静电场的基本规律12学时
第一章静电场的基本规律 (12学时)
一、目的要求
1．了解电荷属性及电荷守恒定律，掌握库仑定律的矢量形式。
2．深刻理解电场、电场强度、电力线、电通量、电势、电势能等概念和高斯定理、环路定理的意义。
3．熟练掌握求电场强度和电势的各种方法。
二、主要内容与学时分配
1．电荷（1学时）
2．库仑定律（1学时）
3．静电场（2学时）
4．高斯定理（2学时）
5．电场线（1学时）
6．电势（3学时）
习题课 (2学时)
三、本章思路
本章主要研究静电场的产生、静电场的描述及其遵循的规律。由于静电场的对外表现主要有两个方面：一是静电场对处于其中的电荷有力的作用，二是当电荷在静电场中移动时，电场力要对电荷做功，因而从电荷受力和移动电荷做功两个方面可引入描述电场的两个物理量——电场强度和电势。静电场遵循的基本规律有两条，这就是高斯定理和环路定理。
四、重点难点
重点：库仑定律的矢量形式、叠加原理及其应用，高斯定理的理解和应用；
难点：高斯定理的理解和应用。
五、讲授内容
§1.1 电荷
一、教学内容
（1）电荷（带电）
（2）电荷的属性
（3）物质的电结构
二、教学方式
讲授
三、讲授提纲
1．带电
（1）．摩擦起电
带电一词起源于希腊语“琥珀”，公元前600年左右，古希腊米勒托斯首先发现用琥珀与毛皮摩擦之后能吸引羽毛、头发、干草等轻小物体，后又发现丝绸摩擦过的玻璃棒也能吸引
这类轻小物体。这表明物体经摩擦以后进入了一种特殊状态，我们把处于这种状态的物体叫带电体，便说物体带了电或有了电荷。
定义：如果物体经某种作用（摩擦或静电感应）后，具有了吸引轻小物体的性质，便称物体有了电荷或带电。
电荷是物质的一种属性或是物质的一种状态，它不能脱离物质而单独存在。
（2）．电荷的量度——电量：带电体所带电荷的多少，用 Q 或q 表示，单位：库仑(用C 表示)
（3）．电相互作用：同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引。 （4）．电荷的测量
(a) 验电器：张开情况可定性 (b) 静电计：弧度刻尺上读数，
说明电量多少。 可用于测量电位。
图1-1 电量的测量
2．电荷的属性 （1）．两种电荷
实验表明，无论用何种方法起电，自然界中只存在两类电荷：正电和负电，且同性电荷相斥、异性电荷相吸引。历史上，富兰克林最早对电荷正负作了规定，沿用至今：丝绸摩擦过的玻璃棒，棒上带电为正；毛皮摩擦过的硬橡胶棒，棒上带电为负。物体摩擦带电种类大体次序为：
毛皮，石英，玻璃，丝绸，木条，金属，胶木，硬橡胶，琥珀，…。排列较前者与后者摩擦，前者带正电、后者带负电。
电荷与电荷有相互作用力，同号电荷相斥，异号电荷相吸 （2）．电荷的量子化
电荷是分立的、不连续的量值。自然界存在一个基本电量19
106.1-?=e 库仑，是电荷的
最小单元，一个物体所带电荷的多少只能是电子电量e 的整数倍，即：
q ＝ ne (n ＝0，±1，±2，…) 密立根油滴实验发现 电荷具有最小单元的性质称为电荷的量子化。
电子和质子各带电量 1910602.1-?=e 库仑， 1库仑的电量相当于6.25×1810个电子或质子所带的电量
（金属球）
（金属箔）
动
静
验电器 静电计
“夸克”被认为带的电荷是e 的分数倍 （3）．电荷守恒定律
摩擦起电和静电感应等大量实验表明：电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，也就是说，在在一个与外界无电荷交换的封闭系统中，无论进行什么过程，该系统的正负电荷之代数和始终保持不变。
[说明]
电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程，是物理学中普遍的基本定律之一，例如：化学反应、放射性衰变、核反应、基本粒子转变等均如此。
3．物质的电结构
在宏观电磁现象层面：中子
质子原子核
核外电子
原子分子-
- ，原子核上的质子数、 物质是由分子、原子组成的；而原子又由带正的原子核和带负电的电子组成；原子核又由不带电的中子和带正电的质子组成。核外电子数的量变会引起物质性质的千差万别。
据原子结构的电子壳层理论：排布律22n ，最高层8<，次高层为18 。最外层电子数过半容易夺得电子而显负电、少于半数而容易失去电子带正电，此即物质带电的内部依据。
自由电子：金属中原子的价电子脱离原子核的束缚而自由运动于晶格点阵中，这些自由电子是金属导电的因素。
在正常情况下，物体中任何一部分所包含的电子的总数和质子的总数相等，对外不显电性。如果在一定的外因作用下，物体（或其中的一部分）得到或失去一定数量的电子，使得电子的总数和质子的总数不再相等，物体就呈现电性。
摩擦起电和静电感应就是施加一定的外部作用，使某一物体(或物体的一部分)得到(或失去)一定数量的电子，使电子总数多于(或少于)质子总数，从而使该物体(或物体的一部分)带负(或正)电。
四、导体、绝缘体和半导体
按照电荷在其中是否容易转移或传导，习惯上把物体分为：
⑴电荷能够从产生的地方迅速转移或传导到其它部分的物体，叫做导体； ⑵电荷几乎只能停留在产生的地方的物体，叫做绝缘体； ⑶导电能力介于导体和绝缘体之间的物体，叫做半导体。
§1.2 库仑定律
一、教学内容 （1）库仑定律
（2）库仑定律的矢量形式
（3）叠加原理 二、教学方式 讲授
三、讲课提纲 1．库仑定律
点电荷，从理论上讲就是只有电量而没有大小形状的带电体，由于实际带电体都不可能小到一个点，所以点电荷像质点力学中的质点一样是一种理想化模型。实际上，当带电体的线度比起带电体间的距离小得多时，带电体就可看作是点电荷。
1875年英国物理学家库仑从实验上总结出两个点电荷之间相互作用力的规律，后人称之为库仑定律 ，它表明真空中带电量为 1q 和 2q 的两个点电荷之间作用力的大小与它们所带电量 1q 和 2q 的乘积成正比，与它们之间的距离r 的平方成反比；作用力的方向沿着它们的
连线；同号电荷相斥，异号电荷相吸。写成数学表达式有：r r
q
q k F 221=。
式中 1q 和 2q 分别表示两个点电荷的电量， r 为两个点电荷之间的距离， k 是比例系数。在真空中 229/1099.8C m N k ??=,为了使表达式既能表示力的大小又能表示力的方向，
同时为了使今后由它推出的电学公式简单化，通常令：041
πε=k ，
其中 )/(1085.822120m N C ??=-ε,
0ε称之为真空的介电常数（或称为电容率）
这样库仑定律的数学表达式为： 22
1041
r q q F πε=
该式称为库仑定律的有理化形式，它并未改变定律本身的含意，其优越性以后将会看到。
2．库仑定律的矢量形式 r r q q F 2
21041πε=
式中 r
表示施力电荷指向受力电荷方向的单位矢量，当F ＞0，即 1q 和 2q 为同性电荷时，F 与 r
。 同方向，是排斥力；当 F ＜0，即 1q 和 2q 为异性电荷时，F 与 r
反方向，是吸引力，
如图所示。 122122101241
r r q q F
πε= 21
2212102141r r q q F
πε=
3、关于库仑定律的几点说明 (1) 真空、点电荷间作用力。
真空——物理上指没有原子或分子存在的空间，但并非一无所有； 点电荷——指带电体本身几何线度比它与其它带电体的间距小得多（r l <<），象质点一
样是客体的抽象，是理想模型（抓住主要方面），具相对意义。
图1-2
r 12 F 12
F 21
q 1 q 2
(2) 静止电荷。
库仑定律中的21q q 、相对观察者（或实验室）都处于静止状态。可推广之：静止电荷对
运动电荷的作用力仍满足库仑定律，反之不然。例：原子核→电子，2
02
4r
Ze F πε-=，吸引力。 (3) 库仑力为有心力，且与距离平方2r 成反比。 (4) 库仑定律是一条实验定律，是静电学的基础。 库仑定律的距离平方反比律精度非常之高。若δ
+∝21r F ，则实验测出：16102-?≤δ。
(5) 库仑定律的适用范围。
m r 710大至、小至m 1510-的量级是可靠的。静电力是万有引力的3510倍量级。
(6) 库仑力满足牛顿第三定律。即2112F F
-=。
应当指出，由于电磁相互作用传递速度有限等原因，对运动电荷间的相互作用力不能简单地应用牛顿第三定律了。
截止目前，所有的观察和实验都表明，两个静止点电荷之间距离的数量级在 1510-～410 m 范围内，库仑定律都与实验符合得很好，库仑定律是整个静电学的基础。
4．叠加原理
任意两个点电荷之间的作用力不因为第三个电荷的存在而改变，不管一个体系中存在多少个点电荷，每一对电荷之间的作用力都服从库仑定律，而任一点电荷所受的合力则等于所
有其它点电荷单独作用于该电荷的库仑力之矢量和。∑=i
i F F
推广至真空中连续体电荷分布对0q 之作用力，有：r r
dq
q F ?4200?=πε 例题 1 ： 试求氢原子核与电子间库仑力与万有引力之比。 例题 2 ：PaGe38 1.2.4 四、练习作业
P38 1.2.1 1.2.3 1.2.5
§1.3 静电场
一、教学内容 （1）电场与电场强度 （2）场强的计算
（3）电场强度的叠加原理 （4）电场对电荷的作用
二、教学方式、 讲授
三、讲课提纲
（一）、电场与电场强度 电场
库仑定律给出了两点电荷之间的相互作用力，但并未说明作用的传递途径，下面给予分析。
1、两种观点
(1) 超距作用观点：一个点电荷对另一电荷的作用无需经中间物体传递，而是超越空间
直接地、瞬时地发生，即：电荷电荷?。
(2) 近距作用观点：一个电荷对另一电荷的作用是通过空间某种中间物为媒介，以一定
的有限速度传递过去。
近代物理学的发展证明，近距作用观点是正确的，这个传递电力的中间媒介
不是“以太”，而是靠电场以有限速度传递（磁力通过磁场），这个有限速度在真空中即光
速： 。 2、场的概念
在力学中已学过万有引力场、重力场、弹性力场等，这里只谈电场。
凡是有电荷的地方，围绕电荷周围空间即存在电场，即电荷在其周围空间激发电场，且电场对处在其中的其它电荷施加力的作用。该作用仅由该电荷所在处的电场决定，与其它地方的电场无关，表明电力作用方式： 电荷——电场——电荷
[说明]
(1) 场与实物一样具有能量、动量等，可以脱离场源而单独存在，即电磁场是物质的一种形态。
(2) 静止电荷产生的电场为静电场，电磁场的物质性、近距作用观点的正确性在时变场情况下更加显示出来。如图1-4，变
化的电荷1q 激发变化的电场，对2q 的作用需推迟时间c r
t =?。
关于电场的概念应该注意：
?
