2019年1月浙江省高中数学学考试题及解答(wold版)

2019年1月浙江省学考数学试卷及答案

满分100分，考试卷时间80分钟

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。） 1.已知集合{1,3,5}A =，{3,5,7}B =，则A

B =（ ）

A.{1,3,5}

B.{1,7}

C.{3,5}

D.{5} 解析：答案为C ，由题意可得{3,5}A B =. 2.函数

5()log (1)f x x =-的定义域是（ ）

A.(,1)

(1,)-∞+∞ B.[0,1) C.[1,)+∞ D.(1,)+∞

解析：答案为D ，若使函数有意义，则10x ->，解得1x >，故函数的定义域为(1,)+∞. 3.圆2

2(2)9x

y +-=的半径是（ ）

A.3

B.2

C.9

D.6

，解析：答案为A ， ∵29r =，故3r =. 4.一元二次不等式270x x -<的解集是（ ）

A.{|07}x x <<

B.{|0x x <或7}x >

C.{|70}x x -<<

D.{|7x x <-或0}x > ，解析：答案为A ，解不等式可得{|07}x x <<.

5.双曲线

22

194

x y -=的渐近线方程是（ ） A.32y x =±

B.23y x =±

C.94y x =±

D.49

y x =± 解析：答案为B ，∵双曲线方程为

22

194

x y -=，3a =，2b =，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为b y x a =±

，即23

y x =±. 6.已知空间向量(1,0,3)a =-，(3,2,)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是（ ） A.1- B.0 C.1 D.2 解析：答案为C ，∵a b ⊥，∴130(2)30x -?+?-+?=，解得1x =. 7.cos15cos 75???=（ ）

1214

解析：答案为D ，11

cos15cos 75sin 75cos 75sin15024

???=??=

?=.

8.若实数x，y满足不等式组

10

3

x

y

x y

+≥

?

?

≥

?

?+≤

?

，则2

x y

-的最大值是（）

A.9-

B.1

- C.3 D.7

解析：答案为C，画出可行域如图所示，

约束条件对应的平面区域是以点(1,0)

-，(3,0)和(1,4)

-所组成的三角

形区域（含边界），易知当2

z x y

=-过(3,0)点时取得最大值，最大值

为3.

9.若直线l不平行于平面α，且lα

?，则下列结论成立的是（）

A.α内的所有直线与l异面

B.α内不存在与l平行的直线

C.α内存在唯一的直线与l平行

D.α内的直线与l都相交

解析：答案为B ，由已知得，l与α相交，设l O

α=，则α内过点O的直线与l相交，故A不正确；不过O的直线与l异面，故D不正确；α内不存在与l平行的直线，所以B正确，C不正确.

10.函数

2

()

22

x x

x

f x

-

=

+

的图象大致是（）

A. B. C. D.

解析：答案为A ，∵

2

()

()()

22

x x

x

f x f x

-

-

-==

+

，∴函数()

f x为偶函数，故排除B，D. 又∵无论x取何值，()

f x始终大于等于0，∴排除C，故选A.

11.若两条直线

1

:260

l x y

+-=与

2

:70

l x ay

+-=平行，则

1

l与

2

l间的距离是（）

解析：答案为D ，∵

12

//

l l，∴1120

a

?-?=，解得2

a=，∴

2

:270

l x y

+-=，

∴

1

l，

2

l

=.

12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A.π

B.2π

C.3π

D.4π

解析：答案为B ，由三视图可知，该几何体为球的四分之一. 其表面积为：2

21

24224

r S r πππ=

?+?=. 13.已知a ，b 是实数，则“||a b >”是“22a

b

>”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：答案为A ，充分性：∵||a b >，∴a b >，又2x y =是单调递增函数，∴22a b

>，

故充分性成立；必要性：∵22a b

>，2x

y =是单调增函数，∴a b >，取2a =，3b =-，满足a b >，但||a b <，故必要性不成立；∴“||a b >”是“22a b

>”的充分不必要条件.

14.已知数列{}n a

，是正项等比数列，且

37

23

a a +=5a 的值不可能是（ ） A.2 B.4 C.

85 D.83

解析：答案为C

，由题意可知，

375230)n a a a +=≥==>， 即52a ≥，∴5a 不可能是

85

. 15.如图，四棱锥1111ABCD A BC D -中，平面11A B CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形11A B CD 都是正方形，则直线1BD 与平面11A B CD 所成角的正切值是（ ）

A.

2

B.2

解析: 答案为C ，连接1AC ，交1BD 于点O ，由对称性可知，11

2

OC A C =， ∵ABCD 是正方形，∴BC CD ⊥.

