基金使用计划__数学建模
题目基金使用计划
摘要
学校基金会有一笔基金，打算将其存入银行或购买国库券，不同的理财方式当然有不同的最终奖金数额，本论文就是通过建模找出是奖金最大化的理财方式，根据题目中的不同利率找出最好的处理方式。
第一个问题在只能存款时使奖金最大，通过对题目中不同年份的存款利率可知，为了使奖金最大化要使奖金不能出现闲置，又因为奖金都是在年末发放，所以活期、半年期都不能选择，依题意可得只有在每年年初可以建立线性方程组，设出奖金，使用lingo软件对其进行编程求解可以计算出奖金的最大额： 万元。通过解线性方程组还可以求解出每年基金的投资方式以达到Z109.8169
最大奖金数额，解出奖金最多的问题。
第二个问题在既可以存款又可以购买国库券时解出奖金的最大数额，通过分析题目中的数据可知国库券的利率要大于存款利率，所以在两种方式都可以的情况下优先考虑购国库券，由题目可知每年都会发放国库券但是发放日期不定。在这种情况下就要分三种情况讨论，国库券分别每年在年中发放、在年初发放、在其他时期发放。在国库券分为三种情况发放可以按三种情况分别列出线性方程组。求解出每种情况下的奖金数额，奖金数额分别为131.7896万元、146.8578万元、127.5222万元，同样可以解出在三种情况下每年年初可以选择的投资方式。
第三个问题是在没有要求采取哪种方式时解出最大奖金额，从题目中给出的条件，在第三年的时候因为学校要举行校庆活动，为了鼓舞师生在这一年中奖金数额要比往年增加20%，解决这个问题可以分为两种情况。第一种在只能选择存款，这种情况可以利用问题一的模型，只需要把第三年的奖金改为原来的 1.2倍。解出线性方程组，此种情况下的奖金数额是107.5524万元。第二种在既可以选择国库券又可以存款，在这种情况下又可以分为三种小情况分别是国库券在年中、年初、一年中其他时间。采用问题二中的模型分别列出线性方程组，求解出每种小情况下的奖金数额129.0966万元、143.7854万元、124.8507万元。可以求解出在每种情况下的奖金额。
关键词线性方程组 lingo软件最大奖金额
一、问题重述
现在每个学校发奖学金是个很普遍的现象。每年学校都会拿出一部分奖金来发给优秀师生本文就是要找出使奖金最大化的理财方式。
某学校有一笔数额为M元的基金，可以采取将其存入银行或者购买国库券的方式。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。银行可以随时存款，校基金会计划在10年内每年拿出一部分本息和来奖励优秀师生，要求每年的奖金数额基本相同。在n年后仍保留原基金数额。学校基金会希望通过比较存款和购买国库券找出最优的处理方式。为了这个选出最佳的处理方式，题目中要求计算三种处理方式。问题一要计算出的是在只存款不购买国库券的情况下寻找出最优的存款方式。条件中有各种存钱年份的利息。根据表中的数据找出最优的存钱方式，问题二中要求出在既可以选择存款又可以购买国库券的情况下的最好的存款方式，国库券的年利率如下表所示，国库券只有两年、三年、五年三种不同的期限同样要在这两种方式中间合理分配存款来达到活力的最大化。问题三中要解出学校在三年后要进行校庆，基金决定这一年发放的奖金数目要比其他年份多20%，解决这个问题要通过对前两个问题分析求出。
各种存钱方式和购买国库券的年利率如下表。
二、模型假设
1、假设每年发放的奖金数额都是相同的。
2、假设10内存款利率和国库券利率不变。
3、假设基金在年末到位，奖学金在基金到位后发放。
4、假设购买国库券不支付个人所得税。
5、假设不会出现国库券供不应求的情况。
6、假设国库券到期所得的本金和利息不购买当年的国库券。
6、假设资金不会发生闲置的情况。
7、假设定期存款如果在没有到期之前取出，就按照活期存款利率计算。
三、符号说明
四、问题分析
问题一中题目要求在只能存款不购买国库券时所获得奖金的最大额，从题目中的各种存款年利率可以看出活期存款的年利率小于定期存款的年利率，从假设中可知奖金在每年年末发放，半年期存款的利率小于一年期利率。所以活期和半年期存款不能选择，这样可供选择的只有一年期、二年期、三年期和五年期。又因为在任何时候紫金都不能闲置。所以解决这道题目时可以建立现行方程组，求出最优解，通过建立线性方程组可以解出在每年年末取出资金后的处理方式。解线性方程组即可求得最大奖金额。
问题二中在既可以存款又可以购买国库券时。从题目中可知国库券的年利率高于存款年利率，所以在既可以购国库券又可以存款时优先购买国库券，国库券每年至少发行一次，发行时间不定，在这种情况下就要分情况讨论。在一年中不同时期发放国库券，要随时准备购买国库券。为了不让资金闲置，在没发行国库券时要存款。可以分三种国库券在年初发行、国库券在每年的年中时期发行、国库券在每年其他时间发行。对于三种情况分别建立线性方程组解出最大奖金数额。
对于问题三的分析可以从对以上两问的分析中找到方法。题目中要求在第三年时因为举行校庆要增加20%的奖金数额。题目中没有限制是只能存款还是即可以存款又可以购买国库券。所以解决这个题目时要分两种情况。第一种只能存款，这时可以建立与问题一中相似的模型，建立线性方程组，此时把第三年的奖金增加20%，解得线性方程组，可得最大奖金数额。第二种情况又可以分为三种小情况，分别如问题二中国库券在年中、年初、其他时间发行，分别建立线性方程组解得每种小情况的奖金数额。这样就能解出在各种情况下的奖金数额。然后在计算出在第三年应当发放的奖金数额。
五、模型的建立与求解
5.1、问题一模型的建立与求解
问题一种通过分析表格中的每年的年利率可知活期存款年利率要小于定期存款的利率，半年期的存款存一年的利息的要小于一年期的存款利息，依题意可知奖金是定期发放且在每年的年末发放，可知为了使利率的最大化应当舍去半年期和活期的存款方式。
经过分析可知第一年年末提取的现金只有一个来源，那就是在第一年年初存入银行的一年期存款。第二年的校方所能提取的现金的来源有两个方面分别是第一年存入的两年期存款和第一年年初存入的一年期存款发放第一年奖金后剩余的钱转存的一年期存款。当然第三年的所能提取的现金就有三个来源。以此类推出每年提取的现金的来源方式。
第一年存入银行的资金M ，有一年期、二年期、三年期和五年期的存款方式。
11121315;x x x x M +++=
第一年年末的资金的来源是第一年年初存入的一年期存款的本息和，第二年年初的时候会把第一年年初存入的一年期存款的本息和减去当年年末奖金的数额再转存一年期、二年期、三年期、五年期的存款，具体方式如下：
21222325111(1);x x x x x r z +++=+- 第二年的资金来源有二个方向，分别为第一年年初存入的二年期存款和第二年年初存入的一年期存款，然后把发去奖金后剩余的钱在第三年的年初分别按一年期、二年期、三年期、五年期存入银行，表示如下：
31323335122211(12)(1);x x x x x r x r z +++=+++-
第三年年末的资金来源有三个部分，分别是第一年年初存入的三年期存款、第一年年末存入的二年期存款、第二年年末存入的一年期存款。第四年年初的存款方式如下所示：
41424345133222311(13)(12)(1);x x x x x r x r x r z +++=+++++-
第四年年末的资金来源有四个来源，同样第四年年末的时候还是会把除去发过奖金后剩余的钱在第五年年初转存一年期、二年期、三年期、五年期存款。
51525355233322411(13)(12)(1);x x x x x r x r x r z +++=+++++- 第五年的分析方法和以上分析方法一样，第五年年末也是把发过奖金后剩余的钱在第六年年初转存四种存款方式，如下所示:
61626365155333422511(15)(13)(12)(1);x x x x x r x r x r x r z +++=+++++++- 其后几年的处理方式和前几年的处理方式相同。计算方式表示如下： 717273255433522611818283355533622711919245563372281110155573382(15)(13)(12)(1);
(15)(13)(12)(1);(15)(13)(12)(1);
(15)(13)(1x x x x r x r x r x r z x x x x r x r x r x r z x x x r x r x r x r z x x r x r x ++=+++++++-++=+++++++-+=+++++++-=+++++29112)(1);
r x r z ++-
从以上各式中可以看出第七、八年年初可以存入一年期、二年期、三年期存款、第九年年初时可以存入一年期和两年期存款，第十年年初时可以存入一年期存款。在第六年年末时可以取出第二年年初存入的五年期存款、第四年年初存入的三年期存款。在第七年年末时可以取出的资金是第三年年初存入的五年期存款、第五年年初存入的三年期、第六年存入的二年期、第七年年初存入的一年期。在第八年年末时可以取出的资金是第四年年初存入的五年期、第六年年初存入的三年期、第七年存入的二年期、第八年存入的一年期。第九年年末时可以取出的资金是第五年年初存入的五年期、第七年年初存入的三年期、第八年年末存入的二年期。
在最后一年时也就是第十年的年末把所有的资金全部取出。除去发奖金的以外，剩余的资金要正好等于开始存钱的资金。表示如下：
6558339221011(15)(13)(12)(1).M x r x r x r x r z =+++++++-
联立以上线性方程解出最终的答案：奖学金最大数额
Z 109.8169=万元
另外还可以根据解得线性方程组中ij x 的值，即是每年应该以哪种方式存钱才能使奖金数额最大化。如下表所示：
在问题二中可以选择存款和购买国库券由题目中的表格可以看出同期的国库券利率相对于同期的存款利率大的多，所以在两者都可行的前提下，肯定优先考虑国库券。但是由题意知：国库券每年至少发行一次，发行时间不定。
根据上述信息将国库券发行时间分为3种情况： 第一种情况国库券在准备存钱的时候发行，即是在每年年初开始存钱的时候国库券发行了，由题目中的数据可以知道国库券只发行二、三、五年，所以在这种情况下，我们可以把二、三、五年期的国库券年利率看成相应的存款利率。在此种情况下，问题就转化为和问题一一样的解题模型了，用问题一的方法即可求出最大的奖金额。
11121315212223251113132333512221141424345133222311515253552333224116162636515(1)(12)(1)(13)(12)(1)(13)(12)(1)(x y y y M
x y y y x r z
x y y y y p x r z
x y y y y p y p x r z x y y y y p y p x r z
x y y y x +++=+++=+-+++=+++-+++=+++++-+++=+++++-+++=533342251171727325543352261181828335553362271191924556337228115)(13)(12)(1)(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12)(1p y p y p y r z x y y y p y p y p y r z x y y y p y p y p y r z x y y p y p y p x r +++++++-++=+++++++-++=+++++++-+=+++++++11015557338229116558339221011)(15)(13)(12)(1)(15)(13)(12)(1)z x y p y p y p x r z M y p y p y p x r z
-=+++++++-=+++++++- 根据以上线性方程组求解出在每年年初发行国库券时将存款转存相同年份的国库券时所获得奖金的最大数额：
Z 146.8578()=万元
在将二、三、五年的存款转入相同年份的国库券时资金处理方式如下表：
第二种情况国库券没在准备存钱的时候发行，为充分的利用资金，不让资金闲置，有以下解决方案：
以两年期国库券为例：由于年初存款时不能购买国库券，就将已确定购买国库券的资金全部用于半年期存款，如果在上半年发行国库券，就将本来购买国库券的资金全部取出购买国库券，在国库券到期的那年再将国库券所获得的本金和利息用于定期的半年期存款，到期后再将本金和利息用于半年期活期存款，年末将其取出用于发放奖金。如果在下半年发行国库券就在上半年村定期半年，到期后转存活期，国库券发行后取出购买国库券，国库券到期后继续存活期，由于先存定期与先存活期利率相同。因此两年期国库券的运转周期为3年。也就是说在这3年里总有两年用于国库券，半年用于半年期存款，半年用于半年活期存款，即采用了活期，半年期 ，国库券的“组合式”投资。同理，三年期国库券和五年期国库券的运转周期为四年、六年。则计算，三、四、六的周期运转利率如下列各式：
11012201350111
(12)(1)(1) 1.06394
2211
(13)(1)(1) 1.100082211
(15)(1)(1) 1.17125
22
p r r r p r r r p r r r =++?+?==++?+?==++?+?=
根据以上分析在每年年初可以选择的存钱方式有一年期、二年期、三年期、五年期和三年、四年、五年国库券、活期、半年期的“组合式”投资方式。
根据以上情况列出线性方程组如下：
11121315131416212223252324261113132333533343612221113141424345434446133222311142231;(1);
(12)(1);
(13)(12)(1)x x x x y y y M x x x x y y y x r z x x x x y y y x r x r y p z x x x x y y y x r x r x r y p y p z ++++++=++++++=+-++++++=++++-++++++=+++++++-51525355535456233322411242331616263656364155333422511163342431717273737425543;(13)(12)(1);
(15)(13)(12)(1);(15)(13x x x x y y y x r x r x r y p y p z x x x x y y x r x r x r x r y p y p y p z x x x y y x r x ++++++=+++++++-+++++=++++++++++-++++=+++3522611263442531818283833555336227113635426319192455633722811463642731101)(12)(1);(15)(13)(12)(1);(15)(13)(12)(1);r x r x r y p y p y p z x x x y x r x r x r x r y p y p y p z x x x r x r x r x r y p y p y p z x +++++++-+++=++++++++++-+=++++++++++-=5557338229115637428316558339221011(15)(13)(12)(1);(15)(13)(12)(1).