的电场1q
?
q 1
q 2
F 12
s m c 8103?=
c
r t =
?r
图1-4
F 21
? 的电场2q
?
q
2
q 1
图 1-3
(3)电场和由原子、分子组成的物质一样，具有质量、动量和能量等一系列物质属性，因而它是一种物质，但它又是一种特殊的物质，它具有可叠加性，即几个电荷产生的电场可同处一个空间。
(4)本章所讨论的电场是由相对于观察者处于静止状态的带电体所产生的场，称之为静电场。
电场强度
运用电场的重要性质——对置于其中的电荷有力的作用来定义场强，且用该电荷作为研究和检测电场的工具，此电荷称为试探电荷，而激发电场的电荷称为场源电荷。
如图1-5，场点P 处置试探电荷0q ，
检测由场源电荷Q 在场点P 处产生的电场的强弱（大
小，方向）。
图1-5
1、试探电荷
0q
满足条件：(1) 电荷0q 的电量应足够小，以至对场源电荷的影响小到忽略不计； (2) 电荷
0q 的尺度应尽可能小，以至于可精确定位于场点处。
2、电场强度E
库仑力不仅与场源电荷有关，还与试探电荷有关，因此用库仑力来描述电场的分布是不合适的，但用库仑力定义电场是恰当的，分析如下：
场内任一确定点，试探电荷
q 所受的电力与
q 的大小有关，即电力由电场与试探电荷
q 双方共同决定，反映了两方面因素，用此力描述电场不能确切地反映电场本身的属性。据库仑定律，此电力与
q 成正比，而0
q F
与0q
无关，只与场源电荷及考察点的位置有关，即仅由
电场单方面属性决定。
故定义电场强度E
为
0q F E
r
0q
P
Q
图1-5
它表示电场中任一点电场强度的数值大小及方向如何。具体地
(1) E
的大小：等于单位电量（c q 10=）试探电荷在该点所受的电场力；
(2) E
的方向：同于正电荷在该处所受电力的方向。
3、讨论
(1) 电场强度是矢量。
既有大小，又有方向，且是空间位置矢量的点函数，形成一个空间场分布，即电场E
构
成空间矢量场：
)
,,(z y x E E
=
求某一带电体在空间的电场分布，就是要找到电场强度随坐标（x,y,z ）变化的函数关系。 (2) 场强的单位
C N 或
m V
(3) 场强定义式的变形
E q F
0=
该式适用性远超过库仑定律的原始形式r r
q
q F ?4200πε= ，它表示只要空间有电场E ，不论是静电场，还是时变电场，场中
0q 受力仍如此式计算。但须注意：计算静电力时不可“自举”
。
(4) 匀强电场
某区域中E 的大小、方向均不随位置r
而变。如平行板电容器内的E 。
(5) 强调指出：E
并非与0q 成反比，而是无关；此外不要受0q 符号书写上的影响，不能
见到0q 即认定为试探电荷；场的概念至关重要，应牢固建立，它是电磁学整体知识之基础。
(6) 点电荷之场
2
002
04??41
r r Q q F E r r Qq F πεπε=
=∴=
表明：点电荷的电场在空间上具有球对称性分布。
场强叠加原理
1．点电荷的场 r r q E 2
04πε=
式中 r 是由电场源电荷 q 指向考察点的单位矢量。当 q ＞ 0时， E 的方向与r
相同；
当 q ＜0时， E 的方向与 r
反，在以r 为半径的球面上各点电场强度的大小相等，方向沿球半径 。
2．点电荷系的场
设n 个点电荷n q q q 、、、.......21共同在P 点产生的场为E
，P 点置检验电荷0q ，据电场
力叠加原理：∑==+++=n i i n F F F F F 1
21......
，由场强定义式可得合电场为
i i i
i n i i n r r q E q F q F q F q F E
∑∑=
=+++===20
100201041
.......πε 即，一组点电荷在空间某点产生的合场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强之矢量
和。这个结论称为场强的叠加原理。
3．电荷连续分布的电场
当带电体不能作为点电荷处理时，就需要考察细节，即带电体的形状、大小、电荷分布情况，想象把它分割成许多足够小的电荷元dq ——每一元电荷当作点电荷处理，则整体在所考察点之场为；
r r d q
E d E v V
?412
0??==πε 该式为一矢量积分，在具体计算时，有时要将其投影到具体坐标方向上进行计算。同时
还应注意，积分是对整个带电体的积分。
利用叠加原理求电场强度，是求解场强的第一种方法。基本解题步骤是：
“ 选取 dq ，写出E d
,投影积分，解算讨论。” 下面对dq 及几何元的取法给予说明： (1) 电荷元dq 的取法
电荷连续分布，引用电荷密度描述（均以体分布为基础）：
??
?
?
?
?
???
=∴=??==∴=??==∴=??=→?→?→?dl dq dl dq l q c ds dq ds dq s q b dV dq dV dq V q a l s V λλσσρρ，线分布：，面分布：，体分布：000lim )(lim )(lim )( λσρ,,均是标量点函数。带电面、带电线均为理想模型，注意其满足的适用条件。
(2) 几何元dl ds dV ,,的取法：
在解决实际问题的计算中，要注意选用合适的坐标系，会给计算带来方便。例如： ① 球坐标系——（?θ,,r ）
dr d d r dV ?θθsin 2=； ?θθd d r ds sin 2=
② 柱坐标系——（z r ,,θ）
dz dr rd dV θ=； dz rd ds θ=；
③ 直角坐标系——（z y x ,,）
dz dy dx dV = ,d x d y ds =
实用特例：如图1-6中常见带电体dq 的取法：
(a) 带电直线：dz dq λ=。 (b) 带电圆环：θλRd dq =。 (c) 带电圆盘或面：dr rd dq θσ=
对于均匀带电或)(r σσ=分布，可取圆环带上带电rdr dq πσ2=。 (d) 带电球体： dr d d r dV dq ?θθρρsin 2
?==
对于均匀带电或)(r ρρ=分布，可取球壳带电元为：dr r dq 24πρ=。
带电球面：?θθσσd d R ds dq sin 2
?=?=。
(a) 带电直线 (b) 带电圆环
(c) 带电圆盘（面） (d) 带电球体、球面 图1-6
Z z 0
dq =λd z dq =Rd θ?λ R 0 x
d θ ⌒
环带dq =2πr d r ?
r
R
对于线电荷密度λ，面电荷密度σ，体电荷密度ρ，其元电荷分别为：
dV dS dL dq ρσλ===
==
=??r r dq E d E
2041
πε
?
