人教版高中数学总复习[知识梳理定积分和微积分基本定理
定积分和微积分基本定理
【考纲要求】
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。
2.正确计算定积分，利用定积分求面积。 【知识网络】
【考点梳理】
要点一、定积分的概念
定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<
1
1
()()n n
n i i i i b a
I f x f n
ξξ==-=?=∑∑
，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作
()b
a
f x dx ?
，即()b
a
f x dx ?＝1
lim ()n
i n i b a
f n
ξ→∞
=-∑
，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.
要点诠释：
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 要点二、定积分的性质 （1）()()b
b
a a
kf x dx k f x dx =?
?（k 为常数），
（2）[]1212()()()()b
b b
a a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±?
??，
（3）
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??（其中b c a <<），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则
()0b
b f x dx -=?
； 若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则
0()2()b
b
b
f x dx f x dx -=?
?.
定积分的概念
定积分的性质
微积分基本定理
定积分的几何意义及应用
要点三、微积分基本定理
如果'()()F x f x =，且)(x f 在[]b a ,上连续，则
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
,其中()F x 叫做)(x f 的一
个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.
一般地，原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()
b
a
F x .因此，微积分基本定理可以写成形式：
()()
()()b
b
a
a
f x dx F x F b F a ==-?
.
要点诠释：
求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.
要点四、定积分的几何意义
设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分
?
b
a
dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与
x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.
在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分
?
b
a
dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；
在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，定积分
?
b
a
dx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线
b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正号，在x 轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.
要点五、应用
（一）应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]b
b
a
a
S f x dx f x g x dx =
=-?
?；
2. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]b
b b
a
a
a
S f x dx f x dx g x f x dx =
=-=-?
??；
3. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()b
b b
a
a
a
S f x dx f x f x dx f x dx =
-=-?
??.
4.利用定积分求平面图形面积的步骤：
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）写出定积分表达式； （4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()b
a
S v t dt =
?
.
②变力作功
物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到
x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =
()b
a
F x dx ?
.
【典型例题】
类型一：运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分
（1）
?
-π
)cos (sin dx x x ； （2）dx x
x x ?
+-2
1
2
)1
(； （3）?-+0)(cos πdx e x x .
【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ，
∴
00
(sin cos )(cos sin )2-=--=?
x x dx x x π
π；
（2）∵2321
(ln )23'-+=-+x x x x x x
， ∴
232
22
1
1
15
()(ln )
ln 223
6
x x x x dx x x -+=-+=-?
.
（3）∵(sin )cos '+=+x
x
x e x e ，
∴
01(cos )(sin )
1x x x e dx x e e π
π
π
--
+=+=-
?； 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数
()F x 。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求()F x ，即利用求导函数与求原
函数互为逆运算。
举一反三：
【变式】计算下列定积分的值：
（1）
dx x x ?
+20
)sin (π
， （2）1
80
(8)x x dx -?
【解析】（1）2
2
2200
1(sin )(cos )
12
8
x x dx x x ππ
π+=-=
+?
（2）91
8
01871
(8)()0ln893ln 29x x
x x dx -=-=-?
【定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】
例2.
求
【解析】
2420
4
420
4
420
4
sin cos sin cos sin cos (cos sin )(sin cos )(sin cos )(cos sin )
112
x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx
x x x x π
π
π
ππ
π
ππ
π
π
==-=-+-=-+-=++--=--+=-?????
【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止. 举一反三：
【变式】计算下列定积分的值. （1）
3
1
[(4)]x x dx --?
； （2）2
3
1
(1)x dx -?； （3
）2
2
1
dx ?； 【解析】（1）
3
3
22
33111
120[(4)](4)(2)33
x x dx x x dx x x ----=-=-=??， （2）223324322
111131(1)(331)()424
x dx x x x dx x x x x -=-+-=-+-=??.
（3
）
2
222211
1117(2)(2ln )|ln 222dx x dx x x x x =++=++=+?
?.
例3.求定积分
3,[0,1]
()[1,2]2,[2,3]x x x f x x x ?∈=∈∈??
，求函数)(x f 在区间[]3,0上的积分；
【解析】
3
1
2
3
1
2
()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx =++?
??
?1
3
3
1
2
2x x dx dx =++??
?
34212322
01243
ln 2x
x x =++
54
12ln 2
=-
+. 【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。 举一反三： 【变式】求定积分：3
1x dx -?
；
【解析】
3
1x dx -?
＝1
1x dx -?＋3
1
1x dx -?
2
2 0
＝
1
(1)x dx -?
＋3
1
(1)x dx -?
＝2123
01
11()|()|22x x x x -
+- ＝15222
+= 类型二：利用定积分的几何定义
例4. （2016 河南商丘模拟
）求定积分：0
?
