概率论与数理统计-大数定律与中心极限定理、样本及其分布

概率论与数理统计练习题

系 专业 班 姓名 学号 第五章 大数定律与中心极限定理、第六章 样本及其分布

一、选择题：

1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {

}n

n P p n

με→∞

-≥ [ A ]

（A ）0= （B ）1= （C ）0> （D ）不存在 2. 设,,

,,

n X X X 12为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λλ>(1)的指数分布，记

()x Φ为正态分布函数，则 (考研题 2005) [ C ]

（A

）lim }()n

i

n X

n P x x λ

→∞

-≤=Φ∑ （B

）lim }()n

i

n X

n P x x λ

→∞

-≤=Φ∑

（C

）lim }()n

i n X n

P x x λ→∞

-≤=Φ∑ （D

）lim }()n

i

n X

P x x λ

→∞

-≤=Φ∑

3．设随机变量(,),(,),X N Y N 0101则 (考研题 2002) [ C ]

（A ）X Y +服从正态分布 （B ）22

X Y +服从χ2分布

（C ）22X Y 和服从χ2分布 （D ）22

/X Y 服从F 分布 二、填空题：

1．对于随机变量X ，仅知其1

()3,()25

E X D X ==

，则可知{|3|3}P X -<≥ 2. 设总体X 服从参数为2的指数分布，,,

,,

n X X X 12是来自总体X 的简单随机样本，则当

n →∞时，21

1

i i Y X n ==∑n

依概率收敛于 (考研题 2003)

3．设总体2

~(,)X N μσ，12,,

,n X X X 为其样本，记1

1n i i X X n ==∑，2

211()1n i i S X X n ==--∑，

则)/Y X S μ=-服从的分布是 .

224225

1

2(1)t n -分布

三、计算题：

1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在

(0.5,0.5)-上服从均匀分布。 问：（1）若将1500个数相加，误差总和的绝对值超过15的概率是

多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？

2. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。 （1）求收入至少400元的概率； （2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。

1500

1500

1

1

(1)()0,()1/12.{||15}{| 1.34}2(1(1.34))0.18020.1802

(1500152)

{||10}

2i

i i i

i i

n

i n

i

i X i E X D X X P X P X P X P ====>=>≈≈-Φ=

<=<≈Φ

∑

∑

∑

∑

若将个数解：随相加，误差总和的绝对值超过的机变量表示第个数的舍概率为入误差，则10.90.95,100.94410n -≈∴Φ=?=最多可有441个数相加使得误差总和的绝对值小于的概率不小于，300

3001(1)() 1.29,()0.0489.300 1.29{400} 3.39}1(3.39)=0.(2)~(300,0.2),()60,()484.{00.i i i i i i X E X D X X P X P Y Y B E Y D Y P ===-?>=>≈=-Φ==∑

∑

答解：

设随机变量为出售一只蛋糕的收入，则设出；收入至少元的概率几乎为售1.2元的蛋0糕数量为，则6060}{0}(0)1.2600.0.5

48 5.Y Y P ->=>=Φ=答售出价格为元的蛋糕多于只的概率：

3. 总体2(,)N μσ，在该总体中抽取一个容量为n =16的样本1216(,,

)X X X 。

求：（1）2

22

11{()2}2n i i P X n σμσ=≤-≤∑； （2）2221

1{()2}2n i i P X X n σσ=≤-≤∑。

,

222

1

2222211

2

22

2

2

12211()~(16)11{()2}{8()32}0.950.010.942(1)1~(1),()11{8()32}0.920.0050.915n

i i n n

i i i i n i i n i i X P X P X n n S n S X X n P X X μχσσμσμσχσσ=====-∴≤-≤=≤-≤=-=--=--∴≤-≤=-=∑

∑∑

∑

∑

解：其中

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第七章 参数估计（一）

一、选择题：

1．矩估计必然是 [ C ] （A ）无偏估计 （B ）总体矩的函数 （C ）样本矩的函数 （D ）极大似然估计 2．设12,X X 是正态总体(,1)N μ的容量为2的样本，μ为未知参数，μ的无偏估计是 [ D ] （A ）

122433X X + （B ）121244X X + （C ）123144X X - （D ）122355

X X + 3．设某钢珠直径X 服从正态总体(,1)N μ（单位：mm ），其中μ为未知参数，从刚生产的一大堆

钢珠抽出9个，求的样本均值31.06X =，样本方差2

290.98S =，

则μ的极大似然估计值为 [ A ] （A ）31.06 （B ）(31.06-0.98 , 31.06 + 0.98) （C ）0.98 （D ）9×31.06 二、填空题：

1．如果1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则1?θ与2

?θ的期望与方差一定满 足

2．设样本1230.5,0.5,0.2x x x ===来自总体1

~(,)X f x x

θθθ-=，用最大似然法估计参数θ时，

似然函数为()L θ=

3．假设总体X 服从正态分布2

12

(,),,,(1)n N X X X n μσ>为X 的样本，

1

2

211

()n i i i C X X σ-+==-∑是2

σ的一个无偏估计，则C =

三、计算题：

1．设总体X 具有分布律，其中(01)θθ<<为未知参数，

已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，试求θ

1212????

()(),()()E E D D θθθθθ==<3131

123()(0.05)x x x θθθθ--=1

22

n -()123556

41,2,1()2122.

