可交换矩阵
矩阵可交换性的应用讲解
2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用 学号：11404111 姓名：郭冬冬 班级：数学1101 指导教师：闫慧凰 专业：数学与应用数学 系别：数学系 完成时间：2014年4月
学生诚信承诺书 本人郑重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：日期： 指导教师声明书 本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。 指导教师签名：时间
摘要 矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。 关键词：矩阵；可交换
目录 1.绪论 (1) 2.基础知识 (1) 2.1 矩阵相关概念 (1) 2.2 线性变换相关概念 (2) 3.矩阵可交换的应用 (3) 3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 (3) 3.2上三角矩阵可交换的应用 (4)
可交换矩阵
可交换矩阵 目录 1矩阵可交换的几个充分条件和必要条件定理1 1定理2 1定理3 1定理4 1定理5 1定理6 1可交换矩阵的一些性质性质1 1性质2 展开 满足乘法交换律的方阵称为可交换矩阵,即矩阵A，B满足：A·B=B·A。高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。下面所说的的矩阵均指n 阶实方阵.。 编辑本段矩阵可交换的几个充分条件和必要条件 定理1 下面是可交换矩阵的充分条件：(1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换; (2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换; (3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换; (4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换; (5) 设A , B 均为准对角矩阵,则A , B 可交换; (6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换; (7) 设A可逆,则A 与A 可交换; (8) 设AB = E ,则A , B 可交换. 定理2 (1) 设AB =αA +βB ,其中α,β为非零实数,则A , B 可交换; (2) 设A m +αAB = E ,其中m 为正整数,α为非零实数,则A , B 可交换. 定理3 (1) 设A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,则A , B 可交换; (2) 设A , B 均可逆, 若对任意实数k , 均有A = ( A - k·E) B ,则A , B 可交换. 矩阵可交换的几个充要条件 定理4 下列均是A , B 可交换的充要条件: (1) A - B = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A
矩阵基本性质
矩阵的基本性质 矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…,
（2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2）
8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵
交换矩阵
可交换矩阵的一些基础知识 来到大学进入数学系学习才第一次知道了矩阵,了解到其实它是数学中极其重要的一个工具.如同我们最了解的数字符号一样,矩阵也有着自己的运算法则.这整个的矩阵理论是建立在矩阵的运算上的.所以对于矩阵运算的研究在矩阵理论中骑着至关重要的作用.这篇论文我着重讨论一下可交换矩阵. 一、可交换矩阵 我们都知道矩阵的乘法是不满足交换律的即一般情况下对于矩阵,A B 是 AB BA ≠。 为什么会会出现这种情况呢，总的来说两个矩阵相乘可能出现以下情况： （1）AB 有意义时候，BA 不一定就有意义； 比如说：1111n s sn a a A a a ?? ?= ? ??? ，1111n m mn b b B b b ?? ? = ? ? ?? 。s p ≠， 所以A B =1111 q s sq c c C c c ?? ? = ? ? ?? 。但是BA 却是无意义的。 （2）AB 与BA 均有意义时候两者阶数不一定相同，自然就不相等了； 比如说有1111n m mn a a A a a ?? ?= ? ??? ， 1111 m n nm b b B b b ?? ? = ? ? ?? 。 依此有AB =C =1111m m mm c c c c ?? ? ? ??? ，但是BA =D =1111n n nn d d d d ?? ? ? ??? 。 显然有C D ≠。 （3）AB 与BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是不一样。 比如说：矩阵A =2111??????，B =1212?? ?? ?? 。 AB =211236111224?????? =???????????? =C ；
矩阵可交换性质
矩阵可交换的条件及其性质 摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法. 关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵 The Conditions For The Commutation Of Matrix and Some Properties Abstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the core of the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced. Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix
目录 1 引言........................................................................................................................................ - 1 - 2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 - 3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 - 3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 - 4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. - 5 - 5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 - 5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 - 6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 - 7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -
(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.