又∵平面11A B CD ⊥平面ABCD ，平面11A B CD

平面ABCD CD =，

∴BC ⊥平面11A B CD ，

∴B O C ∠即为直线1BD 与平面11A B CD 所成夹角， 不妨设AD a =，则

tan BC

BOC OC

∠=

==

16.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（ ）

A.

23 解析：答案为A ，如图建立直角坐标系，

则点坐标为：2(,)b A c a

，利用相似可知

AF b

OF a =，即b c =，

a = ∴2

e =

17.数列{}n a ，{}n b 用图象表示如下，记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，则（ ）

A.14S S >，1011S S <

B.45S S >，1013S S <

C.14S S <，1011S S >

D.45S S <，1013S S >

解析：答案为B ，由图易知，当4n ≤时，0n a <；当5n ≥时，0n a >；当10n ≤时，0n b <；

当11n ≥时，0n b >.令n n n c a b =，可得当4n ≤时，0n c >；当510n ≤≤时，0n c <，

当11n ≥时，0n c >，故n S 在14n ≤≤时单调递增，410n ≤≤时单调递减，在10n ≥时单调递增.

18.如图，线段AB 是圆的直径，圆内一条动弦CD 与AB 交于点M ，且22MB AM ==，现将半圆ACB 沿直径AB 翻折，则三棱锥C ABD -体积的最大值是（ ）

A.

23 B.1

3

C.3

D.1 解析：答案为D ，设翻折后CM 与平面ABD 所成的角为α，则三棱锥C ABD -的高为sin CM α，所以

111

(sin )sin 326

C AB

D V AB DM DMA CM AB DM CM α-=??∠?≤??，又

3AB =，2DM CM AM BM ?=?=，所以体积的最大值为1.

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）

19.已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差d = ▲ ，5a = ▲ .

答案：2，9；

解析：∵11a =，35a =，∴125d +=，解得2d =；又532a a d =+，∴59a =. 20.若平面向量a ，b 满足||6a =，||4b =，a 与b 的夹角为60?，则()a a b ?-= ▲ . 答案：24

解析：2

22

1

()||||||cos 60664242

a a

b a a b a a b ?-=-?=-=-??

=. 21.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD 区域改造成公园，经过测量得到1AB km =，2BC km =，3CD km =，4AD km =，且120ABC ∠=?，则这个区域

的面积是 ▲ 2

km .

答案：

2

解析：∵2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-?∠=，

∴222AC CD AD +=，∴90ACD ∠=?，∴122

ACD S AC CD ?=

?=

，

1sin 2ABC S BC AB ABC ?=

??∠=

ABC ACD S S ??+=.

22.已知函数22()f x x x a =+-.当[1,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 答案：[2,1]-

设[1,)t =+∞，则212t x +=，则()0f x ≥等价于222211

()022

t t at a +++--≥，

即42243440(1)t t at a t ++--≥≥.一方面，由于当1t =时，不等式28440a a --≥成立，从而 21a -≤≤.另一方面，设422()4344(1)f t t t at a t =++--≥，

则 3()48448440f t t t a a '=+-≥+-≥>，因此()f t 在[1,)+∞上单调递增， 因此2()(1)8440f t f a a ≥=--≥，从而21a -≤≤. 综上所述，所求的实数a 的取值范围为[2,1]-.

三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23.已知函数()sin()sin()cos 66

f x x x x π

π

=++-+，x R ∈. （Ⅰ）求(0)f 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求函数()f x 的最大值. 解析：（Ⅰ）(0)sin

sin()cos 066

f π

π

=+-+1=. （Ⅱ）因为()2sin cos

cos 6f x x x π

=+2sin()6

x π

=+，

所以，函数()f x 的最小正周期为2π.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当2()3

x k k Z π

π=+

∈时，函数()f x 的最大值是2.

24. 如图，已知抛物线21:4C x y =和抛物线22:C x y =-的焦点分别为F 和F '，N 是抛物线1C 上一点，过N 且与1C 相切的直线l 交2C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点. （Ⅰ）求||FF '；

（Ⅱ）若点F 在以线段MN 为直线的圆上，求直线l 的方程. 解析：（Ⅰ）由题意得，(1,0)F ，1

(0,)4F '-，所以5||4

FF '=. （Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程组

24x y y kx m

?=?

=+?，消去y ，得2

440x kx m --=，因为直线l 与1C 相切，所以216160k m ?=+=，

得2m k =-，且N 的坐标为2

(2,)k k .

