概率论基础知识归纳第四章

概率论基础知识

第四章随机变量的数字特征

一数学期望

§4.1.1离散型随机变量的数学期望

例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：

若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为

于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为

定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为

如果级

数

绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=

意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值

例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：

问谁的平均中环数高？解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+9

0.1+10 0.6=9.3

乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1

可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。

例3：设，求E(X)

解：由于

，其分布律为

，k=0,1,2…,所以

例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？

解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。X 的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为

由于

,求导数

将x=0.8代如上式，便得

将此结果代入原式便得：

（次）

§4.1.2连续型随机变量的数学期望

绝对收敛，则称此积

分为X 的数学期望，记为E(X)，即

，

例7：设风速V 是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W 是风速V 的函数：这里a,k 均为已知正数。试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。

W 的分布函数为

两边求导，使得

进而便可求得W 的数学期望

由此运算过程可以看到，不必求出W 的概率密度?w(z)，而根据V 的概率密度?v(v)也可直接求出W 的数学期望值，即

§4.1.3随机变量函数的数学期望值

1.一维随机变量函数的数学期望

定理1：设X 为随机变量，Y=g(X),

(1) 如果X

，且级数

(2) 如果X

?(X)，且积分

绝对收敛，则有

证略

求：

例8：已知X 的分布律为

解：

例9：设，求

解：

（令 m=k-2）

例10：设

，求

解：由于X 的概率密度为于是

例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X （单位：吨），且已知，

并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？

解：设a 为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y 为国家收益，于是Y 是X 的函数

，即其概率密度为

令

解得 a=3500（吨）

但，故E(Y)在a=3500时，E （Y ）最大，即组织货源为3500吨时，可是

国家的收益达到最大。

2.二维随机变量函数的数学期望

定理2.设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)

（1）如果(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为

（2）如果（X ，Y ）为二维离散型随机变量?(χ,y)

证略。

例12.设(X,Y)的概率密度为试求E( )

§4.1.4数学期望的性质

若c 为常数，则E(c)=C

若c 为常数，X 为随机变量，则E(cX)=cE(X)

设X,Y 为任意两个随机变量，则E(X ±Y)=E(X) ±E(Y)

为n 个随机变量，则有

如果X,Y 相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y)

n 个随机变量X 1,X 2,…Xn 相互独立，则有则有

。

例13.有一队射手9人，每位射手击中靶子的概率都是0.8，进行射击时各自击中靶子为止，但限制每人最多只打三次，问平均需要为他们准备多少发子弹？

解：令表示第i 名射手所需的子弹数i=1,2,…,9 X 为9名射手所需的子弹总数，显然

而的分布律为

于是由性质3便可求得平均所需准备的子弹数：

即平均需准备12发子弹。

二

方差

§4.2.1方差的概念

1-0.8-0.16=0.04

意义：D(X)表示X 取值相对于平均值E(X)的分散程度 §4.2.2 方差的计算 1.由方差定义直接计算

(2)若X 为连续型随机变量，其概率密度为?(χ),则

2.由下列重要公式计算

证：

例2.设

求

解：前面已求得

于是

例3.设

解：前面已求得

，于是

§4.2.3方差的性质

（注意：相加时期望没要求相互独立）

性质4.设X 为随机变量，则D(X)=0的充分必要条件为其中c 为常数。

例4.设X 为随机变量，E(X),D(X)存在，又设，

例5.设X~B(n,p),求E(X), D(X)

解：设在贝努里试验中，事件A 出现的概率为p,将此贝努里试验独立重复进行几次，构成n 重贝努里试验,令

i=1，2，…，n

Xi 0 1

思考：如果二者独立 D(X-Y)=D(X)-D(Y) ? 实际上D(X-Y)=D(X)+D(Y)

另一方面，令X表示n重贝努里试验中事件A出现的次数，则X~B(n,p)

§4.2.4切比雪夫不等式

，

证：只证X为连续型随机变量的情况

设?(χ)为X的概率密度，则有

例6.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且各盏灯开关彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯的数目在6800盏至7200盏之间的概率。

