2015年深圳二模文科数学试题纯word版
试卷类型：A
2015年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（文科） 2015.4
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+$$$的系数公式：1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑$
，
a y bx =-$$，其中x ，y 是数据的平均数．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的． 1.i 是虚数单位，复数11i
+在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2.平面向量(1,2)=-a ，(2,)n =-b ，若a // b ，则n 等于
A ．4
B ．4-
C ．1-
D ．2
3.已知集合{}
10A x x =->，{}
21x
B x =>，则A B =I
A ．?
B ．{}01x x <<
C ．{}0x x <
D ．{}
1x x > 4.命题0:0p x ?>，00
1
2x x +=，则p ?为 A ．0x ?>，12x x +
= B ．0x ?>，12x x +≠ C ．0x ?>，12x x +≥ D ．0x ?>，1
2x x
+≠
5.已知直线l ，平面,,αβγ，则下列能推出//αβ的条件是
A.l α⊥，//l β
B.//l α，//l β
C.α⊥γ，γβ⊥
D.//αγ，//γβ 6.已知某路口最高限速50km /h ，电子监控测得连续6辆汽车的速
度如图1的茎叶图（单位：km /h ）．若从中任取2辆，
38
则恰好有1辆汽车超速的概率为
A.415
B.25
C.815
D.35
7.将函数π
()sin(2)3
f x x =+的图象向右平移?个单位，得到的图象关于原点对称，则?的
最小正值为
A ．
π6 B ．π3 C ．5π12 D ．7π12
8.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与圆03422=+-+y y x 相切，则
此双曲线的离心率等于 A ．
1
2
D ．2 9.如图2
所示的程序框图的功能是求 分别填写
A ．5?i <，
S S =
B ．5?i ≤，S S =
C ．5?i <
，2S = D ．5?i ≤，2S =
10.定义在[+t ∞，）上的函数()f x ，()g x 单调递增，()()f t g t M ==，若对任意k M >，存在12x x <，
使得12()()f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在[+t ∞，）上的“追逐函数”.已知2()f x x =，下列
四个函数：①()g x x =；②()ln 1g x x =+；③()21x g x =-；④1
()2g x x
=-
.其中是()f x 在[1+∞，）上的“追逐函数”的有
A ．1个 B.2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为
必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答． 11.等差数列{}n a 中，44a =，则1592a a a ++= ．
12.若实数,x y 满足2221x y x y +≥??≤??≤?
，则22
x y +的最小值为 ．
13.某几何体的三视图如图3所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积
为 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线l ：12x s
y s =+??
=-?
（s 为参数）与曲线C ：
2
3
x t y t =+??=?（t 为参数）相交于A 、B 两点，则AB =_________． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 、AC 是⊙O 的两条
切线，切点分别为B 、C ．若60BAC ∠=?，6BC =， 则⊙O 的半径为 ．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．
16．（本小题满分12分） 在ABC ?中，已知π11
sin(
)214
A +=,1cos(π)2
B -=-.
（1）求sin A 与B 的值；
（
2）若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值. 17．（本小题满分12分）
PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表：
（1（2（3 18．（本小题满分14分）
如图5，ABC ?是边长为4的等边三角形， ABD ?是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面
ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =. （1）证明：//DE 平面ABC ； （2）证明：AD ⊥BE .
D
C
A
B
E
A
19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*
n ∈N ）.
（1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式248n n a m a m -?=+成立？若存在，请求出所有满足条件的
(,)m n ；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知动点),(y x M 和定点)1,0(N ，MN 的中点为P ，直线MN ，OP 的斜率之积为1
2
-，动点M 的轨迹为1C ．
（1）求曲线1C 的方程；
（2）若(,)Q s t （0t ≠）为曲线1C 与抛物线2C ：2
2x py =的公共点，记1C ，2C 在点Q 处的切线
分别为1l ，2l ，证明：12l l ⊥． 21．（本小题满分14分） 已知函数()ln (,)R b f x x ax a b x =-+∈，且对任意0x >，都有0)1
()(=+x
f x f . （1）求a ，b 的关系式；
（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求出a 的取值范围并证明0)2
(2
>a f ；
（3）在（2）的条件下，判断()y f x =零点的个数，并说明理由．
2015年深圳市高三年级第二次调研考试
文科数学参考答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
为最后得分)，满分20分．
11．16. 12．82π- 14 15．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分） 在ABC ?中，已知π11
sin(
)214
A +=,1cos(π)2
B -=-.
