初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑼
初一数学竞赛讲座
第9讲应用问题选讲
我们知道，数学是一门基础学科。我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。
运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实
际问题。即：
这里，建立数学模型是关键的一步。也就是说，要通过审题，将实际问题与
自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。下面介绍一些典型的数学模型。
一、两个量变化时，和一定的问题
两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？
观察下面的表：
我们不难得出如下的规律：
两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。
这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。
例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？
解：如上图，设长方形的长和宽分别为x米和y米，则有
x＋2y＝1.2×20＝24。
长方形的面积为
因为x和2y的和等于24是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积S也最大。于是有
x=12， y＝6。
例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？
解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获利:
（50＋x-40）×（500-10x）
=10×（10+X）×（50-X）（元）。
因（10+x）+（50－x）=60为一定值，故当10+X=50－X即X=20时，它们的积最大。
此时，每个的销售价为50＋20=70（元）。
例3若一个长方体的表面积为54厘米2，为了使长方体的体积最大，长方
体的长、宽、高各应为多少厘米？
解：设长、宽、高分别为x，y，z厘米，体积为V厘米3。
2（xy＋yz+zx）=54，xy＋yz+zx=27。
因为V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx），
故当 xy=yz=zx即 x=y=z=3时，V2有最大值，从而V也有最大值。
例4有一块长24厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒，现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？
解：如上图，设剪去的小正方形的边长为x厘米，则纸盒的容积为
V=x（24-2x）（24-2x）
=2×2x（12-x）（12-x）。
因为2x+（12-x）+（12-x）=24
是一个定值，故当
2x=12-x＝12-x，
即x=4时，其乘积最大，从而纸盒的容积也最大。
二、两个量变化时，积一定的问题
两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？
观察下面的表：
我们不难得出如下的规律：
两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。
例5长方形的面积为 144 cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？
解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm，则有
xy＝144。
故当x=y=12时，x+y有最小值，从而长方形周长2（x＋y）也有最小值。
例6用铁丝扎一个空心的长方体，为了使长方体的体积恰好是216cm3，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短？
解：设长方体的长、宽、高分别为xcm，ycm，zcm，则有xyz＝216。铁丝长度的和为 4（x＋ y＋ z），故当 x＝y=z＝6时，所用铁丝最短。
例7农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？
解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym，则有
xy＝432。
占地总面积为 S=（x＋6）（y＋8）cm2。于是
S=Xy+6y+8X＋48＝6y+8X+480。
我们知道6y ×8X=48×432为一定值，故当6y=8X时，S最小，此时有6y=8X=144，故y=24，x=18。
例8某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有48名学生，老师打算组织学生集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为40元。若要使每个同学游8次，每人最少交多少钱？
解：设一共买了X张卡，一共去游泳y次，则共有
Xy=48×8=384（人次），
总用费为（240x＋40y）元。
因为 240x ×40y=240×40×384是一定值，故当 240x=40y，即y=6x时，和最小。易求得x=8，y=48。此时总用费为
240×8＋40×48=3840（元），
平均每人最少交 3840÷48=80（元）。
三、利用不等关系来解答的应用题
例9某公司在A，B两地分别库存有某机器16台和12台，现要运往甲、乙两家客户的所在地，其中甲方15台，乙方13台。已知从A地运一台到甲方的运
初中数学竞赛教程
七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。
6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全
初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全