?????L S
V
r
r
dl r r dS r
r dV
2
2
020
414141λπεσπερπε
例题 1 ：均匀带电细棒长为l 2，带电量为q ，求中垂面上的场。 解：对称取元电荷，如图1-7所示，dZ dq l
q
λλ==,2。分析它们在P 点合场强的特征，得合场大小为
()
2
2002
2
0142cos 2z
r r z
r dz
dE E l l
+?
+?
==??πελθ
()
2
2
002
3
2
2
2121
l
r l
r z
r
rdz
l
+=
+=
?λπελπε。
[讨论]
① 当r l >>，无限长均匀带电线之电场为 r
E πελ
2=
；
② E
是矢量，大小、方向均需指出；
③ 有时对称分析显得十分必要，例如上述问题中场无平行于直线的分量； ④ 延拓思考：若场点P 在一端延长线上或P 点不在中垂面上呢？（课外练习）
例题 2 ：试求半径为 R 均匀带电 q 的圆环轴线上任一点的场强 ?
dz 1
dz 2
1E d E
d 2E d
E d E d
E
d z
图1-7
解：()23
2
2020
4cos 4x R qx
r dl E +==
?πεθπελ 可讨论：0=x 点处 、R x >>情况；场极大值发生在2
R x =处。
例3：均匀带电圆盘轴线上的场。
()))(111(222
023220x
R
x r rdr x E R +-=+=?εσ
εσ
当R ∞→时，0
2εσ
=
E ；当R x >>时，则成为点电荷模型。因为： ......)(83)(211])(1[4221
2-+-=+-x R
x R x R 略去高阶无穷小，取前二项代入上式有：
2
04x q
E πε= 为点电荷的电场强度。
4.电场对电荷的作用
由场强的定义式可知，电场对处于场中电荷的作用力 F = q E 因此正电荷将沿电场方向加速运动，负电荷将逆电场方向加速运动。 如示波管中电子的电偏转。
如图1-9，质量为m 、电量为e 的电子以初速0v 进入极板间均匀电场为E
的电场中，则
参数方程为
??
???===2202121t m eE at y t v x 消去t 后得轨迹方程为：2
2
2x mv eE y =
。
P X
r
R
λ
图1-8
图1-9
由图中其余几何尺寸，可求得屏上偏转距B y ，其中，
OA 段为抛物线、AB 段为直线。 四、作业 P38—39：
1.3.2 1.3.6 1.3.8 1.3.9
B
§1.4 高斯定理
一、教学内容 （1）电通量 （2）高斯定理
（3）利用高斯定理求场强 二、教学方式、 讲授
三、讲课提纲 1.通量
通量的概念是从流体力学引入的，单位时间内通过任一面积dS 的流体的流量称为通量，用 表示，则：
通量可推广到任意矢量场。
2.电通量
在电场中通过一曲面元s ?的电通量E ?Φ定义为：
s E s E E
??=?=?Φθcos
式中n s s
?=?。因θ可锐角、钝角，故E ?Φ可正、可负。
对于非无限小的曲面，有
???==ΦS
S
E s d E ds E
cos
其中，任意曲面S 的法向有两种取法，对于不闭合的曲面，其法向n
取何方向无关紧要。
对于闭合曲面，其电通量定义为：
???==ΦS S E s d E ds E
θcos
并规定：取闭合曲面S 的外法向矢为正，则电场穿出S 处，90<θ°，E ?Φ为正（出正）；进入S 处，90>θ°，E ?Φ为负（入负）。
3． 高斯定理
（1）高斯定理的表述
通过任一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷电量的代数和除以0ε，与面外电荷无关。即：
S d V t
dS n t V d
?=?=???
??
?==S
S
S
d V d ???d ∑??=
?内
S i
S
q
1d εS E
图1-10
（2）立体角
球面上一个面元的边缘与球心的连线构成的锥体的
顶角叫做立体角。对应的立体角为s d
：
2
2221122cos r r
s d r r s d r ds r ds d
?=
?===Ω⊥θ（球面度） 球面对球心张的立体角为)(4球面度π=Ω=Ω??S
d
（3）高斯定理的证明
①闭合曲面包围一个点电荷 q 的情况
Ω===?=?=Φ⊥d q r ds q r
qds ds n r r
q s d E d E 02
02020444cos 4?πεπεπεθπε
02
44επεπεq
d q
r ds q S d E S
S
S
=
Ω=
=
???
??
??⊥
②闭合曲面不包围电荷的情况
③闭合曲面内包围多个点电荷的情况 设空间有一组点电荷
n i q q q q 、、、、 21，则任一点的场为
∑==n i i E E 1
（场叠加原理）
又令一任意形状的闭曲面S 包围电荷i q q q 、、
、....21，而另外n i q q 、、...1+电荷在S 之
外。则
s d E E E s d E S n S E
?+++=?=Φ??)...(21
s
d E E s d E E E n S i S i ?+++?+++=??+)...()...(121
⊥-=θ=?=Φ11111111cos dS E dS E S d E d Ωπε-=πε-=⊥d q dS r q 0
12
10441⊥=θ=?=Φ22222222cos dS E dS E S d E d
Ωπε=πε=⊥
d q
dS r q 0
22204410
)(21=Φ+Φ=?=Φ??d d S d E s
s
2?r
s
1
θ1?r
图1-13
q
图1-11
图1-12
∑=
++=
)
(0
210
1
)...(1
内s i
i q q q q ε
ε
即分立电荷时，有
④电荷连续分布情况
若S 内的电荷非分立分布，而是连续体分布，作变换?∑→v
i dv q ρ，则有
其中S 与V 对应。
上述即高斯定理的数学表述，它表明：通过任一闭合曲面S 的电通量E Φ等于该闭合曲面所围所有电荷电量的代数和)(?∑dv q i ρ或除以0ε，与闭合曲面外的电荷无关。此处的闭合面S 称为高斯面。
（4）、高斯定理的几点认识与说明
① 高斯定理是静电场基本定理之一，反映了静电场是有源场，电荷就是静电场的源。
②
穿过闭合曲面的电通量e φ只与闭合曲面内的电荷有关而与闭合曲面外的电荷无关，与闭合曲面内的电荷分布也无关。但应注意电场强度E 并不是只与面内电荷有关，E 是面内面外全部电荷共同产生的。
③ ∑i q 是电荷的代数和, ∑i q = 0,并非高斯面内一定无电荷,
它只能说明通过包围的任意闭合曲面的电通量为零，而并非场强一定处处为零。
④ 高斯定理积分形式是对一个区域而言（S ，V ），仅反映该区域整体面貌，是粗糙地提供信息。一般地，不能用此求得每个场点的场强，仅当电荷分布乃至场分布具有某种对称性时，才能仅用此求得场，高斯定理为计算场强 E 提供了一种简便的方法。但求不出时切不可误作该定理不成立（因为完全确定矢量场需要通量、环流两方面性质）。
高斯定理是从库仑定律导出的，主要反映平方比律，即2
1
r f ∝。若库仑定律不服从平方
反比律，则得不出高斯定理。
4.利用高斯定理求场强
利用高斯定理求 E ，是解算电场强度的第二种基本方法，其关键是如何方便地将???S
S d E
的积分求出来，因此,其解题步骤和关键有两点：
(1)首先要进行对称性分析 。通过分析基本知道场强的分布，否则高斯面及其与 E 的夹角就无法选定。因此虽然高斯定理是一个普遍的定理，但只有电荷分布具有一定对称性时数学上才能计算出。
(2)要选取一个合适的 高斯面。其原则是： ? 高斯面必须过场点，且为规则图形； ? 高斯面与场强方向垂直或平行； ?
最好场强是常量，可提到积分号前。
例1：求均匀带电q ，半径为R 的球壳内、外之场。
电荷球面均匀分布：2
4R
q
πσ=
，如图1-14(a)分析对称性，则 ??
??
?=?=?=Φ?)(,0)
(,402
在壳内场点在壳外场点P P q r E s d E S E επ 所以
??
