函数(教学课件)

《函数》

《函数基础知识》

一、平面直角坐标系

1、具有公共原点的两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系；

2、有序数对准确地确定平面内点的位置；

3、象限（注：坐标轴不属于任何象限）

4、点M （a 、b ）关于x 轴的对称点的坐标是（a 、－b ）；关于y 轴的对称点的坐标是（－a 、b ）；关于原点的对称点的坐标是（－a 、－b ） 二 、函数

1、概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与其对应，那么y 是x 的函数，x 是自变量；

2、函数的表示法：解析法、列表法、图象法（画函数图象的方法：列表、描点、连线）；

3、自变量的取值范围：整式（一般为全体实数）、分式（使分母不为0的实数）、二次根式（使被开方数为非负数的实数）、分式与二次根式的综合。

例1、（1）已知在平面直角坐标系中有一点P （2m －5，m ＋1），若点P 在x 轴上，则m ＝ ；若点P 在第二象限，则m 的取值范围是 ． （2）已知平面直角坐标系中两点A （x 、1），B （－5、y ）

①若点A 、B 关于x 轴对称，则x ＝ ，y ＝ ；②若点A 、B 关于y 轴对称，则x ＝ ，y ＝ ；③若点A 、B 关于原点对称，则x ＝ ，y ＝ ； （3）足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用右边那幅图刻画（ ）

例2、写出以下函数中自变量x 的取值范围：

①1

2+=x x y , ;②x y -=3, ;③52-=x y , ;

④21-+=x x y , ;⑤3

12-+-=x x y , .

例3、如图，在平面直角坐标系xoy 中，(15)A -，，(10)B -，，(43)C -，． （1）求出ABC △的面积．

（2）在图中作出ABC △关于y 轴的对称图形111A B C △，写出点

111A B C ，，的坐标．

（3）在图中作出ABC △关于原点逆时针旋转90的222C B A ?，写出点2A 、2B 、2C 的坐标．

第四象限

第三象限 第二象限 第一象限 x

y

O

（－，－）

（+，－）

（－，+）

（+，+）

练习：

一、填空与选择题

1、点(213)P m -，在第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．1

2

m >

B ．12

m ≥

C ．12

m <

D ．12

m ≤

2、在直角坐标系中，点M （sin50°，－cos70°）所在的象限是（ ）

A ． 第一象限

B ． 第二象限

C ． 第三象限

D ． 第四象限

3、如果点M 在直线1y x =-上，则M 点的坐标可以是（ ）

A ．（－1，0）

B ．（0，1）

C ．（1，0）

D ．（1，－1） 4、如右图，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果点M 的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D

5、将点(12)，向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是 ．

6、点A(-2,1)关于y 轴对称的点的坐标为___________,关于原点对称的点的坐标为________.

7、写出函数中自变量x 的取值范围： ①4

21

-=

x y , ;②x y -=1, ; ③122

-+=x x y , ;④3

1

--=

x x y , . 8、某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校。小明走路的速度V （米/分钟）是时间t （分钟）的函数，能正确反映这一函数关系的大致图象是（ ）

二、如图，在平面直角坐标系中，ABC △的顶点坐标为(23)A -，、(32)B -，、(1,1)C -．

（1）若将ABC △向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的111A B C △； （2）画出111A B C △绕原点旋转180°后得到的222A B C △； （3）A B C '''△与ABC △是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：___________；

（4）顺次连结12C C C C '、、、，所得到的图形是轴对称图形吗？

O t （分钟） O t （分钟） O t （分钟） O t （分钟）

A B C D

《一次函数》

一、一次函数的概念：

1、一次函数：)0

(≠

+

=k

b

kx

y正比例函数：)0

(≠

=k

kx

y

2、一次函数的图象是一条直线（正比例函数的图象一定经过原点）

二、一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是直线，其性质为：

1、当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小；即“k”的值决定直线的方向，“b”的值决定直线与y轴的交点坐标；