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初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
七年级数学竞赛试题及答案
3.如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的中点, E a+2000的值不能是(). 1998?1998+1998,b=- 1999?1999+1999 ,c=- 2000?2000+2000 , CF=BC,则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的 d+2000,则a,b,c,d的大小关系是( 9.有理数-3,+8,-1 2 ,0.1,0,,-10,5,-0.4中,绝对值小于1的数共有_____个;所有 七年级数学竞赛 （时间100分钟满分100分） 一、选择题：(每小题4分,共32分) 1.(-1)2000的值是(). (A)2000(B)1(C)-1(D)-2000二、填空题：(每题4分,共44分) 1.用科学计数法表示2150000=__________. 2.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示: 若m=│a+b│-│b-1│-│a-c│-│1-c│,则1000m=_________. A D 2.a是有理数,则11 若△BDF的面积为6平方厘米,则长方形ABCD的面积 6 (A)1(B)-1(C)0(D)-2000 3.若a<0,则2000a+11│a│等于(). (A)2007a(B)-2007a(C)-1989a(D)1989a 是________平方厘米.F 4.a的相反数是2b+1,b的相反数是3a+1,则a2+b2=____.B C 5.某商店将某种超级VCD按进价提高35%,然后打出“九折酬宾,外送50元出租车费” 4.已知a=- 1999?1999-1999则abc=().2000?2000-20002001?2001-2001的广告，结果每台超级VCD仍获利208元,那么每台超级VCD的进价是________. 6.如图,C是线段AB上的一点,D是线段CB的中点.已知图 (A)-1(B)3(C)-3(D)1 5.某种商品若按标价的八折出售,可获利20%,若按原价出售,则可获利() (A)25%(B)40%(C)50%(D)66.7% 6.如图,长方形ABCD中,E是AB的中点,F是BC上的一点,且A D 1 3 ()倍.E 中所有线段的长度之和为23,线段AC的长度与线段CB的A C D B 长度都是正整数,则线段AC的长度为_______. 7.张先生于1998年7月8日买入1998年中国工商银行发行的5年期国库券1000元. 回家后他在存单的背面记下了当国库券于2003年7月8日到期后他可获得的利息 数为390元.若张先生计算无误的话,则该种国库券的年利率是________. 8.甲、乙分别自A、B两地同时相向步行,2小时后在中途相遇.相遇后,甲、乙步行速 (A)2(B)3(C)4(D)5 7.若四个有理数a,b,c,d满足 B 1111 a-1997=b+1998=c-1999=)F C 度都提高了1千米/小时.当甲到达B地后立刻按原路向A地返行,当乙到达A地后也 立刻按原路向B地返行.甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇,则A、B 两地的距离是_________千米. (A)a>c>b>d(B)b>d>a>c；(C)c>a>b>d(D)d>b>a>c 8.小明编制了一个计算程序.当输入任一有理数,显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之和.若输入-1,并将所显示的结果再次输入,这时显示的结果应当是(). (A)2(B)3(C)4(D)5 1 3 正数的平方和等于_________. 10.设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225. (1)如果m和n的最大公约数为15,则m+n=________. (2)如果m和n的最小公倍数为45,则m+n=________.
七年级数学竞赛题精选和参考答案.doc
七年级数学竞赛题精选 姓名_______ 一.填空题 1.一辆汽车车牌在地面积水中的倒影为 ，请写出该车牌号码 2.已知：|x+3|+|x －2｜＝5，y=－4x+5,则 y 的最大值是 。 3.已知a 、b 为△ABC 的两边，且满足ab b a 222=+，你认为△ABC 是 三角形。 4.在一个5×5 的方格盘中共有 个正方形。 5.已知ab x b a x b x a x +++=++)())((2，观察等式，试分解因式： =+-232x x 。 6.若a 3m ＝3 b 3n ＝2,则(a 2m )3＋(b n )3－b n b 2n ＝ 7.如图，把⊿ABC 绕点C 顺时针旋转o 25，得到⊿C B A ''， B A ''交AC 于D ，已知∠DC A '＝o 90，则∠A 的度数是 ； 8.已知012=-+x x ，则200422 3++x x ＝ ； 一、选择题： 1.下列属平移现象的是（ ） A ，山水倒映。 B.时钟的时针运转。 C.扩充照片的底片为不同尺寸的照片。 D ．人乘电梯上楼。 2.如图，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，验证了一个等式，此等式是（ ） A. a 2－b 2=(a +b)(a －b) B.(a +b)2=a 2+2a b+b 2 C.(a －b)2=a 2－2a b+b 2 D .(a +2b)(a －b)=a 2+a b －b 2 3.已知实数a 、b 满足：1=ab 且b a M +++=1111， b b a a N +++=11，则M 、N 的关系为（ ） （A ）N M > （B ）N M < （C ）N M = （D ）M 、N 的大小不能确定 4.若x 2－2(m －3)x ＋9是一个多项式的平方，则m ＝( ) A 6 B 12 C 6或0 D 0或
