线性代数 第二章 矩阵 例题

线性代数知识点总结第二章

线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数()1,2, ,;1,2, ,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表 11121212221 2 n n m m mn a a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵()() ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++

线性代数复习题-第二章

第二章 矩阵及其运算 复习题 一、填空题 1. 设A =a b c d ?? ???，且0A ad bc =-≠，则1A -= . 2. 设A =1231-?? ???，B =2103?? ??? ，(2,1)C =-，则()T A B C -= . 3. 设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**____.AA A A == 4. 设235α-?? ?= ? ??? ,则矩阵____.T A αα== 5．设A 是n 阶可逆方阵,*A 是A 的伴随矩阵,则*A = . 6．已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1,则=-C A C m 1 (m 是整数). 7．设矩阵500031021A ?? ?= ? ??? ，则1____A -=. 8.设???? ? ??=300020001A ,则1-A = . 9．设()()1,1,1,3,2,1==B A ,则=2 )(B A T . 10.设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =，则______________)(=T T CA B . 11.设矩阵???? ? ??=300041003A ，则逆阵______________1-A ,112_________A -=. 12. 若A ，B 都是三阶方阵，2A =，3-=B ，则13____AB -=. 14.设三阶方阵A 的行列式为 A A =2,*为A 的伴随矩阵, 则行列式 1*A A -+=_______. 二、判断题： 1.n 阶方阵A 满足2 20A A E --=，则E A -可逆. （ ） 2.对任意n 阶方阵,,A B C ，若AB AC =，且0A ≠，则一定有B C =. （ ）

线性代数第二章答案

第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)

线性代数练习题二(矩阵)

线性代数练习题二（矩阵） 一、 填空题 1、设A 是m n ?阶矩阵，B 是s m ?阶矩阵，则T T A B 是 阶矩阵. 2、设A B ,均为m n ?阶矩阵，则AB BA =的充要条件是 . 3、设A B ,均为n 阶矩阵，则AB 不可逆的充要条件是 . 4、设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则由A B ≠≠0,0可推出 O A B O = ；O A B O -?? = ??? 1 . 5、 设A B C ,,均为n 阶方阵，且A AB C ≠=0,，则B = 6、 设A B ,为同阶方阵，则A B A AB B +-++=222()(2) 7、设A 为5阶方阵，且A =3，则A -=1 ；A =2 ； A *= . 8、设A 为3阶方阵，且A =1 2 ，则A A -*-=132 . 二、 选择题 1、设A B ,均为n 阶矩阵，且A AB +=0，则（ ）

A A B E B C A E B D A E B =+==+==+=000000 或和2、设矩阵A B A O A ?? = ??? 12，其中A A 12,都是方阵，若A 可逆，则下列结论成立的是（ ） A A A B A A C A A D A A 12211212,,可逆不可逆可逆不可逆与可逆性不定与均可逆 3、若A B C ,,均为同阶方阵，且A 可逆，则下列结论成立的是（ ） A A B A C B C B AB CB A C C AB O B O D BC O B O ========若则若则若则若则 4、若A 是（ ）矩阵，则A 必是方阵 A B C n D 对称矩阵可逆矩阵 阶矩阵的转置矩阵 线性方程组的系数矩阵 5、设A 是非奇异对称矩阵，则（ ）仍是对称矩阵 T T A A B A C A D AA -1 3 6、若A 为n 阶方阵，且A a =≠0，则A *=（ ） n n A a B a C a D a --1 1 三、 计算题 1、设A ?? ?-- ?= ?-- ?--?? 1111111111111111，求n A .