2、直线b

kx

y+

=与x轴的交点坐标为（0,

k

b

-），与y轴的交点坐标为（0，b），如下图：①0

,0>

>b

k③0

,0>

k

三、直线b

kx

y+

=的平移、平行、垂直

1、平移：左“＋”右“－”，上“＋”下“－”；

*2、直线

1

1

b

x

k

y+

=与直线

2

2

b

x

k

y+

=相互：平行（

2

1

k

k=）；垂直（1

2

1

-

=

?k

k）。

例1、（1）在平面直角坐标系中，函数1

y x

=-+的图象经过（）

A．一、二、三象限 B．二、三、四象限

C．一、三、四象限 D．一、二、四象限

（2）一次函数

1

y kx b

=+与

2

y x a

=+的图象如图，则下列结论：①0

k<；

②0

a>；

2

y x a

=+③当3

x<时，

12

y y

<中，正确的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

（3）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到

达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下

班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去

上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）

A．12分钟B．15分钟C．25分钟D．27分钟

例2、已知1

+

=x

y与1

+

x成正比例，且2

-

=

x时，5

=

y

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）设点)2

,

(-

a在这个函数的图像上，求a；

（3）若x的取值范围是5

0≤

≤x，求y的取值范围．

b

+

例３、已知直线b kx y +=经过点（－2，4），且与x 轴交于点（0,3

10

-）.求： ⑴、直线的解析式；⑵、直线与两坐标轴围成的三角形面积.

练习：一、选择与填空题

1、过点（2，3）的正比例函数的解析式是

2、已知一次函数(1)y a x b =-+的图象如图所示，那么a 、b 的取值范围（ ）

A ．1a >，0>b

B ．1

a <，0>

b C ．0a >，0

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4、函数35+=x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是

5、已知1-y 与x 成正比例，且1=x 时，3=y ，则y 与x 之间的关系式是

6、某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ） A 、20kg B 、25kg C 、28kg D 、30kg

7、直线x y 25-=经过点（ ，－3）

8、如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P, 则根据图象可得，关于y ax b

y kx =+??=?

的方程组的

解是 ；不等式kx b ax <+的解集是 ．

二、解答题

1、如图，一个正比例函数kx y =的图象和直线3+=ax y 的图象交于点 A （－1，2），求这两个函数的解析式及△ABO 的面积

x

2、已知一次函数的图象经过（2，5）和（－1，－1）两点． （1）在给定坐标系中画出这个函数的图象；（2

3、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如右表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．

（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；

（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．

*4阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.

下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数111(0)y k x b k =+≠的图象为直线1l ，一次函数222(0)y k x b k =+≠的图

象为直线2l ，若12k k =，且12b b ≠，我们就称直线1l 与直线2l 互相平行.

解答下面的问题：

（1）求过点(1,4)P 且与已知直线21y x =--平行的直线l 的函数表达式,并画出直线l 的图象； （2）设直线l 分别与y 轴、x 轴交于点A 、B ，如果直线m ：(0)y kx t t =+>与直线l 平行且交x 轴于

点C ，求出△ABC 的面积S 关于t 的函数表达式.

x

《反比例函数》

一、反比例函数的概念

1、形如x

k y =（k ≠0）的函数叫反比例函数；反比例函数也可写作1-=kx y 、k xy =

2、反比例函数的图象是双曲线．

二、反比例函数的图象和性质 1、若k ＞0，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，y 分别随x 的增大而减小；如果k ＜0，双曲线在第二、四象限，在每个象限内，y 分别随x 的增大而增大。

2、比例系数k 的几何意义：若点M 双曲线上，则矩形AOBM 的面积等于k

例1、已知图中的曲线是反比例函数5

m y x

-=（m 为常数）图象的一支． （1） 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m 的取值范围是什么？

（2）若该函数的图象与正比例函数2y x =的图象在第一象内限的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当OAB △的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式．

例2、已知一次函数b kx y +=的图像与反比例函数x

y 8

-=的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是－2。 求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB 的面积

x

练习：一、填空与选择题

1、函数x

k

y =（k ≠0）的图象过点（2，-2），则此函数的图象在（ ）

A 、第一、三象限

B 、第三、四象限

C 、第一、二象限

D 、第二、四象限

2、已知反比例函数x

k

y =经过点（-1，2），那么一次函数2+-=kx y 的图象一定不经过（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

