《复变函数》练习题

复变函数练习题（一）

一、判断题：

1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )

3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )

6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )

7.若)(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=?C

dz z f . ( )

10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题 1、=-?=-1

||00)

(z z n

z z dz

__________.（n 为自然数）

2.=+z z 2

cos sin

_________.

3.函数z sin 的周期为___________.

4.设1

1)(2

z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.

5.幂级数0

n n nz ∞

=∑的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

7.若ξ=∞

→n n z lim ，则=

+++∞

→n

z z z n

n (i)

21______________.

8.=)0,(Re n

z z

e s ________，其中n 为自然数.

z sin 的孤立奇点为________ .

10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0

=→z f z z . 三.计算题： 1. 设)

2)(1(1)(--=

z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.

2. .cos 11

||?

=z dz z

3. 设?

-++=C

d z

z f λ

λλλ1

73)(2

，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +

4. 求复数1

1+-=z z w 的实部与虚部.

四. 证明题.

1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.

2. 试证: ()f z =

在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求

出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

复变函数练习题（二）

一. 判断题.

1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )

2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )

3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )

4. 有界整函数必为常数. ( )

5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0

z f z z →一定不存在. ( )

6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )

7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=?C

dz z f . ( )

8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)1

1(=+n f 且,...

2,1,21)21(

n n

f . ( )

二. 填空题.

1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z

2.设C

iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(2

，则=+→)(lim 1z f i

z ________.

=-?

=-1

||00)

(z z n

z z dz _________.（n 为自然数）

4. 幂级数0

n n nz ∞

=∑的收敛半径为__________ .

5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.

6. 函数e z 的周期为__________.

7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设2

11)(z

z f +=

，则)(z f 的孤立奇点有_________.

9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10. ____

)1,1(

Res 4

=-z

z .

三. 计算题.

1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.

3. 计算积分：?

-=i

z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.

4. 求dz z z ?=-

)

(sinz π

. 四. 证明题.

1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

复变函数练习题（三）

一. 判断题.

1. cos z 与sin z 的周期均为πk

2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )

3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )

4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )

5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )

6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )

7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( ) 二. 填空题. 1. 设1

1)(2

z z f ，则f (z )的定义域为___________.

2. 函数e z 的周期为_________.

3. 若n

n n

i n

n z )

11(12+

+-+=

，则=∞

→n

z n lim __________.

4. =+z z 22cos sin ___________.

5. =-?=-1

||00)

z n

z z dz

_________.（n 为自然数）

6. 幂级数∑∞

n n nx 的收敛半径为__________.

7. 设1

1)(2

z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.

8. 设1-=z e ，则___=z .

9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0

=→z f z z .

10. ____

)0,(

Res =n

z z

e .

三. 计算题.

1. 将函数1

2()z f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.

2. 试求幂级数n

n n

n ∑

+∞

!的收敛半径.

3. 算下列积分：?

-C

z z z e )

9(d 2

，其中C 是1||=z .

4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题.

1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.

2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数练习题（四）

一. 判断题

1. 若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件. （）

2. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. （）

3. 函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界. （）

4. 若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C

dz z f .（）

5. 若)(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点. （）

6. 若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数. （）

7. 如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0

z f z z →一定不存在. （）

8. 若0

)(,0)(0)

(0==z f

z f n ，则0z 为)(z f 的n 阶零点. （）

9. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （） 10. 若)(z f 在+∞<<||0z 内解析，则)),((Res )0),((Res ∞-=z f z f . （）二. 填空题. 1. 设i

z -=

11，则___Im __,Re ==z z .

2. 若ξ=∞

→n n z lim ，则=

+++∞

→n

z z z n

n (i)

21______________.

3. 函数e z 的周期为__________.

4. 函数2

11)(z

z f +=

的幂级数展开式为__________

5. 若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________.

7. 设1|:|=z C ，则___)1(=-?C

dz z .

z sin 的孤立奇点为________.

9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0

=→z f z z .

10. =)0,(

Res n

z z

e _____________.

三. 计算题.

1. 解方程013

=+z .

2. 设1

)(2

z e

z f z

，求).),((Re ∞z f s

)(z 9(2

||2

=+-z dz i z z

4. 函数()f z =z

e z

-有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.

四. 证明题.

1. 证明：若函数)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解析.

2. 证明0364=+-z z 方程在2||1<

复变函数练习题（五）

一. 判断题.

1. 若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （）

2. 若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.

（）

3. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. （）

4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （）

5. 若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析. （）

6. 若)(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点. （）

7. 若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析. （） 8. 设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数. （） 9. 若0z 是)(z f 的一级极点，则)()(lim )),((Res 000

z f z z z z f z z -=→. （）

10. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （）二. 填空题.