线性代数复习题(全)

第一章 行列式 复习题 一、填空题 1. 已知1 1 1 11 3 21 --x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为____________. 2. 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为 1,2,0,1-，它们的代数余子式依次分别为 5,3,7,4---， 则D =_______. 3. n D n 1 1 1 1311 1 121 1111== . 4. 行列式2223 3 3 a b c a b c a b c = . 5. 当a = 时，方程组123123123(2)404(3)404(4)0 a x x x x a x x x x a x +++=?? -+-+=??-+++=? 有非零解. 6. 若行列式 0 4102040 01101 3 2 0a a =-, 则a =_______. 7.齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00 321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足的条件是 . 8. 已知2 768444424798 1 8 8 D = , 则41424344_______A A A A +++=. 二、计算题 1．计算1 111111111111 1 1 1 a a D a a +----= +----. ２.计算0 000000 a b a b D b a b a = 3.计算 3 2 1 4 214314324321 .

4.3251103111203 2 4 D = ---. 5.1111111111111 1 1 1x x D y y +-= +- 6. 解方程： 2 2 11231223023152 3 1 9x x -=-. 第二章 矩阵及其运算 复习题 一、填空题 1. 设A =a b c d ?? ??? ，且0A ad bc =-≠，则1 A -= . 2. 设A =1 23 1-?? ???，B =210 3?? ??? ，(2,1)C =-，则()T A B C -= . 3. 设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**____.AA A A == 4. 设235α-?? ? = ? ??? ,则矩阵____.T A αα== 5．已知C B A ,,为同阶方阵,且C 可逆,若B AC C =-1,则=-C A C m 1 (m 是整数). 6．设矩阵5 000 31021A ?? ?= ? ???，则1 ____A -=. 7.设??? ? ? ? ?=30 0020001 A ,则1-A = . 8.设矩阵??? ? ? ? ?=30 0041 003A ，则逆阵______________1-A ,112_________A -=. 二、判断题： 1.n 阶方阵A 满足2 20A A E --=，则E A -可逆. 2.对任意n 阶方阵,,A B C ，若A B A C =，且0A ≠，则一定有B C =. 3.设,,A B C 都是n 阶矩阵，且,AB E CA E ==，则B C =. 4.若2 0A =，则必有0A =. 5.方阵A 满足A A =2，则E A =或0=A . 6.设A ,B 都是n 阶方阵,若A ,B 都可逆,则B A +可逆. 7.设A 是n 阶矩阵,* A 是A 的伴随矩阵，则当A 为非奇异阵时，* A 也非奇异，且1 *n A A -=.

线性代数第二章矩阵试题及答案

第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.

线性代数矩阵相关练习题知识讲解

线性代数矩阵相关练 习题

向量组的线性相关性----习题课 如何正确理解线性相关（无关）的定义 判断下列命题是否正确。如果对，加以证明；如果错，举出反例。 (1)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ 成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关. 解：错。原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ 取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则原式成立, 而m a a ,,1 ；m b b ,,1 均线性无关。 (2)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则其中每个向量都是其余向量的线性组合。 解 错。 反例1：设)0,,0,0,1(11 ==e a ，032====m a a a 满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a 线性表示. 反例2：)0,0,1(1=a ，)0,0,12-= （a ，)1,0,0(3=a (3) 如果向量组的一个线性组合等于零向量，那么该向量组线性相关。 解：不一定。因为任何一个向量组都有一个性质： 系数全为0的线性组合一定是零向量。 若还有系数不全为零的线性组合也是零向量，则线性相关； 否则线性无关。 (4)若a 能表示为m m a a a λλ++= 11 则向量组a a a m ,,,1 线性相关. 解：正确。 (7) 若有一组不全为0的数m λλλ,,,21 使 0αλαλm m 11≠++ 成立,则m a a ,,1 线性无关. 解：错。任何一组数满足上式才行。 (6) 若021====m λλλ 时，有 0αλαλm m 11=++ 成立,则m a a ,,1 线性无关. 解：错。将“若…… ”改为“只有……”，结论才正确。 反例：)0,0,1(1=a ，)0,1,02（=a ，)0,1,1(3=a ，线性相关；

