2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷

一、选择题 (本题共10小题，每小题4分，共40分) 1．已知集合{

}

2

0A x x x =-≤，{}

11B x x =-<<，则A B ＝ ( )

A ．(]1,1-

B ．()0,1

C ．[]0,1

D ．[)0,1

2. 已知复数z 满足()113i z i -=+，则复数z 在复平面内对应的点为 ( )

A ．()1,2-

B ．()2,1-

C ．()2,1

D ．()1,2--

3. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 ( )

A. ()2x f x =

B. ()f x x x =

C. 1

()f x x

=-

D. ()lg f x x =

4. 若1

1

3232,3,log 2a b c ===,则下列结论正确的是 ( )

A.a b c <<

B.a c b <<

C.c a b <<

D.c b a <<

5. 已知2

1()cos 2

f x x x =

-,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是 ( )

6. 在34510(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++的展开式中，含2x 项的系数是 ( )

A. 165

B. 164

C. 120

D. 119

7. 已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN

达到最小时，t 的值为

( ) A ．1

B. 2

C.

1

2

D.

5

8. 现有甲，乙，丙，丁，戊5位同学站成一列，若甲不在右端，且甲与乙不相邻的不同站

A

法共有( ) A. 60种

B.36种

C.48种

D. 54种

9. 下列命题正确的是 ( )

A. 若ln ln 2a b a b -=-，则0a b >>

B. 若ln ln 2a b a b -=-，则0b a >>

C. 若ln ln 2a b b a -=-，则0a b >>

D. 若ln ln 2a b b a -=-，则0b a >>

10. 已知函数()f x x x a ax =-+()a R ∈，若方程()23f x x =+有且只有三个不同的实数根， 则a 的取值范围是 ( )

A. ()1

B.(,1-∞

∪()1

C. (,1-∞

D. (1,1-

∪()1+∞

二、填空题 (本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分)

11.已知函数2211

()1

x x f x x ax x ?+

a = .

12.在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：10

233C C +=； 2103458C C C ++=；3210

456721C C C C +++=；4321056

78955C C C C C ++++=，请根据上

面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结 果： . 13.若()()()()7

2

7

01272111x a a x a x a x -=++++

+++，

则01267a a a a a ++

+++= ， 6a = .

14.已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）. 记换好后袋中的白球个数为X ，则X 的数学期望()E X = ， 方差()D X = .

15.已知定义域为R 的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，且

(2)(3)2f f -==，则函数()f x 的增区间为 ，

若()(1)()g x x f x =-，则不等式()22g x x ≥-的解集为 .

16. 已知函数2

1()2ln 2

f x ax ax x =-+在()1,3内不单调，则实数a 的取值范围 是 .

17. 已知函数2

45,0(),0

x x f x x x --

三、解答题 ( 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（本小题满分14分） 已知函数2()2(1)4f x x a x =--+.

（Ⅰ）若()f x 为偶函数，求()f x 在[]1,2-上的值域；

（Ⅱ）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，求()f x 在[]1,a 上的最大值.

19．（本小题满分15分）

已知函数()54f x x =-，2

()g x x =，设(),

()(),()(),

()().

g x f x g x F x f x f x g x ≥?=?

（Ⅰ）求函数()F x 的解析式； （Ⅱ）求不等式()1F x x ≥-的解集.

20．（本小题满分15分）

已知正项数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足24(1)()n n S a n N *

=+∈，

（Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值

（Ⅱ）猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.

21．（本小题满分15分） 已知函数()3

23f x x x =-，

（Ⅰ）若()f x 的图像在x a =处的切线与直线1

13

y x =-+垂直，求实数a 的值及切线方程；

（Ⅱ）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围

22．（本小题满分15分） 已知函数()2

1()ln 12

f x a x x =-+

，a 为大于0的常数. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：2132ln 2

()8

f x x +->-

.

参考答案

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)

1、D

2、A

3、B

4、C

5、A

6、B

7、C

8、D

9、C 10、B

二、填空题(本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分)

11. ；2 12. 13. 128；21

14. ；15. ；16.或17.

三、解答题( 本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18. 已知函数.

（Ⅰ）若为偶函数，求在上的值域；

（Ⅱ）若在区间上是减函数，求在上的最大值.

解：（Ⅰ）因为函数为偶函数，故，得.………2分

，故值域为………5分

（Ⅱ）若在区间上是减函数，则，………7分

时函数递减，时函数递增

故当时，………10分

………12分

由于故在上的最大值为. ………14分19. 已知函数，，设

（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求不等式的解集.

解：（Ⅰ）当时，解得

当时，解得或.

………5分

（Ⅱ）（1）当时，由，得

解得或，于是………8分

（2）当或时由，得

①若时，不等式化为，无解.

②若时，不等式化为，解得………14分

由（1），（2）得.

故不等式的解集为. ………15分

20. 已知正项数列满足，前项和满足，

（Ⅰ）求，，的值（Ⅱ）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

解（Ⅰ）当时，解得

当时，，

当时，，………5分

（Ⅱ）猜想得………7分

下面用数学归纳法证明：

①当时，，满足。………8分

②假设时，结论成立，即，则时

，将代入化简得

………14分

故时结论成立 .

综合①②可知，．………15分

21. 已知函数，

（Ⅰ）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值及切线方程；

（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围

解：（Ⅰ）由得

于是在处的切线的斜率为………2分

由于切线与直线垂直，所以. 故实数的值为. ………4分当时，切点为，切线为;

当时，切点为，切线为. ………6分

（Ⅱ）设切点坐标，切线斜率为，则有

切线方程为：………8分

因为切线过，所以将代入直线方程可得：

………10分

所以问题等价于方程，令

即直线与有三个不同交点.

由，令解得

所以在单调递减，在单调递增………13分

所以若有三个交点，则

所以当时，过点存在3条直线与曲线相切………15分22. 已知函数，为大于0的常数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，且，求证：. 解：（Ⅰ）函数定义域为，求导得，

令

①若，则恒成立，此时在上单调递减；

②若，则在上有两个实数解，

当时，，此时在上单调递减；当时，，此时在上单调递增；当时，，此时在上单调递减………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时有两个极值点，

且满足，，. ………9分

………11分

构造函数，。则，…13分

当时，，在上单调递减

又。即………15分