1. 设i z 31-=，则____,arg __,||===z z z .

2. 当___=z 时，z e 为实数.

3. 设1-=z e ，则___=z .

4. z e 的周期为___.

5. 设1|:|=z C ，则___)1(=-?C

dz z .

6. ____

)0,1(

Res =-z

e z

7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。 8. 函数2

11)(z

z f +=的幂级数展开式为_________.

z sin 的孤立奇点为________.

10. 设C 是以为a 心，r 为半径的圆周，则___

)

(1=-?C

dz a z .（n 为自然数）

三. 计算题. 1. 求复数

1+-z z 的实部与虚部.

2. 计算积分：z z I L

d R

e ?

=，在这里L 表示连接原点到1i +的直线段.

3. 求积分：I =

+-π

θθ

cos 21a

a d ，其中0

应用儒歇定理求方程)(z z ?=，在|z|<1内根的个数，在这里)(z ?在1||≤z 上解析，并且

1|)(|

四. 证明题.

1. 证明函数2||)(z z f =除去在0=z 外，处处不可微.

2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个数R 及M ，使得当R

z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明:)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数.

复变函数练习题（六）

一、

判断题：

1. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 连续. （）

2. 若函数()f z 在0z 处满足Caychy-Riemann 条件，则()f z 在0z 解析. （）

3. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 处满足Caychy-Riemann 条件. （）

4. 若函数()f z 在是区域D 内的单叶函数，则()0()f z z D '≠?∈. （）

5. 若()f z 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有()0C

f z dz =?.（）

6. 若()f z 在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有()0C

f z dz =?.（）

7. 若()0()f z z D '≠?∈，则函数()f z 在是D 内的单叶函数.（） 8. 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是

1()

f z 的m 阶极点.（）

9. 如果函数()f z 在{}:1D z z =≤上解析，且()1(1)f z z ≤=,则()1(1)f z z ≤≤.（） 10. sin 1()z z C ≤?∈.（）二、

填空题

1. 若21(1)

n n z i n

-，则lim n z =___________.

2. 设2

1()1

f z z =

+，则()f z 的定义域为____________________________.

3. 函数sin z 的周期为_______________________.

4. 22sin cos z z +=_______________________.

5. 幂级数0

n n nz +∞

=∑的收敛半径为________________.

6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点.

7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________.

8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________.

9. 方程532380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10. 公式cos sin ix e x i x =+称为_____________________. 三、

计算题

1、2lim 6n

n i →∞

-??

???

2、设2

371

()C

f z d z

λλλ

λ++=

，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+.

3、设2

()1

f z z =

+，求R e ((),)s f z i .

4、求函数

sin z z

在0z <<∞内的罗朗展式.

5、求复数11

z w z -=+的实部与虚部.

6、求3

e π

的值.

四、

证明题

1、方程7639610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.

2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，(,)v x y 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数.

3、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是

1()

f z 的m 阶极点.

复变函数练习题（七）

一、

判断题

1. 若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（）

2. 若函数()f z 在0z 处解析，则()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件.（）

3. 如果0z 是()f z 的可去奇点，则0

lim ()z z f z →一定存在且等于零.（）

4. 若函数()f z 是区域D 内的单叶函数，则()0()f z z D '≠?∈.（）

5. 若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（）

6. 若函数()f z 在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.

（）

7. 若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()

f z 的m 阶极点.（）

二、

填空题

1. 若11sin (1)

n z i n n

=++

-，则lim n z =___________.

2. 设2

()1

z f z z =

+，则()f z 的定义域为____________________________.

3. 函数z e 的周期为______________.

4. 22sin cos z z +=_______________.

5. 幂级数2

n n n z +∞

=∑的收敛半径为________________.

6. 若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点.

7. 若函数()f z 在整个复平面处处解析，则称它是______________.

8. 函数()f z z =的不解析点之集为__________.

9. 方程833380z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10. R e (,0)z n

e s z

_________________.

三、

计算题

1、求2

??+ ??.

2、设2

371

()C

f z d z

λλλ

λ++=

，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+.

3、设2

()z e f z z

，求R e ((),0)s f z .

4、求函数

(1)(1)

z z -+在12z <<内的罗朗展式.

5、求复数11

z w z -=

+的实部与虚部.

6、利用留数定理计算积分：20

cos dx a x

π+?，(1)a >.

四、

证明题

1、方程7633249610z z z z ++++=在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，()f z 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数.

3、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()

f z 的m 阶极点.