内蒙古财经大学本科学年论文 可交换矩阵成立的条件与性质 作者： 系别： 专业： 年级： 学号： 指导教师： 导师职称：
指导教师评语： 该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完 成。在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完 成论文初稿的书写，书写基本符合规范。但对参考书目 及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的 理解及总结。 成绩：中 指导教师：
内容提要 矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的 理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下， AB BA.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多 特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交 换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵. 关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵 Abstract Matrix is an importantcontent inaltitude-mathematics,it has agreattheoretic significanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefields.Asfaraswe haveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunder thenormal condition,thatis tosay,normally, AB BA.Whereas, insomecertain conditions, the multiplicatio n of matrix couldsatisfy the exchange rule. The exchangeable matrixhasmanyspecial properties and important effections. This paperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyof theexchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeable matrix.All of thesearediscussed from the conceptof exchangeable matrix and relativeinformation. KeyWords：matrix interchangeable conditions property upper triangularmatrix
矩阵可交换成立的条件与性质
毕业设计（论文） 题目矩阵可交换成立的条件与性质 学院理学院专业数学与应用数学年级2008级班级0814 姓名吴锦娜学号2008530088 指导教师李伟职称副教授
矩阵可交换成立的条件与性质 [摘要] 矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB ．但是，在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很BA 多特殊的性质和重要的作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵． [关键词]矩阵可交换条件性质应用
The Conditions for The Commutation of Matrix and Its Some Properties [Abstract] Matrix, a important content in altitude－mathematics, has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally,AB≠BA. Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effection. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and part of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information. [Keywords]Matrix Interchangeable Conditions Property Application
可交换矩阵成立的条件和性质.
财经大学本科学年论文 可交换矩阵成立的条件与性质 作者： 系别： 专业： 年级： 学号： 指导教师： 导师职称：
指导教师评语： 该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间的完成。在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规。但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。 成绩：中 指导教师：
容提要 矩阵是高等数学中一个重要的容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理 论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多BA 特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换 的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵. 关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵 Abstract Matrix is an important content in altitude-mathematics,it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally, AB≠. Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix BA could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.
可交换矩阵的几个充要条件及其性质
可交换矩阵的几个充要条件及其性质 在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB 有意义时,矩阵BA 未必有意义,即使AB ,BA 都有意义时它们也不一定相等.但是当A ,B 满足一定条件是,就有BA AB =,此时也称A 与B 是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n 阶实方阵. §1 矩阵可交换成立的几个充分条件 定理1.1(1)设A ,B 至少有一个为零矩阵,则A ,B 可交换; (2)设A ,B 至少有一个为单位矩阵,则A ,B 可交换; (3)设A ,B 至少有一个为数量矩阵,则A ,B 可交换; (4)设A ,B 均为对角矩阵,则A ,B 可交换; (5)设A ,B 均为准对角矩阵,则A ,B 可交换; (6)设*A 是A 的伴随矩阵,则A 与*A 可交换; (7)设A 可逆,则A 与1-A 可交换; (8)设E AB =,则A ,B 可交换. 证 (1)对任意矩阵A ,均有OA AO =,O 表示零距阵,所以A ,B 至少有一个为零矩阵时,A ,B 可交换; (2)对任意矩阵A ,均有EA AE =,E 表示单位矩阵，所以A ,B 至少有一个为单位矩阵时,A ,B 可交换; (3)对任意矩阵A ,均有A kE kE A )()(=,k 为任意实数,则)(kE 为数量矩阵,所以A ,B 至少有一个为数量矩阵时,A ,B 可交换; (4),(5)显然成立; (6)A A E A AA **==,所以矩阵A 与其伴随矩阵可交换; (7)A A E AA 11--==,所以矩阵A 与其逆矩阵可交换; (8)当E AB =时,A ,B 均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A ,B 可交换. 定理1.2(1)设B A AB βα+=,其中α,β为非零实数, 则A ,B 可交换, (2)设E AB A m =+α,其中m 为正整数,α为非零实数,则A ,B 可交换.
