工程力学-应力状态与应力状态分析资料报告

8 应力状态与应变状态分析

1、应力状态的概念，

2、平面应力状态下的应力分析，

3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。

（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:

321σσσ≥≥

最大切应力为

13

2

max σστ-=

（2）任斜截面上的应力

α

τασσσσσα2sin 2cos 2

2

xy y

x y

x --+

+=

α

τασστα2cos 2sin 2

xy y

x +-=

（3) 主应力的大小

2

2min

max )2

(

2

xy

y

x y

x τσσσσσ+-±+=

主平面的方位

y

x xy

tg σστα--=

220

4、主应变

12

2122x y x y xy xy

x y

()()tg εεεεεεγγ?εε?

=

+±-+?

=

-

5、广义胡克定律

)]([1

z y x x E σσμσε+-=

)]([

1

x z y y E σσμσε+-=

)]([1

y x z z E σσμσε+-=

G zx

zx τγ=

G yz

yz τγ=

，

G xy

xy τγ=

6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。”

8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。

图8.1

[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力:

A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：

z

M y I σ=

b I QS z z *=

τ

由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力t ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图8.1(d)。

8.2 图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。

解题范例

[解]（1）求斜截面上的正应力

?30－σ和切应力?30－τ

图8.2

由公式

MPa 5.64)60sin()60()60cos(2100

5021005030-=?---?---++-=

?-σ

MPa 95.34)60cos()60()60sin(2100

5030=?--+?---=

?-τ

（2）求主方向及主应力

8

.0100

50120

22tan -=----=--

=y x x σστα ?-=66.382α

?=?

-=67.7033.1921αα

最大主应力在第一象限中，对应的角度为

070.67α=?，主应力的大小为

1

5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ=

??--??=－＋－－＋

由

y

x σσσσαα+＝＋2

1

可解出

2

1

(50)100(121.0)71.0MPa

x y ασσσσ=+=-+-=-－

因有一个为零的主应力，因此

)33.19(MPa

0.7133?--＝第三主方向＝ασ

画出主单元体如图8.2(b)。

（3）主切应力作用面的法线方向

25

.1120100

502tan =---=

'α ?='34.512α

?='?

='67.11567.2521αα

主切应力为

'

2

'1

MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100

50ααττ-=-=?-+?--=

此两截面上的正应力为

MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100

502100501

=?--?--++-=

'ασ

MPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100

502100502

=?--?--++-=

'ασ

主切应力单元体如图8.2（c ）所示。 由

y

x MPa σσσσαα+==+=+''500.250.252

1

，可以验证上述结果的正确性。

8.3 试用图形解析法，重解例8.2。 [解] （1）画应力圆

建立比例尺，画坐标轴τσ、。

对图8.2(a)所示单元体，在τσ-平面上画出代表x x τσ、的点A(-50,-60)和代表

y

y τσ、的点B(100,60)。连接A 、B ，与水平轴σ交于C 点，以C 点为圆心，CB （或CA ）

为半径，作应力圆如图8.3所示.

图8.3

(2) 斜截面上的应力

在应力圆上自A 点顺时针转过?60，到达G 点。G 点在τσ、坐标系的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G 点的水平和垂直坐标值：

64.5ασ=-MPa

τα=34.95MPa

(3)主方向、主应力及主单元体

图8.3所示应力圆图上H 点横坐标OH 为第一主应力，即

1121.04MPa OH σ==

K 点的横坐标OK 为第三主应力，即

371.04MPa OK σ==-

由应力圆图上可以看出，由B 点顺时针转过02α为第一主方向，在单元体上则为由y

轴顺时针转

0α，且

00238.66,19.33αα=?=?

应力圆图上由A 顺时针转到K 点(?=∠66.38ACK )，则在单元体上由x 轴顺时针转过?33.19为第三主方向,画出主单元体仍如图8.2(b)所示。

（4）主切应力作用面的位置及其上的应力

图8.3所示应力圆上N 、P 点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。 在应力圆上由B 到N ，逆时针转过?34.51，单元体上max τ作用面的外法线方向为由y

轴逆时针转过?67.25，且

MPa 04.96min max ==-=CB ττ

min max ττ和作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图8.2(c)所示。

8.4 如图8.4所示两端封闭的薄壁筒同时承受压强p 和外力矩m 的作用。在圆筒表面a 点用应变仪测出与x 轴分别成正负45°方向两个微小线段ab 和ac 的的应变e 45°＝629.4×10–6

，e –45°＝－66.9×10–6

，试求压强P 和外力矩m 。已知薄壁筒的平均直径d ＝200mm ，厚度t ＝10mm ， E ＝200GPa ，泊松比m ＝0.25。

图8.4

[解] （1）a 点为平面应力状态,在a 点取出如图8.4(c)所示的原始单元体，其上应力：

22,,42x y x pd pd m t t d t σστπ

=

==-

（2）求图8.4(c)斜单元体efgh 各面上的正应力：

245245

32283228x y

x x y x pd m

t d t pd m t d t σσστπσσστπ-+=-=

+

+=+=-

（3）利用胡克定律，列出应变e 45°、e –45°表达式

()()()()()()2454545245454511321181132118pd m E E t d t pd m E E t d t εσμσμμπεσμσμμπ---??

=

-=-++??????-=-+????＝

-

将给定数据代入上式

6

6

3213200210629.4100.75 1.252001081020010p m π-?????=??+? ?

?????

6

6

321320021066.9100.75 1.252001081020010p m π-????-?=??-? ?