五、

计算题

求一个单叶函数，去将z 平面上的上半单位圆盘{}:1,Im 0z z z <>保形映射为w 平面的单位圆盘{}:1w w <

复变函数练习题（八）

一、判断题

1、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 连续.（）

2、若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析.（）

3、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0

lim ()z z f z →一定不存在.（）

4、若函数()f z 是区域D 内解析，并且()0()f z z D '≠?∈，则()f z 是区域D 的单叶函数.（）

5、若函数()f z 是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（）

6、若函数()f z 是单连通区域D 内的每一点均可导，则它在D 内有任意阶导数.（）

7、若函数()f z 在区域D 内解析且()0f z '=，则()f z 在D 内恒为常数.（） 8. 存在一个在零点解析的函数()f z 使1(

f n =+且11(

),1,2,22f n n

= .（）

9. 如果函数()f z 在{}:1D z z =≤上解析，且()1(1)f z z ≤=，则()1(1)f z z ≤≤.（） 10. sin z 是一个有界函数.（）二、填空题 1、若21(1)

n n z i n

n +=

-，则lim n z =___________.

2、设()ln f z z =，则()f z 的定义域为____________________________.

3、函数sin z 的周期为______________.

4、若lim n n z ξ→∞

=，则12lim

n z z z n

→∞

+++=

_______________.

5、幂级数5

n nz +∞

=∑的收敛半径为________________.

6、函数2

1()1f z z

+的幂级数展开式为______________________________.

7、若C 是单位圆周，n 是自然数，则01

()

dz z z =

______________.

8、函数()f z z =的不解析点之集为__________.

9、方程53215480z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10、若2

1()1f z z

=+，则()f z 的孤立奇点有_________________.

三、计算题 1、求1

1sin 2(1)(4)

z z z dz

zdz i

z z π+==+

--?

2、设2

371

()C

f z d z

λλλ

λ++=

，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+.

3、设2

()1

f z z =

-，求R e ((),)s f z ∞.

4、求函数

10(1)(2)

z z z +--

在z <<+∞内的罗朗展式.

5、求复数11

z w z -=+的实部与虚部.

四、证明题

1、方程763155610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内连续，则二元函数(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续. 4、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()

f z 的m 阶极点.

五、

计算题

求一个单叶函数，去将z 平面上的区域4:0a r g 5

z z π??

保形映射为w 平面的单位圆盘

{}:1w w <.

复变函数练习题（九）

一、判断题

1、若函数()f z 在0z 可导，则()f z 在0z 解析.（）

2、若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析.（）

3、如果0z 是()f z 的极点，则0

lim ()z z f z →一定存在且等于无穷大.（）

4、若函数()f z 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有()0C

f z dz =?.（）

5、若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（）

6、若函数()f z 在区域D 内的解析，且在D 内某一条曲线上恒为常数，则()f z 在区域D 内恒为常数.（）

7、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是

1()

f z 的m 阶极点.（）

8、如果函数()f z 在{}:1D z z =≤上解析，且()1(1)f z z ≤=，则()1(1)f z z ≤≤.（） 9、lim z z e →∞

=∞.（）

10、如果函数()f z 在1z ≤内解析，则1

m ax{()}m ax{()}.z z f z f z ≤==（）

二、填空题 1、若12sin (1)

n z i n

n =+-

+，则lim n z =___________.

2、设1()sin f z z

，则()f z 的定义域为____________________________.

3、函数sin z 的周期为______________.

4、22sin cos z z +=_______________.

5、幂级数0

n n nz +∞

=∑的收敛半径为________________.

6、若0z 是()f z 的m 阶零点且1m >，则0z 是()f z '的____________零点.

7、若函数()f z 在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________. 8、函数()f z z =的不解析点之集为__________.

9、方程832011350z z z -++=在单位圆内的零点个数为___________. 10、2R e (

,1)1

s z =-_________________.

三、计算题

1、2lim 6n

n i →∞

-??

???

2、设2

371

()C

f z d z

λλλ

λ++=

，其中{}:3C z z ==，试求(1)f i '+.

3、设2

()1

f z z =

+，求R e ((),)s f z i ±.

4、求函数

(1)(2)

z z --在12z <<内的罗朗展式.

5、求复数11

z w z -=+的实部与虚部.

6、利用留数定理计算积分2

2109

x x dx

x x +∞-∞

-+++?.

四、证明题

1、方程7639610z z z ++-=在单位圆内的根的个数为6.

2、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，(,)u x y 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数. 7、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1()

f z 的m 阶极点.

五、计算题

求一个单叶函数，去将z 平面上的带开区域:

Im 2z z π

π?