x r x r x r x r y p y p y p z M x r x r x r x r z ++++++++++-=+++++++- 根据以上线性方程组解得在此种情况下的奖金：
z 127.5222(=万元）
三、将情况二特殊化，即国库券的发行时间为年中，这样就不存在将半年期改为活期存款的情况，也就是说将问题三转化为半年期、半年期、国库券的“组合式”投资同样的解释方法，可以把购买国库券的运行周期分为三、四、六的运行模式。在这种情况下计算出购买国库券情况的利率如下：
211122212351(12)(1/2) 1.06856
(13)(1/2) 1.10486(15)(1/) 1.17633
p r r p r r p r r =++==++==++=
第三种线性方程组的表示方法与第二种情况的方程组一样，根据题意解出线性方程组。则可以的出计算结果如下：
z 131.7896()=万元
则根据线性方程组解得，第一年年初的时候存一年期存款为356.7万元、两年期存款234.7万元、购买两年期国库券228.3万元、购买三年期国债4068万元，购买五年国库券112.1万元。第二年年初购买三年国库券为119.3万元、五年国库券112.1万元。第三年年初的时候购买的五年国库券为112.1万元。第四年年初的时候购买的五年国库券为112.1万元。第五年年初时购买的五年国库券为6363万元。
5.3、问题三模型的建立与求解
在问题三中学校在第三年举行百年校庆，基金会为了鼓舞师生希望在第三年发放的奖金比其他年份多20%。解决这个问题可以通过对前两个问题分析，在第三年时题目没有说明只存款还是即可以存款还可以购买国库券，所以解决这个问题要分为两种情况。
5.3.1、模型的建立与求解
在只用来存款时可以借鉴问题一的模型只是把第三年的奖金变为原来的1.2倍，列出第三年奖金的发放情况如下所示：
41424345133222311(13)(12)(1) 1.2;x x x x x r x r x r z +++=+++++-
可以将问题一中第三年奖金的情况进行变换如上式所示，建立如问题一的线性规划模型。解得方程组如下所示：
z 107.5524=（万元）
线性方程组中解得的每年年初的存款方式为。第一年年初时存一年期存款388.6万元、二年期存款196.4万元、三年期存款211.8万元、五年期存款4203万元。第二年年初时三年期存款191.6万元、五年期存款96.4万元。第三年年初时五年期存款96.44万元。第四年年初时五年期存款96.44万元。第五年年初一年期存款96.4万元。第六年年初时五年期存款4580万元。 5.3.2、 模型的建立与求解
在即可以存款又可以购买国库券时，这种情况下又可以分为三种不同的情况。
第一种情况在每年年初时发行国库券，通过比较存款和购买国库券的利率可知国库券的利率大于存款利率，在既可以购买国库券又可以存款时。肯定选择购买国库券。解决这种方式时只需要把第三年的奖金改为原来的1.2倍，列式计算式如下：
41424345133222311(13)(12)(1) 1.2x y y y y p y p x r z +++=+++++-
利用问题二中的第一种情况的线性方程组解得最大奖金
143.7854(z =万元）
第三年可以获得的奖金是172.5425万元
第二种情况国库券的发行在每年的其他发行这时在没发放国库券时可以选择半年期定期、半年期货活期、购买国库券。第三种情况国库券在每年年中发放。这样存款方式即是两个半年期定期存款、购买国库券。这两种情况可以用第二问的二、三种情况的模型解题只需要把奖金改为原来的1.2倍。
只需要把第三年的奖金改为原来的1.2倍，如下所示:
41424345434446133222311142231(13)(12)(1) 1.2;x x x x y y y x r x r x r y p y p z ++++++=+++++++-根据问题二的第二种情况的线性方程组联立解得。
半年活期、半年定期、购买国库券的“组合式”方式时，最大奖金额是：
124.8507(z =万元）
第三年可以获得的奖金额是149.8208万元
半年定期、半年定期、购买国库券的“组合式”方式时，最大奖金额是：
129.0966(z =万元）
第三年所获得的奖金额是154.91592万元
根据以上计算结果可知在只有存款时所获得的奖金数额最少，在既可以存款又可以购买国库券时，购买国库券时所获得的奖金额最大。
六、模型的检验
问题一的检验可以采取将全部资金分为不同的存款方式，以题意可知要想获得最大的奖金数额必须使存款时间最长，可以采取将每年到期的本息和全部用来发放奖金，例如第一年年末的时候把一年期存款取出，所得的本息和全部用来发放第一年的奖金。第二年年末把二年期存款取出，所得本息和全部用来发放第二年的奖金。
定理1
在年利率不变的情况下，把一笔固定数额的资金N 先存定期k 年再存定期j 年与先存定期j 年再存定期k 年，本金和利息相同。
证明：定义k p 和k p 是存款k 年和j 年的年利率，N 为一笔固定数额的金额。由上述可得先存定期k 年再存定期j 年所得的本金和利息为(1)(1)k j N p p ++，先存定期j 年再存定期k 年的本金和利息为(1)(1)j k N p p ++。显然可得：
(1)(1)(1)(1)k j j k N p p N p p ++=++
定理2
使一定数额的资金存款n 年后本息和最大的存款策略为 当1n =时，存定期1年； 当2n =时，存定期2年； 当3n =时，存定期3年；
当4n =时，先存定期3年，然后再存定期1年； 当5n =时，存定期5年；
当5n >时，首先存储5n ??
????
个5年定期，剩余的情况与5n <相同
证明：运用枚举法将存款n 年的所有组合列出来，再比较本息即可求出上述定理2，
定理3
基金M 使用n 年的情况，首先把M 分成n 份，其中第i 份基金存款年限为i 年，那么只有当第i 份基金按最优存款策略存款i 年后的本息和等于当年的奖金数，并且第n 份基金按最佳存款策略存款n 年后的本息和等于原基金M 与当年的奖金数之和时，每年发放的奖金才能达到最多。
证明：当1n =时，命题显然成立；
当1n >时，首先需要证明：第一份基金i A 存入银行定期，到期后本息和正好等于奖金数额z ，即(1 1.8%)i A z +=。
假设(1 1.8%)i A z +≠，运用反证法证明，分两种情况：
假设(1 1.8%)i A z +<，这种情况下说明不够支付奖金，就必须从其他部分取出，使得其他部分转化为活期，显然这种话情况获得的总利息少。为获得最大的奖金， (1 1.8%)i A z +<不成立。
(1 1.8%)i A z +>，这种情况下支付奖金后还有剩余资金，又为了不让资金闲
置，必须再次存款，显然这样获得的利息不如直接将神谕的资金转存为其它年限。所以为获得最大的奖金，(1 1.8%)i A z +>不成立。
同理可证当第i 份基金按最优存款策略存款i 年后的本息和等于当年的奖金数，并且第n 份基金按最佳存款策略存款n 年后的本息和等于原基金M 与当年的奖金数之和时，每年发放的奖金才能达到最多。
定理3得证。
根据以上三个定理即可列出将资金M 分成n 份的线性表达式，在每年年末取出本息和用于当年奖金的发放列出线性方程组如下：
A11.018z;A21.03888z;
A31.0648z;A41.08397z;A51.1152z;A61.13527z;A71.15856z;A81.18746z;A91.20884z;A101.24367z 5000;
A1A2A3A4A5A6A7A8A9A105000;
?=?=?=?=?=?=?=?=?=?=++++++++++=
开始第一年时候把奖金分成十份，每年年末取出对应的本息和作为当年的奖金，在第十年年末取出的资金除去发奖金的资金以外，剩余的应当是最初的资金金额，解出以上线性方程组：奖金金额：
109.8165(z =万元）
从结果可知计算结果与问题一的结果基本相等，所建模型不同，所以计算结果会有些误差，从而验证模型建立的合理性。
对于二、三两问的问题可以采取同样的模型，结果可以验证模型建立的合理性。所建模型均是最优模型。
七、模型评价与改进
6.1模型的优缺点
1.本文主要使用了线性规划模型，并使用lingo 进行求解，方便运算，简单实用。
2.模型细致，逐年具体分析，将各种情况考虑进去。最后用图表进行表示，使结果更加直观。
3.假设过于理想化，与现实生活有一定差异，实际操作时必须考虑每年的利率，税收变化，以进行调整。
4.重复计算较多，计算过程比较繁琐，不借助软件很难进行求解。 6.2模型的改进方向
本文虽然对每年的各种投资都进行了考虑，但从计算结果可以看出，其实有很多计算不需要的。从而导致计算过于繁琐。因此在改进模型时可以先对一些在理论上需要考虑，但是实际上由于获得的利息过低而不需要考虑的投资进行排除，如在问题二中，只需要考虑前五年的投资方式，之后的五年不需要考虑。因
此在模型的建立之前可以进行适当的估算，以减少不必要的运算。
八、模型推广
该模型适用于各种投资规划，在已知必要的约束条件下，能比较全面的在时间和空间上对资源进行调整，以达到最优的目标。除了基金的使用计划外，还能对生产，运输进行规划，以最小的成本，达到最大的利润。
九、参考文献
【1】马君儿，李东明，资金的最优分配，工科数学，18卷5期：66-70,2002 【2】姜启源，数学模型【M】，北京；高等教育出版社，1989
【3】沧浦，最优控制的理论与方法【M】，北京；国防工业出版社，1989
十、附录
附录一：
model:
max=z;
X11+X12+X13+X15=5000;
X21+X22+X23+X25=1.018*X11-z;
X31+X32+X33+X35=1.03888*X12+1.018*X21-z;
X41+X42+X43+X45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31-z;
X51+X52+X53+X55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41-z;
X61+X62+X63+X65=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51-z;
X71+X72+X73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61-z;