解:令X表示夜晚同时开着灯的数目，X~B(10000,0.7)

可用车比雪夫不等式进行估计此概率

§4.2.5常用分布的数学期望与方差以下结果要熟记

1. 二点分布X～B(1,p)

2. 二项分布X～B(n,p)

三协方差及相关系数

§4.3.1协方差

1．协方差的概念

滚动

滚

滚动

2.协方差的性质

滚动

例2：甲乙两人猜测箱中产品的数目，猜测结果分别记为X和Y (单位：百个)已知（X，Y）的分布律和边缘分布律由下表给出：

X\Y 1 2 3

1 0.

2 0.1 0.01 0.31

2 0.15 0.30 0.06 0.51

3 0.03 0.05 0.10 0.18

0.38 0.45 0.17 1

滚

§4.3.2相关系数

1．相关系数的概念

例3：

解：由前面得到的结果可知，且

2．相关系数的性质

性质1

性质2

证：

（）

例4：设X 的分布律为

解：

滚动于是

而

所以

X -1 0 1

滚动

讨论如下：

（1）

（2）

。

（3）

。性质3

1/2Pi

问题：相关系数到底说明什么问题？

似乎并不能完全反映两个变量的相关程度。

由此问题引出性质3

相关系数实际上叫“线性相关系数”更准确积变偶不变，符号看象限

滚动

§4.3.3协方差矩阵

为（X1，X2，…，Xn）的协方差矩阵，简称为协差阵。

性质

1. V为对称阵，即Vij=Vji,一切i,j

2. V主对角线之元素为X1,X2…,Xn,的方差，即Vii=D(Xi),i=1,2,…,n滚动

滚动

四 n维正态分布

§4.4.1 n维正态分布的概率密度

对二维正态分布的随机变量（X，Y），其概率密度为

滚动

可见，（X，Y）的概率密度便可表为

定义1.如果n维随机变量（X1，X2，…，X N）的概率密度为

§4.4.2 n维正态分布的几个重要性质

滚动

由性质3可知（X，Z）服从二维正态分布，而

即X与Z不相关，从而X与Z相互独立。

概率论基础讲义

概率论基础知识第一章随机事件及其概率一随机事件 §1几个概念 1、随机实验:（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。 2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为A，B，C…… 例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。 3、例如，在E1中，6点”的事件便是不可能事件, 4、基本事件：例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 E1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、样本空间： e. 例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点

有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。例如，在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6} 在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）} 在E3中，Ω={0，1，2，……} 例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合) 例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为

第一章概率统计基础知识(2)概率的古典定义与统计定义

二、概率的古典定义与统计定义二、概率的古典定义与统计定义(p5-11) 确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。 (一) 概率的古典定义用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下: （1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点；（2）每个样本点出现的可能性相同(等可能性); 若事件含有k个样本点，则事件的概率为: (1.1-1) [例1.1-3] [例1.1-3]掷两颗骰子，其样本点可用数组（x , y）表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为: 它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材6页图。这个图很多同学看不懂！其实就是x+y=?在坐标系反映出来的问题。（二）排列与组合（二）排列与组合用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。（1）乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步m2种方法，做第k步有m k种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×m k种方法。例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游

线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6 条旅游线路。 (2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法，在第k类方法中又有m k种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+…+m k种方法。例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10 个班次供旅游选择。排列与组合排列与组合的定义及其计算公式如下: ①排列:从n个不同元素中任取）个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n1) ×…×(n-r+1) 个，记为。若r=n, 称为全排列，全排列数共有n!个，记为，即:= n×(n-1) ×…×(n-r+1), = n! ②重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有个。注意，这里的r允许大于n。例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为10×9×8×7=5040 。 ③组合: 从n个不同元素中任取x个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为： .特别的规定0!=1，因而。另外，在组合中，r个元素"一个接一个取出"与"同时取出"是等同的。例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为：这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24 种。而这24种排列在组合中只算一种。所以。注意:排列与组合都是计算"从n个不同元素中任取r个元素"的取法总数公式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式；如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。 [例1.1-4] [例1.1-4] 一批产品共有个，其中不合格品有个，现从中随机取出n个，问：事

