湖北省襄阳五中2019-2020学年高一下学期网上学习3月月考数学试题 Word版含解析

湖北省襄阳五中2020年春季高一年级网上学习3月月考

数学试题

一、选择题

1. 已知(3,1)AB =，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A. (7,4)-- B. (7,4)

C. (1,2)--

D. (1,2)

【答案】A 【解析】 【分析】

由向量减法法则计算．

【详解】(4,3)(3,1)(7,4)BC AC AB =-=---=--． 故选A ．

【点睛】本题考查向量的减法法则，属于基础题． 2. 已知角α的终边过点()4,3P a a -()0a <，则2sin cos αα+的值是（ ）

A. 25-

B. 0

C.

25

D. 与a 的取

值有关 【答案】C 【解析】 【分析】

由题意可得4x a =，3y a =-，5r a =-，根据任意角的三角函数的定义求出sin α和cos α 的值，即可求得2sin cos αα+的值．

【详解】解：由角α的终边过点(4P a ，3)(0)a a -<， 可得4x a =，3y a =-，5r a =-， 故3

sin 5y r α=

=，4cos 5

x r α==-， 2

2sin cos 5

αα∴+=，

故选：C ．

【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

3. 已知向量()4,1a →

=-，()2,b m →

=，且//a a b →

→→??

+ ???

，则m =（ ）

A.

1

2

B. 2

C. 2-

D. 12

-

【答案】D 【解析】 【分析】

由已知向量的坐标求得a b →→

+的坐标，再由向量共线的坐标运算求解． 【详解】解：

()4,1a →

=-，()2,b m →

=，

∴(2,1)a b m →

→

+=-+，

又//a a b →

→→??+ ???

，

4(1)2m ∴-+=-，解得：1

2

m =-

． 故选：D ．

【

点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，是基础题．

4. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =

A. 31

44AB AC - B.

13

44AB AC - C. 31

44

+AB AC

D. 13

44

+AB AC

【答案】A 【解析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11

22

BE BA BC =

+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到

3144BE BA AC =

+，下一步应用相反向量，求得31

44

EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得

()

111111

222424BE BA BD BA BC BA BA AC =

+=+=++ 11131

24444

BA BA AC BA AC =++=+， 所以31

44EB AB AC =-，故选A.

点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

5. 已知a →与b →

的夹角为120?，3a →

=，13a b →→+=b →

=（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3

【答案】C 【解析】 【分析】

由已知条件对13a b →→

+=2||3||40b b →→

--=，解该方程即可得出||b →

．

【详解】解：根据条件，3a →

=，13a b →→

+=

则2

2

22()293||||13a b a a b b b b →

→

→→→

→→

→

+=++=-+=，

∴解得||4b →

=，或1-（舍去）．

故选：C ．

【点睛】本题考查通过平面向量的数量积运算求向量模，考查运算能力． 6. 函数y=cos 2

x –3cosx+2的最小值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 6

【答案】B 【解析】

【详解】试题分析：设cos t x =()2

2

3

1

32()112

4

y t t t t ∴=-+=---≤≤，结合函数图像可知当1t =时取得最小值0. 故选：B

考点：函数单调性与最值

7. 两个大小相等的共点力12F F ，，当它们夹角为90?时，合力大小为20N ，则当它们的夹角为120?时，合力大小为（ ） A. 40N B. 102N C. 202N

D. 103N

【答案】B 【解析】 【分析】

当12F F ，它们夹角为90?时，结合平行四边形法则可知，012cos 45F F F ?

==，当1F 和2F 的夹角为120?时，结合平行四边形法则，可求出102F F F ==. 【详解】设合力为0F ，

由平行四边形法则可知，201cos 45102N F F F ?

===，

当1F 和2F 的夹角为120?时，由平行四边形法则，102102N F F F ===， 故选:B.

【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则的应用，属于基础题. 8. 已知22a →

=，3b →

=，,a b →→

的夹角为

4

π，如图所示，若52AB a b →→→=+，3AC a b →→→=-，且D 为BC 中点，则AD →

的长度为（ ）

A.

152

B.