X81+X82+X83=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71-z;
X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81-z;
X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91-z;
5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101-z;
End
附录二：
model:
max=z;
X11+Y12+Y13+Y15=5000;
X21+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;
X31+Y32+Y33+Y35=1.051*Y12+1.018*X21-z;
X41+Y42+Y43+Y45=1.0867*Y13+1.051*Y22+1.018*X31-z;
X51+Y52+Y53+Y55=1.0867*Y23+1.051*Y32+1.018*X41-z;
X61+Y62+Y63+Y65=1.157*Y15+1.0867*Y33+1.051*Y42+1.018*X51-z;
X71+Y72+Y73=1.157*Y25+1.0867*Y43+1.051*Y52+1.018*X61-z;
X81+Y82+Y83=1.157*Y35+1.0867*Y53+1.051*Y62+1.018*X71-z;
X91+Y92=1.157*Y45+1.0867*Y63+1.051*Y72+1.018*X81-z;
X101=1.157*Y55+1.0867*Y73+1.051*Y82+1.018*X91-z;
5000=1.157*Y65+1.0867*Y83+1.051*Y92+1.018*X101-z;
end
model:
max=z;
X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000;
X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;
X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X12+1.018*X21-z;
X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06394* Y12-z;
X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06394* Y22+1.10008*Y13-z;
X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1 .06394*Y32+1.10008*Y23-z;
X71+X72+X73+Y72+Y73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.063 94*Y42+1.10008*Y33+1.17125*Y15-z;
X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06394*Y 52+1.10008*Y43+1.17125*Y25-z;
X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06394*Y62+1.100 08*Y53+1.17125*Y35-z;
X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91+1.06394*Y72+1.10008* Y63+1.17125*Y45-z;
5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06394*Y82+1.10008 *Y73+1.17125*Y55-z;
end
model:
max=z;
X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000;
X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;
X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X12+1.018*X21-z;
X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06856* Y12-z;
X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06856* Y22+1.10486*Y13-z;
X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1 .06856*Y32+1.10486*Y23-z;
X71+X72+X73+Y72+Y73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.068 56*Y42+1.10486*Y33+1.17633*Y15-z;
X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06856*Y 52+1.10486*Y43+1.17633*Y25-z;
X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06856*Y62+1.104 86*Y53+1.17633*Y35-z;
X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91+1.06856*Y72+1.10486* Y63+1.17633*Y45-z;
5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06856*Y82+1.10486 *Y73+1.17633*Y55-z;
End
附录三：
model:
max=z;
X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000;
X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;
X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X12+1.018*X21-z;
X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06856* Y12-1.2*z;
X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06856* Y22+1.10486*Y13-z;
X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1
.06856*Y32+1.10486*Y23-z;
X71+X72+X73+Y72+Y73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.068 56*Y42+1.10486*Y33+1.17633*Y15-z;
X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06856*Y 52+1.10486*Y43+1.17633*Y25-z;
X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06856*Y62+1.104 86*Y53+1.17633*Y35-z;
X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91+1.06856*Y72+1.10486* Y63+1.17633*Y45-z;
5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06856*Y82+1.10486 *Y73+1.17633*Y55-z;
end
model:
max=z;
X11+X12+X13+X15+Y12+Y13+Y15=5000;
X21+X22+X23+X25+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;
X31+X32+X33+X35+Y32+Y33+Y35=1.03888*X12+1.018*X21-z;
X41+X42+X43+X45+Y42+Y43+Y45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31+1.06394* Y12-1.2*z;
X51+X52+X53+X55+Y52+Y53+Y55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41+1.06394* Y22+1.10008*Y13-z;
X61+X62+X63+X65+Y62+Y63=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51+1 .06394*Y32+1.10008*Y23-z;
X71+X72+X73+Y72+Y73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61+1.063 94*Y42+1.10008*Y33+1.17125*Y15-z;
X81+X82+X83+Y82=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71+1.06394*Y 52+1.10008*Y43+1.17125*Y25-z;
X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81+1.06394*Y62+1.100 08*Y53+1.17125*Y35-z;
X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91+1.06394*Y72+1.10008* Y63+1.17125*Y45-z;