初中数学概率初步讲义

第13讲概率初步温故知新轴对称（一）轴对称的定义（1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。（2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（3）轴对称与轴对称图形的区别：①成轴对称是对于两个图形而言的，指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。（二）轴对称的性质（1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。（2）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。（3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。智慧乐园大家都有过夹娃娃的经历吗?你觉得什么情况下夹到娃娃的可能性会更大?与小伙伴进行讨论

知识要点一。感受可能性（一）确定事件与不确定事件 1、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 2、不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 3、确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件。 4、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称随机事件。 5、 ?? ?? ?? ? ? 必然事件确定事件事件不可能事件不确定事件 ?典例分析例1、下列事件不是随机事件的是（） A．投两枚骰子，面朝上的点数之积为7 B．连续摸了两次彩票，均中大奖 C．投两枚硬币，朝上的面均为正面D．NBA运动员连续投篮两次均未进例2、袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（）A．这个球一定是黑球B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C．这个球可能是白球D．事先能确定摸到什么颜色的球例3、“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（） A．确定事件B．必然事件C．不可能事件D．不确定事件例4、下列事件属于随机事件的有（） ①当室外温度低于﹣10℃时，将一碗清水放在室外会结冰； ②经过城市中某有交通信号灯的路口，遇到红灯； ③今年春节会下雪； ④5，4，9的三根木条组成三角形． A．②B．②④C．②③D．①④

概率论知识点总结

概率论知识点总结基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事

件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）：第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性： P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－ P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)、乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则

概率论基础-李贤平-试题+答案-期末复习

第一章随机事件及其概率一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是：（） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则（） A ．()P A B I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P A B P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B =I B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为：（） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是（） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（） A ．()A B B A -=U B ．()A B B A -?U C ．()A B B A -?U D ．()A B B A -=U 8．设事件A 与B 互不相容，则有（） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件

概率论基本知识(通俗易懂)

第一章概率论的基本概论确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？这就要引入”概率”的概念。概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发

生哪一个可能结果在试验之前不能预言。我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二）随机事件

自考概率论与数理统计基础知识.

一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析：题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下：由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的

概率统计知识点全面总结

知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111）从0~9中随机取一行一列然后初方向随机（上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

概率论基础复习题及答案

《概率论基础》本科填空题（含答案） 1．设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。考查第三章 2．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。考查第一章 3．设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π 21，)0(0Φ等于 0.5 。考查第三章 4．设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。考查第五章 5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。考查第五章 6．设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7．设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞ =1 i i p = 1 ；Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。考查第一章 8．设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。考查第一章 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。考查第三章

概率论基础复习资料

概率论基础复习资料训练题选： 1、设A ，B ，C 为三个事件，则A 、B 、C 至少有一个发生可表示为？ 2、设A ，B ，C 为三个事件，则A 、B 、C 都不发生可表示为？ 3、设事件A 的概率为31)(= A P ，事件 B 的概率为21)(=B P ，且4 1)(=AB P ，求．)(B A P 4、设41)(=A P ，31)(=A B P ，2 1)(=B A P ，求)(B A P . 5、某人射击三次，以)3,2,1(=n A n 表示事件“第n 次射击时击中目标”，，试用 )3,2,1(=n A n 表示事件“至多击中目标一次”。 6、甲、乙两个班级进行篮球比赛，设事件A=“甲胜”，则事件A 表示什么事件？ 7、某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，求5次射击中恰有3次命中的概率。 8、设某盒子中有２４个球，现随机抽取一上是红球的概率是25.0，求盒子中红球的数量。 9、盒中有3红2白共5个球，从中任取2个球，则取到两个同色球的概率是多少？ 10、设在随机试验中事件A 的概率为6 1)(=A P ，求在6次独立重复试验中，事件A 出现的2次的概率 11、设随机变量设)4,1(~N X ，已知设6915.0)5.0(=Φ，计算)21(≤≤X P 12、某篮球运动员投篮命中率为0.8，求其两次投篮没有全中的概率