线性代数：可交换整理
下面是可交换矩阵的充分条件： (1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A , B 可交换; (2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A , B可交换; (3) 设A , B 至少有一个为数量矩阵, 则A , B可交换; (4) 设A , B 均为对角矩阵,则A , B 可交换; (5) 设A , B 均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵）,且对角线上的子块均可交换，则A , B 可交换; (6) 设A*是A 的伴随矩阵,则A*与A可交换; (7) 设A可逆,则A 与其逆矩阵可交换; 注：A的逆矩阵经过数乘变换所得到的矩阵也可以与A进行交换。 (8) （n=0,1..., ）可与(m=0,1..., )交换.这一点由矩阵乘法的结合律证明。 定理2 (1) 设AB =αA +βB ,其中α,β为非零实数,则A , B 可交换; (2) 设A m +αAB = E ,其中m 为正整数,α为非零实数,则A , B 可交换. 定理3 (1) 设A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,则A , B 可交换; (2) 设A , B 均可逆, 若对任意实数k , 均有A = ( A - k·E) B ,则A , B 可交换. 定理4 下列均是A , B 可交换的充要条件: (1) A2 - B2 = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B) (2) ( A ±B) 2 = A 2 ±2 AB + B2 ; (3) ( AB)T= ATBT; (4) ( AB)*= A*B* 定理5 可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是： (AB) = A ·B . 定理6 (1) 设A , B 均为(反) 对称矩阵, 则A , B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵; (2) 设A , B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A , B 可交换的充要条件是AB 为反对称性质1 设A , B 可交换,则有: (1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是正整数; (2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换; (3) A - B = ( A - B ) ( A + A B …+B ) = ( A + A B + …+ B) ( A - B) (4) ( A + B )^m = (矩阵二项式定理) 性质2 设A , B 可交换, (1) 若A , B 均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵; (2) 若A , B 均为幂等矩阵, 则AB , A + B -AB 也为幂等矩阵; (3) 若A , B 均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵; (4) 若A , B 均为幂零矩阵,则AB , A + B 均为幂零矩阵.
第二章 矩阵 易错点总结
第二章矩阵 2.1 矩阵及其运算 重点及易错点 1.数量阵和单位阵的定义（p49）：有同学计算A-E时把E错写成数量阵 2.矩阵乘法的可交换问题：AB-A=A（B-E）（错误：（B-E）A）（p54-55） 3.矩阵加法和行列式加法的区分（矩阵：对应元素相加；行列式：一次加一行或一列） 4.矩阵的数乘和行列式的数乘（矩阵：所有元素都乘；行列式：一行或一列） 5.AB=0有条件B≠0 A=0 6.p52 加法运算律p55 乘法运算律 知识点总结 矩阵的定义、加法、乘法、数乘、转置和对称矩阵 【习题】p62 :3（5）、（7）的维数问题 4（3）的计算方法，找规律 11（2）找规律，简化计算 2.2 逆矩阵 重点及易错点 1.矩阵的行列式及性质：p64（注意：方阵才有对应的行列式） 2.伴随矩阵、逆矩阵的计算要掌握（联想：初等变换法求逆） 3.逆矩阵、伴随矩阵、原矩阵的关系（p64定理2.2定理2.3；p69例3） 注：上述关系在选择、填空中经常考察，必须要熟练掌握和应用，具体多练习一下章节习题，应该能大概体会这种题型 4.可逆矩阵的性质：p68 2.2.3 应用：矩阵多项式f（A）求逆为选择填空常考题型，掌握可逆矩阵的性质即可5.重要规律：p71 例8 结论可以直接使用 【习题／重要例题】 p70 例7 注意计算方法 p73 5、9 掌握题型
2.3 分块矩阵 需要掌握分块矩阵的加法、乘法、求逆等基本运算。 建议掌握：待定系数法求逆（p81例3）；对角阵求逆（p79）；分块简化计算（习题2.3 第3题） 2.4 矩阵的初等变换与秩（非常重要，必须熟练掌握） 1.初等变换：三种变换方法必须掌握（p83定义 2.4.1）以及矩阵等价的定义（p84） 2.阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵、标准形矩阵的定义要区分清楚（p84定义2.16；p85 定义2.17；p87定义2.17） 很多同学在在区别标准形和行简化阶梯形的时候出错，另外，区分定理2.4和定理2.5，建议同学们多读几遍。 3.化为行简化阶梯形只能采用行初等变换；而标准形行列初等变换可以同时采用 4.注意p87 例2的结论以及定理2.6（p88），是用初等变换求逆的基础 5.矩阵的秩的定义以及定理2.8（p90）并掌握初等变换求秩（p97 例4） 6.初等矩阵的定义和定理2.10掌握 7.初等变换求逆和简化计算时，区别左乘、右乘和行、列初等变换的对应关系 p96 公式（2.15）和p97 公式（2.16）的原理以及应用必须掌握 考试常考题型，可参考p96 例5 p98 例6 习题2.4 4（2）5（2） 另：大家一定注意矩阵和行列式写法的区别