???<>=)(0)(,?420R r R r r r q
E πε 场强大小分布如图1-14 (b)所示。P 点在壳外时相当于在球心O 点置q 点电荷之场。
例2：均匀带正电q ，半径为R 的球体内、外之场。
图1-14(b)
平方反比
dS
E
d r
Gs 面
图1-14（a ）
电荷均匀体分布，3
3433
4R q
R q ππρ=
=
。同于例1分析场的球对称性，取高斯面为球面，则 ???
????>==?=Φ<==?=?=Φ。，点在球外：；，点在球内：)(?4,14)(4?3,34142
0023003
02R r r r q E q r E P R r R r q r E r r E P E E πεεππεερρπεπ E ~ r 曲线如图1-15。 [拓展]
(1) 例2也可在例1基础上，视为多层厚为dr 的球形面电荷分布的场进行叠加求解。
(2) 可推广至)(r ρρ=，方法同上，只是内q 的计算稍繁。 例3：均匀带电线密度为λ的无限长细棒之场。
电荷均匀线分布。对称分析，取高斯面为圆柱面，如图1-16。 0
2ελ
πl rl E E =
?=Φ r r
E ?20πελ
=
该结果与前述积分法令∞→l 的结果相一致（参见图1-7）。
P
E
d
r
dl
λ
dl
l
S
图1-16
R
r
图1-15
例4：均匀面密度为σ的无限大平面薄板之场。
电荷均匀面分布，取平板上对称的两面元dq ds 上电荷之场进行分析，如图1-17(a)；取合适高斯面，如图1-17(b)所示 ，两侧场反向，大小与场点到板的距离无关。
02εσs s E E ?=?=Φ 0
2εσ
=E
注意：考察分母中因子2的来源（与以后带电无限大导体平板情况比较不同）。
(a) (b)
图1-17
[拓宽知识]
(1) 半径为R 的均匀带电体密度为ρ的长圆柱体。
??????
?<>=)
(2)
(20
2R r r R r r R E ερερ
半径为R 的均匀带电面密度为σ的长圆柱面。
??
???<>=)
(0)(0R r R r r
E εσ
(2) 厚度为2d 、均匀带电体密度为ρ的无限大平板，如图1-18(a)。
??????
?=)
(2)
(20
板内板外ερερx d E
(3) 组合无限大均匀带电σ的平面，示例与说明见图1-18(b)、(c)。
(4) 均匀带电椭球体。
s
?E E
σ
dS
dS
0 r P dE
如图1-18(d)，椭球体内、外场点处的场不能由上述高斯定理求出，但不意味着该定理不成立。
(a) (b) (c)
四、练习作业
P59 1.4.4 1.4.6 1.4.7 1.4.8 1.4.9
§1.5 电场线
一、教学内容 （1）电场线 （2）电场线的性质 二、教学方式 讲授
三、讲授提纲
1、引入电场线的目的：形象化、直观性地描写电场，作为一种辅助工具。
2、引入电场线的方法：电场是矢量场，引入电力线要反映场的两个方面方向
，在电场
中人为地作出许多曲线，作法如下：
（1）反映电场方向——曲线上每点切向与该点场方向一致；
（2）反映电场大小——用所画电力线的疏密程度表示，电力线数密度与该点场的大小成正比
⊥
??∝
S N
E
σ
+σ
+P
2
o εσ0
ρ
(d)
图1-18
高中物理静电场经典习题(包含答案)
1．（2012江苏卷）．一充电后的平行板电容器保持两板间的正对面积、间距和电荷量不变，在两板间插入一电介质，其电容C 和两极板间的电势差U 的变化情况是( ) A ．C 和U 均增大 B ． C 增大，U 减小 C ．C 减小，U 增大 D ．C 和U 均减小 B 2（2012天津卷）.两个固定的等量异号点电荷所产生电场的等势面如图中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中A 点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子只受静电力作用，则粒子在电场中( ) A ．做直线运动，电势能先变小后变大 B ．做直线运动，电势能先变大后变小 C ．做曲线运动，电势能先变小后变大 D ．做曲线运动，电势能先变大后变小 C 3．（2012安徽卷）.如图所示，在平面直角 中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O 处的电势为0 V ，点A 处的电势为6 V, 点B 处的电势为3 V, 则电场强度的大小为 ( ) A.200V/m B.2003 V/m C.100 V/m D. 1003 V/m A 4．（2012重庆卷）．空中P 、Q 两点处各固定一个点电荷，其中 P 点处为正点电荷，P 、Q 两点附近电场的等势面分布如题20图 所示，a 、b 、c 、d 为电场中的四个点。则( ) A ．P 、Q 两点处的电荷等量同种 B ．a 点和b 点的电场强度相同 C ．c 点的电热低于d 点的电势 D ．负电荷从a 到c ，电势能减少 D 5.（2012海南卷）关于静电场，下列说法正确的是( ) O x (cm) y (cm) A (6,0) B (0,3) ● ●
A．电势等于零的物体一定不带电 B．电场强度为零的点，电势一定为零 C．同一电场线上的各点，电势一定相等 D．负电荷沿电场线方向移动时，电势能一定增加 D 6.（2012山东卷）.图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固 定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为 粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的 交点。则该粒子( ) A．带负电 B．在c点受力最大 C．在b点的电势能大于在c点的电势能 D．由a点到b点的动能变化大于有b点到c点的动能变化 CD 7．[2014·北京卷] 如图所示，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面．下列判断正确的是() A．1、2两点的场强相等 B．1、3两点的场强相等 C．1、2两点的电势相等 D．2、3两点的电势相等 D本题考查电场线和等势面的相关知识．根据电场线和等势面越密集，电场强度越大，有E1>E2＝E3，但E2和E3电场强度方向不同，故A、B错误．沿着电场线方向，电势逐渐降低，同一等势面电势相等，故φ1>φ2＝φ3，C错误，D正确． 8.如图所示，A、B是位于竖直平面内、半径R＝0.5 m的1 4圆弧形的光滑绝缘轨道， 其下端点B与水平绝缘轨道平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，电场强度 E＝5×103N/C.今有一质量为m＝0.1 kg、带电荷量＋q＝8×10－5C的小滑块(可视为质 点)从A点由静止释放．若已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.05，取g＝10 m/s2， 求： (1)小滑块第一次经过圆弧形轨道最低点B时B点的压力．(2)小滑块在水平轨道上通过的总路程． 答案：(1)2.2 N(2)6 m解析：(1)设小滑块第一次到达B点时的速度为v B，对圆弧轨道最低点B的压
静电场部分习题及答案(1)
静电场部分习题 一 选择题 1.在坐标原点放一正电荷Q ，它在P 点(x =+1,y =0)产生的电场强度为 ．现在，另外 有一个负电荷-2Q ，试问应将它放在什么位置才能使P 点的电场强度等于零 (A) x 轴上x >1． (B) x 轴上0
4. 点电荷-q位于圆心O处，A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图所示．现将一试验电荷从A点分别移动到B、C、D各点，则 (A) 从A到B，电场力作功最大． (B) 从A到C，电场力作功最大． (C) 从A到D，电场力作功最大． (D) 从A到各点，电场力作功相等．［ D ］ A 5 一导体球外充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度δ为 (A) ε 0 E． (B) ε 0εr E． (C) ε r E． (D) (ε 0εr-ε 0)E．［ B ］ 6一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则电场强度的大小E、电容C、电压U、电场能量W四个量各自与充入介质前相比较，增大(↑)或减小(↓)的情形为 (A) E↑，C↑，U↑，W↑． (B) E↓，C↑，U↓，W↓． (C) E↓，C↑，U↑，W↓． (D) E↑，C↓，U↓，W↑．［ B ］ 7 一个带负电荷的质点，在电场力作用下从Ａ点出发经Ｃ点运动到Ｂ点，其运动轨道如图所示。已知质点运动的速率是增加的，下面关于Ｃ点场强方向的四个图示中正确的是：(D)
大学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案
第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷 q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200) 1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)(2)这种平衡与三角形的边长有无关系 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ 式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。 ?+= 2 32 20)(4dq R x x E x πε 232210)(24R x R x +?=πλπε2 32201)(2R x x R +=ελ 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为 dq E dF x =dx R x x R 2 322021)(2+= ελλ 方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 ?=dF F dx R x x R l ?+= 02 3220 21)(ελλ2 R O λ1 λ2 l x y z