13、若A 与B 相互独立，4 3)(=A P ，41)(=AB P ，求)(B P 14、在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共十个不同的号码中随机地不放回抽取一个号码，求第三次抽取时恰好抽到8号球的概率是多少？ 15、从1,2,3,4,5中任取3个数字，计算则三个数字中不含1的概率。 16、盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个乒乓球，现随机地从中取出5个球，求取到的五个乒乓球中最大号码为7的概率，最小号码为7的概率。 17、已知随机变量X 只能取值-1,0,1,2四个数值，其相应的概率为设 c c c c 162,85,43,21，求常数C 18、设随机变量X 服从正态分布，即X ～),(2οu N ，计算?? ? ??≤-0οu X P 13、设随机变量X 服从区间]1,0[上的均匀分布，即X ～]1,0[U ，计算()1≤X P 20、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，即X ～)3(P ，求)2(≤X P 21、设X 服从[]41，上的均匀分布，求)53(<

高中数学概率统计知识点总结

概率与统计一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：一组数据中，出现次数最多的数。２、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距；频率=频数／总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。２、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- １、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。五、回归分析１、残差：??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑, 分析：①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ ３、拟合度(相关指数）:221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①．(]20,1R ∈的常数; ②．越大拟合度越高； 4、相关系数：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①．[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈；相关性一般; [0.75,1]r ∈；相关性很强; 六、独立性检验 1、２×２列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++

历年考研数学概率论零基础讲义

2016考研数学概率论零基础入门讲目录第一讲随机事件与概率 (1) 第二讲一维随机变量及其概率分布 (7) 第三讲随机变量的数字特征 (12)

【注】（1）数二的考生不需要学习这部分内容。（2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记. 第一讲随机事件与概率一、从古典概型讲起 1.随机试验与随机事件称一个试验为随机试验，如果满足：（1）同条件下可重复（2）所有试验结果明确可知且不止一个（3）试验前不知哪个结果会发生【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A, B, C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ． ②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi . 2.古典概率称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空间)满足: (1)只有有限个基本事件(样本点)； (2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样．【注】①等可能：对于可能结果: ω1,ω2 , ,ωn ，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi 更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样. ②如果古典概型的基本事件总数为n ，事件A 包含k 个基本事件，即有利于A 的基本事件k 个．则A 的概率定义为 P( A) =k = 事件A所含基本事件的个数n 由上式计算的概率称为A 的古典概率． 3.计数方法基本事件总数 1

初中数学统计与概率知识点精炼

统计与概率一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式：普查：对调查对象的全体进行调查；抽样调查：对调查对象的部分进行调查；总体：所要考察对象的全体；个体：总体中每一个考察的对象；样本：从总体中所抽取的一部分个体；样本容量：样本中个体的数目（不带单位）；平均数：对于n 个数12,,,n x x x ，我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数；中位数：几个数据按大小顺序排列时，处于最中间的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做中位数；众数：一组数据中出现次数最多的那个数据；方差：2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ，其中n 为样本容量，x 为样本平均数；标准差：S ，即方差的算术平方根；极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差；频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数；频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率； ★ 频数和频率的基本关系式：频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1；扇形统计图：圆表示总体，扇形表示部分，统计图反映部分占总体的百分比，每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比；会填写频数分布表，会补全频数分布直方图、频数折线图；频数样本容量各基础统计量频数的分布与应用 2、 3、

二、概率的基础知识必然事件：一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件； 2、不确定事件（随机事件）：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件； 3、概率：某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率，记为P(A)； P (必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1； ★概率计算方法： P(A) = ———————————————— 例如注：对于两种情况时，需注意第二种情况可能发生的结果总数例：①袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后放回．．，再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 4 25 1、确定事件事件A发生的可能结果总数所有事件可能发生的结果总数运用列举法（常用树状图）计算简单事件发生的概率 …………