矩阵可交换的条件及其性质
中文摘要 特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用. 关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵
ABSTRACT Special matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields. Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices
矩阵在某些领域的应用
论矩阵在某些领域的应用 姓名： 班级： 学院： 专业：
我们首先讨论矩阵的概念的以及应用 一、矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母 表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表 示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如， 或表示一个矩阵，下标表示元素 位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵 ，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶 方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： 。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称 为下（上）三角矩阵，例如，是一个阶下三角矩阵，而 则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域
上的矩阵构成的集合，而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。 二、矩阵的运算 1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数， 比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即 ），的元素为和对应元素的和，即：。给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。这样我们可以定义同型矩阵的减法为：。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律： （ 1）交换律：； （ 2）结合律：； 2 、数与矩阵的乘法： 设为一个数，，则定义与的乘积仍为 中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的元素的道德，即。由定义可知：。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律： （1）； （2）； （3）； （4）。 3、矩阵的乘法： 设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵德列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即，其中 ，并且。
可交换矩阵的特征探讨
可交换矩阵的特征探讨 摘要：。交换矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具,交换矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点,矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视。 关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵 引言：当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；即使矩阵AB、BA都有意义时它们也未必相等。由于矩阵的乘法不满足满足交换律，所以对于研究AB与BA的关系有重要意义。我们知道，若对n阶实方阵A，B,如果满足AB=BA，则称A、B可交换。可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义。 基本定义和相关概念 2.1.1 若同阶矩阵A、B有AB=BA，则称A与B为可交换矩阵. 2.1.2 矩阵可交换的几个充分条件 定理①设 A, B至少有一个为零矩阵，则 A, B可交换； ②设 A, B至少有一个为数量矩阵，则 A, B可交换； ③设 A, B均为对角矩阵，则 A, B可交换； ④设 A, B均为准对角矩阵，则 A, B可交换； ⑤设A*是A 的伴随矩阵，则A与A*可交换；
⑥设 AB = E ，则 A, B可交换。 证明：①对任意矩阵 A，均有： AO = OA，O表示零矩阵； ②对任意矩阵A，均有：A(kE) = (kE)A，k 为任意实数；③，④ 显然成立[2]；⑤ AA? = A?A = A E ；⑥当 AB = E 时， A,B均 可逆，且互为逆矩阵。 定理 2.2①设 AB =α A+β B ，其中α ,β为非零实数，则 A,B可交换； ②设 Am +α AB = E，其中m 为正整数，α为非零实数，则 A,B可交换。 证明：①由 AB =α A+β B 得 (A?β E)(B ?α E) =αβ E ，即1 (A β E)(B α E) Eαβ?? =，故依定理 2.1⑥得： 1 (B E) ααβ?(A ?β E) = E ，于是BA?α A?β B +αβ E =αβ E ，故BA =α A+β B = AB ；②由 Am +α AB = E 得 A(Am?1 +α B) = E ，可得 AB = BA。 定理2.3①设A可逆，若 AB = 0或故依定理 2.1⑥得(Am?1 +α B)A = E ，于是 Am +α BA = E，所以A = AB或 A = BA，则 A, B 可交换；②设 A,B均可逆，若对任意实数k ，均有 A = (A? kE)B，则 A,B可交换。