2020年高考模拟复习知识点试卷试题之高考极坐标与参数方程题型总结

（一）极坐标中的运算

1．【2019高考新课标2， 理23】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中， 曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=??

=?（t 为参数， 0t ≠）， 其中0απ≤<，

在以O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线2:2sin C ρθ=， 曲线

3:23cos C ρθ=．

（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标； （Ⅱ）.若

2

C 与

1

C 相交于点A ，

3

C 与

1

C 相交于点B ， 求

AB

的最大值．

【答案】（Ⅰ）(0,0)和33(

)

2；（Ⅱ）4．

（Ⅱ）曲线

1

C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠， 其中0απ≤<．因此A 得到极

坐标为(2sin ,)αα， B 的极坐标为(23cos ,)αα

．所以

2sin 23cos AB αα=-4in()3s πα=-， 当56πα=时， AB 取得最大值， 最大值为4．

2．在直角坐标系xOy 中， 直线

1

C :

x =-2， 圆

2

C ：

()()22

121

x y -+-=,以坐标

原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求

1

C ，

2

C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线

3

C 的极坐标方程为

()

4

R π

θρ=

∈， 设

2

C 与

3

C 的交点为M ,N ,求

2C MN

V 的面积.

3．（2018年全国I 高考）在直角坐标系xOy 中， 曲线C 1的参数方程为

（t 为参数， a ＞0）.在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线C 2：ρ=4cos θ.

（I ）说明C 1是哪种曲线， 并将C 1的方程化为极坐标方程； （II ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0， 其中α0满足tan α0=2，

若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上， 求a .

解：⑴ cos 1sin x a t y a t =??

=+? （t 均为参数）

∴

()2

22

1x y a +-= ①

∴1C 为以()01，为圆心， a 为半径的圆．方程为222

210x y y a +-+-= ∵

222

sin x y y ρρθ+==， ∴

222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程

⑵

24cos C ρθ=：

两边同乘ρ得

2222

4cos cos x y x ρρθρρθ==+=Q ， 224x y x ∴+=

即

()2

224

x y -+= ②

3C ：化为普通方程为2y x =

由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C

①—②得：

2

4210x y a -+-=， 即为3C ∴2

10a -=

∴1a =

4：已知圆C 的圆心C 的极坐标为(2,π)， 半径为3， 过极点O 的直线L 与圆C 交于A,B 两点， OA 与AB 同向， 直线的向上的方向与极轴所成的角为α （1） 求圆C 的极坐标方程；

（2） 当α=135°时， 求A,B 两点的极坐标以及弦AB 的长

5：在直角坐标系xoy 中， 曲线C1的参数方程为x=4-22ty=22t （为参数）以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ （1） 求曲线C1的极坐标方程和C2的参数方程；

（2） 若射线θ=θ°(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于M,N 且|ON|=μOM ， 求实数μ的最大

值.

（二）.参数方程中任意点（或动点）

例：曲线C1:x=-4+costy=3+sint (t 为参数)， C2：x=8cosθy=3sinθ(θ为参数) （1）.化C1， C2为直角坐标系方程， 并说明表示什么曲线。

(2).若C1上的点P 对应的参数为t=π2,Q 为C2上的动点， 求PQ 中点M 到直线C3x=3+2ty=-2+t (t 为参数)距离最小值。

例：在极坐标中， 射线L:θ=π6与圆c:ρ=2交于A 点， 椭圆D 的方程为ρ2=31+2sin2θ， 以极点为原点， 极轴为x 正半轴建立平面直角坐标系xoy （1） 求点A 的直角坐标和椭圆D 的参数方程；

（2） 若E 为椭圆D 的下顶点， F 为椭圆D 上任意一点， 求AE.AF 的取值范围。 例：在直角坐标系中， 圆C1x2+y2=1经过伸缩变换x'=3xy'=2y 后得到曲线C2以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线L 的极坐标方程为cosθ+2sinθ=10ρ .

（1） 求曲线C2的直角坐标方程及直线L 的直角坐标方程； （2） 设点M 是C2上一动点， 求点M 到直线L 的距离的最小值.

例（2016年全国III 高考）在直角坐标系中， 曲线的参数方程为

xOy 1C

， 以坐标原点为极点， 以轴的正半轴为极轴， ， 建立极坐标系， 曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（II ）设点P 在上， 点Q 在上，

求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.

三．直线与曲线相交问题

例（2016年全国II 高考）在直角坐标系中， 圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，

， 求的斜率．

解：⑴整理圆的方程得

22

12110x y +++=， 由

222

cos sin x y x y ρρθρθ?=+?

=??=?

可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．

⑵记直线的斜率为k ， 则直线的方程为0kx y -=，

3()sin x y θ

θθ?=??

=??

为参数x 2C sin()224

ρθπ

+=1C 2C 1C 2C xOy C 2

2

(6)25x y ++=x C l cos sin x t y t α

α=??

