南昌二中2018-2019学年下学期第二次月考高一数学试卷

南昌二中2018—2019学年度下学期第二次月考

高一数学试题

命题人：周启新 审题人：唐宇力

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1—60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知2号、32号、47号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（ ）

A. 12

B. 17

C. 22

D. 27 2．若a ，b ，c R ∈，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ）

A ．c b c a -≥+

B ．bc ac >

C ．

02

>-b

a c D ．0)(2≥-c

b a 3．AQI 是表示空气质量的指数，

AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是（ ）

A ．这12天中有6天空气质量为“优良”

B ．这12天中空气质量最好的是4月9日

C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90

D ．从4日到9日,空气质量越来越好

4．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A ．

34 B ．12 C ．1

3

- D ．4 5．已知等比数列{}n a 前9项的积为512，且832a =，则2a =（ ） A ．

116 B ．18 C

．14 D ． 12

6．在ABC ?中，若1b =，c =30B =，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．2或3

7．下列表格所示的五个散点数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归直线方程为

?0.8155y

x =-，则表格中m 的值应为

A ．8.3

B ．8.2

C ．8.1

D ．8

8．如图给出的是计算111

11

35

2019

+

+++

的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）． A ．1010?i ≥ B ．1010?i < C ．1011?i < D ．1011?i ≤

9．若不等式2

(1)0x a x a -++≤的解集是[3,4]-的子集， 则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[3,4]-

B ．[4,3]-

C ．[3,1]-

D ．[1,3]-

10

7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是乙班成绩的平均数是86，若正实数a 、b 满足：a ，G ，b 成 等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则14

a b

+的最小值为（ A ．

49 B ．2 C ．8 D ．94

11．某班有50名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是( )

A. 70,51

B. 70,50

C. 65,25

D. 70,2412.设正实数x ，y 满足2

3

x >，2y >，不等式

2

2

9232x y m y x +≥--则m 的最大值为（ ）

A ．

B ．．8

D ．16

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.

13．计算机执行如图所示的程序，则输出的S 的值为 ．

14．总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为 ．

50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 48 22 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11

15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若413a -<<，1031a -<<，则12S 的取值范围为 ．

16.若等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形面积的最大值为 ．

三．解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知函数2

2

()(1)f x ax a x a =-++（a R ∈）． （Ⅰ）当2a =-时，解关于x 的不等式()0f x ≤； （Ⅱ）当0a >时，解关于x 的不等式()0f x <．

18.（本小题满分12分）

在锐角ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a =

3b =，

sin B A +=

（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求ABC ?的面积．

19.（本小题满分12分）

江西是中国“红色旅游”的故乡，为了宣传江西红色旅游，某社团随机对1565的人群抽样了n 个人，回答问题“江西有哪几个著名的红色旅游景点？”统计结果如下图表：

（Ⅰ）分别求出a ，b ，x ，y 的值；

（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中，用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？

20. （本小题满分12分）

设公差为整数．．的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，且7n S S ≤ . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列1

1

{

}n n a a +的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 21．（本小题满分12分）

某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状

态、酒后状态下进行“停车距离”测试. 测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.

（本表是抽取人数中回答个数正确统计表） （本图是抽取人数频率直方图）

已知表1数据中的停车距离的中位数估计值为26，回答以下问题. （Ⅰ）求a ，b 的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；

（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程???y

bx a =+； （Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于（Ⅰ）中无酒状态

下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（Ⅱ）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？ （附：对于一组数据1122(,),(,),

,(,)n n x y x y x y ，其回归直线???y bx a =+的斜率和截

距的最小二乘估计分别为1

2

2

1

?n

i i

i n

i

i x y nxy

b

x

nx ==-=-∑∑，??a

y bx =-.）

22.（本小题满分12分）

已知0x >，设2

54a x x =++，2

124b x x =++，c mx =（0m >，m 为常数）. （Ⅰ）当1m =时，求

c

a b

+的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若对任意0x >

m 的取值范围.

