线面角和二面角

直线和平面所成的角与二面角

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

一、选择题(共45题，题分合计225分)

1.过正方形ABCD 的顶点A 作线段A A ′⊥平面ABCD ，若A A ′=AB ，则平面A ′A B 与平面A ′CD 所成的角度是

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

2.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是

A.相等

B.互补

C.相等或互补 C.不能确定

3.在直二面角α- l-β中,直线m ?α,直线n ?β,且m 、n 均不与l 垂直,则

A. m 与n 不可能垂直,但可能平行

B. m 与n 可能垂直,但不可能平行

C. m 与n 可能垂直,也可能平行

D. m 与n 不可能垂直,也不可能平行

4.设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题:

(1)若a a //,a b //,则b a //.(2)若a a //,β//a ,则β//a . (3)若γ⊥a ,γβ⊥,则β

//a . 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

5.如图△ABD ≌△CBD ，且△ABD 为等腰三角形，∠BAD =∠BCD =90°，且面ABD ⊥面BCD ，则下列4个结论中，

正确结论的序号是

①AC ⊥BD ②△ACD 是等边三角形③AB 与面BCD 成60°角④AB 与CD 成60°角 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

6.在边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面A 1C 1上取一点E ,使AE 与AB 、AD 所成的角都为60°,则AE 的长等于

A.35

B.46

C.2

D.3

7.一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β，则α+β的范围为：

Ａ.0＜α＋β＜π/2 B.α＋β＞π/2 C.0≤α＋β≤π/2 D.0＜α＋β≤π/2

8.在直二面角α－AB －β的棱AB 上取一点P ，过P 分别在α、β两个平面内作与棱成45°的斜线PC 、PD ，那么∠

CPD 的大小为

A.45°

B.60°

C.120°

D.60°或120°

9.若三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则

A.各格侧棱长相等

B.各侧棱与底面成等角

C.各侧面与底面线等角

D.每组相对棱互相垂直

10.二面角α-l -β的平面角为120°,A ,B ∈l ,AC ?α,BD ?β,AC ⊥l ,BD ⊥l ,若AB =AC =BD =1，则CD 等于

A.2

B.3

C.2

D.5

11.60°的二面角α- l-β,直线a

?α,直线b ?β

,且a 、b 无公共点.设a 、b 所成的角是θ,则cos θ的取值范围是

A.????

??

??1,23 B.?????

?21,0 C.[]1,0 D.[)1,0 12.二面角α- l-β的大小为θ，直线a ?α，直线b ?β，设a 与b 所成的角为φ，则下面关系中正确的一个是

A. φ＜θ

B. φ＞θ

C. φ=θ

D.以上三种关系均有可能

13.直线l 与平面α或60°角，

A l =α ，直线a A a ??且α，设l 与a 所成的角为θ，则cos θ的取值范围是

A.?????

?1,21 B.??????1,21 C.??????21,0 D.???

???21,0 14.如图,等腰直角△ABC ,沿其斜边AB 边上的高CD 对折,使△ACD 与△BCD 所在的平面垂直,此时∠ACB 等于

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

15.二面角α-ＭＮ-β＝60o，直线AB与α、β分别交于A、B，AB⊥MN，若AB与α、β所成角分别是θ1、θ2，则

A.θ1＋θ2=120o

B.θ1＋θ2>120o

C.θ1＋θ2<120o

D.以上都不对

16.正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折,使D点在面ABC外,这时DB与面ABC所成的角一定不等于

A.30°

B.45°

C.60°

D.90

17.a、b表示直线，α、β、γ表示平面，有下列四个命题：(1)若α∩β=a,b?α，a⊥b,则α⊥β；(2)若α⊥β，α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊥b;(3)若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于α内的无数条直线；(4)若a⊥α，b⊥β,a ∥ｂ，则α∥β，其中不正确命题的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

18.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;

④m⊥α,以其中三个结论作为条件，另一个论断作为结论，则所得命题正确的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

19.正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角为

A.30°

B.45°

C.60°

D.90

γ，下列命题中，正确命题的个数为

20.对于直线m、n和平面α、β、

γ⊥β，则α∥γ④若m⊥α，m?β，则α①若m∥α，n⊥m,则n⊥α②若m⊥α，n⊥m,则n∥α③若α⊥β,

⊥β

A.1

B.2

C.3

D.4

21.平面α与平面β相交，m是α内的一条定直线，则下列结论正确的是

A.在β内必存在与m平行的直线

B.在β内必存在与m垂直的直线

C.在β内必不存在与m平行的直线

D.在β内不存在与m垂直的直线

22.设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()

A.直线a必垂直于平面β

B.直线b必垂直于平面α

C.直线a不一定垂直于平面β

D.过a 的平面与过b 的平面垂直

23.下列命题中错误的是

A.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β

B.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β

C.如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β

D.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ

24.如图，四边形BCEF 、AFED 都是矩形，且平面AFED ⊥平面BCEF ，则下列式子中正确的是

A.cos α＝cos β·cos θ

B.sin α＝sin β·cos θ

C.cos β＝cos α·cos θ

D.sin β＝sin α·cos θ

25.一条直线与一个直二面角的两个面所成的角分别为θ和?，则θ＋?