静电场作业含答案
班级 姓名 学号 静电场作业 一、填空题 1. 一均匀带正电的空心橡皮球，在维持球状吹大的过程中，球内任意点的场强 不变 。球内任意点的电势 变小 。始终在球外任意点的电势 不变 。（填写变大、变小或不变） 解： 2. 真空中有一半径为R ，带电量为 +Q 的均匀带电球面。今在球面上挖掉很小一块面积△S ，则球心 处的电场强度E = 。 解：电荷面密度 3. 点电荷q 1、q 2、q 3和q 4在真空中的分布如图所示。S 为闭合曲面， 则通过该闭合曲面的电通量为 。 4 2εq q + 解：高斯定理 ；其中 为S 闭合面内所包围的所有电荷的代数和 4. 边长为a 的正六边形每个顶点处有一个点电荷 +q ，取无限远处 作为电势零点，则正六边形中心O 点电势为 V 。 a q 023πε 解：O 点电势为6个点电荷电势之和。每个q 产生的电势为 +2 041 r Q E ?=πε0 =E （r ＞ R 球 （r ＜ R 球 均匀带 电 球面 r Q U ?=041 πεR Q U ? =041 πεs 2 4R Q πσ= 2 4R s Q q π?= ∴4 022 022*******R s Q R R s Q r q E εππεππε?=??==4 0216R s Q επ?0 εφ∑? = ?=i S q S d E ∑i q a q r q U 0044πεπε= = q q U o 36= ?= ∴
5. 两点电荷等量异号，相距为a ，电量为q ，两点电荷连线中点O 处的电场强度大小E = 。 2 02a q πε 解： 6. 电量为－×10－9 C 的试验电荷放在电场中某点时，受到×10－9 N 的向下的力，则该点的电场强度 大小为 4 N/C 。 解：由电场强度定义知， 7. 一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d （d << R ），环上均匀 带正电，总电量为q ，如图所示，则圆心O 处的场强大小E ＝__________ __。 ) 2(420d R R qd -ππε 解：根据圆环中心E=0可知，相当于缺口处对应电荷在O 点处产生的电场 电荷线密度为 ； 缺口处电荷 8. 如图所示，将一电量为-Q 的试验电荷从一对等量异号点电荷连线的中点 O 处，沿任意路径移到无穷远处，则电场力对它作功为 0 J 。 解：根据电场力做功与电势差之间的关系可求 其中 d + - O q +q -?E 2 a 2 a 2 02 022422a q a q E E q πεπε= ? ? ? ??? ==+4 ==q F E d R q -=πλ2d d R q q ?-='π2) 2(4412420202 0d R R qd R d R qd R q E -= ?-= '=ππεπεππε) (∞-=U U q A O ; 0=∞U ; 04400=+ -= r q r q U o πεπε0 )(=--=∴∞U U Q A O
静电场作业含答案
班级 姓名 学号 静电场作业 一、填空题 1. 一均匀带正电的空心橡皮球，在维持球状吹大的过程中，球内任意点的场强 不变 。球内任意点的电势 变小 。始终在球外任意点的电势 不变 。（填写变大、变小或不变） 解： 2. 真空中有一半径为R ，带电量为 +Q 的均匀带电球面。今在球面上挖掉很小一块面积△S ，则球心处的 电场强度E = 。 解：电荷面密度 3. 点电荷q 1、q 2、q 3和q 4在真空中的分布如图所示。S 为闭合曲面， 则通过该闭合曲面的电通量为 。 0 4 2εq q + 解：高斯定理 ；其中 为S 闭合面内所包围的所有电荷的代数和 4. 边长为a 的正六边形每个顶点处有一个点电荷 +q ，取无限远处 作为电势零点，则正六边形中心O 点电势为 V 。 a q 023πε 解：O 点电势为6个点电荷电势之和。每个q 产生的电势为 q +q 2 041 r Q E ?=πε0 =E （r ＞ R 球外） （r ＜ R 球内） 均匀带电 球面 r Q U ?=041 πεR Q U ?=041 πεs 2 4R Q πσ= 2 4R s Q q π?= ∴4 022 022*******R s Q R R s Q r q E εππεππε?=??==4 0216R s Q επ?0 εφ∑?= ?=i S q S d E ρρ∑i q a q r q U 0044πεπε= = a q a q U o 002364πεπε= ?= ∴
5. 两点电荷等量异号，相距为a ，电量为q ，两点电荷连线中点O 处的电场强度大小E = 。 2 02a q πε 解： 6. 电量为－5.0×10－9 C 的试验电荷放在电场中某点时，受到20.0×10－9 N 的向下的力，则该点的电场强度 大小为 4 N/C 。 解：由电场强度定义知， 7. 一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d （d << R ），环上均匀 带正电，总电量为q ，如图所示，则圆心O 处的场强大小E ＝__________ __。 ) 2(420d R R qd -ππε 解：根据圆环中心E=0可知，相当于缺口处对应电荷在O 点处产生的电场 电荷线密度为 ； 缺口处电荷 8. 如图所示，将一电量为-Q 的试验电荷从一对等量异号点电荷连线的中点 O 处，沿任意路径移到无穷远处，则电场力对它作功为 0 J 。 解：根据电场力做功与电势差之间的关系可求 其中 d -Q O q +q -?E 2 a 2 a 2 02 022422a q a q E E q πεπε= ? ? ? ??? ==+4 ==q F E d R q -= πλ2d d R q q ?-='π2) 2(4412420202 0d R R qd R d R qd R q E -= ?-= '= ππεπεππε) (∞-=U U q A O ; 0=∞U ; 04400=+ -= r q r q U o πεπε0 )(=--=∴∞U U Q A O
第5章 静电场作业答案
第五章 静电场作业1 班级 姓名 学号 一 选择题 1. 两点电荷间的距离为d 时, 其相互作用力为F ． 当它们间的距离增大到2d 时, 其相互作用力变为 (A) F 2 (B) F 4 (C) 2F (D) 4 F [ D ] 解：根据库仑定律 122014d q q F d πε= 12 22 0144d q q F d πε= 24 d d F F ∴= 选D 2. 关于电场强度, 以下说法中正确的是 (A) 电场中某点场强的方向, 就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B) 在以点电荷为中心的球面上, 由该点电荷所产生的场强处处相同 (C) 场强方向可由F E q = 定出, 其中q 可正, 可负 (D) 以上说法全不正确 [ C ] 解：场强的定义为0F E q = ，即表示场强的大小又表示场强的方向，选C 3.在边长为a 的正方体中心处放置一电量为Q 的点电荷, 则在此正方体顶角处电场强度的大小为 (A) 202πQ a ε (B) 2 03πQ a ε (C) 20πQ a ε (D) 2 04πQ a ε [ B ] 解：点电荷Q 距顶点的距离为 2 r a = 则在顶点处场强的大小为 203Q E a πε== 选B 4.一个点电荷放在球形高斯面的中心, 下列哪种情况通过该高斯面的电通量有 变化? (A) 将另一点电荷放在高斯面外 (B) 将另一点电荷放在高斯面内 a
(C) 将中心处的点电荷在高斯面内移动 (D) 缩小高斯面的半径 [ B ] 解：根据高斯定理 d i S q E S ε?= ∑? ，高斯面内的电荷变化，则通过该高斯面的电通量有变化。 选B 二 填空题 1.一长为L 、半径为R 的圆柱体，置于电场强度为E 的均匀电场中，圆柱体轴线与场强方向平行．则： (1) 穿过圆柱体左端面的E 通量为2R Επ-； (2) 穿过圆柱体右端面的E 通量为2R Επ； 解：1）穿过左端面的电通量为21ΕS R ΕΦπ=?=- 2）穿过右端面的电通量为21ΕS R ΕΦπ=?= 2. 一个薄金属球壳，半径为1R ，带有电荷1q ，另一个与它同心的薄金属球壳，半径为2R )(12R R >，带有电荷2q 。试用高斯定理求下列情况下各处的电场强度的大小: 1)1R r <，E= 0 ；2）21R r R <<, E= 12 04q r πε ； 3）2R r >, E= 12 2 04q q r πε+。 解：1）1R r <： d i S q E S ε?= ∑? 内球面内无电荷 10 E = 2）21R r R <<：两球面间的电荷为1q ，根据高斯定理可得 12204r q E e r πε= 3）2R r >：两球面外的电荷为12q q +，同理可得 123204r q q E e r πε+= 三 计算题 1. 电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上，求在棒的延长线上距棒中心为r 处的 2
真空中的静电场总结,
