河南省部分名校2022-2023学年上学期高一第一次阶段测试卷数学试题(含答案)

2022—2023学年第一学期第一次阶段测试卷

高一数学

考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各组对象不能构成集合的是（ ） A.1~10之间的所有奇数 B.北方学院2022级大学一年级学生 C.滑雪速度较快的人

D.直线21y x =+上的所有的点

2.集合{},,M a b c =的真子集的个数为（ ） A.5

B.6

C.7

D.8

3.设a ，b R ∈，则“7a b +>”是“3a >且4b >”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既非充分又非必要条件

4.已知3x ≠且2y ≠-，2

2

64M x y x y =+-+，13N =-，则M 与N 的大小关系是（ ） A.M N > B.M N <

C.M N =

D.不能确定

5.若113A x x ⎧⎫=-

<⎨⎬⎩⎭

，112B x x ⎧⎫

=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A.403x x ⎧

⎫<<

⎨⎬⎩⎭ B.403x x ⎧⎫<≤

⎨⎬⎩⎭

C.{}

02x x <≤

D.223x x ⎧⎫-

<≤⎨⎬⎩⎭

6.若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A.若a b >，则22ac bc > B.若0a b >>，则11a b a b

+

>+ C.若0a b <<，则22a ab b >>

D.若0a b <<，则22a b <

7.已知全集为U ，集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}

4B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A.{}3

B.{}2

C.{}1,2

D.{}1,2,3

8.已知0x >，0y >，且满足66x y +=，则xy 有（ ）

A.最大值

32

B.最小值

32

C.最大值1

D.最小值1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列结论正确的是（ ）

A.13

Q ∈

Q C.0*N ∈ D.5Z -∈

10.若M 、N 是全集I 的真子集，下面四个命题m ，n ，s ，t 是命题p ：M N ⊆充要条件的是（ ）

m ：M

N M =，n ：M

N M =，s ：(

)I

M

N =∅，t ：M

N I =

A.m

B.n

C.s

D.t

11.设集合{}1,3M =，{}

30,N x ax a R =+=∈且M N N =，则实数a 可以是（ ）

A.1-

B.1

C.3-

D.0

12.已知正数a 、b 满足2a b +=，则下列结论正确的是（ ）

A.1ab ≥

2≤

C.222a b +≥

D.

114a b

+≥ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.用列举法表示由满足不等式3213x -<-<的整数构成的集合为______. 14.已知命题p ：x R ∃∈，218x -≤，则p ⌝为______.

15.（1）已知g b 糖水中含有g a 糖()0b a >>，若再添加()g 0m m >糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则a b ______a m b m

++.（填“>，<，=，≥，≤”之一）. （2）2019201920232023M =

，20192016

20232020

N =，则M ______N （填“>，<，=，≥，≤”之一）.

16.已知23a -<<，14b <<，令2x a b =-，则x 的取值范围______（结果用集合表示）.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

①2A ∈，3A ∉，②一次函数y ax b =+的图像过()1,5M ，()3,9N 两点，在这两个条件中选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知集合{}

A x Z x a =∈≤，{}

21,B x x n n Z ==+∈，______，求A B .

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题满分12分）

已知集合{}

25A x x x =≤-≥或，{}

121B x m x m =+≤≤-. （1）求

R

A .

（2）若

(

)R

R A B A =，求实数m 的取值范围.（结果用集合表示）

19.（本小题满分12分）

已知集合{}

3A x a x a =<<，集合{}20B x x =-≤，{}

30C x x =-≤. （1）求B

C ，B C ；

（2）设0a >，若“x A ∈”是“x B C ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.

20.（本小题满分12分）

（1）已知0ab >，a b <，求证：

11a b

>. （2）A 、B 地相距2公里，甲、乙两人同时从A 地出发，沿同一条线路步行到B 地.甲在前一半时间的行走速度为1v ，后一半时间的行走速度为2v ；乙用速度1v 走完1公里，用速度2v 走完剩下的1公里.若12v v ≠，问甲、乙两人谁先到达B 地？并说明理由. 21.（本小题满分12分）

设集合{}

2,21,4A x x =--，{}5,1,9B x x =--，若{}9A B =.