（1）求sin A 与B 的值；
（2）若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且5a =，求b ，c 的值. 解：（1）πsin()cos 2
A A +=Q ，
11
cos 14
A ∴=
，…………………………………………………………………………………2分 又0πA < sin A ∴=………………………………………………………………………………4分 1 cos(π)cos 2 B B -=-=-Q ，且0πB <<， π 3 B ∴=.………………………………………………………………………………………6分 （2）法一：由正弦定理sin sin a b A B =， sin 7sin a B b A ?∴==，…………………………………………………………………………8分 另由2222cos b a c ac B =+-得2 49255c c =+-， 解得8c =或3c =-（舍去），………………………………………………………………11分 7b ∴=，8c =.………………………………………………………………………………12分 法二：由正弦定理 sin sin a b A B =， sin 7sin a B b A ?∴= =，…………………………………………………………………………8分 又()cos cos πcos()C A B A B =--=-+Q ， 1111 sin sin cos cos 1427 A B A B =-= -?=，……………………10分 2222cos c a b ab A ∴=+-得21 2549257647 c =+-???=， 即8c =，………………………………………………………………………………………11分 7b ∴=，8c =.………………………………………………………………………………12分 法三：由正弦定理sin sin a b A B =， sin 7sin a B b A ?∴==，…………………………………………………………………………8分 又()sin sin πsin()C A B A B =--=+Q ， 111sin cos cos sin 214A B A B =+= += ，…………………10分 又由正弦定理sin sin c b C B =得sin 8sin b C c B ?==…………………………………………11分 7b ∴=，8c =.………………………………………………………………………………12分 【说明】本题主要考查诱导公式，正、余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力. 17．（本小题满分12分） PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5 的数据如下表： （1）根据上表 数据，请在 下列坐标 系中画出散点图； （2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$； （3）若周六同一时间段的车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？ 解：（1）散点图如下图所示. ………………………………………………………………2分 （2）5051545758545x ++++= =Q ，6970747879 745 y ++++==，………4分 5 1 ()()4534344564i i i x x y y =--=?+?+?+?=∑，………………………………5分 5 2 22221 () (4)(3)3450i i x x =-=-+-++=∑，…………………………………………6分 5 1 5 2 1 ()() 64 1.2850 () i i i i i x x y y b x x ==--= = =-∑∑$，…………………………………………………8分 74 1.2854 4.88a y bx =-=-?=$， …………………………………………………9分 故y 关于x 的线性回归方程是：? 1.28 4.88y x =+.…………………………………10分 （3）当25x =时， 1.2825 4.8836.8837y =?+=≈ 所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37.…………………………………………12分 【说明】本题主要考查了线性回归分析的相关知识，包括散点图，用最小二乘法求回归直线方程，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力. 18．（本小题满分14分） 如图，ABC ?是边长为4的等边三角形，ABD ?是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =. （1）证明：//DE 平面ABC ； （2）证明：AD ⊥BE . D B E 证明：（1）取AB 的中点O ，连结DO 、CO ，…………1分 Q ABD ?是等腰直角三角形，AD BD ⊥， ∴DO AB ⊥，122 DO AB = =，………………2分 又Q 平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD I 平面ABC AB =， DO ?