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初一数学竞赛讲座 第11讲染色和赋值 染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。 一、染色法 将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。 例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）, 能否覆盖一个8×8的棋盘？ 解：如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。 例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗？
第15届五羊杯初中数学竞赛初一试题(2020年九月整理).doc
2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题 一、选择题(4选l 型，每小题选对得5分，否则得0分．本大题满分50分) 1．2003和3002的最大公约数是 ( ) A. 1 B. 7 C. 11 D ．13 2．(16+1．63×2．87-125×0．115+O ．0163×963)÷ 0．11= ( ) A 20 B. 26 C. 200 D ．以上答案都不对 3．(721 +343-271-187)÷(1521 +743-473-38 7) ( ) A 2151 B.3115 C.5631 D ．以上答案都不对 4．已知(3A+2B)：(7A+5B)=13:31，那么(13A+12B)：(17A+15B)= ( ) A ．5：4 B.4：5 C ．9：7 D ．7：9 5．设A=55×1010×2020×3030× 4040×5050，把A 用10进制表示，A 的末尾的零的个数是 ( ) A.260 B.205 C. 200 D ．175 6．中国首位航天员杨利伟乘神舟5号飞船，在约400公里高空绕地球14圈，飞行约21小时，成功返回，圆了中华民族千年飞天梦．假定地球是球体，半径约6400公里，不计升空和降落，杨利伟飞行距离和速度分别是 ( ) A ．60万公里和9．7公里／秒 B.61万公里和8．3公里／秒 C. 60万公里和7．9公里／秒 D ．61万公里和7．8公里／秒 7．图中可数出的三角形个数为 ( ) A ．60 B. 52 C 48 D.42 8．小龙用10元购买两种邮票：“羊城地铁”每张O ．80元，“珠江新桥”每张1．50元．每种至少购1张，多购不限．不同的购买方法种数为 ( ) A ．33 B. 34 C.32 D ．30 9．不超过300，既和12互质，又和50不互质的自然数个数为 ( ) A ．60 B. 20 C ．15 D ．10 10．用重1克、3克、9克、27克、81克、243克和728克(注意：不是729克)的砝码各1个，在天平上分别称量重200克、500克、1000克的物体A ，B ，C ，可以准确称量的是( )(注：砝码可以放在天平的2个盘) A ．A B ．B C A 和B D ．A ，B 和C 二、填空题(每小题答对得5分，否则得0分．本大题满分共50分) 11．设A=1+3+5+…+2003，则A 的末位数字是 12．以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”=3，那么被乘数是 13．如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套 得一个三角形．所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有 种． 14．3个边长2厘米的正方形如图，甲的中心在乙的一个顶点上，乙的中 心在丙的一个 顶点上，甲与丙不重叠．则甲乙丙总共覆盖的面积是 平方厘米． 15．化简： 16．图中△ABC，△BCD，△CDA 的面积分别为49，27和14平方米， 则△AOD 的面积为 平方米． 神舟五号飞天 × 神 飞天神舟五号
最新初一数学竞赛试题
精品文档。___________学年第一学期台山市新宁中学2010—2011 初一数学竞赛试题 分）90分钟，满分：100（说明：本试卷共六大题，包含 20小题；时间：
一、填空题（每题4分，共32分）题号`16 14 15 10 11 12 13 9 选项 17=20.09÷________.计算：1． 号）9. 数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数，则（绩1???1aa?0a值A. C. D. 不存在这样的 B. a 成则这个锐角的度2.一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角， 。数___________ ）. ．已知a 名，下图是从不同方向观察这、4、5、64.已知立方体木块约六个面分别标有数字1、2、3姓在地面上堆叠成如图所示的立的正方体，11. 把14个棱长为1 _ 个立方体木块看到的数字情况，数字1和2的对面的数字的积是 订体，然后将露出的表面部分涂成红色，那么红色部分的面积为 ）（ 4 16 15 137 33 D ． C B．24 ．A．21 2 4 2 别班20102011?aa?12?2,?a0?a ______________。那么5. 若aa两数中的较大者，例12. 12.用表示表示两数中的较小者，用、、)max(a)min(a,b,b bb ca是互不相等的自然数，min 如．Min(3,5)=3,max(3,5)=5 设、、、db____________. 的所有整数之和为6. 绝对值不大于 2010,y)?n m(,nc,(d)?n,mi,x,,max p(q)?x,ma a(,b)?m max?(m)a min(,b?p,in c, d)q ，使得运算结果是中添加＋－×÷的运算（可以加括号）k3，，k7．设k=13，在3， 线。35，算式是___________________．）则（ CGBD?ABC?，F、G均为BC18. 已知：如图，边上的点，且、中，D、E都有可能X＜y D．X＞y和yX X＜y C．＝ B yX A．＞． 1DE?3EF BDGF?DE??S为和积的角有中则，1。若，图所三形面之ABC?2精品文档． 倍数约数 【知识精读】 1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B 叫做A的约数。