5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101+1.06394*Y82+1.10008 *Y73+1.17125*Y55-z;
end
model:
max=z;
X11+Y12+Y13+Y15=5000;
X21+Y22+Y23+Y25=1.018*X11-z;
X31+Y32+Y33+Y35=1.051*Y12+1.018*X21-z;
X41+Y42+Y43+Y45=1.0867*Y13+1.051*Y22+1.018*X31-1.2*z;
X51+Y52+Y53+Y55=1.0867*Y23+1.051*Y32+1.018*X41-z;
X61+Y62+Y63+Y65=1.157*Y15+1.0867*Y33+1.051*Y42+1.018*X51-z;
X71+Y72+Y73=1.157*Y25+1.0867*Y43+1.051*Y52+1.018*X61-z;
X81+Y82+Y83=1.157*Y35+1.0867*Y53+1.051*Y62+1.018*X71-z;
X91+Y92=1.157*Y45+1.0867*Y63+1.051*Y72+1.018*X81-z;
X101=1.157*Y55+1.0867*Y73+1.051*Y82+1.018*X91-z;
5000=1.157*Y65+1.0867*Y83+1.051*Y92+1.018*X101-z;
end
model:
max=z;
X11+X12+X13+X15=5000;
X21+X22+X23+X25=1.018*X11-z;
X31+X32+X33+X35=1.03888*X12+1.018*X21-z;
X41+X42+X43+X45=1.0648*X13+1.03888*X22+1.018*X31-1.2*z;
X51+X52+X53+X55=1.0648*X23+1.03888*X32+1.018*X41-z;
X61+X62+X63+X65=1.1152*X15+1.0648*X33+1.03888*X42+1.018*X51-z; X71+X72+X73=1.1152*X25+1.0648*X43+1.03888*X52+1.018*X61-z;
X81+X82+X83=1.1152*X35+1.0648*X53+1.03888*X62+1.018*X71-z;
X91+X92=1.1152*X45+1.0648*X63+1.03888*X72+1.018*X81-z;
X101=1.1152*X55+1.0648*X73+1.03888*X82+1.018*X91-z;
5000=1.1152*X65+1.0648*X83+1.03888*X92+1.018*X101-z;
end
附录四：
model:
max=z;
A1*1.018=z;
A2*1.03888=z;
A3*1.0648=z;
A4*1.08397=z;
A5*1.1152=z;
A6*1.13527=z;
A7*1.15856=z;
A8*1.18746=z;
A9*1.20884=z;
A10*1.24367=z+5000;
A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10=5000;
End
数学建模算法分类
数学模型按照不同的分类标准有许多种类： 1.按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型。概率模型，最优控制模型，规划论模型，马氏链模型。 2.按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型。 3.按模型的应用领域分，有人口模型，交通模型，经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分，有预测模型，优化模型，决策模型，控制模型等。 5.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型，灰箱模型，黑箱模型。 数学建模的十大算法： 蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法。） 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用matlab作为工具。） 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用lingo、lingdo软件实现）图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。） 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认得是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。） 图像处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用matlab来处理问题。） 数学建模方法 统计：1.预测与预报2.评价与决策3.分类与判别4.关联与因果 优化：5.优化与控制 预测与预报 ①灰色预测模型（必须掌握） 满足两个条件可用： a数据样本点个数少，6-15个 b数据呈现指数或曲线的形式 ②微分方程预测（备用） 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式
数学建模竞赛简介
数学建模竞赛简介 数学建模就是建立、求解数学模型的过程和方法，首先要通过分析主要矛盾，对各种实际问题进行抽象简化，并按照有关规律建立起变量，参数间的明确关系，即明确的数学模型，然后求出该数学问题的解，并通过一定的手段来验证解的正确性。 数学建模竞赛于1985年起源于美国，起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出，然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委（现教育部）高教司正式发文，要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始，大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办，每年一届的，面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2010年全国共有30省(市、自治区)九百多所院校一万多个队三万多名大学生参赛，成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。数学建模竞赛是教育主管部门主办的大学生三大竞赛之一。 现在的竞赛题目来源于更广泛的领域，都是各行各业的实际问题经过适当简化，提炼出来的极富挑战性的问题，每次两道题，学生任选一题，可以使用计算机、软件包，可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间通力合作，在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分，而是按论文的水平为四档：全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖，赛区二等奖，成功参赛奖。我校于2001年开始参加这项竞赛活动。多次获全国一等奖、二等奖、湖北赛区一等奖、二等奖。 数学建模竞赛活动培养了学生的创造力、应变能力、团队精神和拼搏精神，适应了21世纪经济发展和人才培养的挑战。不少参加过全国大学生数学建模竞赛的同学都深有感触，他们说：“参加这次活动是我们大学四年中最值得庆幸的一件事，我们真正体会这几年内学到了什么，自己能干什么。”“那不寻常的三天在我们记忆中留下了永恒的一瞬，真是一次参赛，终身受益。”团队精神贯穿在数学建模竞赛的全过程，它往往是成败的关键。有些参赛队员说：“竞赛使我们三个人认识到协作的重要性，也学会了如何协作，在建模的三天中，我们真正做到了心往一处想，劲往一处使，每个人心中想的就是如何充分发挥自己的才华，在短暂的时间内做出一份尽量完善的答卷。三天中计算机没停过，我们轮流睡觉、轮流工作、轮流吃饭，可以说是抓住了每一滴可以抓住的时间。”“在这不眠的三天中，我们真正明白了团结就是力量这个人生真谛，而这些收获，将会伴随我们一生，对我们今后的学习，工作产生巨大的影响。”
运用数学模型解决问题
运用数学模型解决问题 张家荣 （中山大学新华学院信息科学系逸仙班） 摘要：数学模型是数学创造与数学教学中经常使用的一种重要的数学方法。从方法论的角度考虑，我们了解数学模型的涵义以及它的作用、构建一般的模式，对促进数学学习、灵活的应用数学知识和它的思想方法解决现实问题、提高我们的数学能力都有极其重要的意义。运用数学模型来解决各学科中的数学问题，可以把抽象问题具体化、解题过程规律化，提高答题的准确性，是解决数学问题的有效方法。 关键词：数学模型数学建模数学应用 Abstract: Mathematical model is an important mathematic way in mathematical creation and mathematical education. Thinking in methodology, we realize its mean and function. Setting up the normal mode can improve our mathematic study and use it to solve some mathematic problems. When we solve the problem, we can embody the abstract problem so we can improve our accuracy which is an effective method for solving the mathematic problems. Key words: Mathematical model Mathematical modeling Application of mathematics 前言 随着科学技术的迅速发展，数学模型越来越多的出现我们的工作、生活中。筹划出一个合理的数学模型，必定可以获得更大的效益。在日常活动中也越来越重要，采购中，人们也会谈论找出一个数学模型，或者在出行的时候，优化出行的路线。而对于那些科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型解决相关的问题更是必不可少的方法。本论文主要是通过一个例子来阐述数学模型的重要性。 一、什么是数学模型 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。【1】 二、衣柜能否搬进新居 下面这个例子为“衣柜能否搬进新居”[2]，通过这个例子，阐述数学模型的重要性。 题目如下： 老张临搬家前，站在自己大衣柜旁发愁，担心这大衣柜搬不进新居，站在一旁的小李马上拿着一把尺子出去了，不一会儿，小李对老张说：“从量得的电梯前楼道和单元前楼道宽度，绝对没有问题，请问小李的根据是什么？” 这是一个非常普遍的生活问题，而这个问题是完全可以通过建立一个数学模型去解决的！
