2018文数全国一卷及答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷)

文 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（ ）

A ．{}02，

B ．{}12，

C ．{}0

D ．{}21012--，

，，， 2．设121i

z i i

-=++，则z =（ ） A ．0

B ．1

2

C ．1

D

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少

B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．已知椭圆C ：22

214

x y a +

=的一个焦点为()2,0，则C 的离心率（ ） A ．1

3

B ．12

C

D

5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A

．

B ．12π

C

．

D ．10π

6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）

A ．2y x =-

B ．y x =-

C ．2y x =

D ．y x =

7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．31

44AB AC - B ．13

44AB AC - C ．

31

44

AB AC +

D ．

13

44

AB AC +

8．已知函数()2

2

2cos sin 2f x x x =-+，则（ ）

A ．()f x

的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3

D ．()f x

的最小正周期为2π，最大值为4

9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）

A

．

B

．

C ．3

D ．2

10．在长方体1111ABCD A BC D -中，

2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为（ ） A ．8

B

．

C

．

D

．

此卷

只

装

订

不

密封

班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

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11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且 2

cos 23

α=

，则a b -=（ ） A ．15

B

C

D ．1

12．设函数()20

1 0x x f x x -?=?>?

，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）

A ．(]1-∞，

B ．()0+∞，

C ．()10-，

D ．()0-∞，

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知函数()()

22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．

14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --??

-+???

≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．

15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB = ________．

16．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，

，，已知s i n s i n 4s i n

s i

b C

c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共60分。 17．（12分）

已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a

b n =．

⑴求123b b b ，，；

⑵判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； ⑶求{}n a 的通项公式．

18．（12分）

在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． ⑴证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

⑵Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2

3

BP DQ DA ==

，求三棱锥Q ABP -的体积．

19．（12分）

某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水

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量数据，得到频数分布表如下：

⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

⑵估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；

⑶估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 20．（12分）

设抛物线22C y x =：，点()20A ，

，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． ⑴当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； ⑵证明：ABM ABN =∠∠．

21．（12分）

已知函数()ln 1x f x ae x =--．

⑴设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； ⑵证明：当1

a e

≥，()0f x ≥．

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（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10）

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． ⑴求2C 的直角坐标方程；

⑵若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知()11f x x ax =+--．

⑴当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

⑵若()01x ∈，

时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．

2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷)

文数答案

一、选择题

1.

答案：

A

2.

答案：

C

3.

答案：

A

4、

答案：

C

5.

答案：

B

6.

答案：

D

7.

答案：

A

8、

答案：

B

9.

答案：

B

10.

答案：

C 11.

答案：

B

12.

答案：

D

二、填空题

13、

答案：

7-

14.

答案：

6

15.

答案：

16.

答案：

三、解答题

17.

答案：

（1）

123

1,2,4

b b b

===

（2）见解答

（3）1

2n

n

a n-

=?

解答：

（1）依题意，

21

224

a a

=??=，

32

1

(23)12

2

a a

=??=，∴1

1

1

1

a

b==，2

2

2

2

a

b==，

3

3

4

3

a

b==.

（2）∵

1

2(1)

n n

na n a

+

=+，∴1

2

1

n n

a a

n n

+=

+

，即

1

2

n n

b b

+

=，所以{}

n

b为等比数列.

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（3）∵1112n n n

n a b b q n

--===，∴12n n a n -=?. 18. 答案： （1）见解析 （2）1 解答：

（1）证明：∵ABCM 为平行四边形且90ACM ∠=,∴AB AC ⊥,又∵AB DA ⊥,∴AB ⊥平面ACD ,∵AB ?平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面ACD .

（2）过点Q 作QH AC ⊥,交AC 于点H ，∵AB ⊥平面ACD ，∴A

B C D ⊥,又∵CD AC ⊥,

∴CD ⊥平面ABC ,∴

1

3

HQ AQ CD AD ==,∴1HQ =,

∵BC BC AM AD ====,

∴BP =又∵ABC ?

为等腰直角三角形，∴1332ABP S ?=??=，∴

11

31133

Q ABD ABD V S HQ -?=??=??=.

19. 答案： 略 解答： （1）

（2）由题可知用水量在[0.3,0.4]的频数为10，所以可估计在[0.3,0.35)的频数为5，故用水量小于30.35m 的频数为1513524+++=，其概率为24

0.4850

P =

=. （3）未使用节水龙头时，50天中平均每日用水量为： 31

(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.657)0.50650

m ?+?+?+?+?+?+?=， 一年的平均用水量则为30.506365184.69m ?=.

使用节水龙头后，50天中平均每日用水量为：

31

(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550

m ?+?+?+?+?+?=， 一年的平均用水量则为30.35365127.75m ?=， ∴一年能节省3184.69127.7556.94m -=. 20. 答案：

（1）220y x ++=或220y x --=；（2）见解析 解答：

（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，代入22y x =，∴(2,2),(2,2)M N -或

(2,2),(2,2)M N -，∴BM 的方程为：220,y x ++=或220y x --=.

（2）设MN 的方程为2x my =+，设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程22

2x my y x =+??=?，得

2240y my --=，∴12122,4y y m y y +==-，11222,2x my x my =+=+， ∴1212

12122244BM BN y y y y k k x x my my +=

+=+

++++

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121212

24()0(4)(4)my y y y my my ++==++，

∴BM BN k k =-，∴ABM ABN ∠=∠

.

21. 答案： 见解析 解答：

（1）()f x 定义域为(0,)+∞，1()x f x ae x '=-

. ∵2x =是()f x 极值点，∴(2)0f '=，∴2211

022ae a e

-=?=.

∵x e 在(0,)+∞上增，0a >，∴x ae 在(0,)+∞上增. 又

1

x

在(0,)+∞上减，∴()f x '在(0,)+∞上增.又(2)0f '=， ∴当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 减；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 增.

综上，2

1

2a e =

，单调增区间为(2,)+∞，单调减区间为(0,2). （2）∵0x e ≥，∴当1a e ≥时有11

x x x ae e e e

-≥?=，

∴1()ln 1ln 1x x f x ae x e x -=--≥--. 令1()ln 1x g x e x -=--，(0,)x ∈+∞.

11()x g x e x -'=-

，同（1）可证()g x '在(0,)+∞上增，又111

(1)01

g e -'=-=， ∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 增. ∴11min ()(1)ln111010g x g e -==--=--=，

∴当1

a e

≥时，()()0f x g x ≥≥.

22. 答案：

（1）22(1)4x y ++=； （2）4

23

y x =-+ 解答：

（1）由22cos 30ρρθ+-=可得：22230x y x ++-=，化为22(1)4x y ++=.

（2）1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线2(0)y kx k =+<与圆2C 相切，圆2C 圆心为(1,0)-，半径为2

2=，解得43k =-，故1C 的方程为4

23y x =-+.

23. 答案：

（1）1

{|}2

x x >；

（2）(0,2]. 解答：

（1）当1a =时，21()|1||1|21121

x f x x x x

x x ≥??

=+--=-<的解集为1

{|}2

x x >.

（2）当0a =时，()|1|1f x x =+-，当(0,1)x ∈时，()f x x >不成立. 当0a <时，(0,1)x ∈，∴()1(1)(1)f x x ax a x x =+--=+<，不符合题意. 当01a <≤时，(0,1)x ∈，()1(1)(1)f x x ax a x x =+--=+>成立.

当1a >时，1(1),1()1(1)2,a x x a f x a x x a ?

+-<

，∴(1)121a -?+≥，即2a ≤. 综上所述，a 的取值范围为(0,2].