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

高中概率讲义

3.1 随机事件的概率 3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义(第一、二课时) 1、教学目标：（1）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；（2）正确理解事件A 出现的频率的意义；（3）正确理解概率的概念和意义，明确事件A 发生的频率f n （A ）与事件A 发生的概率P （A ）的区别与联系；（3）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题． 2、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=n n A 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值n n A ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率（7）似然法与极大似然法：见课本P111 3、例题分析：例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）“平抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某人射击一次，中靶”；（4）“如果a ＞b ,那么a －b ＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）“常温下，铁通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水份，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．

初中概率论基础

第一章概率论基础 1、（2002，数四，8分）设是任意二事件，其中的概率不等于0和1，证明是事件与独立的充分必要条件。 2、（2003，数三，4分）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件“掷第一次出现正面”，“掷第二次出现正面”，“正、反面各出现一次”，“正面出现两次”，则事件（）（A）相互独立。（B）相互独立。（C）两两独立。（D）两两独立。 3、（2003，数四，4分）对于任意二事件和，则（A）若,则一定独立；（B）若,则有可能独立；（C）若,则一定独立；（D）若,则一定不独立； 4、（2006，数一，4分）设为两个随机事件,且则必有（A）（B）（C）（D）第二章随机变量及其分布 1、（2005，数一，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则。 2、（2003，数三，13分）设随机变量的概率密度为，是的分布函数。求随机变量的分布函数。 3、（2006，数一，4分）随机变量与相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则。 20、（2007，数一，4分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为。 4、（2007，数一，4分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为。则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）（A）（B）（C）（D）

第三章多维随机变量及其分布 1、（2002，数一，3分）设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（）（A）必为某一随机变量的概率密度。（B）必为某一随机变量的概率密度。（C）必为某一随机变量的分布函数。（D）必为某一随机变量的分布函数。 2、（2003，数一，4分）设二维随机变量的概率密度为，则。 3、（2003，数三，13分）设随机变量与独立，其中的概率分布为，而的概率密度为，求随机变量的密度。 4、（2003，数四，4分）设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则（A）与一定独立；（B）服从二维正态分布；（C）与未必独立；（D）服从一维正态分布。 5、（2004，数一，9分）设为两个随机事件,且令求：（1）二维随机变量的概率分布；（2）的概率分布。 6、（2004，数四，13分）设随机变量在区间（0，1）上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求：（1）随机变量和的联合概率密度；（2）的概率密度；（3）概率。 7、（2005，数一，4分）设二维随机变量的概率分布为 0 1 0 1 0.4 0.1 已知随机事件与相互独立，则（A），（B），（C），（D）。 8、（2005，数一，9分）设二维随机变量的概率密度为求（1）的边缘概率密度；

考研资料——概率论基础知识4

概率论基础知识(4) 第四章随机变量的数字特征一数学期望 §4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：该班同学的平均年龄为：若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)= 意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：问谁的平均中环数高？解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。例3：设，求E(X) 解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以

例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。X 的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于 ,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次） §4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X 的数学期望，记为E(X)，即，

高三总复习讲义概率

高三数学总复习讲义--概率第一讲：随机事件的概率随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。必然事件：在一定条件必然要发生的事件。不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。事件A的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作 P(A)。由定义可知，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。等可能事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果试验中可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性相等，那么每个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率。在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数与集合I的元素个数的比值：（古典概型）这样就建立了事件与集合的联系，从排列组合的角度看，m,n实际上就是事件的排列数或组合数。题型一：与排列组合综合例1.某班委会由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是____________________；练习1.将7人（含甲、乙两人）分成三组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为 ________________；甲、乙分在同一组的概率P=________________。题型二：与两个计数原理综合例2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色，再将正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，从切好的小正方体中任选一个，所得正方体的六个面均没有涂色的概率是________________；