3、一个矩形的面积为24cm 2

，长为ycm ，宽为xcm ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）

4、直线x y 2=与双曲线x

k

y =

的图象的一个交点坐标为（2，4），则它们的另一个交点坐标是（ ） A 、（-2，-4） B 、（-2，4） C 、（-4，-2） D 、（2，-4）

5、已知函数2

5

(1)m

y m x -=+是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则m 的值是

A ．2

B ．2-

C ．2±

D ．1

2

- 6、函数k kx y -=与)0(≠=

k x

k

y 在同一坐标系中的大致图像是（ ）

二、解答题 1、在反比例函数x

k y 3

+=

的图像的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小． （1） 求k 的取值范围；

（2） 在曲线上取一点A ，分别向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为B 、C ，坐标原点为O ，若四边形

ABOC 面积为6，求k 的值． 2、如图，已知直线x y 21=

与双曲线x

k

y =交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；

（2）若双曲线x

k

y =上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；

3、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x y 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE x ⊥轴于点E ，1

tan 422

ABO OB OE ∠===，，．

（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB 的解析式．

*4、如图，P 1是反比例函数)0(>=

k x

k

y 在第一象限图像上的一点，点A 1 的坐标为(2，0)． （1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1O A 1的面积 将如何变化？

（2）若△P 1O A 1与△P 2 A 1 A 2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．

x

《二次函数（一）》

1、二次函数的概念：形如c bx ax y ++=2

(其中a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数，其中x 是自变量，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项. 2、二次函数的关系式与图象、性质

3、平移的法则：上“＋”下“－” ；左“＋”右“－.”

例1、已知函数42

)2(-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2) m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?

例2、分别用公式法和配方法求出抛物线2162

1

2+-=x x y 的顶点坐标、对称轴，并说明抛物线

221

x y =通过怎样的平移得到该抛物线.

练习：一、填空与选择题

1、抛物线222

+-=x x y 的顶点坐标是 ；抛物线x x y 422

--=的开口_______，顶点坐标

是 ；抛物线421

2+-=x y 的对称轴是 .

2、配方二次函数31232

-+-=x x y 的结果是 ，对称轴是 ，顶点坐标

是 ；配方二次函数x x y 22

1

2-=的结果是 ，对称轴是 ，

顶点坐标是 .

3、二次函数a x ax y ++=42

的最大值是3，则a ＝_______．

4、二次函数()212

+-=x y 的最 值等于________.

5、若y ＝(2－m)23

m x

-是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ）

A

、 B

C

D 、0

6、函数2

6x y -=中，当x 1＞x 2＞0时，则y 1与y 2的大小关系为 .

7、抛物线2

3x y -=向左平移1个单位，再向下平移2两个单位后得到的抛物线解析式为 8、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）

A ．1x =

B ．1x =-

C ．3x =-

D ．3x = 9、下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是( )

A ．x y 2=

B ．52+-=x y

C ．x

y 2

-= D ．122-+-=x x y

10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a

x 与正比例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标

系中的大致图象可能是（）

二、在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y (m ）与飞行时间x （s ）的关系满足：21

105

y x x =-+.

(1）经过多长时间，炮弹到达它的最高点？最高点的高度是多少？(2）经过多长时间，炮弹落到地上爆炸？

三、已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2．

（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；

（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；

（3）若该抛物线上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）的横坐标满足x 1＞x 2＞1，试比较y 1与y 2的大小．

《二次函数（二）》

4、二次函数与一元二次方程存在着密切的关系，抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴的交点的横坐标就是方程02=++c bx ax （0≠a ）的解.当042>-ac b 时，抛物线与x 轴有两个交点（即一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根）；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴有一个交点（即一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根）；当042<-ac b 时，抛物线与x 轴有没有交点（即一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根）.

注：抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与x 轴的交点的坐标的求法：取0=y ，求出方程

02=++c bx ax 的解1x 、2x ，

则交点的坐标为（1x ，0）、（2x ，0）；抛物线c bx ax y ++=2（0≠a ）与y 轴的交点的坐标的求法：取0=x ，得c y =，则交点的坐标为（0，c ）；

5、二次函数与一元二次不等式也存在密切的关系：取0>y ，得不等式02>++c bx ax ；取0

6、待定系数法：将函数图象上的点的坐标代入假设的函数关系式中，求出函数关系式的方法. 待定系数法在二次函数中运用的要点是要掌握好两个表达形式：

若条件中已知抛物线顶点的坐标，则可设成顶点式：k h x a y +-=2)(，再代入另一个点的坐标；若条件中没有顶点的坐标，则应设成一般式：c bx ax y ++=2，再代入已知点的坐标．