数学模型的分类有哪些
数学模型的分类有哪些 数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种． 1.按照模型的应用领域(或所属学科)分：如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等．范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等． 2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分：如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等． 按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用．在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模． 3.按照模型的表现特性又有几种分法：
确定性模型和随机性模型取决于是否考虑随机因素的影响．近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型．静态模型和动态模型取决于是否考虑时间因素引起的变化． 线性模型和非线性模型取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的． 离散模型和连续模型指模型中的变量(主要是时间变量)取为离 散还是连续的． 虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型．连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定．在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法． 4.按照建模目的分：有描述模型、分析模型、预报模型、优化模
资金使用计划
安全生产资金使用计划 一、安全生产专项资金 为了保证安全生产工作的顺利开展，公司根据《广东省安全生产专项资金管理办法》的要求，设立安全生产专项基金，根据有关规定专项资金金额为340万元整，设立专用账号用于安全防护用具及设施的采购和更新、安全生产措施的落实和安全生产条件的改善。各职能部门对生产现场可能存在的危险源进行识别、评价，制定出详细的安全管理方案和管理措施，并根据具体的方案措施，对需要投入的安全费用进行预算，然后提交公司财务部。每年年初，公司财务部门对一年的安全生产资金投入做出详细计划；每年年底，及时统计本年度的安全生产资金的支出和使用情况。 二、安全生产保证措施 （一）组织体系 建立以项目经理****为第一责任人的安全管理组织体系网络，根据有关部门要求，本工程设置专职安全员3人，专职后勤管理员1人，各专业班组长任兼职安全员。班组长不常驻现场时，应指定其他负责本班组现场工作的人员担任本班组兼职安全员，负责对本班组员工的安全管理工作，参加工程项目部组织的现场安全管理活动。各班组兼职安全员名单应报经工程项目部备案。 （二）管理措施 现场文明施工将严格执行本公司《施工现场安全生产、文明施工管理细则》的有关规定，保证施工安全和文明达到有关标准的要求。民工宿舍每房间设床铺8张和衣物柜和小方桌各一张，实行定人定铺位。每间宿舍指定1人为寝室长，负责宿舍内日常事务管理，宿舍内卫生实行轮流值日清扫，室外公共卫生由项目部安排专人清扫。后勤管理员定期对宿舍内和公共区域卫生情况进行检查。并定期对检查结果进行公布，实行奖优罚劣。 现场施工，严格按材料管理和有关落手清治理实施办法管理，做好用旧利废工作，及时清理建筑垃圾。按专业班组分工负责各自班组在生产中的落手清工作。现场施工管理人员随时检查，检查情况作为班组责任制考核的依据，公共设施由后勤管理员负责监督检查。 安全生产情况由现场专职安全员负责实施监督，安全员做到实时检查，对重点部位施工操作实行旁站管理，并定期检查施工安全设施的完整性和可靠性。同时，安全员须定期对各班组安全生产、文明施工情况作出评价，做为班组责任制考核依据。 民工管理由后勤管理员负责，所有进场工人按工种进行登记，进场人员须符合上级有关部门对招用工人的有关规定，保证身份合法，证件齐全，退场工人应及时注销其身份。外来人员进入现场应严格查验身份并进行登记，与工程无关的人员严禁进入施工现场。班组长招用工人时，必须确认招用人员的劳动技能，并对工人进行必要的技能培训和安全教育。
基金使用计划
建模实例：基金使用计划模型 某校基金会有一笔数额为M 元的基金, 打算将其存入银行或购买国库券. 当前银行存款及各期国库券的利率见表3-17. 假设国库券每年至少发行一次, 发行时间不定. 取款政策参考银行的现行政策. 校基金会计划在n 年内每年用部分本息奖励优秀师生, 要求每年的奖金额大致相同, 且在n 年末仍保留原基金数额. 校基金会希望获得最佳的基金使用计划, 以提高每年的奖金额. 请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案, 并对M = 5000万元, n = 10年给出具体结果： ① 只存款不购国库券； ② 可存款也可购国库券； ③ 学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆, 基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%. 表 3-17 摘要 本文研究了关于基金使用计划的问题，主要目的在于设计资金的合理安排方法，实现在一定条件下，使用有限的资金合理投资，达到最大的利润。并且我们建立了相应的数学模型对该问题进行分析求解。 对于第一问，我们在不影响奖学金发放的情况下，对利率较小的银行存款进行排除，对每年的资金来源进行分析，列出所有可能发生的情况，然后建立一个线性方程组，求出最大奖学金额度，方程组如下： ,1,2,3,5 i i i i i S x x x x =+++ 1,1(1)(1) i i W r x A i =+?-= 1,121,2(1)(12)(2) i i i W r x r x A i -=+?++?-= 1,121,232,3 (1)(12)(13)(3,4) i i i i W r x r x r x i --=+?++?++?= 1,121,232,354,5(1)(12)(13)(15)(5,6,7,8,9,10)i i i i i W r x r x r x r x A i ---=+?++?++?++?-=
引导学生运用数学模型解决实际问题
引导学生运用数学模型解决实际问题 著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。” 所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构。数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思维方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。 由此，我们可以看到，培养学生运用数学模型解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题，通过解决数学问题，从而解决实际问题。本人结合实际教学谈谈运用数学模型，解决实际问题的实例。 实例一：二次函数与实际问题 1．中学课本中的实际例题。 在义务教育课程标准实验数学教材苏科版九年级上第34页习题10：某商场购进一批单价为16 元的日用品。若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖出210件。假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数。 （1）试求y与x之间的函数关系式。 （2）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润W最大？每月的最大毛利润是多少？ 解：（1）y=-30x+960。 （2）设每月的毛利润为W元，则 W=（x-16）（-30x+960） =-30x2+1440x-960×16 =-30（x-24）2+1920。 ∴当x=24时，W有最大值，W最大值=1920。 答：将售价定为24元时，每月的最大毛利润为1920元。 2．在一场战争中，敌方战败，敌方准备乘飞机逃跑。我军战机监测到敌方的飞机位于自己正南30 km外，正以3 km/s的速度向北逃去，而我方战机的速度是4 km/s，由东向西追，如图，请问我方战机在何时方能有把握把敌机击落（最近处）。 分析：设时间x秒，两机相距s千米。 那么s是斜边，两直角边分别为3x km，（30-4x）km，则 S=■ =■ 当x=■=4.8时，s有最小值 所以，经过4.8秒后，去击落敌机最有把握。 二次函数在各领域非常重要，上述二例说明了在经济、军事上的实际应用。当然在其他方面如体育方面、建筑方面等都能用到二次函数，只要认真观察，仔细寻找，我们不难发现数学就在身边，数学不再是简单地运算，而是生活中必不可少的成分。我们的生活与数学密不可分，我们通过学习数学为生活服务。因此，对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出最大等，可透过实际背景、建立变量之间的目标函数——二次函数，以转化为函数的极值问题。
数学建模常见评价模型简介