A.≤90°

B.≠90°

C.≥90°

D.无法确定

26.过正方形ABCD 的顶点A 作线段⊥'A A 平面ABC D.若AB B A ='，则平面AB A '与平而CD A '所成角的度数是

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

27.设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：

⑴若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；⑵若a ∥α，a ∥β，则α∥β； ⑶若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

28.在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成

一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG 中必有 A.SG ⊥△EFG 所在平面 B.SD ⊥△EFG 所在平面 C.GF ⊥△SEF 所在平面 D.GD ⊥△SEF 所在平面

S

G 1

G

2

G

3 E

F

D

29.设直线m、n和平面α、β,则下列命题中，正确的是

A.m∥n,m?α,n?β?α∥β

B.m⊥α,m⊥n,n?β?α∥β

C.m∥n,n⊥β,m?α?α⊥β

D.m∥n,m⊥α,n⊥β?α⊥β

30.设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题

①若a∥α,b∥α,则a∥b；②若a∥α,a∥β,则α∥β；③若α⊥γ,β⊥γ，则α∥β

其中正确命题的个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

31.下列命题正确的是

A.若直线a∥平面α，直线b⊥a，b?平面β，则α⊥β

B.若直线a⊥直线b，a⊥平面α，b⊥平面β，则α⊥β

C.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直

32.已知二面角α－l－β的大小为60°，b和c是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b和c的角为60°的是

A.b∥α，c⊥β

B.b∥α，c⊥β

C.b⊥α，c⊥β

D.b⊥α，c∥β

33.设平面α⊥平面β，直线a?α，直线b?β，且a⊥b，则

A.a⊥β

B.b⊥α

C.a⊥β与b⊥α中至少有一个成立

D.a⊥β与b⊥α同时成立

34.如图:过正方形ABCD的顶点A，引P A⊥平面AC，若P A＝AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

35.设二面角α-AB-β面上一点D，DP在α内与AB成45°，与平面β成30°角，则二面角α-AB-β的度数是

A.15°

B.30°

C.45°

D.60°

36.自大于90°的二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角的大小关系是

A.相等

B.互补

C.相等或互补

D.无关

37.一个直角三角形的两个直角边长为a、b，沿斜边高折成直二面角，则两个直角边所夹角的余弦值为

A.

2

2b

a

ab

+ B.2

2

2

b

a

ab

+ C.2

2b

a

ab

+ D.2

2b

a

ab

+

38.过平面外的两个点A、B有无穷多个平面都与α垂直，则一定有

A.直线AB∥α

B.直线AB与α成60°角

C.A、B两点在α的一条垂线上

D.A、B两点到α的距离相等

39.A为直二面角α－l－β的棱上的一点，两条长度都等于a的线段AB、AC分别在α、β内并且都与l成45°角，则BC的长为

A.a

B.a或3a

C.a或2a

D.a或5a

40.如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有

A. α⊥γ且l⊥m

B. α⊥γ且m∥β

C. m∥β且l⊥m

D. α∥β且α⊥γ

41.有不同的直线a?b和不同的平面α?β?γ,给出下列三个命题:

(1)若a∥α,b∥α,则a∥ B.

(2)若a∥α,α∥β,则α∥β.

(3)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

42.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则

A.α∥γ

B.α⊥γ

C.α与γ相交但不垂直

D.以上都有可能

43.已知直线a、b和平面α、β、γ，可以使α∥β的条件是

A.a?α，b?β，a∥b

B.a?α，b?α，a∥β，b∥β

C.α⊥γ，β⊥γ

D.a⊥α，a⊥β

44.下列三个命题，其中正确命题的个数为

①平面α∥平面β，β⊥平面γ，则α⊥γ

②平面α∥平面β，β∥平面γ，则α∥γ

③平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α⊥γ

A.1

B.2

C.3

D.0

45.如图,四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BC D.则在三棱锥A-BCD,下列命题正确的是

A.平面ABD⊥平面ABC

B.平面ADC⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDC

D.平面ADC⊥平面ABC

二、填空题(共5题，题分合计20分)

1.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD和BF所成角的余弦值为

____________________________.

2.已知m、l是直线,α、β是平面,给出下列命题:

①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;

②若l平行于α,则l平行于α内的所有直线;

③若m?α, l?β,且l⊥m, 则α⊥β;

④若l?β,且l⊥α,则α⊥β;

⑤若m?α, l?β,且α∥β,则m∥l.