=?

t l C ,A B ||10AB =l

2

2

6102521k

k ??

-=- ? ?+??

即22

369014k k

=+， 整理得2

53k =， 则15k =．

例（2019）湖南已知直线3

5:132x l y t ?=???

?=??

（t 为参数）， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1） 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2） 设点M 的直角坐标为3)， 直线l 与曲线C 的交点为A ， B ， 求

||||MA MB ?的值.

例：在平面直角坐标系xoy 中， 曲线C1的参数方程为x=cosαy=sinα， (α为参数， 且α?0， π））以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， .曲线C2的极坐标方程

四．求点坐标， 图形面积， 轨迹方程等的计算。

例：（全国新课标理23）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中， 曲线C1的参数方程为 x=2cosαy=2+2sinα (α 为参数 )

M 为C1上的动点， P 点满足， 点P 的轨迹为曲线C2．

（I ）求C2的方程； （II ）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，

射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A ， 与C2的异于极点的交点为B ， 求|AB|. 解：

（I ）设P(x ， y)， 则由条件知M （x2,y2）由于M 点在C1上， 所以x2=2cosαy2=2+2sinα

从而的参数方程为

（为参数）

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为

， 曲线的极坐标方程为．

2OP OM =u u u r u u u u r

2C 4cos 44sin x y αα=??

=+?α1C 4sin ρθ=2C 8sin ρθ=

射线

与的交点的极径为

，

射线与的交点的极径为

．

所以

.

例：在平面直角坐标系xoy 中， 曲线C 的参数为x=a+acosβy=asinβ(a>0)， 以O 为极点x ， 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 直线L 的极坐标方程ρcosθ-π3)=32 . (1) 若曲线C 与L 只有一个公共点， 求a 的值；

(2) A,B 为曲线C 上的两点且∠AOB=π3， 求△OAB 的面积最大值. 习题训练：

1.在直角坐标系中， 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线的极坐标方程为ρ2-22ρsin?(θ-π4)-2=0曲线的极坐标方程为θ=π4 (ρ∈R), C1与C2相交于A,B 两点.

（1）求和的直角坐标方程；

(2)若点P 为C1上的动点， 求PA2+PB2的取值范围.

2. 在直角坐标系中， 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线的参数方程x=4-22ty=22t (t 为参数）曲线的极坐标方程为ρ=2cosθ (1) 求的极坐标方程和C2的参数方程;

(2)若射线θ=θ0 （ρ>0）与曲线C1， C2分别交于M,N 且ON=λOM ， 求实数λ的最大值.

3. 在直角坐标系中， 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C 和直线L 的极坐标方程分别为ρ=42cos(θ-π4)， ρ3cosθ-sinθ=2 . (1) 将曲线C 极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）直线L 与曲线C 交于A,B 两点， 点P （3， 1）求1PA2+1PB2的值.

4. 在极坐标系中， 已知曲线C ：ρcosθ+π4=1,过极点O 作射线与曲线C 交于Q ， 在射线OQ 上取一点P ， 使OP?OQ=2

（1）求点P 的轨迹C1的极坐标方程； （2）以极点为坐标原点，

极轴为

轴正半轴建立直角坐标系

，

若直线L ：y=-3x 与（1）的曲线C1相交于E （异于点O ）,与曲线C2:x=12-22ty=22t(t 为参数）相交于点F ， 求EF 的值.

5. 在直角坐标系中， 曲线的参数方程x=1+2cosθy=2+2sinθ (θ为参数）若M 是曲线C1上的一点， 点P 是曲线C2上任意一点， 且满足OP=3OQ .

3π

θ=

1C A 14sin

3π

ρ=3π

θ=

2C B 28sin

3π

ρ=21||||3

AB ρρ-==xOy x 1C 2C 1C 2C xOy x 1C 2C 1C xOy x x

xOy xOy 1C

（1）求曲线C2的直角坐标方程；

(2) 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，

已知直线L:ρsinθ-ρcosθ-7=0， 在直线L 上两动点E,F 满足EF=42， 试求△MEF 面积的最大值.

6．在直角坐标系中， 曲线L 的参数方程x=-32ty=1+12t (t 为参数）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线的极坐标方程ρ=3643sin θ-12cosθ-ρ定点M6， 0， 点N 是曲线C1上的动点， Q 为MN 的中点； （1）求点Q 的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）已知直线L 与x 轴的交点为P ， 与曲线C2的交点为A,B 若AB 的中点为D ， 求PD 的长.

7. 在直角坐标系中， 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C1的极坐标方程为ρ2-22ρsin?(θ-π4)-2=0, 曲线C2的极坐标方程为θ=π4ρ∈R,C1与C2的交点为A,B.

(1) 将曲线C1,C2极坐标方程化为直角坐标方程， 并求点A,B 的直角坐标； （2）若P 为C1上的动点， 求PA2+PB2的取值范围.

x xOy x 1C xOy x