常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
学校基金使用最优规划
关于学校基金使用最优规划 摘要 本题是研究学校基金，根据合理分配基金，使得学校获得基金最大的利率收益，并用于学校的年终奖励优秀师生.在分析整个问题中，本文中考虑是基金到位的每周年年末给予优秀师生奖励奖金.通过银行存款利率或者购买国库券利率来对学校基金进行分配，并根据学校的基金数额和年限通过线性优化建立模型，最后用lingo8.0软件计算. 关于问题一，本文根据题中给予的要求，对使得学校基金全部用于银行存款，获得每年给予的奖金达到一个最大值.本文中都是以一年奖励一次优秀师生，则根据存入银行中的利率可以得出模型一中不考虑存活期和半年期.模型一是每年年初投入储蓄总额等于上一年储蓄到期的本息和与每年支出奖金额的差，建立一个线性方程组来对题中问题进行整体刻画.目标考虑：使得每年给予的奖金额大致相同且在限期第十年时基金的总额不变，根据线性方程组所建的模型，运用lingo8.0软件计算得到，此模型的最优解：每年奖金额最大值为109.8169万元. 关于问题二，增加了对国库券的购买，且国库券的发行次数和发行时间不定，本文中构造了短期储蓄（包含活期和半年期储蓄），短期储蓄用于购买当年国库券.与短期储蓄相关的有短期利率期望和单位国库券利息期望，用于导出每年国库券所收入的利息，并且国库券利息是按年付息.模型二是每年年初投入储蓄的总额等于上一年储蓄到期的本息和与上一年购买国库券获得利息扣除每年支出奖金额，建立线性方程组，再用lingo8.0软件进行计算，得到最优解为131.5011万元. 问题三是在问题二的基础上的，改变了一个约束条件（第三年支出的奖金为正常情况下的120%），通过模型二计算得到最优解，得到的最优解为128.7532万元.d 关键词:短期储蓄国库券期望
数学建模简介
数学建模简介 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述，也就是建立数学模型，然后用通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模的广泛应用 数学建模的应用逐渐变的广泛，数学建模大量用于一般工程技术领域，用于代替传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段；在高新科技领域，成为必不可少的工具，无论是在通信、航天、微电子、自动化都是创新工艺、开发新 产品的必要手段；在新的科研领域在用数学方法研究 其中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的 步骤和这些学科发展和应用的基础。 将计算机技术和数学建模进行紧密结合，使得原 本抽象的数学模型生动具体的呈现在研究者面前，使 得问题得到更好的解决。 数学建模的分支——数据挖掘 数据挖掘（Data Mining，DM）是目前人工智能和数 据库领域研究的热点问题，所谓数据挖掘是指从数据库 的大量数据中揭示出隐含的、先前未知的并有潜在价值 的信息的非平凡过程。数据挖掘是一种决策支持过程， 它主要基于人工智能、机器学习、模式识别、统计学、 数据库、可视化技术等，高度自动化地分析企业的数据， 做出归纳性的推理，从中挖掘出潜在的模式，帮助决策 者调整市场策略，减少风险，做出正确的决策。 数据挖掘是通过分析每个数据，从大量数据中寻找其规律的技术，主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤。数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以用户可理解的方式（如可视化）将找出的规律表示出来。 数据挖掘的任务有关联分析、聚类分析、分类分析、异常分析、特异群组分析和演变分析，等等。
基金最佳使用计划的实验报告
基金最佳使用计划的实验报告 学号：104080298 姓名：宁亚会班级：10D 摘要 在社会经济生活中，我们常会遇到一笔资金有多种不同的投资机会，面对这些机会，我们可以选择不同的投资方式，使这笔资金在一段时间内获得的收益最大。所以，我们有必要研究资金的最佳使用计划。 本文研究的是学校资金的最佳使用计划，文章通过建立线性规划模型得出了不同条件下资金的存入方案，并求出了各方案下每年的最高奖金数额。 在问题一的求解过程中，不考虑活期和半年期这两种存款方式，第一年初将数额为5000万元的基金以各整年期分别存入银行，第二年到第十年间，每年初将到期的本息全部取出，发完奖金后重新制定存储方案存入银行，以此建立规划模型，得到每年基金的使用计划，并求得每年最高奖金数额为215.5029万元。 国库券发行时间不固定，考虑了活期和半年期两种存款方式，当奖金发放时间距国库券发行时间不足半年时，基金以活期方式存入银行，超过半年时则以一个半年期和活期的组合方式存款，因此国库券各年期周期均增加一年。本文通过对组合方式下各期国库券平均年利率的计算得到新的规划模型，并求得该情况下的最高奖金数额为290.2868万元。 问题三要求在第三年举行百年校庆，并且在这一年发放的奖金比其他年度多20%，根据求解问题一、二的结果可知，在问题一的模型基础上增加第三年奖金20%这一约束，得到只存款不购买国券情况下，第三年的奖金数额为253.0286万元，其他年度最高奖金数额为210.8572万元。在问题二的模型基础上增加第三年奖金20%这一约束，得到即可存款也可购买国券情况下，第三年的奖金数额为340.1339万元，其他年度最高奖金数额为 283.4449万元。 一、问题重述 现某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。 校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，并且在n年末仍保留基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请帮助校基金会在下表所示的情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果： 一、只存款不购国库券； 二、可存款也可购国库券； 三、学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其他年 度多20%。 二、问题分析
数学建模是使用数学模型解决实际问题
数学建模是使用数学模型解决实际问题。 对数学的要求其实不高。 我上大一的时候，连高等数学都没学就去参赛，就能得奖。 可见数学是必需的，但最重要的是文字表达能力 回答者：抉择415 - 童生一级 3-13 14:48 数学模型 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 数学建模 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。 数学建模的一般方法和步骤 建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性。建模的一般方法： 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致如下： 1、实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数； 2、建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数； 3、用实际问题的实测数据等来检验该数学模型； 4、符合实际，交付使用，从而可产生经济、社会效益；不符合实际，重新建模。 数学模型的分类： 1、按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、统计模型等。 2、按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。
基金预测与使用优化模型
基金使用方案的优化模型 摘要 本文在投资收益率的预测上，从投资项目的特点出发，通过回归函数来预测未来投资项目的收益，比较精确的得出各个项目收益率的预测值。 在投资方案上，运用了两种方法进求解：模型（I）充分考虑投资与收益间的关系,建立线性优化模型，通过lingo编程，得到最大奖金。模型（II）充分利用项目收益率间的关系：重复投资同一种项目不如分为长短周期投资，以及项目不是很多的情况下，从而找出最优投资方案，通过先计算第i年收益对应的本金 m，然后通过反过来计算出各年的各项目的投资额，这样大大的简化了投资i 方案的计算，并且得到简单的投资方式，获得最大奖金。通过比较，各有优缺点。关键词：回归函数；复收益率；本金；投资期；奖金
1 问题的提出 学校基金会计划将一笔数额为M元的基金投入到学校教学或科研，投入科研与教学的分别会给学校带来的历年收益见表1。 到期收益额。 问题1:根据历年的收益,预测在未来n年内科研与教学的收益率。 问题2:根据问题1的收益率,基金投资到科研和教学,并每年用部分收益奖励优秀师生。要求每年的奖金额大致相同，并且使奖金额最大，同时要求在第n年仍保留原基金数额。在以下情况下，如何设计基金使用方案，并对100 M万元， = n=给出具体结果： 10 1．只投入到科研上不投入到教学中； 2．可投入到科研上也可投入教学中； 3．学校在基金到位后的第4年要举行建校100周年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多30%。 2模型假设 1．科研基金和教学基金收益率采用在这n年内的年平均收益率。 2．市场稳定，投资项目不会出现投资风险。年初投资，到期年末立即收回3．学校没有其他基金增加投入。 4．投资项目之间不会相互影响。 5．投资后再投资收益率不变，即在不同时间投资同一项目相互间不影响。6．行家分析得出的数据符合未来情况，是净收益率。 7．每年在年终表彰优秀教师和奖励优秀学生。 3符号说明 科研种类为1，2，3，5年和教学种类为1，3，5年对应项目1，2，3，4，5，6，7，8，9。
用数学模型思想方法解决实际问题