.. 普通物理学 程守洙第六版 静止电荷电场总结
真空中的静电场 教学目的要求 1. 理解点电荷概念，掌握库仑定律、电场强度和场强叠加原理； 2. 理解电场线与电通量，掌握静电场的高斯定理及其应用； 3. 理解静电场的保守性、环路定理与电势能； 4. 掌握电势和电势叠加原理； 5. 了解电场强度和电势梯度的关系. 本章内容提要 ⒈两个基本定律 ① 电荷守恒定律 在一个孤立系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内电荷量的代数和总是保持不变，这个规律称为电荷守恒定律.它是物理学中普遍遵守的规律之一. ② 真空中的库仑定律 真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与这两个电荷所带电荷量q l 和q 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比.作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸.即 121212122201212012 4π4πr q q q q r r r εε=?=r F e ⒉两个重要物理量 ① 电场强度 单位试验电荷在电场中任一场点处所受的力就是该点的电场强度.即 q F E = ② 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“电势零点”过程中电场力做的功.若取“无限远”处为“电势零点”，则 0d p p p W V q ∞ ==??E l 电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量，二者的积分关系为 d p p V ∞ =??E l 微分关系是 grad V =V =--?E ⒊两个重要定理 ① 高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的电荷电荷量的代数和的1/ε 0倍.即 01d i S S q ε?=∑?内 E S
第9章 静电场的基本规律
第9章静电场的基本规律 ◆本章学习目标 1．理解电荷的量子化和电荷守恒定律；掌握库仑定律的内容。 2．理解静电场的概念，掌握电场强度和电位的概念、电场强度和电位叠加原理、二者的计算方法以及它们之间的联系。 3．掌握高斯定理和静电场的环路定理的内容，会用高斯定理计算电场强度分布。 ◆本章教学内容 1．电荷的量子化和电荷守恒定律；库仑定律；电场强度及其计算。 2．电场线；电场强度通量；高斯定理及其应用。 3．电场力做功的特点；静电场的环路定理；电势和电势差；电势叠加原理及电势的计算。 4．等势面；电场强度和电势的关系；利用电势求电场强度的分布的计算方法。 ◆本章教学重点 1．库仑定律；静电场；电场强度及其计算。 2．高斯定理的内容及其应用。 3．电场力做功的特点；电势和电势差的概念；电势的计算方法。 4．等势面的概念；电场强度和电势的关系。 ◆本章教学难点 1．电场强度及其计算。 2．高斯定理及其应用。 3．电势的计算。 4．电场强度和电势的关系。 ◆本章学习方法建议 1．正确理解静电场、电场强度、电势和电势差的概念。 2．掌握库仑定律的矢量表达式，明确“点电荷”的概念和库仑定律的适用条件。 3．明确电场强度是矢量，而电势是标量，前者服从矢量叠加原理，后者服
从标量叠加原理；注意理解掌握电场强度和电势间的关系。 4．结合实例，透彻分析、理解高斯定理的物理意义，明确应用高斯定理求解场强的条件。 参考资料 程守洙《普通物理学》（第五版）、张三慧《大学物理基础学》及马文蔚《物理学教程》等教材。
§9.1 电荷 电场 一、电荷 电荷量 带电体：处于带电状态的物体称为带电体。 自然界的电荷?? ?? ?的橡胶棒上相同的电荷负电荷：与毛皮摩擦过的玻璃棒上相同的电荷 正电荷：与丝绸摩擦过(解释摩擦带电的原 因) 电力：带电体之间的相互作用力；同种电荷相排斥，异种电荷相吸引。 电荷(电荷量)：表示物体所带电荷的多寡程度的物理量。 二、电荷的量子化 原子结构： ??????????????? ?) ()()(负电核外电子不带电中子正电质子原子核原子 原子核外的电子数目等于原子核内的质子数目，原子呈电中性；若原子或分子由于外来原因失去(或得到)电子，就成为带正电(或带负电)的离子。 自然界中电子或质子所带电荷是最小的： 电子：C 106.1e 19-?-= 质子：C 106.1e 19-?= 电荷的量子化：所有带电体或其它粒子所带电量都是电子或质子所带电量的整数倍，是以不连续的量值出现的。 说明：由于电子的电荷量很小，所以在对宏观带电体的电现象进行研究时，可以不考虑电荷的量子性。（举例说明） 三、电荷守恒定律 如图9-1为感应起电现象： 当带正电的玻璃棒A 移近B 端时，B,C 因感应而带电，B 端带负电，C 端带正电。这时将B,C 两部分分开，再撤走A ，则B,C 两部分带等量的
大学物理 第7章 真空中的静电场 答案
第七章 真空中的静电场 7－1 在边长为a 的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q 和2q ，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。 解：如图可看出两2q 的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为 )41()2 2( 420+= a q F πε＝,252 0a q πε方向由q 指向-4q 。 7－2 如图，均匀带电细棒，长为L ，电荷线密度为λ。（1） 求棒的延长线上任一点P 的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 的场强。 解：（1）如图7－2 图a ，在细棒上任取电荷元dq ，建立如图坐标，dq ＝λd ξ，设棒的延长线上任一点P 与坐标原点0的距离为x ，则 2 02 0)(4)(4ξπεξ λξπεξ λ-= -= x d x d dE 则整根细棒在P 点产生的电场强度的大小为 )1 1(4)(400 20 x L x x d E L --=-= ? πελξξπελ ＝ ) (40L x x L -πελ方向沿ξ轴正向。 （2）如图7－2 图b ，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q 与坐标原点0的距离为y 2 04r dx dE πελ= θπελcos 42 0r dx dE y = ， θπελsin 42 0r dx dE x = 因θ θθθcos ,cos ,2y r d y dx ytg x ===， 习题7－1图 dq ξ d ξ 习题7－2 图a x x dx 习题7－2 图b y
代入上式，则 )cos 1(400θπελ-- =y ＝)1 1(4220L y y +--πελ，方向沿x 轴负向。 θθπελ θd y dE E y y ??= =0 0cos 4 00sin 4θπελy = ＝ 2204L y y L +πελ 7－3 一细棒弯成半径为R 的半圆形，均匀分布有电荷q ，求半圆中心O 处的场强。 解：如图，在半环上任取d l =Rd θ的线元，其上所带的电荷为dq=λRd θ。对称分析E y =0。 θπεθ λsin 42 0R Rd dE x = ??==πθπελ 00sin 4R dE E x R 02πελ = 2 02 2R q επ= ，如图，方向沿x 轴正向。 7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l 、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。 解：在λ2的带电线上任取一dq ，λ1的带电线是无限长，它在dq 处产生的电场强度由高斯定理容易得到为， x E 01 2πελ= 两线间的相互作用力为 θ θπελ θd y dE E x x ??-= -=0 0sin 4x 习题7－3图 λ1 习题7－4图
静电场作业含答案.doc
班级 姓名 学号 静电场作业 一、填空题 1. 一均匀带正电的空心橡皮球，在维持球状吹大的过程中，球内任意点的场强 不变 。球内任意点 的电势 变小。始终在球外任意点的电势 不变。（填写变大、变小或不变） 解： 1 Q 1 Q E r 2 U r （ r ＞ R 球外） 均匀带电 4 4 球面 1 Q E 0 （ r ＜R 球内） U R 4 0 2. 真空中有一半径为 R ，带电量为 +Q 的均匀带电球面。今在球面上挖掉很小一块面积△ S ，则球心处的 电场强度 E = 。 Q s Q 16 2 0R 4 s Q s 解：电荷面密度 4 R 2 q ? 4 R 2 q Q s 1 Q s E 2 4 R 2 4 0 R 2 16 2 0 R 4 4 0 r q 1 q 3 3. 点电荷 q 1 、q 2、 q 3 和 q 4 在真空中的分布如图所示。 S 为闭合曲面， q 4 q 2 q 4 q 2 则通过该闭合曲面的电通量为 。 S q i 解：高斯定理 E dS ；其中 q i 为 S 闭合面内所包围的所有电荷的代数和 S 4. 边长为 a 的正六边形每个顶点处有一个点电荷 +q ，取无限远处 +q +q 3q +q +q 作为电势零点，则正六边形中心 O 点电势为 V 。 O 2 a +q +q 解： O 点电势为 6 个点电荷电势之和。每个 q 产生的电势为 U q q 4 0 r 4 a U o q 6 3q 4 a 2 a
真空中的静电场(答案解析)2015年度