例１、⑴、抛物线6422

+--=x x y 与x 轴的交点坐标为 ，

与y 轴的交点坐标为

⑵、若抛物线k x x y 242+-=与x 轴没有交点，则k 的取值范围是 ⑶、函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A 、a ＞0 B 、ac b 42

-＞0 C 、c b a +-＜0

D 、方程02

=++c bx ax 的两根和为正

⑷、函数222--=x x y 的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ）

A ．31≤≤-x

B ．31<<-x

C ．31>-

D ．31≥-≤x x 或

例２、根据下列条件求二次函数的关系式： （1）图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （2）图象的顶点为（2，6），且经过点（－1，－3）．

例３、已知抛物线822

--=x x y .(1)、试说明该抛物线与x 轴一定有两个交点；(2)、若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，且它与y 轴的交点为P ，求△ABP 的面积.

练习：一、填空与选择题

1、函数32++=bx x y 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝＿＿＿＿。

2、抛物线 4322-+=x x y 与 y 轴的交点坐标是 ；与x 轴的交点坐标是

3、已知抛物线的图像如右图所示：则函数的解析式是 y ＝

4、二次函数722+-=x x y 的图象与x 轴的交点的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不能确定

5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ） A 、a ＜0 B 、abc ＞0 C 、c b a ++＞0 D 、ac b 42-＞0

6、二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3

B 、4

C 、－4

D 、2

10、若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x ．

二、如图，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的直线m x y +-=3

3

与x 轴交于点E ⑴求点E 的坐标；⑵求过 A 、O 、E 三点的抛物线解析式；

.

. x

三、如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；（2）求点B 的坐标

四、如图，已知二次函数c bx x y ++-

=2

2

1的图象经过A （2，0）

、B （0，－6）两点。 （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC

的面积。

五、二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图9所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程2

0ax bx c ++=的两个根；

（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集；

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围； （4）求出该抛物线的解析式．

*六、如图，已知二次函数24

=-+的图象与坐标轴交于点A（－1，0）和点B（0，－5）．

y ax x c

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP

《函数的实际应用》

函数是重要的数学模型，在解决实际问题时，要充分利用条件，借助题目中的图、表或数量理清各个量之间的关系，并辨识应使用哪一种函数，将实际问题转化为数学问题；在解题过程中要考虑自变量的取值范围。

其中，二次函数的应用主要有两种：一类是最优化问题，即运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；一类是综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等问题. 例

1、某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，又不高于80元/件，试销中销售量y （件）与销售单价x （元/件）的关系可近似的看作一次函数（如图所示） （1）求y 与x 间的关系（4分） （2）设商厦获得的毛利润（毛利润=销售额-成本）为S （元），销售单价定为多少时，该商厦获利最大？最大利润是多少？（6分）

例2、市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A B ，两种风景树共900棵．A B ，两种树的相关信若购买A 种树x 棵，购树所需的总费用为y 元． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）若购树的总费用不超过82000元，则购A 种树不少于多少棵？

（3）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树

的总费用最低，应选购A B ，两种树各多少棵？此时最低费用为多少？

/件） 项目 品种

例3、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，每星期可多卖出4件. （1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？

（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？

例4

米空气中的含药量y （毫克）与时间x 9所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，y 与x （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

练习：

1、一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）满足函数关系：t ＝k

v

，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A （40，1）和B （m ，0.5）． （1）求k 和m 的值；

（2）若行驶速度不得超过60 km/h ，则汽车通过该路段最少需要多少时间？

2、甲乙两人同时登西山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲登山的速度是每分钟______米，乙在A地提速时距地面的高度

b为______米．

（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙

二人登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之

间的函数关系式．

（3）登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A地的高度为多少米？

3

之间的关系如下表：

⑴、若日销量y(x(元)的函数关系式；

⑵、要使日销售利润w(元)最大，每件产品的销量价x(元)应定为多少，此时日销售利润是多大？

4、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，则每月可售出500个.据市场调查，若售

价每提高1元，销售量相应减少10个.

⑴求出利润y与售价x之间的函数关系式；

⑵求出当售价为多少时有最大利润，最大利润是多少？

5、我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售。按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题：

（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案； （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。

*6、已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．

（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．

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