保形映射为w 平面的单位圆盘

{}:1w w <.

复变函数练习题（十）

一、判断题：

1、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个邻域内可导.（）

2、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0

lim ()z z f z →一定不存在.（）

3、若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 内连续，则(,)u x y 与(,)v x y 都在D 内连续.（）

4、cos z 与sin z 在复平面内有界.（）

5、若0z 是()f z 的m 阶零点，则0z 是1/()f z 的m 阶极点.（）

6、若()f z 在0z 处满足柯西-黎曼条件，则()f z 在0z 解析.（）

7、若0

lim ()z z f z →存在且有限，则0z 是函数的可去奇点.（）

8、若()f z 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有()0C

f x dz =?.（）

9、若函数()f z 是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数.（）

10、若函数()f z 在区域D 内解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（）

二、填空题：

1、函数z e 的周期为_________________.

2、幂级数0

n n nz +∞

=∑的和函数为_________________.

3、设2

1()1

f z z =

+，则()f z 的定义域为_________________.

4、0

n n nz +∞

=∑的收敛半径为_________________.

5、R e (

,0)z n

e s z

=_________________.

三、计算题： 1、2

.(9)()

dz z z i -+?

2、求2

R e (

,).1iz e

s i z

、11.n n

i i +-??+ ?? 4、设22(,)ln().u x y x y =+ 求(,)v x y ，使得()(,)(,)f z u x y i v x y =+为解析函数，且满足

(1)ln 2f i +=。其中z D

∈（D 为复平面内的区域）.

5、求4510z z -+=，在1z <内根的个数.

复变函数练习题（十一）

一、

判断题

1．设复数111z x iy =+及222z x iy =+，若12x x =或12y y =，则称1z 与2z 是相等的复数。（） 2．函数()R e f z z =在复平面上处处可微。（） 3．22sin cos 1z z +=且sin 1,cos 1z z ≤≤。（）

4．设函数()f z 是有界区域D 内的非常数的解析函数，且在闭域D D D =+?上连续，则存在

0M >，使得对任意的z D ∈，有()f z M <。（）

5．若函数()f z 是非常的整函数，则()f z 必是有界函数。（）二、填空题。

1．23456i i i i i ????= _____________________。 2．设0z x i y =

≠

，且a r g

,a r c t a n 2

y z x π

ππ-<≤-<<，当0,0x y <>

时，

a r g

a r c t a n y

=+________________。 3．若已知2

11()(1)(1)f z x iy x y

x y

+-++，则其关于变量z 的表达式为__________。

4．z =________________为支点。 5．若ln 2

z i π

=，则z =_______________。

6．1

z dz

________________。

7．级数2461z z z ++++ 的收敛半径为________________。 8．cos nz 在z n <（n 为正整数）内零点的个数为_______________。

9．若z a =为函数()f z 的一个本质奇点，且在点a 的充分小的邻域内不为零，则z a =是1()

f z 的__奇点。

10．设a 为函数()f z 的n 阶极点，则()R e ()

z a

f z s

f z ='=_____________________。

三、计算题

1．设区域D 是沿正实轴割开的z 平面，求函数w =

在D 1=-的单值连续

解析分支在1z i =-处之值。

2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（1）2

n ()1

L z f z z =-的各解析分支在1z =各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数（2）

求1

R e z

n z e s

+=。

3．计算下列积分。（1）7

(1)(2)z z

z z =-+?

（2）2

(0)

()

x dx a x a +∞-∞

>+?

4．叙述儒歇定理并讨论方程66100z z ++=在1z <内根的个数。

四、证明题

1．讨论函数()z f z e =在复平面上的解析性。 2．证明：

)

2!!

n z n

z e

d z

n n ξξ

πξ

=?。

此处C 是围绕原点的一条简单曲线。

复变函数练习题（十二）

一、填空题．

１．设(cos sin )z r i θθ=+，则

1z =

_____________________．

２．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，00A u iv =+，000z x iy =+，则0

lim ()z z f z A →=的充要条件是________．

３．设函数()f z 在单连通区域D 内解析，则()f z 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分

()C

f z dz =?

___

４．设z a =为()f z 的极点，则lim ()z a

f z →=____________________．

５．设()sin f z z z =，则0z =是()f z 的________阶零点．６．设2

1()1f z z

+，则()f z 在0z =的邻域内的泰勒展式为_________________．

７．设z a z a b -++=，其中,a b 为正常数，则点z 的轨迹曲线是_________________．８．设sin

cos

z i π

=--，则z 的三角表示为_________________________．

９．40

cos z zdz π

=?___________________________．

１０．设2

()z e

f z z

，则()f z 在0z =处的留数为________________________．

二、计算题．

１．计算下列各题．

(1) cos i ； (2) ln(23)i -+; (3) 33i - 2．求解方程380z +=．

３．设22u x y xy =-+，验证u 是调和函数，并求解析函数()f z u iv =+，使之()1f i i =-+．４．计算积分． (1)

()C

x iy dz +?