平面ABD ， ∴DO ⊥平面ABC ，………………………………3分 由已知得EC ⊥平面ABC ， ∴//DO EC ，………………………………………………………………………………… 4分 又2EC DO ==Q ， ∴四边形DOCE 为平行四边形，……………………………………………………………5分 ∴//DE OC ，…………………………………………………………………………………6分 而DE ?平面ABC ，OC ?平面ABC ， ∴//DE 平面ABC .……………………………………………………………………………7分 （2）Q O 为AB 的中点，ABC ?为等边三角形， ∴OC AB ⊥，…………………………………………………………………………………8分 由（1）知DO ⊥平面ABC ，而OC ?平面ABC ， 可得DO OC ⊥，………………………………………………………………………………9分 Q DO AB O =I ， OC ∴⊥平面ABD ，…………………………………………………………………………10分 而AD ?平面ABD ， ∴OC AD ⊥，………………………………………………………………………………11分 又Q //DE OC ， ∴DE AD ⊥，………………………………………………………………………………12分 而BD AD ⊥，DE BD D =I ， AD ∴⊥平面BDE ，…………………………………………………………………………13分 又BE ?平面BDE ， ∴AD ⊥BE .…………………………………………………………………………………14分 【说明】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 19．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（* n ∈N ）. （1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式2 48n n a m a m -?=+成立？若存在，请求出所有满足条件的(,)m n ；若不存在，请说明理由. 解：（1）当1n =得21320a S ++=，解得24a =，………………………………………1分 当2n =得32320a S ++=，2122S a a =+=， 解得38a =-，…………………………………………………………………………………3分 （2）当2n ≥时，11()3()0n n n n a a S S +--+-=， 即1()30n n n a a a +-+=，12n n a a +=-（2n ≥），…………………………………………5分 D C A B E O 另由212a a =-得12n n a a +=-， 所以数列{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，……………………………………6分 (2)n n a ∴=-.…………………………………………………………………………………7分 （3）把(2)n n a =-代入248n n a m a m -?=+中得2(2)(2)48n n m m --?-=+， 即2(2)8(2)4n n m --=-+，……………………………………………………………………………8分 2(2)1688(2)4(2)4(2)4 n n n n m --+∴==--+-+-+， 要使m 是整数，则须有8 (2)4 n -+是整数， (2)4n ∴-+能被8整除，……………………………………………………………………9分 （法一）当1n =时，(2)42n -+=， 84(2)4n =-+，此时2m =-，…………………10分 当2n =时，(2)48n -+=，81(2)4 n =-+，此时1m =，………………………………11分 当3n =时，(2)44n -+=-， 82(2)4n =--+，此时14m =-，………………………12分 当4n ≥，(2)420n -+≥，8(2)4 n -+不可能是整数，…………………………………13分 综上所求，所求满足条件的整数对有(2,1)-，(1,2)，(14,3)-.………………………14分 （法二）(2)41n ∴-+=±，2±，4±，8±， 当(2)41n -+=±，无解；…………………………………………………………………10分 当(2)42n -+=±，解得1n =时，(2)42n -+=-，2m =-；…………………………11分 当(2)44n -+=±，解得3n =时，(2)44n -+=-，14m =-；………………………12分 当(2)48n -+=±，解得2n =时，(2)48n -+=，1m =；……………………………13分 综上所求，所求满足条件的整数对有(2,1)-，(1,2)，(14,3)-.………………………14分 【说明】本题主要考查等比数列的定义，会根据数列的递推关系求数列的前几项以及通项公式，考查考生运算求解、推理论证、处理变形的能力. 20．（本小题满分14分） 已知动点),(y x M 和定点)1,0(N ，MN 的中点为P ，直线MN ，OP 的斜率之积为1 2 - ，动点M 的轨迹为1C ． （1）求曲线1C 的方程； （2）若(,)Q s t （0t ≠）为曲线1C 与抛物线2C ：2 2x py =的公共点，记1C ，2C 在点Q 处的 切线分别为1l ，2l ，证明：12l l ⊥． 