152

C. 7

D. 8

【答案】B 【解析】 【

分析】

由题可知，AD 为

ABC 的中线，从而有1()2

AD AB AC →

→→=+，带入,AB AC →→

，根据长度

2

||D D A A →

→=进行数量积的运算便可得出AD →

的长度．

【详解】解：根据题意，可知：

1111()(523)(6)32222

AD AB AC a b a b a b a b →

→→→→→→→→

→→=+=++-=-=-，

∴222

11915||(3)9372182442

AD a b a a b b →

→

→→→→→=--+=-+，

即AD →

的长度为152

. 故选：B ．

【点睛】本题考查平面向量的模的求法，涉及向量的平行四边形法则的应用，向量的线性运算以及向量的数量积运算．

9. 一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若2,3,(,)AB AE AD AF AM AB AC R λμλμ===-∈，则5

2

μλ-=（ ） A. 12

-

B. 1

C.

32

D. 3-

【答案】A 【解析】 【分析】

由平行四边形法则得AC AB AD =+以及题设条件化简AM AB AC λμ=-得

2()3AM AE AF λμμ=--，由E ，M ，F 三点共线，得出2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即可求

解

5

2

μλ-的值. 【详解】()AM AB AC AB AB AD λμλμ=-=-+ ()2()3AB AD AE AF λμμλμμ=--=-- 因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1 即2λ－5μ＝1，5122

μλ∴-=-. 故选：A

【点睛】本题主要考查了平面向量共线定理的应用，属于中档题. 10. 在ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，且3BC CD =.若

1

(1),03

AO xAB x AC x =+--<<，则点O 在（ ）

A. 线段BC 上

B. 线段CD 上 C .

线段AC 上 D. 线段AD 上

【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量共线定理的推论，求得,,O B C 三点共线；再根据3BC CD =，即可判断O 点的位置. 【详解】因为1

(1),03

AO xAB x AC x =+--

<<

所以，由向量共线定理可知,,O B C 三点共线. ∵3BC CD =，∴33AC AB AD AC -=-， ∴14

33

AD AB AC =-+. 又∵1

03

x -

<<， ∴点O 在线段CD 上，且不与C 、D 点重合. 故选：B

【点睛】本题考查向量共线定理的应用，属基础题.

11. 已知24419578A B C D （，），（，），（，），（，） ，现有如下四个结论：①AB AC ⊥；②四边形ABCD 为平行四边形；③AC 与BD 729

，④85AB AC +=；则上述正确结论的序号为( ) A. ①③ B. ②④

C. ①④

D. ②③

【答案】B 【解析】 【分析】

根据四个点的坐标求出,,AC AB BD 的坐标,再利用向量的坐标进行运算可知①③错误,②④正确.

【详解】(2,3),(7,1)AB AC =-=，则0AB AC ?≠，故①错； 则||85AB AC +=

(2,3),(2,3)AB DC =-=-，故AB DC =，且A B C D ，，，四点不共线，则四边形ABCD

为平行四边形，故②正确；

(7,1),(3,7)AC BD ==，则cos ,AC BD ??1429

||||

AC BD AC BD ?=

=?，故③错.

故选B.

【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,属中档题.

12. 在边长为1的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则EB ED ?的

取值范围为（ ） A. 233,162??

?

???

B. 233,644??

?

???

C. 23,316??

?

???

D. 233,642??

?

???

【答案】B 【解析】 【分析】

由题意，以D 点为坐标原点，DB 方向为x 轴正方向，DC 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，得到(0,0)D ，1,02B ??

???

，以及直线AC 的方程，设出点E 坐标，根据向量数量积，直接计算，即可得出结果.

【详解】如图，以D 点为坐标原点，DB 方向为x 轴正方向，DC 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为等边三角形的边长为1，所以(0,0)D ，1,02B ??

???，1,02A ??

- ???

，3? ??

C ， 则直线AC 的方程为11322

=-x ，整理得3

32=+y x ， 因为E 为线段AC 上一动点，设33?+ ??E x x ，1

02x -≤≤， 则13,32?=--- ??EB x x ，3(,32

=---ED x x ， 所以2

2221353523334424241664???=-++++=++=++ ??

?EB ED x x x x x x x ，

因为102x -≤≤，所以2

52341664??=++ ???y x 在15,216??--????上单调递减，在5,016??- ???上单调递增，所以2

52341664??=++ ??

?y x 的最小值为2364，最大值为34.

即EB ED ?的取值范围为233,644??

????

.

故选B

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，利用建立坐标系的方法求解即可，属于常考题型. 二、填空题

13. 化简：()()

532423a b b a -+-=______. 【答案】32a b →

→

- 【解析】 【分析】

直接利用个向量的加减法的法则，运算求得结果． 【详解】解：

5(32)4(23)a b b a →→→→

-+-

151081232a b b a a b →

→→

→

→

→

=-+-=-.