例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。 2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。 3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。 4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。例如6的约数是±1，±2，±3，±6。 5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。 6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。 7在有余数的除法中， 被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作： A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除 例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。 【分类解析】 例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以 应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。 解：列表如下 其规律是：设A＝a m b n(a，b是质数,m，n是正整数) 那么合数A的正约数的个是（m+1）(n+1) 例如求360的正约数的个数 解：分解质因数：360＝23×32×5， 360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个） 例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数 解：∵24＝23×3，90＝2×32×5 ∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6 最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24,90]=360 例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N 解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数 ∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6 经检验1和2不合题意，∴N＝6，3 例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数 分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。 解：∵[10,9,8]=360, ∴所以所求的数是359 【实战模拟】 1，12的正约数有_________,16的所有约数是_________________ 2，分解质因数300＝_________,300的正约数的个数是_________ 3，用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。 4，一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________ 5，能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________ 新人教版八年级数学竞赛教程附练习汇总（共15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是： （1）当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。 （2）系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“－”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“－”号后,多项式的各项都要变号。 解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如：当n 为自然数时,()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；,是在因式分解过程中常用的因式变 换。 解：a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。 解：原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23 532x y x y +=-=-?? ? ,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析：不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2, 观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。 解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式,求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用 例：证明：对于任意自然数n,32322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() Θ对任意自然数n,103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨： 例1。因式分解322x x x ()()--- 解：322x x x ()()--- 2017 年上初一数学竞赛试题 （ 考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 720 =1） （ ． 