) ()2 A ()sin2 B 2 () sin1 C ()2sin1 D 例 2. 已知α为第三象限角,则 2 α 所在的象限是( ) (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零,熟记特殊角的弧度制. 3.弧度制下，扇形弧长公式 1 2 r α =，扇形面积公式2 11 || 22 S R Rα ==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。三角函数的定义 1.三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,) P x y（与原点不重合），记 22 || r OP x y ==+，则sin y r α=，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α=。注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量, 以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式: ①诱导公式：即 2 kπ αα ±→或 90 2 k αα ±→ 之间函数值关系() k Z ∈，其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；如sin(270) α -=cosα - ②同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系. ⑶重视用定义解题. ⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法.如单位圆例 3.已知角α的终边经过P(4,-3),求 2sinα+cosα的值. 例 4.若α是第三象限角,且cos cos 22 θθ =-, 则 2 θ 是( ) ()A第一象限角 ()B第二象限角 () C第三象限角 () D第四象限角例5. 若cos0, θ>sin20, θ< 且

三角函数知识点总结及练习题

高中数学必修4三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合：；与α角终边关于x 轴对称的角的集合：；与α角终边关于y 轴对称的角的集合：；与α角终边关于x y =轴对称的角的集合：（3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角：；第四象限角：；第一、三象限角：； ②写出图中所表示的区间角：（4）由α的终边所在的象限，来判断2α所在的象限，来判断3 α所在的象限（5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一角α的弧度数的绝对值r l =||α，其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。（6）弧长公式：；半径公式：；扇形面积公式：；练习：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（22cm ）二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系 I ）在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （注意r>0）练习：已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。 II ）作单位元交角α的终边上点),(y x P ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；练习：（1）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ （sin tan ααα<<）（2）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,33x k x k k Z ππππ??∣- <≤+∈???? （3）特殊角的三角函数值：三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系

初中三角函数知识点总结(中考复习)

锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得由B A C

切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角铅垂线水平线视线视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。反比例函数知识点整理一、反比例函数的概念 :i h l =h l α

(完整word版)反三角函数典型例题.docx

反三角函数典型例题例 1：在下列四个式子中，有意义的为 __________：解：（ 4）有意义。（ 1） arcsin 2 ；（ 2） arcsin ；（ 3） sin(arcsin 2) ；（ 4） arcsin(sin 2) 。 4 点评： arcsin x —— x [ 1,1]。例 2：求下列反正弦函数值（ 1） arcsin 3 解：（ 2） arcsin0 解： 0 2 3 （ 3） arcsin( 1) 解：（4） arcsin1 解： 2 6 2 点评：熟练记忆： 0， 1 2 3 、，，的反正弦值。 2 2 2 1 思考： sin(arcsin 1 4) 该如何求？ 2 例 3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的 x (1) sin x 3 ， x [ , ] 3 5 解： x ＝ arcsin 2 2 5 变式： x [ , ] ? 2 解： x [ , ] 时， π－ x [0, 3 ] ， sin(π－ x)＝ sinx ＝ 2 2 5 ∴ π－ x ＝ arcsin 3 ，则 x ＝π－ arcsin 3 5 5 变式： x [0, ] ? 解： x ＝arcsin 3 或 x ＝ π－arcsin 3 5 5 (2) sin x 1 ， x [ , ] 解： x arcsin 1 4 2 2 4 变式： sin x 1 ， x [ 3 ,2 ] 4 2 解： x [ 3 ] 时， 2π－ x [0, ] ， sin(2π－ x)＝－ sinx ＝ 1 ,2 4 2 2 ∴ 2π－ x ＝ arcsin 1 ，则 x ＝2π－ arcsin 1 4 4 点评：当 x [ , ] 时， x arcsina ；而当 x [ , ] ，可以将角转化到区间 [ , ] 上，再用诱导公式 2 2 2 2 2 2 处理对应角之三角比值即可。练习： (1) sin x 3 [ , ] 解： x ， x 3 2 2 2 (2) sin x 3 [0, ] 解： x arcsin 3 3 ， x 或 x arcsin 3 3 3 (3) sin x 3 ， x [ , 3 ] 解： x arcsin 3

三角函数典型例题剖析与规律总结00

学科: 数学任课教师：黄老师授课时间：2013年3月日(星期) 1 :00-1 :00 姓名年级：教学课题三角函数典型例题剖析与规律总结阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划共次课第次课课前检查作业完成情况：__________________ 建议_________________________________________________________ 教学过程一：函数的定义域问题 1.求函数1 sin 2+ =x y的定义域。分析：要求1 sin 2+ = y的定义域，只需求满足0 1 sin 2≥ + x的x集合，即只需求出满足 2 1 sin- ≥ x的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk2()Z k∈即可。解：由题意知需0 1 sin 2≥ + x，也即需 2 1 sin- ≥ x①在一周期? ? ? ?? ? - 2 3 , 2 π π 上符合①的角为? ? ? ?? ? - 6 7 , 6 π π ,由此可得到函数的定义域为? ? ? ?? ? + - 6 7 2, 6 2 π π π πk k()Z k∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1 ,0 log≠ > =a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域例。求下列函数的值域（1）x y2 sin 2 3- =（2）2 sin 2 cos2- + =x y x 分析：利用1 cos≤ x与1 sin≤ x进行求解。解：（1） 1 2 sin 1≤ ≤ -x∴[]5,1 5 1∈ ∴ ≤ ≤y y （2） ()[].0,4 ,1 sin 1 1 sin 1 sin 2 sin 2 sin 22 2 2 cos- ∈ ∴ ≤ ≤ - - - = - + - = - + =y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。