故答案为：32a b →

→

-．

【点睛】本题考查两个向量的加减法以及数乘的运算律，属于基础题．

14. 如图，在平行四边形ABCD 中，AO a →

→

=，DO b →→

=，用向量,a b →→

表示向量CB →

=______.

【答案】b a →→

- 【解析】 【分析】

由题意可得CB OB OC DO AO →→→→→

=-=-，把条件代入化简得到结果． 【详解】解：由题意可得CB OB OC DO AO b a →

→

→

→

→

→

→

=-=-=-. 故答案为：b a →

→

-．

【点睛】本题主要考查两个向量的线性运算，向量加减法的法则，属于基础题． 15. 函数sin(

2)4

y x π

=-的单调增区间为________．

【答案】37

[,]()8

8

k k k Z ππππ++∈ 【解析】 函数2244y sin x sin x ππ???

?=-=--

? ????

?，由3222,242k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得

37,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数24y sin x π??

=- ???

的增区间是()37,88k k k Z ππππ??++∈????，故答案为()37,88k k k Z ππππ??++∈???

?. 【方法点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图像变换及最值，属于中档题. sin()y A x ω?=+的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若0,0A ω>>,把x ω?+看作

是一个整体，由

22

k x π

πω?+≤+≤

()322

k k Z π

π+∈求得函数的减区间，222

2

k x k π

π

πω?π-

+≤+≤

+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符

号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间 16. 下面给出四个命题：

①对于实数m 和向量a →、b →

，恒有m a b m a m b →→→→

??

??-=-?

；

②对于实数m 、n 和向量a →

，恒有()m n m a a n a →→→

-=-； ③若(),0m a m b m R m →

→

=∈≠，则a b →→

=；

④若0m a n a a →→

→→??

=≠ ???

，则m n =.

其中正确的命题是______. 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】

①②满足实数与向量积的运算律；③若0m =，不一定有a b =；④正确． 【

详解】解：①②满足实数与向量积的运算律，故①②正确； ③因为0m ≠，一定有a b →→

=，故③正确；

④0m a n a a →

→

→→??=≠ ???

，则()0m n a →→-=，其中0a →→

≠，则m n =，故④正确．

故答案为：①②③④．

【点睛】本题考查了向量与实数的运算法则，属于基础题．

三、解答题

17. 已知平面得量,a b →→

满足：4a →

=，3b →

=，23261a b a b →→→→

????

-?+= ? ?????

.

（1）求a →与b →

的夹角θ；

（2）求向量a →

在向量32a b →

→

+上的投影. 【答案】（1）23

π

；（2）23【解析】 【分析】

（1）根据条件可以求出6a b →→

=-，根据向量夹角的余弦公式即可求出1

cos 2

θ=-，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；

（2）可求出2(32)108a b →→+=，从而得出|32|63a b →→+=(32)36a a b →→→

+=，这样根据投影的计算公式即可求出投影．

【详解】解：（1）

4a →

=，3b →

=，23261a b a b →→→→

????-?+= ? ?????

， ∴2

2

4436442761a a b b a b →

→→→→→

--=--=，

∴6a b →

→

=-，

∴61cos 122

||||

a b

a b θ→→

→→

-=

=

=-， 又[0θ∈，]π，

∴23

πθ=

； （2）

2

2

2

(32)91241447236108a b a a b b →→

→→→

→+=++=-+=，

∴|32|63a b →

→

+=

∴向量a

→在向量32a b →→

+上的投影为： 2

(32)

32||

2363

|||32|

|32|

a a

b a a b a a a b a b →→→

→→→

→

→

→

→

→

→

++=

=

=++

【点睛】本题考查利用平面向量的数量积运算求向量夹角，以及向量投影的计算，考查运算能力．

18. 已知α是第三象限角，且

()()()()

()sin cos 5tan 2cos tan 2f αππαπααπααπ----=

??

--- ???

（1）化简()f

α；

（2）若()tan 2πα-=-，求()f α的值；

（3）若420α=-?，求()f

α的值.

【答案】（1）cos α-；（25

；（3）12

-. 【解析】 【分析】

（1）直接利用诱导公式化简函数()f α为cos α-；

（2）由tan()2πα-=-，求得tan 2α=，再利用同角三角函数的基本关系求出cos α的值，即可求得()cos f αα=- 的值．

（3）先利用诱导公式求得1

cos cos(420)2

α=-?=

，即可求得()cos f αα=- 的值．

【详解】解：（1）根据题意，利用诱导公式化简， sin()cos(5)tan(2)

()cos(

)tan()

2

f αππαπααπ

ααπ----=

---

sin (cos )(tan )

cos sin (tan )

αααααα--=

=--.