，其中C 是沿2

y x =由原点到点1z i =+的曲线．

(2)

[()]i x y ix dz +-+?

，积分路径为自原点沿虚线轴到i ，再由i 沿水平方向向右到1i +．

５．试将函数1()(1)(2)

f z z z =

--分别在圆环域01z <<和12z <<内展开为洛朗级数．

６．计算下列积分． (1)

(1)

z z dz

z z =--?

； (2)

sin (1)

z z

z z =-?

．

７．计算积分24

dx x

+∞-∞

．

８．求下列幂级数的收敛半径．

(1)

n n nz

∞

-=∑； (2)

(1)!

n z

n ∞

=-∑

．

９．讨论2

()f z z =的可导性和解析性．三、证明题．

１．设函数()f z 在区域D 内解析，()f z 为常数，证明()f z 必为常数．２．试证明0az az b ++=的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数．

复变函数练习题（十三）

一、填空题．

１．设(cos sin )z r i θθ=+，则n z =___________________．

２．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，00A u iv =+，000z x iy =+，则0

l i m ()z z f z A →=的充要条件_____．

３．设函数()f z 在单连通区域D 内解析，则()f z 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分

()C

f z dz =?

_ ．

４．设z a =为()f z 的可去奇点，lim ()z a

f z →=____________________．

５．设2

2()(1)z f z z e =-，则0z =是()f z 的________阶零点．６．设2

1()1f z z

-，则()f z 在0z =的邻域内的泰勒展式为_________________．

７．设z a z a b -++=，其中,a b 为正常数，则点z 的轨迹曲线是_________________．８．设sin cos z i αα=+，则z 的三角表示为_________________________．９．10

i z

ze dz +=

___________________________．

１０．设21()sin f z z z

=，则()f z 在0z =处的留数为________________________．

二、计算题．

１．计算下列各题． (1) (34)Ln i -+； (2) 16

π-+

; (3) 1(1)i i +-

2．求解方程320z +=．（７分）

３．设2(1)u x y =-，验证u 是调和函数，并求解析函数()f z u iv =+，使之(2)f i =-．４．计算积分120[()]i

x y ix dz +-+?，其中路径为（１）自原点到点1i +的直线段；

(2)自原点沿虚轴到i ，再由i 沿水平方向向右到1i +．５．试将函数1()(2)

f z z =

-在1z =的邻域内的泰勒展开式．

６．计算下列积分． (1)

sin ()

z z

dz z π

； (2)

(3)

z z dz

z z =--?

．

７．计算积分20

53cos d πθθ

．

８．求下列幂级数的收敛半径．

(1)

n i z

∞

=+∑； (2)

(!)n

n n z

∞

=∑

．

９．设3232()()f z my nx y i x lxy =+++为复平面上的解析函数，试确定l ，m ，n 的值．三、证明题．

１．设函数()f z 在区域D 内解析，()f z 在区域D 内也解析，证明()f z 必为常数．２．试证明0az az b ++=的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数．复变函数练习题

复变函数练习题（十四）

一、判断题

1、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。（）

2、若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析。（）

4、若f (z )在单连通区域D 内解析则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?C

dz z f （）。

5、若函数f (z )是区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（） 7、若z 0是f (z )的m 阶零点，则z 0是1/ f (z )的m 阶极点。（） 8、)(1|sin |C z z ∈?≤。（）

二、填空题

1、若11sin (1)

n z i n n

=++

-，则lim n n z →+∞

=__________。

2、设2

()1

z f z z =

+，则)(z f 的定义域为__________。

3、函数z e 的周期为___________。

4、=+z z 22cos sin ________。

5、幂级数2

n n n z +∞

=∑的收敛半径为_____________。

6、若z 0是f (z )的m 阶零点且m >1，则z 0是)('z f 的______零点。 10、=)0,(

Res n

z z

e _____________。

三、计算题

1、.62lim n

n i ??

??-∞→ 3、设2

()1

f z z =

+，求R e ((),).s f z i ±

4、求函数

(1)(2)

z z --在1||2z <<内的罗朗展式。

5、求复数1

1+-=z z w 的实部与虚部。

6、利用留数定理计算积分： 20

,(1).cos dx a a x

π>+?