8） A.只能是1 B.除1以外还有1个 C.共有3个 D.共有4个 二、填空题（每题3分，共18分） 9．观察下列等式：111122? =-，222233 ?=-，33 3344?=-，……则第n 个等式为____________ ． 10.点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于__________. 11、小方利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表： 密 封 线 学校： 班级： 姓名： 考 那么，当输入数据为8时，输出的数据为 ． 12、现对某商品降价20 销售量要比按原价销售时增加的百分数为13. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 ． 14.已知231x y =-?? =?是二元一次方程组1 1 ax by bx ay +=??+=?的解,则()()a b a b +-的值是 . 18.（619.(620.（8c,d 互 （1）某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨？ （2）若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应 交水费多少元？ 22.（10分）有铅笔、圆珠笔、钢笔三种学习用品。若购买铅笔3支、圆珠笔7支、钢笔1支共需35元，若购买铅笔4支、圆珠笔10支、钢笔1支共需42元。现购买铅笔、圆珠笔、钢笔各1支共需多少元？ 七年级数学竞赛题 E D C B A 七年级数学能力测试 班级 姓名 分数 一、细心选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分) 1．将长dm 15的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，不同的截法有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 2.下列钟点是在电子表上显示出来的，其中不能看作轴对称的图是 （ ） 3. 右上图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定。如果 在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加螺栓 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 个 4．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则 ∠C 的度数为（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 5．六一儿童节期间，小丁、小李、小聪去“杭州乐园”的概率分别为14 、13 、1 2 .假定三 人的行动 相互之间没有影响，那么这段时间内三人中至少有1人去“杭州乐园”的概率为 （ ） （ ） （ ） A. 124 B. 19 C. 34 D. 2324 6．有一块试验地形状为等边三角形ABC （内角均为60度），现管理员甲从点A 出发， 沿AB →BC →CA 的方向走了一圈回到顶点A 处。管理员乙从BC 边上的一点D 出发，沿DC →CA →AB →BD 的方向走了一圈回到出发点D 处，则甲、乙两位管理员从出发到回到原处在途中身体 （ ） A ．甲、乙都转过1800 B ．甲、乙都转过3600 C ．甲转过1200 ，乙转过1800 D ．甲转过2400 ，乙转过3600 7．要使)q x )(2px x (2-++的乘积中不含2x 项，则p 与q 的关系是 ( ) A ．互为倒数 B.互为相反数 C.相等 D.关系不能确定 8. 如图，两个轮子绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字， 若左右两图轮子上方的箭头指着的数字分别为a ， b ，数对（a ，b ）所有可能的个数为n ，其中 a + b 恰为偶数的不同个数为m ，则 n m 等于 A ．21 B ．6 1 C ．125 D ．4 3 9.如果2b a =-，2 1 c a =-，那么bc ac ab c b a 222---++等于 ( ) A. 413 B.813 C.2 13 D.不能确定 10. 若方程组???=+=-9.30531332b a b a 的解是? ??==2.13 .8b a ，则方程组???=-++=--+9.30)1(5)2(313)1(3)2(2y x y x 的解是 A ．???==2.23.6y x B ．???==2 .13 .8y x C ．???==2.23.10y x D ．???==2.03.10y x 二、耐心填一填 (本题有8个小题, 每小题3分, 共24分) 11. 计算222 2 111 1 (1)(1)(1)(1)2342006- --- ＝ . 乙 甲 C A D 第1页（共1页）一、1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 二、7.-18.30°9.3或-110.221 三、11.（1）19×11=12×?è??19-111；………………………………………………………………………………5分（2）1()2n -1()2n +1；12×?è?? 12n -1-12n +1；…………………………………………………………………………………………………………10分 （3）a 1+a 2+a 3+…+a 100=12×?è??1-13+12×?è??13-15+12×?è??15-17+12×?è??17-19+?+12×?è?? 1199-1201=12×?è?? 1-13+13-15+15-17+17-19+?+1199-1201……………………………………………15分=12×?è??1-1201=12×200201=100201.…………………………………………………………………………………………………20分四、12.（1）130°.…………………………………………………………………………………………………5分 （2）∠APC =∠α+∠β. 理由：过点P 作PE ∥AB ，交AC 于点E .