5()2(56)0.

65

6

x x x L L θθθθθθθθθθ====-=-'=-=?=解：当样本的最大似取然时，似然函数为

所估计值以

2．设12,,

,n X X X 是来自于总体10~()0

x X f x θθ

?≤≤?

=???其它

(0)θ>的样本,

试求：（1）θ的一个无偏估计1θ；（2）θ的极大似然估计2.θ

3．设总体X 的概率密度为(1)01()0

x x f x θθ?+<<=?

?其它

，其中1θ>-是未知参数，12,,,n

X X X 为一个样本，试求参数θ的矩估计量和最大似然估计量。

*4. 设12,,

,n x x x 为来自正态总体20(,)N μσ的简单随机样本，其中0μ已知，2σ>0未知，X 和

S 2分别表示样本均值和样本方差。（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2），计算22E D σσ和。(考研

题 2002) 1

111?(1)(),2,221?

(2)2()2.22(2),,(;,,),0,1,,;,,( ,n n

n i n n i X E X X X E X E X n X n x x L x x x i n L L x x x i θ

θ

θθθθθθθθθθθθθ--=∴

=?===??=∴=?=<≤=?==112解：

总体服从均匀分布，是的无偏估计。设为样本的一组观测值，于是似然函数为：

显然是的一个单值递减函数.要使（）达到极大，就要使达到最小，但不能小于每一个212,,),?max{,,,}n n x x x θθ?=3所以的极大似然估计量为：11100121

111121?()(1)(1)..()221,,,()(1)()(ln ())ln ()ln(1)(ln ),ln 01?=ln n n n i i n n

i

i i i i

X E X x x dx x x dx X X X X X L x d L n L n x x d n x θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+===++-=+=+=∴=?=++-=+=++=+=+-??

∏

∑∑

解：矩估计法设样本的极大似然估计函数为：取对数求导得所以的极大似然估计量为1

1.()n

i =-∑

极大似然估计法22221()()22222

11

22

21

22

22

22411

2,,(,;,)(2)()ln ln(2),22ln 111?()0,()221?()((1n

i i i i n x x n n n i n i i n n i i i i x x L x x e x L L n x x X B n E E X n μμσσμσπσμπσσμσσσσσ=-----====?∑?=

=-=--?=-+-==-=?=∑

∑∑

解：设为样本的一组观测值，于是似然函数为：

，两边取对数 222222

22112422111))(()())(()()).???()()()......n n

i i i n X E X nE X n n n n n n D E E σσμμσσ

σσ==--=-=+-+==-=∑∑

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第七章 参数估计（二）

一、选择题：

1．设总体X 服从正态分布2~(,)X N μσ，其中μ未知,2

σ已知，12,,

,n X X X 为样本，

1

1n

i i X X n ==∑，则μ的置信水平为0.95的置信区间是 [ D ]

（A

）0.95

0.95

(,X Z X Z -+ （B

）0.05

0.05

(,X Z X Z -+

（C

）0.975

0.975

(,X Z X Z -+ （D

）0.025

0.025

(,X Z X Z -+

2．设总体2~(,)X N μσ，对参数μ或2

σ进行区间估计时，不能采用的样本函数有 [ D ]

（A

X （B

X （C ）2

1n

i i X X σ=??- ??

?∑ （D ）1n X X -

二、计算题：

1．设总体X 的方差为2

)3.0(，根据来自X 的容量为5的简单随机样本，测得样本均值为21.8，求X 的数学期望的置信度为0.95的置信区间。

2．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布2

~(,)X N μσ，从一批铜丝任取10根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差2

σ的0.90的置信区间。

22~(0,1),)(21.8 1.96,21.8 1.96)(21.537,22.063)N X z X z ααμα-+=-?+≈，则可得的1-置信水平下的置信区间为：(2

2

2222222220.050.95122575.2,75.73

(1)~(1)(1)(1)975.73975.73975.73975.73,,,(40.28,204.98).

(1)(1)(9)(9)16.919 3.325X S n S n n S n S n n ααχσασχχχχ-==--??

??--???? ???

=== ? ? ?--???? ???

解：取统计量，则可得的1-置信水平下的置信区间为：

3．设来自总体~(,25)X N μ得到容量为10的样本，算的样本均值19.8X =，来自总体~(,36)Y N μ得到容量为10的样本，

算的样本均值24.0Y =，两样本的总体相互独立，求12μμ-的90%的置信区间。

4．某车间两条生产线生产同一种产品，产品的质量指标可以认为服从正态分布，现分别从两条生产线的产品中抽取容量为25和21的样本检测，算的修正方差分别是7.89和5.07，求产品质量指标方差比的95%的置信区间。

12~(0,1)() 1.65 4.2 1.65(8.28,0.12).N X Y μμα-?-±-+=-- ?，则可得的1-置信水平下的置信区间为：

2211122222

221

1222122120.0250.975122/~(1,1)117.8917.891,(,)(1,1)(1,1) 5.07(24,20) 5.07(24,20)7.8917.89(, 2.03)(0.45.07 3.37 5.0722

12S F n n S S S S F n n S F n n F F αασσσασ-

--?? ?=?? ?---- ???=??=解：取统计量，则可得/的1-置信水平下的置信区间为：

62,3.159)