四、证明题

1、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析， ),(y x u 等于常数，则()f z 在D 内恒等于常数。

复变函数练习题（十五）

一、填空 1.10

)

3131(

i -

+的实部是，虚部是，辐角主值是 .

2.若等式ib

a iy x iy x +=-+，（其中y x

b a ,,,均为实数）则=+22b a .

3.积分?

1的值为，其中曲线411:=-++z z C

4.?

==-1

||2

)

9(sin z dz z z

5.函数z

z z f sin )(=

的有限弧立奇点00=z 的奇点类型是 .

6. 设z e z z f --=)1()(，则=')(z f

7.函数

]1)

(z 11

z 1[1z 15

+++

)(z f 在点0=z 处的留数为__________________。

8. 设当0

2.求方程01=+iz

e 的全部解.

三、设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。四、设,sin y e v px =求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(. 五、将函数1

3232)(2

+--=

z z z z f 在有限孤立奇点处展开为Laurent 级数.

六、计算下列各题 1. ?+-C

z z dz

)

1()1(2

，其中C 为2

)1(=

+-i z 的正向.

2.计算积分?+=

3i)

(z i)

-(z e

I π的值，其中C 为正向圆周|z-1|=3。

3.求出z

z e z f 1)(+

=在所有孤立奇点处的留数

4.)0()

>+?

∞+∞

-a dx a x x

七、设)(z f 在1||

='±=+

±1

||2))0(2()

()]1(2[z i

f z

dz z f z

z π

八、用Laplace

变换求解常微分方程：?

??=='=''-=-'+''-'''2)0(,1)0()0(1

33y y y y y y y

复变函数练习题（十六）

一、填空

1．复数13+=i z 的模为_________，辐角为____________.

复变函数试题2

第一部分选择题一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1．复数i 25 8-2516z =的辐角为（） A ． arctan 2 1 B ．-arctan 2 1 C ．π-arctan 2 1 D ．π+arctan 2 1 2．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（） A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 3．复数)5 ,-isin 5-3(cos z π π=的三角表示式为（） A ．)54isin ,543(cos -ππ＋ B ．)54 isin ,543(cos ππ－ C ．)54isin ,543(cos ππ＋ D ．)5 4 isin ,543(cos -ππ－ 4．设z=cosi ，则（） A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（） A ．4π － B ． 1,0,k ,4 2k ±=ππ－ C ．4 π D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ 7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03 argz 0<<

复变函数习题及解答

第一章复变函数习题及解答写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-；（2） ππ2(cos isin )33-；（3）1cos isin αα-+；（4）1i e +；（5）i sin R e θ ；（6）i + 答案（1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ．（2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-；答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=；计算下列复数（1 （2 答案（1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x

【解】令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以即实部为 ,x ± 虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为±值．如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根．证因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =，故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义．若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式（1） cos5θ；（2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

中南大学复变函数考试试卷(A)及答案

中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期时间110分钟复变函数与积分变换课程40学时2.5学分考试形式：闭卷专业年级：教改信息班总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、单项选择题（15分，每小题3分） 1．下列方程中，表示直线的是（）。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2．函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面处处不可导 3．下列命题中，不正确的是（）。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4．下列级数绝对收敛的是（）。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5．设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=，那么()() Res ,0f z =（）。

()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为。 2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3． ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4．函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式。 5．幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为。三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。四．(20分)求下列积分的值 1． () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2． ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五．(15分)若函数()z ?在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点；求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。六．（15分）试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。七．（10分）已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=?

10-11-1复变函数考试题A 2

2010-2011 第一复变函数与积分变换 (A) 数理学院自动化各专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、选择题（每小题3分，共18分） 1、设z =1-i ,则Im(21z )=____________. A 、1- B 、2 1- C 、21 D 、1 2、设z=cosi ，则____________. A 、Imz=0 B 、Rez=π C 、|z|=0 D 、argz=π 3、设C 为正向圆周|z|=1，则积分?c z dz ||=____________. A 、0 B 、2πi C 、2π D 、－2π 4、幂极数∑∞ =+1n n z (2n)!1)!n （的收敛半径为____________. A 、0 B 、1 C 、2 D 、＋∞ 5、点z =0是函数) 1(sin )1()(2--=z z z e z f z 的_____________. A 、可去奇点 B 、一阶极点 C 、二阶极点 D 、本性奇点 6、函数? ??><-=0101sgn t t t 在傅氏变换下的像为_____________. A 、ωi -11 B 、 ωi 1 C 、 ωi 2 D 、 ω i +11 课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适用专业:

二、填空题（每小题3分，共21分） 1、当1≤z 时，a z n +的最大值为_____________. 2、i i )1(+为_________. 3、函数) 3)(2()(-+=z z z z f 在1=z 的泰勒展开式的收敛圆域为_____________. 4、若)(z f =ζζζζζd z ?=-+2 353,则()f i ''-=_____________ 5、设)1()(1 -=z e z z f ,则Res[f (z ),0]=__________. 6、已知函数t e 在拉氏变换下的像为才，则t e t 2)1(-在拉氏变换下的像为______. 7、函数z 1=ω把z 平面上的曲线x y =映射成ω平面上的像为 ______. 三、计算题（每小题10分，共50分） 1、试讨论定义于复平面内的函数)Re()(z z z f =在何处可导？何处解析？在可导点求其导函数。 2、求) 2)(1(12)(+-+=z z z z f 在圆环域1

复变函数习题解答(第6章)

p269第六章习题(一) [ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 ] 7.从 Ceiz /√zdz出发，其中C是如图所示之周线(√z沿正实轴取正值)，证明：(0, +)cosx/√xdx= (0, +)sinx/√xdx=√(/2)．【解】| C(R)eiz /√zdz| C(R)| eiz |/R1/2 ds = [0,/2]| ei(cos+isin) |/R1/2 ·R d Ri = [0,/2]| e Rsin |R1/2 d

R R1/2 [0,/2]e Rsin d．由sin2/([0,/2] )，故R1/2 [0,/2]e Rsin d R1/2 [0,/2]e(2R/) d C r ri = (/(2R1/2 ))(1–e R )/(2R1/2

(0, +)cosx/√xdx+i (0, +)sinx/√xdx． [ri,Ri]eiz /√zdz= [r,R]ei(iy) /√(iy)idy= [r,R]e y ei/4 /√ydy． = (1 +i)/√2 · [r,R]e y /√ydy= 2(1 +i)/√2 · [√r,√R]e u^2 du (1 +i)√2 · (0, +)e u^2 du= (1 +i)√2 ·√/2 = (1 +i)√(/2)．由Cauchy积分定理， Ceiz

北京大学谭小江复变函数2017春期中考试题

《复变函数》期中试题本试卷共7道大题，满分100分 1.设f(x,y)是(0,0)∈R2=C邻域上关于实变量(x,y)二阶连续可导的函数。用复变量z=x+iy和ˉz=x?iy及其相关的一阶、二阶偏导给出这一函数在z=0邻域上的Taylor展开。（20分） 2.证明复函数(x2+2y)+i(y?3x)不是复变量z=x+iy的解析函数。构造一个尽可能简单地二阶多项式函数p(x,y)+iq(x,y)，使得(x2+2y)+i(y?3x)+p(x,y)+iq(x,y)是复变量z=x+iy不为常数的解析函数。（20分） 3.表述Cauchy定理（不证）。利用Cauchy定理证明解析函数的Cauchy 积分公式。（15分） 4.令D={x+iy|y>0}为上半平面，证明D到自身，并且将i∈D 映到i∈D的解析同胚全体构成的群可以用一个实参数来表示，给出群运算（同胚的复合与同胚的逆）与参数的关系。（15分） 5.(a)给出单位圆盘D(0,1)到上半平面D={x+iy|y>0}的所有解析同胚映射。证明你的结论； (b)证明在这些同胚中，存在唯一的一个同胚f(z)，满足f(0)= i,f′(0)>0。（15分） 6.设D={z|1<|z|<2}为圆环，f(z)是D上的解析函数，证明f(z) 可以分解为f(z)=f1(z)+f2(z)的形式，其中f1(z)和f2(z)分别是圆盘D(0,2)={z||z|<2}和扩充复平面ˉC=C∪{∞}中取区域ˉC?D(0,1)上的解析函数。如果上面分解中要求f (0)=0，问这样 1 的分解是否是唯一的，为什么？（8分） 7.令D={z=x+iy||z|<1,y>0}为单位圆盘的上半部分，设f(z) 是D上解析，D上连续的函数，并且当z=x为实数时，f(z)也是实数。在单位圆盘D(0,1)上定义函数g(z)为：g(z)=f(z)，如果z=x+iy满足y≤0;g(z)=f(ˉz)，如果z=x+iy满足y<0，证明g(z)是单位圆盘D(0,1)上的解析函数（本题的结论如果直接引用定理，请给出定理的证明。证明中用到的其他定理只需表述，不需证明）（7分） (编辑：伏贵荣2017年4月，任课老师：谭小江)

复变函数试题汇总

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《复变函数》考试试题(一）一、判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析．（ ) 2. 有界整函数必在整个复平面为常数 . ( ）３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极点．（ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ）二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿．