第九章 真空中的静电场 一． 选择题 [ B ] 1（基础训练1） 图中所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷 线密度分别为＋(x ＜0)和－ (x ＞0)，则Oxy 坐标平面上点(0，a )处的场强E 为 (A) 0． (B) i a 02ελπ． (C) i a 04ελπ． (D) ()j i a +π04ελ． 【提示】：左侧与右侧半无限长带电直线在(0，a)处产生的场强大小E ＋、E －大小为： 022E E a πε+-== 矢量叠加后，合场强大小为： 02E a λ πε=合，方向如图。 ［ C ］ 2（基础训练3） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A) 06εq ． (B) 0 12εq ． (C) 024εq ． (D) 0 48εq ． 【提示】：添加7个与如图相同的小立方体构成一个大立方体，使A 处于大立方体的中心。则大立 方体外围的六个正方形构成一个闭合的高斯面。由Gauss 定理知，通过该高斯面的电通量为 q ε。再据对称性可知，通过侧面abcd 的电场强度通量等于 24εq 。 A b c a q E + E - E 合 O +λ -λ x y (0, a ) +λ -λ x y (0, a )
［ D ］ 3（基础训练6） 在点电荷+q 的电场中，若取图中P 点处为电势零点 ， 则M 点的电势为 (A) a q 04επ． (B) a q 08επ． (C) a q 04επ-． (D) a q 08επ-． 【提示】：2 20048P a M M a q q V E dl dr r a πεπε-= ==? ? ［ C ］ 4（自测提高4）如图9-34，设有一“无限大”均匀带正电荷的平面。取x 轴垂直带电平面，坐标原点在带电平面上，则其周围 空间各点的电场强度E 随距离平面的位置坐标x 变化的关系曲线为(规定场强方向沿x 轴正向为正、反之为负)： 【提示】：由于电场分布具有平面对称性，可根据高斯定理求得该带电平面周围的场强为： (+0;0)2E i x x σ ε=± > -<“”号对应“”号对应 ［ B ］ 5（自测提高6）如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电荷Q 1，外球面半径为R 2、带有电荷Q 2．设无穷远处为电势零点，则在内球面之内、距离球心为r 处的P 点的电势U 为： (A) r Q Q 0214επ+． (B) 202 10144R Q R Q εεπ+π． (C) 0． (D) 1 01 4R Q επ． 【提示】：根据带点球面在求内外激发电势的规律，以及电势叠加原理即可知结果。 x
高中物理静电场经典习题30道 带答案
一．选择题（共30小题） 1．（2014?山东模拟）如图，在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a 、b 和c 分别位于边长为l 的正三角形的三个顶点上；a 、b 带正电，电荷量均为q ，c 带负电．整个系统置于方向水平的匀强电场中．已知静电力常量为k ．若 三个小球均处于静止状态，则匀强电场场强的大小为（ ） D c 的轴线上有a 、b 、 d 三个点，a 和b 、b 和c 、c 和d 间的距离均为R ，在a 点处有一电荷量为q （q ＞0）的固定点电荷．已知b 点处的场强为零，则d 点处场强的大小为（k 为静电力常量）（ ） D 系数均为k 0的轻质弹簧绝缘连接．当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l ．已知静电力常量为k ，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为（ ） ﹣ 个小球，在力F 的作用下匀加速直线运动，则甲、乙两球之间的距离r 为（ ） D
7．（2015?山东模拟）如图甲所示，Q1、Q2为两个被固定的点电荷，其中Q1带负电，a、b两点在它们连线的延长线上．现有一带负电的粒子以一定的初速度沿直线从a点开始经b点向远处运动（粒子只受电场力作用），粒子经过a、b两点时的速度分别为v a、v b，其速度图象如图乙所示．以下说法中正确的是（） 8．（2015?上海二模）下列选项中的各圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各圆环间 D 12 变化的关系图线如图所示，其中P点电势最低，且AP＞BP，则（） 以下各量大小判断正确的是（）
11．（2015?丰台区模拟）如图所示，将一个电荷量为1.0×10C的点电荷从A点移到B点，电场力做功为2.4×10﹣6J．则下列说法中正确的是（） 时速度恰好为零，不计空气阻力，则下列说法正确的是（） 带电粒子经过A点飞向B点，径迹如图中虚线所示，以下判断正确的是（） 实线所示），则下列说法正确的是（）
静电场练习题及答案
静电场练习题 一、电荷守恒定律、库仑定律练习题 4．把两个完全相同的金属球A和B接触一下，再分开一段距离，发现两球之间相互排斥，则A、B两球原来的带电情况可能是[ ] A．带有等量异种电荷B．带有等量同种电荷 C．带有不等量异种电荷D．一个带电，另一个不带电 8．真空中有两个固定的带正电的点电荷，其电量Q1＞Q2，点电荷q置于Q1、Q2连线上某 点时，正好处于平衡，则[ ] A．q一定是正电荷B．q一定是负电荷 C．q离Q2比离Q1远D．q离Q2比离Q1近 14．如图3所示，把质量为0.2克的带电小球A用丝线吊起，若将带电量为4×10-8库的小球B靠近它，当两小球在同一高度相距3cm时，丝线与竖直夹角为45°，此时小球B受到的库仑力F＝______，小球A带的电量q A＝______． 二、电场电场强度电场线练习题 6．关于电场线的说法，正确的是[ ] A．电场线的方向，就是电荷受力的方向 B．正电荷只在电场力作用下一定沿电场线运动 C．电场线越密的地方，同一电荷所受电场力越大 D．静电场的电场线不可能是闭合的 7．如图1所示，带箭头的直线是某一电场中的一条电场线，在这条线上有A、B两点，用E A、E B表示A、B两处的场强，则[ ] A．A、B两处的场强方向相同 B．因为A、B在一条电场上，且电场线是直线，所以E A＝E B C．电场线从A指向B，所以E A＞E B D．不知A、B附近电场线的分布情况，E A、E B的大小不能确定 8．真空中两个等量异种点电荷电量的值均为q，相距r，两点电荷连线中点处的场强为[ ] A．0 B．2kq／r2C．4kq／r2 D．8kq／r2 9．四种电场的电场线如图2所示．一正电荷q仅在电场力作用下由M点向N点作加速运动，且加速度越来越大．则该电荷所在的电场是图中的[ ] 11．如图4，真空中三个点电荷A、B、C，可以自由移动，依次排列在同一直线上，都处于平衡状态，若三个电荷的带电量、电性及相互距离都未知，但AB＞BC，则根据平衡条件可断定[ ] A．A、B、C分别带什么性质的电 B．A、B、C中哪几个带同种电荷，哪几个带异种电荷 C．A、B、C中哪个电量最大 D．A、B、C中哪个电量最小 二、填空题 12．图5所示为某区域的电场线，把一个带负电的点电荷q放在点A或B时，在________点受的电场力大，方向为______．
真空中的静电场(电势)
图1-1 班号： 姓名： 学号： 成绩： 2．真空中的静电场2（电场与电势） 一、选择题 1. 关于静电场中某点电势值的正负，下列说法正确的是：[ ] A. 电势值的正负取决于置于该点的试探电荷的正负； B. 电势值的正负取决于电场力对试探电荷做功的正负； C. 电势值的正负取决于电势零点的选取 ； D. 电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。 2．在下列关于静电场的表述中，正确的是：[ ] A ．初速度为零的点电荷置于静电场中，将一定沿一条电场线运动； B ．带负电的点电荷，在电场中从a 点移到b 点，若电场力作正功，则a 、b 两点的电势关系为U a ＞U b ； C ．由点电荷电势公式r q U 0π4ε= 可知，当r →0时，则U →∞； D ．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，其电势越低； E ．在点电荷的电场中，离场源电荷越远的点，电场强度的量值就越小。 3. 如图1-1所示，图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势面，a 、b 、c 为电场中的三个点，由图可以看出：[ ] A ．c b a E E E >>，c b a U U U >>； B ．c b a E E E <<，c b a U U U <<； C ．c b a E E E >>，c b a U U U <<； D ．c b a E E E <<，c b a U U U >>。 4. 在静电场中，若电场线为均匀分布的平行直线，则在该电场区域内电场线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较：[ ] A. E 相同，U 不同； B. E 不同，U 相同； C. E 不同，U 不同； D. E 相同，U 相同。
静电学的基本规律
