高中数学圆的方程专题复习

高中数学圆的方程典型题型归纳总结

类型一：巧用圆系求圆的过程

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：

⑴以为圆心的同心圆系方程

⑵过直线与圆的交点的圆系方程

⑶过两圆和圆的交点的圆系方程

此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。

当时，得到两圆公共弦所在直线方程

例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若

，求实数的值。

分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系

，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线与圆的交点的圆系方程为：

，即

………………….①

依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则

，解之可得

又满足方程①，则 故

例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。

解：圆和的公共弦方程为

，即

过直线与圆的交点的圆系方程为

，即

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心

必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程

例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得

m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①

即

??

?-==???=-+=-+4y 9

x 05y x 01y 2x 解得，

∴直线过定点P （9，－4）

注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2

＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）.

∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－

2

1

， ∴l 的方程为2x －y －5=0.

评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论

类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.

解：∵曲线24x y -=

表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是

22<≤-m 或22=m .

变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x=

2

1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________.

解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2

例6 圆9)3()3(2

2

=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？

分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2

2

=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324

311

34332

2

<=+-?+?=

d ．

如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

∵m ∈R ，∴ 得

又123=-=-d r ．

∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．

解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求

直线为043=++m y x ，则14

3112

2

=++=

m d ，

∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即

06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．

设圆9)3()3(2

2

1=-+-y x O ：

的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34

36

34332

2

1=+-?+?=

d ，14

316

34332

2

2=+-?+?=

d ．

∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．

说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324

311

34332

2

<=+-?+?=d ．

∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．

显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 类型三：圆中的最值问题

例7：圆010442

2

=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是

解：∵圆18)2()2(2

2=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离

r d >==

252

10，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

262)()(==--+r r d r d .

例8 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：

，),(y x P 为圆O 上的动点，求2

2y x d +=的最大、最小值． (2)已知圆1)2(2

2

2=++y x O ：

，),(y x P 为圆上任一点．求1

2

--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．

分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．

解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(2

2

=-+-y x ．

可设圆的参数方程为??

?+=+=,

sin 4,

cos 3θθy x （θ是参数）．

则θθθθ2

2

2

2

sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d

)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中3

4

tan =

φ）． 所以361026max =+=d ，161026min =-=d ．

(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'

1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'

1d 减去半径1．

所以6143221=++=d ．

4143222=-+=d ．

所以36max =d ．16min =d ．

(2) (法1)由1)2(2

2

=++y x 得圆的参数方程：?

??=+-=,sin ,

cos 2θθy x θ是参数．

则

3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3

cos 2

sin θθ， 得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ

1)sin(1322

≤-=+-?

φθt t 4

3

3433+≤≤-?

t ． 所以433max +=

t ，4

3

3min -=t ． 即

1

2

--x y 的最大值为433+，最小值为433-．

此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x ．

所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--． (法2)设k x y =--1

2

，则02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，

两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由11222

=++--=

k k k d ，得4

3

3±=

k ． 所以

1

2

--x y 的最大值为433+，最小值为433-．

令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．

由15

2=--=

m d ，得52±-=m ．

所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．

例9、已知对于圆1)1(2

2

=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．

设圆1)1(22

=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ，θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ 即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．

∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值． 设1)4

sin(21)cos (sin -+-=-+-=π

θθθu

∴12max -=u 即12-≥

m ．

说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆2

22)()(r b y a x =-+-上的点设为

)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地

运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．