（1）求集合A ，B ；

（2）定义集合A 、B 的一种运算：{}

1212,,A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，求A B *. 22.（本小题满分12分）

如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过C 点.已知6AB =米，4AD =米，设AN 的长为()4x x >米.

（1）用()4x x >来表示矩形花坛AMPN 的面积；

（2）求当AM ，AN 的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小，并求出此最小值.

2022-2023学年第一学期第一次阶段测试卷

高一数学答案

1.C 解：因为滑雪速度的快慢没有确切的标准，所以这组对象不能构成集合.

2.C

3.B 解：因为，3a >且4b >能推出7a b +>；7a b +>不能推出3a >且4b >，（如5a =，3b =），所以，“7a b +>”是“3a >且4b >”的必要不充分条件，故选B.

4.A 解：因为()()2

2

22641332M N x y x y x y -=+-++=-++，且3x ≠，2y ≠-，所以0M N ->，所以M N >，故选A. 5.A 解：113A x x ⎧⎫=-

<⎨⎬⎩⎭

，112B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，所以2433A x x ⎧

⎫

=-<<

⎨⎬⎩⎭

，{}02B x x =<≤，所以403A B x x ⎧

⎫=<<

⎨⎬⎩⎭

. 6.C 解：对于A 选项，若0c =，则22ac bc =，故A 不成立； 对于B 选项，取1a =，12b =

，满足0a b >>，但此时12a a +=，15

2

b b +=，故B 错误； 对于选项C ，∵0a b <<，在不等式a b <同时乘以()0a a <，得2a ab >， 另一方面在不等式a b <两边同时乘以b ，得2ab b >，∴22a ab b >>，故C 成立； 对于选项D ，0a b <<，则0a b ->->，所以()()2

2

a b ->-，22a b >所以D 不成立. 故选C.

7.D 解：阴影部分在集合A 中，而不在集合B 中，故阴影部分所表示的元素属于A ，不属于B ，即

(

){}1,2,3U

B A =.

8.A 解：2

61613

966262x y x y xy ⋅+⎛⎫=≤⋅=⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当666x y x y +=⎧⎨=⎩，即3

12

x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立.

故选A. 9.AD

10.AC 解：由M N ⊆得Venn 图，

对于A ，:m M N M =，M N M =等价于M N ⊆，m 是p 的充要条件； 对于B ，:n M N M =，M

N M =等价于N M ⊆，n 不是p 的充要条件；

对于C ，(

):I

s M

N =∅，(

)I

M

N =∅等价于M N ⊆，s 是p 的充要条件；

对于D ，M 、N 是全集I 的真子集，M N I =不成立，t 不是p 的充要条件.

故是p 的充要条件的有m ，s ，选AC. 11.ACD 解：{}1,3M =，因为M

N N =，所以N M ⊆，

因为{}

30,N x ax a R =+=∈，所以当0a =时，N =∅，满足N M ⊆，

当1a =-时{}3N =，满足N M ⊆，当3a =-时{}1N =，满足N M ⊆，故选ACD.

12.BC 解：因为正数a 、b 满足2a b +=，所以21a b ab +=≥≤，1a b ==时取等号，A 错；

正数a 、b 满足2a b +=2≤

=，1a b ==时，取等号，B 对；

()2

222424212a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，1a b ==时，取等号，C 对；

由2a b +=，所以

()111112222222

a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=⨯+=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，取等号，D 错，故选BC.