解：（1）由题意得1 ( ,)22 x y P +，……………………………………………………………1分 1 MN y k x -∴= ，1 1 22 OP y y k x x ++== （0x ≠），…………………………………………2分 1 2 MN OP k k ?=-， ()()21112 y y x -?+∴=-（0x ≠），…………………………………………………………3分 化简整理可得：2 212x y +=（0x ≠）， ∴曲线C 的方程为2 212 x y +=（0x ≠） ．…………………………………………………5分 （注：若过程及结果中没有写0x ≠，则扣1分） （2）由题意知0s ≠且0t ≠，所以1l ，2l 的斜率存在且不等于0， 设直线1l 的方程为1()y t k x s -=-，即11()y k x t k s =+-，………………………………6分 把它代入1C 中并整理得2221111(12)4()2()20k x k t k s x t k s ++-+--=， 由题意得：2222 11116()4(12)2()20k t k s k t k s ???=--+--=??， 经化简得：21()t k s -2112k =+，即() 222 112210s k st k t --?+-=有且仅有一解， 所以122st k s = -，由22 22s t +=，得1 2s k t =-，………………………………………10分 （注：若没有过程，直接得出1l 为12s x t y ?+?=，从而求得12s k t =-，则只得1分） 因为2C 经过点Q ，所以2 2s pt =，即22s p t =， 所以2C 的方程为2 2t y x s =，………………………………………………………………11分 求导得22't y x s =，222'x s t t y s s s =∴=?=， 即2l 的斜率为22t k s =，……………………………………………………………………13分 121k k ∴?=-， 12l l ∴⊥.……………………………………………………………………………………14分 【说明】本题考查了直线的斜率，直线的方程，直线的垂直关系，轨迹方程，椭圆及抛物线的方程，圆锥曲线在某点处的切线方程等，考查考生数形结合以及综合求解能力． 21．（本小题满分14分） 已知函数()ln (,)R b f x x ax a b x =-+∈，且对任意0x >，都有0)1 ()(=+x f x f . （1）求a ，b 的关系式； （2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求出a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明0)2 (2 >a f ，并指出函数()y f x =零点的个数（要求 说明理由）． 解：（1）法一：根据题意，令1x =，可得0)1 1 ()1(=+f f ， ∴(1)0f a b =-+=，…………………………………………………………………………1分 经验证，可得当a b =时，对任意0x >，都有0)1()(=+x f x f ， ∴b a =．………………………………………………………………………………………2分 法二：1()()ln ln b a f x f x ax x bx x x x +=-+ --+Q b a ax bx x x =-+-+， 1 ()()0b a x x =-+=，………………………………………………1分 ∴要使上式对任意0x >恒成立，则须有0b a -=，即b a =.……………………………2分 （2）由（1）可知()ln a f x x ax x =-+，且0x >， 222 1'()a ax x a f x a x x x -+-∴=--=，………………………………………………………3分 令2()g x ax x a =-+-， 要使)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则须有()y g x =有两个不相等的正数根， 20102140(0)0a a a g a >???>?∴???=->?=- a a a g a ????=->?=->??，解得102a <<或无解，………………………5分 a ∴的取值范围1 02 a <<,……………………………………………………………………6分 （3）由（2）可知可得21 028 a <<， 由题意知2ln 2 2ln 2222ln )2(3 322--+=+-=a a a a a a a f ， 令32()2ln ln 22x h x x x =+--，则2422 223344 '()22x x x h x x x x -+-=--=， 而当1 (0,)2x ∈时，4434434(1)0x x x x -+-=---<，即'()0h x <， ()h x ∴在1 (0,)2上单调递减， ∴1163 ()()2ln 24ln 23ln e 021616 h x h >=-+- ->->， 即当102a <<时，0)2 (2 >a f ．……………………………………………………………8分 函数()y f x =有3个零点，下面给出证明： 由（2）知22 '()ax x a f x -+-=，2 ()g x ax x a =-+- ， 令()0g x =得：1x =，2x =，…………………………………9分 当21