第一章静电学的基本规律 研究问题：从基本的静电现象出发，讨论静电场的描写方法和基本规律，进而建立静电场的基本方程式。 §1.1 物质的电结构电荷守恒定律 一、电荷 1、材料经摩擦后具有吸引轻小物体的能力，称之为“带电”——带有电荷。 2、自然界只存在两类电荷。（富兰克林命名） 3、电荷之间存在相互作用——同类相斥，异类相吸。 4、物体带电的过程： （1）摩擦起电——电子从一个物体转移到另一个物体。 （2）静电感应——电子从物体的一部分转移到另一部分。 共同点：出现的正负电荷数量一定相等。 二、物质的电结构 1、基本粒子： 电子——电量e=－1.6×10-19C，质量m=9.11×10-31kg 质子——电量e=1.6×10-19C，质量m=1.67×10-27kg 夸克―组成核子（质子和中子）的微粒。 电量为（－1／3）e 或（2／3）e，至今尚未观察到独立存在的夸克。 2、电荷的量子化：电荷是不连续的，它由不可分割的基本单元——基本电 荷e所组成。一切物体所带电荷的数量都是基本电荷的整数倍。 （1）基本电荷的存在最早由爱尔兰物理学家斯托尼于1891年根据法拉第所发现的电解定律提出，并为汤姆孙实验（证实电子的存在 和测得电子的荷质比）、密立根油滴实验（得到油滴所带电荷总是 某一基本电荷整数倍的结论）等许多实验所证实。 （2）各种带电基本粒子如质子、电子在其它性质，如质量、寿命等方面相差甚大，而电荷量相等却达到惊人的程度（相等的精度达到 1020分之一）。电荷量子化是自然界一个具有深刻意义的基本规律， 直到目前为止仍无人能以更基本的观念来解释这一事实。 （3）当一种物理性质，如电荷那样以分离的“颗粒”形式存在，而不以连续方式存在，就称这种性质为量子化的。在近代物理中，量 子化是基本概念。 3、原子结构：
大学物理静电场练习题及答案
练习题 7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q ，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大? 解: 这是一个条件极值问题。设其中一个点电荷带电q ，则另一个点电荷带电q Q -， 两点电荷之间的库仑力为 ()2 41 r q q Q F -= πε 由极值条件0d d =q F ，得 Q q 2 1= 又因为 2 02221 d d r q F πε-=<0 这表明两电荷平分电荷Q 时，它们之间的相互作用力最大。 7-2 两个相同的小球，质量都是m ，带等值同号的电荷q ，各用长为l 的细线挂在同一点，如图7-43所示。设平衡时两线间夹角2θ很小。（1）试证平衡时有下列的近似等式成立： 3 1022??? ? ??=mg l q x πε 式中x 为两球平衡时的距离。 (2)如果l = 1.20 m ，m =10 g ，x =5.0 cm ，则每个小球上的电荷量q 是多少? (3)如果每个球以-19s C 1001??-.的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率d x /d t 是多少? 解：(1)带电小球受力分析如图解所示。小球平衡时，有 F T =θsin mg T =θcos 由此二式可得 mg F = θtan
因为θ很小，可有()l x 2tan ≈θ，再考虑到 2 024x q F πε= 可解得 3 1 022? ?? ? ??=mg l q x πε （2）由上式解出 C 10382282 13 0-?±=??? ? ? ?±=.l mgx q πε （3） 由于 t q q x t q q mg l t x d d 32d d 322d d 313 10=???? ??==-πευ 带入数据解得 -13s m 10401??=-.υ 合力的大小为 2 22 220 1222412cos 2? ? ? ??+? ? ? ? ??+? ? ===d x x d x e F F F x πεθ () 2 322 2043241 d x x e += πε 令0d d =x F ，即有 ()()0482341825222 232202=??? ?????+?-+d x x d x e πε 由此解得α粒子受力最大的位置为 2 2d x ± =
真空中的静电场归纳,
普通物理学 程守洙第六版 静止电荷电场总结
真空中的静电场 教学目的要求 1. 理解点电荷概念，掌握库仑定律、电场强度和场强叠加原理； 2. 理解电场线与电通量，掌握静电场的高斯定理及其应用； 3. 理解静电场的保守性、环路定理与电势能； 4. 掌握电势和电势叠加原理； 5. 了解电场强度和电势梯度的关系. 本章内容提要 ⒈两个基本定律 ① 电荷守恒定律 在一个孤立系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内电荷量的代数和总是保持不变，这个规律称为电荷守恒定律.它是物理学中普遍遵守的规律之一. ② 真空中的库仑定律 真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与这两个电荷所带电荷量q l 和q 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比.作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸.即 121212 122201212012 4π4πr q q q q r r r εε= ?=r F e ⒉两个重要物理量 ① 电场强度 单位试验电荷在电场中任一场点处所受的力就是该点的电场强度.即 q F E =
② 电势 电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移到“电势零点”过程中电场力做的功.若取“无限远”处为“电势零点”，则 d p p p W V q ∞ = =??E l 电场强度和电势都是描述电场中各点性质的物理量，二者的积分关系为 d p p V ∞ =??E l 微分关系是 grad V =V =--?E ⒊两个重要定理 ① 高斯定理 在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的电荷电荷量的代数和的1/ε 0倍.即 1 d i S S q ε?= ∑? 内 E S ② 静电场的环路定理 在静电场中，电场强度E 的环流恒为零.即 0d =??l E 高斯定理和静电场的环路定理都是描写静电场性质的重要定理，前者说明静电场是有源场，而后者说明静电场是无旋场，即静电场是有源无旋场. ⒋三个叠加原理 ① 静电力叠加原理 作用在某一点电荷上的力为其它点电荷单独存在时对该点电荷静电力的矢量和.即 1 n i i ==∑F F ② 场强叠加原理 电场中某点的场强等于每个电荷单独在该点产生的场强的叠加，即 1 n i i==∑E E ③ 电势叠加原理 电场中某点的电势等于各电荷单独在该点产生的电势的叠加，即 1 n p Pi i V V ==∑ ⒌几个基本概念 ① 电场 电荷周围存在的一种特殊物质，称为电场.它与分子、原子等组成的实物一样，具有质量、能量、动量和角动量，它的特殊性在于能够叠加.相对于观察者静止的电荷在其周围所激发的电场称为静电场.静电场对外的表现主要有：对处于电场中的其他带电体有作用力；在电场中移动其他带电体时，电场力要对它做功. ② 电场线 为形象地反映电场而人为地在电场中描绘的曲线.其画法规定：电场线上某点的
静电场的基本规律大学物理重点章节.docx
第 9 章静电场的基本规律 ◆本章学习目标 1．理解电荷的量子化和电荷守恒定律；掌握库仑定律的内容。 2．理解静电场的概念，掌握电场强度和电位的概念、电场强度和电位叠加原理、二者的计算方法以及它们之间的联系。 3．掌握高斯定理和静电场的环路定理的内容，会用高斯定理计算电场强度分布。 ◆本章教学内容 1．电荷的量子化和电荷守恒定律；库仑定律；电场强度及其计算。 2．电场线；电场强度通量；高斯定理及其应用。 3．电场力做功的特点；静电场的环路定理；电势和电势差；电势叠加原理及电势的计算。 4．等势面；电场强度和电势的关系；利用电势求电场强度的分布的计算方法。 ◆本章教学重点 1．库仑定律；静电场；电场强度及其计算。 2．高斯定理的内容及其应用。 3．电场力做功的特点；电势和电势差的概念；电势的计算方法。 4．等势面的概念；电场强度和电势的关系。 ◆本章教学难点 1．电场强度及其计算。 2．高斯定理及其应用。 3．电势的计算。 4．电场强度和电势的关系。 ◆本章学习方法建议 1．正确理解静电场、电场强度、电势和电势差的概念。 2．掌握库仑定律的矢量表达式，明确“点电荷”的概念和库仑定律的适用条件。 3．明确电场强度是矢量，而电势是标量，前者服从矢量叠加原理，后者服
从标量叠加原理；注意理解掌握电场强度和电势间的关系。 4．结合实例，透彻分析、理解高斯定理的物理意义，明确应用高斯定理求解场强的条件。 参考资料 程守洙《普通物理学》（第五版）、张三慧《大学物理基础学》及马文蔚《物理学教程》等教材。
§ 9.1电荷电场 一、电荷电荷量 带电体：处于带电状态的物体称为带电体。 正电荷：与丝绸摩擦过的玻璃棒上相同的电荷自然界的电荷( 解释摩擦带电的原 负电荷：与毛皮摩擦过的橡胶棒上相同的电荷 因) 电力：带电体之间的相互作用力；同种电荷相排斥，异种电荷相吸引。 电荷 (电荷量 )：表示物体所带电荷的多寡程度的物理量。 二、电荷的量子化 原子结构： 质子(正电 ) 原子核 中子 (不带电 ) 原子 核外电子 (负电 ) 原子核外的电子数目等于原子核内的质子数目，原子呈电中性；若原子或分子由于外来原因失去(或得到 )电子，就成为带正电 (或带负电 )的离子。 自然界中电子或质子所带电荷是最小的： 电子： e 1.6 10 19 C质子：e 1.610 19 C 电荷的量子化：所有带电体或其它粒子所带电量都是电子或质子所带电量的整数倍，是以不连续的量值出现的。 说明：由于电子的电荷量很小，所以在对宏观带电体的电现象进行研究时，可以不考虑电荷的量子性。（举例说明） 三、电荷守恒定律 如图 9-1 为感应起电现象： 当带正电的玻璃棒 A 移近 B 端时，B,C 因感 应而带电， B 端带负电， C 端带正电。这时将 B,C 两部分分开，再撤走A，则 B,C 两部分带等量的