13.{}0,1解：由3213x -<-<得12x -<<，满足此不等式的整数有0，1，故构成的集合为{}0,1. 14.x R ∀∈，218x ->

15.<；>解：（1）∵()()()()()a b m b a m a b m

a a m

b b m b b m b b m +-+-+-==

+++，又∵0a b <<，0m >，∴()()

0a b m

a a m

b b m b b m -+-=<++，即a a m b b m +<

+. （2）因为201920163202320203M +=

+，2019201620232020

N =，故M N >.

16.{}

101x x -<<解：由14b <<，可得，822b -<-<-又由23a -<<，两式相加，可得1021a b -<-<，即x 的取值范围为{}

101x x -<<.

17.解：选择①，因为2A ∈，3A ∉，说以23a ≤<，则{}

{}2,1,0,1,2A x Z x a =∈≤=--，……5分 因为{}21,B x x n n Z ==+∈，即集合B 为奇数集{}1,1A

B =-……10分

选择②，因为一次函数y ax b =+的图像过()1,5M ，()3,9N 两点，所以539a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2

3a b =⎧⎨=⎩

，

则{}

{}22,1,0,1,2A x Z x =∈≤=--，……5分 因为{}21,B x x n n Z ==+∈，即集合B 为奇数集{}1,1A B =-……10分

18.解：（1）因为{}

25A x x x =≤-≥或，所以{}25R

A x x =-<<……4分

（2）因为

(

)R

R A B A =，则R

B A ⊆

，……6分

当B =∅时，121m m +>-，解得，2m <；……7分

当B ≠∅时，121

12215m m m m +≤-⎧⎪

+>-⎨⎪-<⎩

，解得，23m ≤<……11分

综上，实数m 的取值范围为{}

3m m <……12分

19.解：（1）由{}

20B x x =-≤得20x -≤，所以2x ≥；……2分 由{}

30C x x =-≤得30x -≤，所以3x ≤……4分 所以B

C R =，{}23B C x x =≤≤.……6分

（2）因为0a >，所以{}

3A x a x a =<<，{}23B C x x =≤≤，

因为“x A ∈”是“x B

C ∈”的必要不充分条件，所以B C

A ，……10分

所以2,

33,a a <⎧⎨

>⎩

解得：12a <<……12分

20.解：（1）证明：因为0ab >，所以10ab >，将a b <的两边同乘1ab ，11a b ab ab ⋅<⋅，11b a <，

即11

a b

>……6分

（2）甲先到达B 地.……7分

因为A 、B 地相距2公里，设甲从A 地出发到达B 地所用的时间为1t ， 乙从A 地出发到达B 地所用的时间为2t ， 则1124t v v =

+，12

21212

11v v t v v v v +=+=，因为12v v ≠，且10v >，20v >，

所以()()()()

2

2

121212121212121212121244

0v v v v v v v v t t v v v v v v v v v v v v -+-+-=-==-<+++，即12

t t <.

故甲先到达B 地.……12分

21.解：（1）由9A ∈，可得29x =或219x -=，解得3x =±或5.……2分 ①当3x =时，{}9,5,4A =-，{}2,2,9B =--，B 中元素重复，故舍去； ②当3x =-时，{}9,7,4A =--，{}8,4,9B =-，{}9A B =，满足题意，

③当5x =时{}25,9,4A =-，{}0,4,9B =-，此时{}4,9A B =-与{}9A B =矛盾，故舍去.

综上所述，{}9,7,4A =--，{}8,4,9B =-……8分

（2）∵{}

1212,,A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，∴{}15,12,3,0,1,2,5,13,18A B *=---……12分 22.解：（1）设AN 的长为x 米()4x >，

∵ABCD 是矩形，∴DN DC AN AM

=

，∴64x AM x =-……4分 ∴()2

644

AMPN

x S AN AM x x =⋅=>-……6分

（2）令264x y x =-，()40t x t =->，则4x t =+，∴()2

64166896t y t t t +⎛⎫

==++≥ ⎪⎝⎭

……10分

当且仅当()16

0t t t

=

>，即4t =时，等号成立， 此时8AN =米，12AM =米，最小面积为96平方米……12分