……………………………………………………………10分因为AB ∥CD ， 所以AB ∥PE ∥CD . 所以∠α=∠APE ， ∠β=∠CPE .所以∠APC =∠APE +∠CPE =∠α+∠β.…………………………………………………………15分 （3）当点P 在BD 延长线上时， ∠APC =∠α-∠β；……………………………………………………20分当点P 在DB 延长线上时， ∠APC =∠β-∠α.……………………………………………………25分五、13.（1）根据题意，得t =?è??120-12050×550+5×2+12050≈6.3()h .答：三人都到达B 地所需时间约为6.3h.………………………………………………………………5分 （2）有，设甲从A 地出发将乙载到点D 行驶x 千米，放下乙后骑摩托车返回，此时丙已经从A 地出发步行至点E ，继续前行后与甲在点F 处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B,恰好与乙同时到达. …………………………………………………………………………………………………………10分 根据题意，得2?x -x 50?550+5+120-x 50=120-x 5.…………………………………………………………15分解得x ≈101.5.…………………………………………………………………………………………20分则所用总时间为t =101.550+120-101.55≈5.7()h .答：有，方案如下:甲从A 地出发载乙，同时丙步行前往B 地，甲载乙行驶101.5千米后放下乙，乙步行前往B 地，并甲骑摩托车返回，与一直步行的丙相遇.随后甲骑摩托车载丙径直驶向B 地，恰好与步行的乙同时到达，所需时间为5.7h.………………………………………………………………………25分 普定县城关镇第一中学2011——2012学年度第一学期 七年级数学竞赛试题 学校： 班级： 姓名： ★亲爱的同学，经过这段时间的中学数学学习，你的数学能力一定有了较大的提高，展示你才能的机会来了！祝你在这次数学竞赛中取得好成绩！别忘了要沉着冷静、细心答题哟！ 一、选择题(每小题6分，共36分) 1、如果m 是大于1的偶数，那么m 一定小于它的……………………（ ） A 、相反数 B 、倒数 C 、绝对值 D 、平方 2、当ｘ＝－2时， 37ax bx +-的值为9，则当ｘ＝2时，3 7ax bx +-的值是 （ ） A 、－23 B 、－17 C 、23 D 、17 3、255 ，344 ，533 ，622 这四个数中最小的数是………………………（ ） A. 255 B. 344 C. 533 D. 622 4、把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图1所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红色部分的面积为 （ ）． A 、21 B 、24 C 、33 D 、37 5、有理数的大小关系如图2所示，则下列式子 中一定成立的是…… （ ） A 、c b a ++＞0 B 、c b a <+ C 、c a c a +=- D 、a c c b ->- 6、某动物园有老虎和狮子，老虎的数量是狮子的2倍。每只老虎每天吃肉4.5千克，每只狮子每天吃肉3.5千克，那么该动物园的虎、狮平均每天吃肉…… …… （ ） A 、 625千克 B 、 725千克 C 、825千克 D 、9 25千克 二、填空题(每小题6分，共36分) 7、定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是_____ 8、三个有理数ａ、ｂ、ｃ之积是负数，其和是正数，当x ＝ c c b b a a + + 时，则 ______29219=+-x x 。 9、当整数m ＝_________ 时，代数式 1 36 -m 的值是整数。 10、A 、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B 队比赛的球队是______ 。 11、甲从A 地到B 地，去时步行，返回时坐车，共用x 小时，若他往返都座车，则全程 只需x 3 小时，，若他往返都步行，则需____________小时。 12、 ._______2007 20061431321211=?+?+?+?K 三、解答题(共28分) 13、现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数。（14分） （1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n ，请用n 的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数和最大数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和。（用n 的代数式表示） （2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数。 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 · · · · · · · 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 图2 初中数学奥林匹克竞赛教程 初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。 七年级（上）数学竞赛试题 （满分100分，时间2小时） 姓名__________ 班级____________________得分________ 一、 耐心填一填（每题5分） 1.()()_______________154 1957.0154329417.0=-?+?+-?+?。 2. 定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x 的值是________。 3.有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，甲、乙、丙三位同学 从不同方向去观察其正方体，观察结果如图所示。