南昌二中2018——2019学年度下学期第二次月考

高一数学参考答案

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1—5 BDCAB 6—10 CDCAD 11—12 AD 12.【解析】设2y a -=，32x b -=，（0a >，0b >），

22229(2)(2)8()16232x y b a b a

y x a b a b

+++=+≥=+≥--，

当且仅当2a b ==，即4

3

x =

，4y =时取等号 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分． 13. 120 14. 15 15. (22,26)- 16. 6

15.【解析】1241075S a a =+，及413a -<<，1031a -<<，所以12(22,26)S ∈- 16.【解析】如图，ABC ?中，AB AC =，D 是AC 的中点， 且3BD =，过D 作DE BC ⊥交BC 于E ，设2BC x =，

DE y =，则32x BE =

，由222BE DE BD +=，得22

3()92x y +=，

由基本不等式有229934x y xy =

+≥=，所以3xy ≤， 1

(2)262

ABC S BC DE xy ?=??=≤，

（当且仅当x =

2y =时等号成立） 三．解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（Ⅰ）当2a =-时，不等式()0f x ≤可化为22520x x ++≥，

即(21)(2)0x x ++≥，解得2x ≤-或1

2x ≥-

， 所以不等式()0f x ≤的解集为1

(,2][,)2

-∞--+∞．………………4分

（Ⅱ）当0a >时，不等式可化为2

2

(1)0ax a x a -++<，即1()()0x a x a

--<， 当01a <<时，

1

1a

>，则不等式的解集为1(,)a a ；

当1a =时，不等式化为2

(1)0x -<，此时不等式解集为?； 当1a >时，101a <<，则不等式的解集为1

(,)a a

．………………10分

18. （Ⅰ）在ABC ?中，由正弦定理

sin sin a

b

A B

=

，

3sin B

=

3sin B A

=， sin

B A +=

解得sin A =

， 因为ABC ?为锐角三角形，

E

D

C

B

A

所以3

A π

=

.…………6分

（Ⅱ）在ABC ?中，由余弦定理222

cos 2b c a A bc +-=，

得219726c c

+-=，即2320c c -+=， 解得1c =或2c =，

当1c =时，因为222cos 0214

a c

b B a

c +-=

=-<． 所以角B 为钝角，不符合题意，舍去，

当2c =时，因为222cos 0214

a c

b B a

c +-=

=>，且b c >，b a >， 所以ABC ?为锐角三角形，符合题意，

所以ABC ?的面积11sin 3222S bc A ==??=12分

19.解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为9

250.36

=，再结合频率分布 直方图可知25

1000.02510

n =

=?， ......2分

所以，1000.01100.55a =???=，1000.03100.927b =???=，18

0.920

x =

=， 3

0.215

y =

=； ......8分 （Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，

由分层抽样原理可知，每组分别抽取的人数为： 第2组：186254?=人；第3组：276354?=人；第4组：9

6154

?=人； ......12分

20.解：（Ⅰ）由7n S S ≤,知70a ≥，80a ≤， 于是1360d +≥ ，1370d +≤，

d 为整数，2d ∴=-.

故{}n a 的通项公式为152n a n =-…………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），得

()()1111111521322132152n n a a n n n n +??

==- ?----??

， 1111111111......21113911132152213213n T n n n ??????????∴=-+-++-=- ? ? ? ???---????????

?? ，

令1132n b n =

-，由函数()1132f x x =-的图象关于点13

(,0)2

对称及其单调性，知

1234560b b b b b b <<<<<<，789...0b b b <<<<，71n b b ∴≥=-.117

121313

n T ??∴≥

--=- ???， ∴n T 的最小值为7

13

-………12分

21．【解析】（Ⅰ）依题意得

6

502610

a =-，解得40a =， 又36100a

b ++=，解得24b =； 故

停

车

距

离

的

平

均

数

为

26402482152535455527100100100100100

?

+?+?+?+?=.…………4分 （Ⅱ）依题意，可知50,60x y ==，

2222221030305050607070909055060?1030507090550b

?+?+?+?+?-??=++++-?710=， 7

?60502510

a

=-?=，所以回归直线为?0.725y

x =+.…………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知当81y >时认定驾驶员是“醉驾”.

令?81y

>，得0.72581x +>，解得80x >， 当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”. …………12分

22.解：

（Ⅰ）

2118217825217c x a b x x x x ==≤=+++++，当且仅当8

2x x =即2x =时等号成立；…………4分 （Ⅱ）由于0b a >>

0>

>．由三角形的三边的大小关系可得

>>

，即>>0x >恒成立．

<0x >恒成立，

因为44x x +

≥=，

437≥=+=，当且仅当2x =

7<，从而49m <，

1=≤

1>，从而1m >，

综上所述，实数m 的取值范围为(1,49).…………12分