；
【解析】设y =
224x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示4
1
个圆，
由定积分的概念可知，所求积分就是4
1
圆的面积
,
所以0144
ππ=?=?
举一反三：
【变式】求定积分：
?
【解析】设y =2
2
16x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示如图的曲边形，
其面积2
3
S S S π?=+=+扇形
故
2
3
π=+?
.
类型三：利用定积分求平面图形面积 例5.(2015 山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的
阴影部分的面积为( )
A.
212
x dx -?
B. ()2
12
x
dx -?
C. ()2
12
x
dx -?
D.
()()1
2221
110
x dx x dx -+-?
?
【答案】A
【解析】 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的
面积相等，即
212
x dx -?
，选A.
【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤
是：
（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；
（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）； （3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键； （4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式； （5）计算各个定积分，求出所求的面积.
举一反三：
【定积分和微积分基本定理394577 典型例题一】
【变式1】由直线12x =，2x =，曲线1
y x
=及x 轴所围图形的面积为( ). A ．154 B ．17
4
C ．1ln 22
D ．2ln 2
【解析】2
21
12
2
1
1
ln ln 2ln()2ln 22
S dx x x
=
==-=?
【答案】D
【变式2】(2015 江西宜春月考)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．
【解析】∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点， 设过点(1,2)处的切线的斜率为k ， 则k ＝f ′(1)＝3x 2－2x ＋1＝2，
∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)， 即y ＝2x .
y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：
由22y x y x
?=?=?可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积
()223201842|433320S x x dx x x ?
?=-=-=-= ??
??
类型四：利用定积分解决物理问题
例6. 汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度 1.8a =米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，
当0t =时，汽车速度032v =公里/小时＝
321000
3600
?米/ 秒≈8.88米/秒.
刹车后汽车减速行驶，其速度为0()8.88 1.8V t V at t =-=-. 当汽车停车时，速度()0V t =， 故从()8.88V t =到()0V t =用的时间8.880
4.931.8
t -=
≈秒. 于是在这段时间内，汽车所走过的距离是
4.93
4.93
()(8.88 1.8)S V t dt t dt ==-?
?
＝2 4.93
01
(8.88 1.8)|21.902
t t -?≈米.
即在刹车后，汽车需走过21.90 米才能停住.
【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.
举一反三：
【变式1】一物体在力()34F x x =+的作用下，沿着与F 相同的方向，从0x =处运动到4x =处，求力F 所做的功。
【解析】4
40
0()(34)W F x dx x dx =
=+?
?24
03(4)|402
x x =+=.
【变式2】 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度55
()51v t t t
=-+
+（单位：/m s ）紧急刹车至停止。求：
（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间； （2）紧急刹车后火车运行的路程。 【解析】（1）由55
()501v t t t
=-+
=+解得10t =，因此，火车经过10s 后完全停止； （2）10
55(5)1s t dt t =
-++?
=10
20
1555ln(1)2t t t ??
-++????55ln11()m =。
定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 定积分 练习与解析1 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义，dx x ?2 02=( ) A. n n i n i 112 1???? ??-∑= B. n n i n i n 1 12 1lim ??? ? ??-∑=∞→ C. n n i n i 2 22 1??? ? ??∑= D. n n i n i n 222 1lim ??? ? ??∑=∞→ 解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2、?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为（ ） A 0 B 4 π C 2 D 4 解析：?-+22 )cos (sin π πdx x x =() 22 sin cos ππ- +-x x ?? ? ?????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2， 故选C. 3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 解析：直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积 ()()[]1812303 1213021248221 4 2 3242=-=?-=---?+= --?y dy y s .此题选取y 为积分变量较容易. 选D. 4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高时的高度为（ ） A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320 解析：由 2 1040t v -==0，得物体达到最高时 t =2.高度 () ()m t t dt t h 3160310401040203202= ??? ? ? -=-=? 5.一物体在力()5232+-=x x x F （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是（ ） 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程： 规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。 专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为 ，故选A. 3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为 ，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D． 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝ ∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D． 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D． 【答案】C 【解析】 解： ． 故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴． 故选A． 9．下列计算错误 ．．的是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 在A中，， 在B中，根据定积分的几何意义，， 在C中，， 根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C. 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 数学选修2-2导数及其应用（定积分）知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．a A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝????? K ，fx ≤K ，fx ，fx >K ， 则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分??214f K (x)d x 的值为________． (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (0 高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法 【知识要点】 一、曲边梯形的定义 我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法 分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 三、定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a x n -D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x x f n ξ==-= ?=∑∑ 如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()b a S f x dx =?， 其中 ? 是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx 是被积式. 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋 近的常数S （n →+∞时）记为 ()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③ 求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 四、定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()b b a a kf x dx k f x dx k =??为常数（定积分的线性性质）； 性质2 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±? ??（定积分的线性性质）；1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
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