用数学模型思想方法解决 初中数学实际应用问题 关键词: 数学模型难点策略 随着新课改的进步落实，素质教育全方位、深层次推进，数学学科要求学生具有较高的数学素质、数学意识和较强的数学应用能力。而数学实际应用问题具有这种考查功能。它不仅具有题材贴近生活，题型功能丰富，涉及知识面广等特点，而且其应用性、创造性及开放性的特征明显。新课标把探索培养学生应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的能力已落实到各种版本的数学实验教材中去了。今天社会对数学教学提出更高要求，不仅要求培养出一批数学家，更要求培养出一大批善于应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的各类人才。初中阶段是探索和培养各类数学人才的黄金时段，而把实际问题转化为数学问题又是绝大多数初中学生的难题，如果在教学中我们有意识地运用数学模型思想帮助学生克服和解决这一难题，那么学生就会摆脱实际应用问题的思想束缚，释放出学习和解决实际应用问题的强大动力，激活创造新思维的火花。 把实际问题转化为一个数学问题，通常称为数学模型。数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，也就是把一个实际问题中某些事物的主要特征，主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。建立数学模型的过程称为数学建模。它主要有以下三个步骤：①实际问题→数学模型；②数学模型→数学的解；③数学的解→实际问题的解。对初中学生来说，最关键最困惑的是第一步。 一、初中学生解决实际应用问题的难点 1.1、缺乏解决实际问题的信心 与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受应用题中提供信息的次序，过多的干扰语句的影响，许多学生读不懂题意只好放弃；在信息加工过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用题的整体数学结构，并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。 数学建模问题是用数学知识和数学分法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及到各种心理活动，心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：自觉的创新意识；强烈的好奇心和求知欲；积极稳定的情感；顽强的毅力和独立的个性；强烈而明确的价值观；有效的组织知识。许多学生由于不具备以上良好的心理品质因而对解决实际问题缺乏应有的信心。 1.2、对实际问题中一些名词术语感到生疏 由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。例如：从2001年2月21日起，中国电信执行新的电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3分钟为0.2元（不足3分钟按3分钟计算），以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）。上星期天，一位同学调查了A、B、C、D、E五位同学某天打本地网营业区内电话
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 ()
薅§16.3建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 螁[学习目标] 蚀1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 蒆2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 羆3.能表述数学建模的分类； 蒃4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 葿5.培养建模的想象力和洞察力。 薆一、建立数学模型的方法和步骤 膃—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(SystemIdentification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 袁可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 膈建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 薆§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 薄图16-5建模步骤示意图 蚃模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 芁模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
数学建模的介绍
一、数学建模的意义 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。 我们也可以这样直观地理解这个概念：数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。 数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 应用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之。为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才，数学建模已经在大学教育中逐步开展，国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛，将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面，现在许多院校正在将数学建模与教学改革相结
基金使用计划清单__数学建模
题目基金使用计划 摘要 学校基金会有一笔基金，打算将其存入银行或购买国库券，不同的理财方式 当然有不同的最终奖金数额，本论文就是通过建模找出是奖金最大化的理财方 式，根据题目中的不同利率找出最好的处理方式。 第一个问题在只能存款时使奖金最大，通过对题目中不同年份的存款利率 可知，为了使奖金最大化要使奖金不能出现闲置，又因为奖金都是在年末发放， 所以活期、半年期都不能选择，依题意可得只有在每年年初可以建立线性方程组， 设出奖金，使用lingo软件对其进行编程求解可以计算出奖金的最大额： 万元。通过解线性方程组还可以求解出每年基金的投资方式以达到Z109.8169 最大奖金数额，解出奖金最多的问题。 第二个问题在既可以存款又可以购买国库券时解出奖金的最大数额，通过分 析题目中的数据可知国库券的利率要大于存款利率，所以在两种方式都可以的情 况下优先考虑购国库券，由题目可知每年都会发放国库券但是发放日期不定。在 这种情况下就要分三种情况讨论，国库券分别每年在年中发放、在年初发放、在 其他时期发放。在国库券分为三种情况发放可以按三种情况分别列出线性方程 组。求解出每种情况下的奖金数额，奖金数额分别为131.7896万元、146.8578万 元、127.5222万元，同样可以解出在三种情况下每年年初可以选择的投资方式。 第三个问题是在没有要求采取哪种方式时解出最大奖金额，从题目中给出的 条件，在第三年的时候因为学校要举行校庆活动，为了鼓舞师生在这一年中奖金 数额要比往年增加20%，解决这个问题可以分为两种情况。第一种在只能选择 存款，这种情况可以利用问题一的模型，只需要把第三年的奖金改为原来的1.2 倍。解出线性方程组，此种情况下的奖金数额是107.5524万元。第二种在既可以 选择国库券又可以存款，在这种情况下又可以分为三种小情况分别是国库券在年 中、年初、一年中其他时间。采用问题二中的模型分别列出线性方程组，求解出 每种小情况下的奖金数额129.0966万元、143.7854万元、124.8507万元。可以求 解出在每种情况下的奖金额。
数学模型在物理题中运用
数学模型在物理题中运用
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数学模型在物理解题中的运用 陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室邢彦君 数学不仅是解决物理问题的工具，数学方法更是物理学的研究方法之一。在物理解题中，可以运用数学方法，将物理问题转化为数学问题，将“物理模型”转化成“数学模型”，然后运用数学的方法进行求解或论证，再将数学结论回归到物理问题中进行验证，完成物理问题的求解。 一、函数模型 函数模型就是建立起所求量或所研究量与已知量或决定量之间的函数关系，然后运用函数的运算或性质进行运算或判断。这是物理解题中最常用的数学模型，一般用来解决最值问题或变量问题比较方便。 例1一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？ 分析与求解：设汽车起动后经时间t还未追上自行车，则汽车的位移为：s1=at2，自行车的位移为：s2=vt，二者间距为Δs=s2-s1=vt-at2。 带入已知数据，建立Δs与ｔ的函数关系式：。 由此式可知：当ｔ＝2s时，Δs最大为6m。即汽车从路口开动后，在追上自行车之前2s两车相距最远，最远距离是6m。 二、三角模型
有关涉及位移、速度、加速度、力等矢量的问题，可运用矢量合成与分解的平行四边形定则建立由表示已知量与未知量的矢量构成的矢量三角形，运用三角形的知识进行求解与分析。 例2 如图１所示，用细绳悬AB吊一质量为ｍ的物体，现在AB中的某点O处再结一细绳用力F拉细绳，使细绳的AO部分偏离竖直方向的夹角为θ后保持不动，则F的最小值是多少？ 分析与求解：以Ｏ点为研究对象，则它在AO绳的拉力F AO，BO的拉力F BO=mg，拉力F三个力的作用下处于静止状态，因此，这三个力相互平衡。这样，表示这三个力的矢量，首尾相接应该组成一个封闭三角形。由于绳BO对O点的拉力F BO=mg恒定不变，绳AO 对O点的拉力方向不变。所以，当F方向变化时，由 图1可以看出，当F方向与AO垂直时，F最小，F=mg 三、图像模型 图像模型就是，在平面直角坐标系中，建立起有某种关系的物理量间的关系图像，利用图像与坐标轴围成的面积，图像与坐标轴的交点，图像间的交点的物理意义进行分析和求解。这类问题求解时，准确化出图像是关键。