其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)

3.设有四个条件：

①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；

②直线a∥b,a⊥平面α，b⊥β；

③a、b是异面直线，

β

α?

?b

a,，且ａ∥β，ｂ∥α；

④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线，其中能推出α∥β的条件有.(填写

所有正确条件的代号)

4.一条直线与平面α相交于点A，在平面α内不过A点的直线与这条直线所成角的最大值为_________.

5.在空间，下列命题正确的是____________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)

①如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b

②如果一条直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β

③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都有垂直，那么a⊥β

④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ

三、解答题(共10题，题分合计110分)

1.已知:二面角α- l -β等于120°，AB=10，A∈α，B∈β. A、B到l的距离分别等于2和4.

(1)求直线AB和平面β所成角的大小;

(2)求异面直线AB和l所成角的大小.

2.已知M、N分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，

求（1）MN和CD′'所成的角（2）MN和AD所成的角.

3.已知:正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF

互相垂直点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM= BN= a,

)2 0(<

(1)求MN的长

(2)当a为何值时, MN的长最小

(3)当MN长最小时,求面MNA与MNB所成二面角α的大小

4.边长为1的正方形ABCD, PA⊥平面ABCD

(1)求证:平面PAD⊥平面PCD;

(2)若PA=PB,求AC与平面PCD所成的角.

5.已知△ABC，PA⊥平面ABC，PA= AB= BC= AC. AH⊥平面PBC，H为垂足，

求证：H不是△PBC的垂心.

6.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,侧棱与底面边长都是2,侧棱与底面成60°角,且侧面ABB1A1⊥底面ABC.

(1)求证: B1C⊥C1A;

(2)求二面角C1-AB-C的大小.

7.将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,

AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD,

(1)求证:平面ABD⊥平面ACD;

(2)求二面角A-BD-C的正切值;

(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值.

8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B-DC1-C的余弦值是多少?

9.如图，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD 所成角的大小为.

10.两个正方形ABCD, CDEF拼接成直二面角,点M在BD上,N点在CE上,且BM=CN，CD=l.

(1)求证: MN∥平面BCF,

(2)设BM=t，MN= f (t),求函数f (t)的解析式,

(3)求函数f (t)的定义域及最小值.

直线和平面所成的角与二面角答案

一、选择题(共45题，合计225分)

1.5621答案：B

2.5478答案：D

3.5511答案：A

4.5614答案：A

5.5618答案：B

6.5624答案：C

7.5627答案：C

8.5647答案：D

9.5661答案：D

10.5710答案：C

11.5718答案：C

12.5737答案：D

13.5740答案：C

14.5759答案：B

15.5766答案：D

16.5783答案：D

17.5794答案：C

18.5795答案：B

19.5815答案：C

20.6098答案：A

21.6099答案：B

22.6108答案：C

23.6109答案：A

24.6110答案：B

25.6111答案：A

26.6315答案：B

27.6330答案：A 28.6382答案：A 29.6408答案：C 30.6410答案：A 31.6481答案：B 32.5553答案：C 33.5769答案：C 34.6074答案：B 35.6093答案：C 36.6094答案：B 37.6095答案：C 38.6096答案：C 39.6097答案：B 40.6292答案：A 41.6301答案：A 42.6474答案：D 43.6477答案：D 44.6478答案：B 45.5651答案：D

二、填空题(共5题，合计20分)

1.5480答案：.

42

2.5636答案： ①④

3.5782答案：②③

4.6246答案：90°

5.6355答案： ①④

三、解答题(共10题，合计110分)

1.5484答案：(1)

103arcsin

=∠ABC

(2)

57arcsin

=∠ABD

2.5487答案：(1)=60,'

OD

(2)?>=<45,AD MN

3.5730答案：(1)21222

+???? ??-

=a MN

(2)最小值为22

(3)所求二面角

)

31arccos(-=α

4.5748答案：(2)AC 与平面PCD 成

30角. 5.5751答案：见注释

6.5502答案：(1)见注释 (2) ∠CDE =45°

7.5805答案：(1)tg ∠AFE =EF AE =2(2)异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为1030. 8.6303答案：c os θ＝33

9.6304答案：∠AEF ＝45°．

10.5752答案：(2）

12)(2

+-=t t t f (3）)(t f 有最小值

22

)22(

=f