（2）tan()2πα-=-，tan 2α∴=，

sin 2cos αα∴=， 则22(2cos )cos 1αα+=，

解得：2

1cos

5

α=，

α是第三象限角，所以5cos α=，

5()f α∴=

（3）1cos(420)cos420cos602

-?=?=?=

， 1

()cos 2

f αα∴=-=-．

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，属于基础题． 19. 已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，(4,1)OD =--． （Ⅰ）若四边形ABCD 是平行四边形，求x ，y 的值；

（Ⅱ）若ABC ?为等腰直角三角形，且B 为直角，求x ，y 的值．

【答案】（Ⅰ）2,5--；（Ⅱ）03x y =??=-?或2

3x y =-??=?

．

【解析】 【分析】

（Ⅰ）由AD BC =得到x,y 的方程组，解方程组即得x,y 的值; （Ⅱ）由题得AB BC ⊥和

||||AB BC =，解方程组即得x ，y 的值．

【详解】（Ⅰ）

(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，

∴(1,5)AD =--，(1,)BC x y =+，由AD BC =，2x =-，5y =-；

（Ⅱ）

(3,1)AB =--，(1,)BC x y =+，B ∠为直角，

则AB BC ⊥，3(1)0x y ∴-+-=，

又||||AB BC =，2

2

(1)10x

y ∴++=，再由3(1)y x =-+，解得：03x y =??=-?或2

3x y =-??=?

．

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和模的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

20. 如图，,,O A B 三点不共线，2OC OA →

→

=，3OD OB →

→

=，设OA a →

→

=，OB b →→

=.

（1）试用,a b →→

表示向量OE →

；

（2）设线段,,AB OE CD 的中点分别为,,L M N ，试证明,,L M N 三点共线. 【答案】（1）4355

OE a b →

→→

=+；（2）证明见解析.

【解析】 【

分析】

（1）由B ，E ，C 三点共线，可得到一个向量等式，由A ，E ，D 三点共线可得到另一个等式，两者结合即可解决（1）；

（2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到．

【详解】解：（1）

B ，E ，

C 三点共线，

∴(1)2(1)OE xOC x OB x a x b →

→

→

→

→

=+-=+-，①

同理，

A ，E ，D 三点共线，可得3(1)OE y a y b →→→

=+-，②

比较①，②，得213(1)

x y x y =??

-=-?解得25x =，4

5y =，

∴4355

OE a b →

→→

=+．

（2）

2a b OL →

→

→

+=

，143210a b OM OE →→→

→

+==，123()22

a b ON OC OD →→

→

→

→

+=+=，

∴61210a b MN ON OM →→→

→

→

+=-=，210

a b ML OL OM →→

→

→

→

+=-=，

∴6MN ML →→=，

L ∴，M ，N 三点共线．

【点睛】本题考查平面向量的基本定理和平面向量的共线定理的应用，通过共线定理证明三点共线，考查转化思想和运算能力. 21. 如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2

A -

,3

(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．

(Ⅰ)当1

4

AP BP ?=-

时，求α的值； (Ⅱ)在x 轴上是否存在定点M ，使得1

2

AP MP =恒成立？若存在，求出点M 坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）3

π

（Ⅱ）(2,0)- 【解析】 【分析】

（Ⅰ）设点(cos ,sin )P αα，求得向量,AP BP 的坐标，根据向量的数量积的运算，求得

1

cos 2

α=

，即可求得答案． （Ⅱ）设M 点的坐标为

,0)t （，把恒成立问题转化为2

(42)cos 40t t α++-=恒成立，列出方程组，即可求解．

【详解】（Ⅰ）()13P cos α,sin α,AP cos α,sin α,BP cos α,sin α22设点?

???=+

=- ? ?????

2231AP BP cos αcos αsin α44?=--+=-所以，1

cos α2

∴=

παα3

=

因为为锐角，所以， （Ⅱ）设M 点的坐标为

t,0)（，则()MP cos αt,sin α=- ()2

22

214cos αsin αcos αt sin α2????++=-+?? ???????

由题有恒成立，

()242t cos α4t 0++-=即恒成立， 2

420

t 24t 0

t +=?∴∴=-?-=?， ()M M 2,0存在点满足题意，点的坐标为∴-．

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用和恒成立问题的求解，其中解答中合理利用向量的坐标运算及向量的数量积的运算，以及转化等式的恒成立问题，列出相应的方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．