复变函数测试试题库

复变函数试题库

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《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内

复变函数课后习题答案(全)

习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ，因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ，因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ，因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+=

（2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3．求下列各式的值：（1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- =

重庆大学《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

得分得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ）一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（）；2.)1(i Ln +-的主值是（）；3. 2 11)(z z f +=，=)0() 5(f （）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （）；二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ） y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ） y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=?C z z f ．（A ） 23-z ；（B ）2 )1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ；得分

复变函数测试题及答案-精品

第一章复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为

i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）

复变函数习题答案第3章习题详解

第三章习题详解 1．沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i （ ()()()3 3331 02 3 02 302 33 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??? ???==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2．分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 02 10 2 / 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i

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【最新整理，下载后即可编辑】【最新整理，下载后即可编辑】《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 2 2 cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中 n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___ )(lim 0=→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设)2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证 : ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值. 《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z 2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________. 3. =-?=-1||0 0)(z z n z z dz _________.（n 为自然数）

《复变函数》考试试题

伊犁师范学院数学系考试试题课程：复变函数专业：数学与应用数学年级：考试形式：闭卷编号：一命题教师：一、判断题（4x10=40分）： 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（） 2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。（） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( ) 4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（） 5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（） 6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（） 7、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=? C dz z f 。（） 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（）二、填空题（4x5=20分） 1、函数e z 的周期为__________。 2、幂级数∑+∞ =0n n nz 的和函数为__________。 3、设1 1 )(2+= z z f ，则f (z )的定义域为___________。 4、∑+∞ =0 n n nz 的收敛半径为_________。 5、=)0,(Res n z z e _____________。三、计算题（8x5=40分）：

复变函数第二章习题答案精编版.doc

第二章解析函数 1-6 题中：（1）只要不满足 C-R 条件，肯定不可导、不可微、不解析（2）可导、可微的证明：求出一阶偏导u x, u y, v x, v y，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R 条件。（3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导，而在其邻域不可导则在该点不解析。（4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和C-R 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者C-R 条件则肯定不是解析函数。解析函数求导： f ( z) u x iv x 4、若函数f ( z)在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明 f ( z) 必为常数。（1）f z 0 z D 证明：因为 f ( z) 在区域上解析，所以。令 f (z) u( x, y) iv ( x, y) ，即 u v , u v f (z) u i v 0 。 x y y x x y 由复数相等的定义得：u v u v x y 0, 0 。 y x 所以， u( x, y) C1(常数)，v( x, y) C2(常数)，即 f (z) C1 iC2为常数。 5、证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。（1） e x ( xcos y y sin y) ie x ( y cos y x sin y).

证明：设 f z u x, y iv x, y = e x ( x cos y y sin y) ie x ( y cos y xsin y). 则 u , y x ( x cos y y sin y ) ， v x, y x x e e ( y cos y x sin y) u e x ( x cos y ysin y) e x cos y v e x cos y y sin ye x x cos ye x x ； y u e x ( x sin y sin y y cos y) ； v e x ( y cos y x sin y sin y) y x 满足 u v , u v 。 x y y x 即函数在 z 平面上 ( x, y) 可微且满足 C-R 条件，故函数在 z 平面上解析。 f (z) u i v e x (x cos y y sin y cos y) ie x ( y cos y x sin y sin y) x x 8、（1）由已知条件求解析函数 f ( z) u iv u x 2 y 2 xy f (i ) 1 i 。，，解： u x 2x y, u y 2 y x 由于函数解析，根据 C-R 条件得 u x v y 2x y 于是 y 2 v 2xy (x) 2 其中 ( x) 是 x 的待定函数，再由 C —R 条件的另一个方程得 v x 2y ( x) u y 2y x ， x 2 所以 (x) x ，即 (x) c 。 2 于是 v y 2 x 2 c 2xy 2 2 又因为 f (i ) 1 i ，所以当 x 0, y 1 ，时 u 1 1 1 ， v c 1得 c 2 2

(完整版)复变函数试题库

《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

华师在线复变函数作业答案

1．第1题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：1.0 此题得分：1.0 2．第2题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 3．第3题 A.. B.. C.. D..

您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 4．第4题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 5．第5题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 6．第6题

A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：1.0 此题得分：1.0 7．第7题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 8．第8题

A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 9．第9题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 10．第10题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：2.0

此题得分：2.0 11．第11题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2.0 此题得分：2.0 12．第12题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2.0 此题得分：2.0 13．第13题

A.. B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2.0 此题得分：2.0 14．第14题 A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2.0 此题得分：2.0 15．第15题 A.. B.. C.. D..