三角函数知识点及例题讲解

三角函数知识点 1.特殊角的三角函数值：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα == ） 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令＝＝ αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα =±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-， 2()()αβαβα=+--，22 αβαβ++=?，()( ) 222αββ ααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如

(； (3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42 ππ=== 等），. 。（4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π ω=。如（5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ? ?=-+∈??? ?在上单调递增，在 ()32,222k k k Z ππππ??++∈??? ?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ (6)、形如sin()y A x ω?=+的函数： 1几个物理量：A ―振幅；1 f T =―频率（周期的倒数）； x ω?+― 相位；?―初相； 2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由周期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2 π?<()f x ＝_____（答：15()2sin()23 f x x π =+）； 3函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,,222 ππ ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()si n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数 ()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由 ()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位，如（1）函数2sin(2)14 y x π =--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号：记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + —

反三角函数及最简三角方程.docx

标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作 22 y arcsin x . y sin x( x R) ，不存在反函数. 含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x . 22 反余弦、反正切函数同理，性质如下表. 名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增, 2奇函数增函数 2 y arccosx arccos( x)arccosx 反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增, 2奇函数增函数 2 y arc cot x arc cot( x)arc cot x 反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号 arcsin x 可以理解为－， ] 上的一个角弧度，也可以理解为 1[ 2 () 2 区间[－， ] 上的一个实数；同样符号 arccos x 可以理解为 [0 ，π 上的一个角2 ] 2

(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y 22 ＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ R arcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0, 22 π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件； 22 （4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。 22 2、最简单的三角方程方程方程的解集 a1x | x2k arcsin a, k Z sin x a a1x | x k 1 k arcsin a, k Z a1x | x2k arccos a, k Z cos x a a1x | x2k arccos a, k Z tan x a x | x k arctana, k Z cot x a x | x k arc cot a, k Z 其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的

【高中数学经典】三角函数的诱导公式重难点题型(举一反三)

【高中数学】三角函数的诱导公式重难点题型【举一反三系列】三角函数的诱导公式【知识点1诱导公式】【知识点2诱导公式的记忆】诱导公式一: sin(α+2kπ) = Sin a , cos(α + 2kπ) = COSα, taιι(α + 2kπ) = xana ,其中 k ∈Z 诱导公式二: sin(∕r + G) = -Sin a, cos(∕r+α) =—COSα, tan(∕r+α) = tana,其中keZ 诱导公式三: sin(-a) =-Sina, cos(-a) = COSa , tan(-a) = -taιιa ,其中k ∈Z 诱导公式四: cos(∕F -a) = -cosa, taιι(^?-a) = -tana,其中k ∈Z 诱导公式五: Sin π ——a 2 COS π ——a 2 = Sina ,其中R ∈Z 诱导公式六: Sin π —+a 2 COS —+a =-sinα ,其中k ∈Z U 丿

记忆11诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角k-90 ±a(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视Q 为锐角时原函数值的符号. 【考点1利用诱导公式求值】【方法点拨】对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值. 【例1】(2018秋?道里区校级期末)已知点P(l,l)在角Q 的终边上，求下列各式的值. T 、 COS (Λ^ + α)sin(^? - a) (I )------------------------------------- ； tan(∕r + α) + sin 2 (彳-a) sin(- + α)cos(- 一 a) (II) 、 2 、——召—— cos^ a - sm^ a + tan(;T - a) 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得smα, cosα, Sna 的值，再利用诱导公式即可求得要求式子的值. 【答案】解：?.?角α终边上有一点P(l,l), .x = l , y = l , r =|OP I= √7, Sill CL = — = _ , COS Ct = — = — , tan Ct — -- = It r 2 r 2 X ([) cos(∕r + α)sin(%-α) 、 -、，兀、 tan(^? + α) + sιn^ (― 一 a) ./3∕r 3π ([[)SInq-+Q )COS (T _Q ) _ (γosα)(-smα) cos 2 a - sin 2 a + tan(∕r - a) cos 2a - sin 2a 一 tan a 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题. 【变式1-1】 (2019春?龙潭区校级月考)己知tan(^+ ?) = -!,求下列各式的值: -COSa ?smα ton a + cos 2(x

高一三角函数知识点梳理总结

高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+<

人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案解析

人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案解析一、选择题 1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4B = ，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则AE AD 的值（） A ．35 B ．34 C ．45 D ．67 【答案】D 【解析】【分析】根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝37 AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝ 12AB ，进而可求得AE AD 的值．【详解】解：∵CE 平分ACB ∠， ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等，设点E 到ACB ∠的两边距离位h ，则S △ACE ＝12AC·h ，S △BCE ＝12 BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝ 12AC·h ：12 BC·h ＝AC ：BC ，又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ， ∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4B = ， ∴AC ：BC ＝3:4， ∴AE ：BE ＝3:4 ∴AE ＝37 AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝12 AB ，

∴3 6 7 17 2 AB AE AD AB ==，故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE：BE＝AC：BC 是解决本题的关键． 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC上找一点B，取145 ABD ∠=o，500 BD m =，55 D ∠=o，要使A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（） A．500sin55m o B．500cos55m o C．500tan55m o D． 500 cos55 m o 【答案】B 【解析】【分析】根据已知利用∠D的余弦函数表示即可．【详解】在Rt△BDE中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD?cosD=500cos55°．故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．3．在半径为1的O e中，弦AB、AC32，则BAC ∠为（）度．A．75B．15或30C．75或15D．15或45 【答案】C 【解析】【分析】根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知： 32 AE．