线性代数第二章矩阵练习题

第二章 一、选择题 1、计算13230102-???? +? ??? ???? 的值为（C ） C.3003?????? D.2902-?? ???? 2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ） A. 11AB B A --= B. 11A B BA --= C. 1111A B B A ----= D.11B A A B --= 3、初等矩阵（A ） A. 都是可逆阵 B.所对应的行列式值等于1 C. 相乘仍是初等阵 D.相加仍是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ） A. ()2r B = B.()2r B < C. ()2r B ≤ D.()1r B ≥ 二、判断题 1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×） 2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√） 3、矩阵324113A ??=????与矩阵2213B ?? =?? ?? 可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×) 三、填空题 1、已知[]456A =，123B ?? ??=?????? ，求AB 得_________。 (32)

2、已知12 n a a A a ???? ? ?=? ???? ? O （0,1,2,,i a i n ≠=K ），则1A -= 3、设A 为n 阶方阵，2A =，求T A A 的值为_________ 。 4、设A 为33?矩阵，3A =-，把A 按列分块为()1 2 3A A A A =,求出 132,4,A A A 的值为__________。 四、计算题 1、计算()101112300121024--????????????-????????. 解 原式()12092(38)4-?? ??==-??-???? . 2、求矩阵100120135A -?? ??=-??-???? 的逆矩阵. 解 求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311 113A --==--， 2100035A =-=,2210515A -==--,2310 313 A -==-, 12 11 1n a a a ????????????????????? ? O 12 1 2n +

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数练习题矩阵

线性代数练习题——矩阵 一、 填空题 1、 设??? ?????=1032A ，则1?A = 2、 设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3?=B ，则=?12AB 3、 设A 为3阶方阵，且5=A ，则=?13A 4、 设????????????? ????=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ?????? ????????=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。 6、 已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。 7、 设矩阵???? ??????=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。 二、 单项选择题 1． 关于矩阵下列说法正确的是（ ） （A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆 （C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆 （D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆 2． 设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ ） （A ）||||||||A B B A ?=?（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)( 3． 设矩阵???? ??????+221211111λ的秩为2，则=λ（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4． 设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（ ）矩阵 （A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m × （D ）m m ×与n n × 5． 设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（ ）也为n 阶对称矩阵 （A ）1)(?AB （B ）11??B A （C ）AB （D ）B A ?

线性代数第二章习题部分答案

第二章向量组的线性相关性 §2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题 1. 设3 α1α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T . 2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T, 则线性组合α13α2+α3= (5,0,2)T . 3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量， 则2β1+β2β3= (2,8,2)T . 二、试确定下列向量组的线性相关性

1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T 解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000 即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。 2. α1=(1,1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T 线性相关

三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,1)T, α3=(5,3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。 解：设k1α1+k2α2+k3α3=0, 则k1 110 +k2 131 +k3 53t =0 即k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0 所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关 四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。 解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2a2. 五、已知向量组α1,α2,,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,,β2n线性相关。

线性代数第二章答案

第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??22 1321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133 2123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=32 1161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=3 2133 2123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?? ? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)

线性代数第二章习题答案

习 题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序． 解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。 习 题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）2 2B A -． 解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ； （2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ； （3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-． 解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求

线性代数1-5章习题

线 性 代 数 习 题 集 皖西学院金数学院编制

第一章 行 列 式 一、判断题 1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( 1 ) 2. 213210 124121012342 =-.( 2 ) 3. 134 34 121.42042=-( 1) 4. 123213 123213123213 .a a a b b b b b b a a a c c c c c c =( 1 ) 5. 123123 123123123123 .a a a a a a b b b b b b c c c c c c ---------=---( 1 ) 6. n 阶行列式n D 中元素ij a 的代数余子式ij A 为1n -阶行列式. ( 1 ) 7. 312143 245328836256 =.( 2 ) 8. 111213212223313233a a a a a a a a a 122r r + 111213 211122122313313233 222+++a a a a a a a a a a a a ( 2 ) 9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( 1 ) 10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. (1 ) 二、选择题 1．若12532453r s a a a a a 是5阶行列式中带正号的一项，则,r s 的值为（ B ）． A.1,1r s == B.1,4r s == C.4,1r s == D.4,4r s == 2.下列排列是偶排列的是（ C ） A. 4312 B. 51432 C. 45312 D. 654321

线性代数习题[第三章]-矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-.