问：F 的对面是 。 F A D B C A E D C **、B 、C 、D 、E 、F 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A 、B 、C 、D 、 E 、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B 队比赛的球队是 。 5. 用 1、2、3、4、5这五个数组成一个数字不重复的五位数中抽到的数是15的倍数的 概率是 。 6.某商场经销一种商品，由于进货价格比原来预计的价格降低了6.4%，使得销售利润增加 了8个百分点，那么原来预计的利润率是 。 二、 细心选一选（每题5分） 1.如果有2005名学生排成一列，按1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1……的规律 报数，那么第2005名学生所报的数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 某商场国庆期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的酬 宾方式，即顾客每消费满１００元（１００元可以是现金，也可以是购物券，或二者合 计）就送２０元购物券，满２００元就送４０元购物券，依次类推，现有一位顾客第一 次就用了１６０００元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当于 打（ ）销售。 Ａ、９折 Ｂ、8.5折 C 、８折 Ｄ、7.5折 3.如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为NA 的 中点，Q 是AM 的中点，则MN ：PQ 等于（ ） 初一数学竞赛训练有 理数专项1 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 初一数学竞赛训练1 有理数专项1 一、选择题 1、使等式成立的有理数x 是 ( ) A ．任意一个整数 B ．任意一个非负数 C ．任意一个非正数 D ．任意一个有理数 2、点A 1、A 2、A 3、…、A n (n 为正整数)都在数轴上，点A 1在原点O 的左边，且A 1A 10＝1；点A 2在点A 1的右边，且A 2A 1＝2；点A 3在点A 2的左边，且A 3A 2＝3；点A 4在点A 3的右边，且A 4A 3＝4，……依照上述规律，点A 2012、A 2013所表示的数分别为 ( ) A ．2 012，－2 013 B ．－2 012，2 013 C ．1 006，－1007 D ．1006，－1006 3、已知a 、b 是有理数，且＝－a ，＝b ，>，用数轴上的点来表示a 、b ，下图正确的是 （ ） 4、下列判断：①负数没有绝对值；②绝对值最小的有理数是0；③任何数的绝对值都是非负数；④互为相反数的两个数的绝对值相等，其中正确的个数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个 5、若一个数大于它的相反数，则这个数是( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数 6、的相反数是 ( )A ．3 B ．－3 C ． D ．－ 7、下列各式中，正确的是 ( ) A ．若＝，则a ＝b B ．若>，则a>b C ．若a 初一数学竞赛讲座 第6讲 图形与面积 一、直线图形的面积 在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法, 数学竞赛中的面积问题不但具有直观性, 而且变换精巧, 妙趣横生, 对开发智力、发展能力非常有益。 图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。它有如下两条性质： 1．两个可以完全重合的图形的面积相等； 2．图形被分成若干部分时, 各部分面积之和等于图形的面积。 对图形面积的计算, 一些主要的面积公式应当熟记。如： 正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。 此外, 以下事实也非常有用, 它对提高解题速度非常有益。 1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积； 2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积； 3．平行四边形的对角线平分它的面积； 4．等底等高的两个三角形面积相等。 解决图形面积的主要方法有： 1．观察图形, 分析图形, 找出图形中所包含的基本图形； 2．对某些图形, 在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）； 3．作出适当的辅助线, 铺路搭桥, 沟通联系； 4．把图形进行割补（叫做割补法）。 例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？ 解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分, 如左下图构成4个小三角形, 面积都为原来的三 角形面积的41。 另外, 先将三角形△ABC 的面积2等分（如右 上图）, 即取BC 的中点D, 连接AD, 则S △ABD =S △ADC , 然后再将这两个小三角 形分别2等分, 分得的4个小三角形各 自的面积为原来大三角形面积的4 1。还 有许多方法, 如下面的三种。请你再想出几种不同的方法。 例2 右图中每个小方格面积都是1cm 2, 那么六边形 ABCDEF 的面积是多少平方厘米？ 分析：解决这类问题常用割补法, 把图形分成几个简单 的容易求出面积的图形, 分别求出面积。 也可以求出六边形外空白处的面积, 从总面积中减去空 白处的面积, 就是六边形的面积。 解法1：把六边形分成6块： △ABC, △AGF, △PEF, △EKD, △CDH 和正方形GHKP 。用S 表示三角形面积, 如用S △ABC 表示△ABC 的面积。人教版数学七年级竞赛教程之倍数 约数附答案
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