联立方程组22

x y y kx k

?=-??=-??，消去y ，得22

0x kx k +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12x x k +=-，22x x k ?=-， 所以12022x x k x +=

=-，2003

2

y kx m k =+=-. 因为点F 在以线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN ?=，即4

2

320k k +-=，

解得2

23k =

，经检验满足题意，故直线l

的方程是233

y x =±-. 25.设a R ∈，已知函数2

211

()||||f x x x ax x x

=+

+-+. （Ⅰ）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）若()46f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围；

（Ⅲ）设b R ∈，若关于x 的方程()8f x b =-有实数解，求22

a b +的最小值. 解析：（Ⅰ）当0a =时，2

211

()||||f x x x x x

=+

+-. ()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数. （Ⅱ）由已知得22

2,1

2,01()2,102,1

x ax x ax x x

f x ax x x x ax x ?+≥?

?+<

当1x ≥时，2

246x ax x +≥-恒成立，即max 6

(24)a x x

≥--

+

，所以4a ≥- 当01x <<时，246ax x x +≥-恒成立，即262

4a x x

≥--恒成立，

因为262

44x x

--<-，所以4a ≥-；

当10x -<<时，246ax x x -+≥-恒成立，即262

4a x x

≤-+，

因为262

412x x

-+>，所以12a ≤；

当1x ≤-时，2

246x ax x +≥-恒成立，即min 6(24)a x x

≤--+

，所以4a ≤+

综上所述，a

的取值范围是44a -≤+（Ⅲ）设0x 是方程()8f x b =-的解，则0()8f x b =-. 当0||1x ≥时，20028x ax b +=-，即2

00280ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线2

00280x x y x -++=上的点，

22

≥

=

≥=，当且仅当2

02x =时，等号成立.

当00||1x <<时，

0028||ax b x +=-，即00280||

ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线00

2

80x x y x -+

+=上的点，

2

2|

8|8++≥

>>=

因为>

≥

当且仅当||a =，4b =时，2

2

a b +的最小值是48.

2019年1月浙江省学考数学参考答案

一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）

二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19．2，9 20. 24 21.

2

22. []2,1- 三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23．解： （Ⅰ）(0)sin

sin()cos 066

f π

π

=+-+1=. （Ⅱ）因为()2sin cos

cos 6f x x x π

=+2sin()6

x π

=+，

所以，函数()f x 的最小正周期为2π.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当2()3

x k k Z π

π=+

∈时，函数()f x 的最大值是2. 24. 解：（Ⅰ）由题意得，(1,0)F ，1

(0,)4

F '-，所以5||4

FF '=

. （Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程组24x y

y kx m

?=?=+?，消去y ，

得2440x kx m --=，因为直线l 与1C 相切，所以2

16160k m ?=+=， 得2m k =-，且N 的坐标为2

(2,)k k .

联立方程组22

x y y kx k

?=-??=-??，消去y ，得22

0x kx k +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12x x k +=-，2

2x x k ?=-，所以

12022x x k x +=

=-，2003

2

y kx m k =+=-. 因为点F 在以线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN ?=，即4

2

320k k +-=， 解得2

23k =

，经检验满足题意，故直线l

的方程是2

33

y x =±

-.

25.解： （Ⅰ）当0a =时，2

211()||||f x x x x x

=+

+-. ()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数. （Ⅱ）由已知得22

2,1

2,01()2,102,1

x ax x ax x x

f x ax x x x ax x ?+≥?

?+<

当1x ≥时，2

246x ax x +≥-恒成立，即max 6

(24)a x x

≥--

+

，所以4a ≥- 当01x <<时，246ax x x +≥-恒成立，即262

4a x x

≥--恒成立，

因为262

44x x

--<-，所以4a ≥-；

当10x -<<时，246ax x x -+≥-恒成立，即2624a x x ≤-+，因为262

412x x

-+>，

所以12a ≤；

当1x ≤-时，2

246x ax x +≥-恒成立，即min 6(24)a x x

≤--+

，所以4a ≤+

综上所述，a

的取值范围是44a -≤+（Ⅲ）设0x 是方程()8f x b =-的解，则0()8f x b =-.

当0||1x ≥时，20028x ax b +=-，即2

00280ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线200280x x y x -++=上的点，

2

2

≥

=

≥=，当且仅当2

02x =时，等号成立.

当00||1x <<时，

0028||ax b x +=-，即002

80||

ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线00

2

80x x y x -+

+=上的点，

2

2|

8|8++≥

>>=

因为>

≥

当且仅当||a =，4b =时，22

a b +的最小值是48.