习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =.

3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=

线性代数第二章矩阵(答案解析)

线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第一节 矩阵及其运算 一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题： 设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4

??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;2294201722213 2222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ??----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第二节 逆 矩 阵 一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）* * =A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]

西华大学线性代数习题答案

《线性代数》同步练习题 第5次 矩阵的初等变换与线性方程组（一） 专业： 教学班： 学号： 姓名 ： 1．用行初等变换把下列矩阵化成行阶梯矩阵和行简化阶梯形矩阵： 1134 333541223203 3421A --?? ?-- ?= ? -- ? ---?? 1102300122~0000000000--?? ?- ? ? ? ?? 2. 用初等行变换求矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式： ?????? ? ? ?---=1003011603024 22012 11A R(A)=3 11210030 1~0004000 000-?? ? ? ? - ? ?? 01113010 030 A A -=-≠的最高阶非零子式

3.求矩阵223110121A ?? ?=- ? ?-??的逆矩阵。 1 143153164A --?? ?=- ? ?--?? 4、已知方阵101221112A ?? ? =- ? ??? ，求1-A 。 1512311412A ---?? ?=-- ? ?-?? 223100(A,E)110010121001?? ?=- ? ?-?? 100143010153001164-?? ?→- ? ?--??101100(A,E)221010112001?? ?=- ? ???100512~010*********--?? ?-- ? ?-??

《线性代数》同步练习题 第6次 矩阵的初等变换与线性方程组（二） 专业： 教学班： 学号： 姓名 ： 1. 解矩阵方程,B AX =其中,011210101????? ??--=A 。??? ? ? ??----=212041132B 法一： 110302 121X -?? ?= ? ?--?? 法二： 12113332 123331113 33A -?? ? ? ?=- ? ? ?- ??? 1 110302 121X A B --?? ?== ? ?--?? 2．解矩阵方程：? ?? ? ??-=???? ??-???? ??-101311022141X 101231(A,B)012140110212--?? ?= ? ?----??100 1100103 020011 2 1-?? ?→ ? ?--? ? ,A B 矩阵可逆 11 X A CB --∴=12103133211011 16 62???? -??????=??????-?????????????? 11104X ?? ?∴= ???

线性代数课后习题答案 1.3

习题1.3 1. 设11 1213 21 22233132330a a a D a a a a a a a ==≠, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 31 3233 21 2223111231a a a a a a a a a ; (2) 11 1312 1221232222313332 32 235235235a a a a a a a a a a a a ---. 分析 利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系. 解 (1) 31 323321 222311 12 31 a a a a a a a a a 13 R 111213 21 222331 3233 a a a a a a a a a -=a -. (4) 方法一 11 13121221 23222231 333232 235235235a a a a a a a a a a a a ---23 5C C +111312212322313332 232323a a a a a a a a a 提取公因子 11 13122123223133 32 6a a a a a a a a a 23 C 111213 21 222331 32 33 6a a a a a a a a a -=6a -. 方法二 注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同. 2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程): (1) 19981999 20002001 20022003200420052006; (2) 1 11 a b c b c a c a b +++; (3) 11121321 22233132 33 x y x y x y x y x y x y x y x y x y ; (4) 10 010220 033040 04 --; (5) 111112341410204004; (6) 111011 01101101 11 ; (7) 2 11 4 1 120110299 ---; (8) 222222a b c a a b b c a b c c c a b ------. 分析 第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上 (下)三角行列式求解.