?????

得压强和外力矩

p ＝10MPa ， m ＝35kNm

8.5矩形截面简支梁如图8.5所示，已知梁的横截面面积为A ，截面惯性矩为I ，材料的弹性模量为E ，泊松比为μ,梁外表面中性层上A 点45°方向的线应变为ε450

。请选择荷载F.

图 8.5

(A) A E με-?145 （B ）A

E 145-?με (C) A E )1(4945με-? （D ）A E )1(9445με-?

答案:(A)

8.1 单元体最大正应力面上的切应力恒等于零吗?

[解] 正确。因为在主平面上的正应力σ1是单元体各截面上正应力的极值（可以为最大值），而主平面上切应力为零。

8.2 单元体最大切应力面上的正应力恒等于零,对吗?

[解] 不正确。三向应力状态下单元体有3个主应力，而最大切应力由

31σσ决定，即：

2

3

1max σστ-=

8.3 若一单元体中两个面上切应力数值相等 , 符号相反 , 则该两平面必定相互垂直 , 这种说法对吗?

[解] 正确。由切应力双生互等定理知,若切应力数值上21ττ=，符号相反时，该两平面必定相互垂直。

图 8.6

8.4 直径 d=20mm 、L=2m 的 圆截面杆,受力如图 8.7 。试绘杆件中 A 点和 B 点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。

y

σ习题解析

[解] 以下图8.8为图8.7各单元体受力图：

图 8.8 应力计算:

图（a ）的A 点 :

a N

63.69MP A σ=

=-

（c ） 图 8.7

(a) （b ） （d ）

点

A 点

A 点

A )

(a )

(c )

(b 点

B )

(d 点

B τ

τ

σ

τ

σ

σ

点

A σ

图（b ）的A 点:

a

3

80

50.96MP d 16

τ=

=π 图（c ）的A 点:

a N

127.38MP A σ=

=

B 点:

a

N

127.38MP A σ=

= , a 38050.96MP d 16

τ==π 图（d ）中A 点(压应力):

3

a

33z

M 201025.48MP 1W 3.14(2010)32

-?σ===??? B 点:

*z a

z QS 4Q 0.17MP I b 3A τ===

(b ）中的A 为危险点，（c ）中的A 、B 为危险点，（d ）中的A ，B 点均为危险点,相比之下A 点的应力较大。

8.5 已知应力状态如图 8.9 所示(应力单位:MPa)。试用图解法求: (1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之;

(2) (c)、(d) 、(e)上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置 ,求最大切应力。

(a)300

斜截面单元本;(b)450

斜截面单元体;(c) 纯切应力单元体;(d) 压拉切单元体 (e) 拉压切单元体。

图 8.9

[解](a) 按比例画出应力圆如下图,可得α=300的斜截面的正应力和切应力为E点的坐标为

30a

45MP

?

σ=

30a

8.5MP

?

τ=

解析法校核：

x y x y

x a

x y

x a

30505030

cos2sin2cos6045MP 2222

50303

sin2cos2538.5MP

222

α

α

σ+σσ-σ+-

σ=+α-τα=+=

σ-σ-

τ=α+τα=?==

(b)用比例画出应力圆,E点的坐标为

45a

5MP

?

σ=

45a

25MP

?

τ=

解析法校核：

x y x y

x a x y

x a 5050cos 2sin 2cos 9020sin 905MP 22

22

50

sin 2cos 2sin 9025MP 2

2

αασ+σσ-σσ=+

α-τα=

+-=σ-στ=

α+τα=

?=

(c ）应力圆如下图,与σ轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：

11a 232a

OA 50MP ,0,OA 50MP σ==σ=σ==-

主平面的方位可由应力圆上量得,因

112D OA 90

?=∠=-

最大主应力作用面与x 平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转的):

45

?=-

13

max a

50MP 2σ-στ=

=最大切力；

(d ）应力圆与σ轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：

y

σ

C

E

X

O τ

Y

2α

11a

22a3

OA70MP

OA30MP,0

σ==

σ==σ=

最大主应力作用面与x平面之夹角为(可由应力圆上得):

1

2FCA9045

?=∠=-?=-

max a

CF20MP

τ==

最大切力

(e）应力圆与σ轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为

11a32a

OA44.7MP OA44.7MP

σ==σ==-

主平面的方位，可由应力圆上量得：

226.513.2

?=-?=-

（对应于主应力σ1所在主平面）

max a

40MP

τ=

最大切力

8.6图 8.10 示单元体 ( 单位为 MPa), 问分别属于什么应力状态。

图 8.10

[解] (1)(a)属于单向拉应力状态;

(2)(b)属于双向拉应力状态(平面应力状态); (3)(c) 属于双向拉剪应力状态; (4)(d) 属于纯剪应力状态;

(5)(e) 属于双向拉应力状态(平面应力状态).

8.7 用直角应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为ε00

=700×10-6

, ε450

=350×10-6

,ε900

=-500×10-6

,试作应变圆,求该点处的主应变数值和方向。

[解] 选比例尺如图8.11（b ）所示，绘出纵坐标轴，并根据已知的u

y x εεε,,值分别作

出平行于该轴的直线

Lc

L L b a 和,，过Lb 线上任一点B ，作与Lb 线成顺时针方向45°角的

BA 线，交La 线于A 点,作与Lb 线成逆时针转向45°角的BC 线交Lc 线于C 点。作BA 与BC 两线的垂直的平分线，相交于o 1点，过o 点作横坐标轴即ε轴，并以A O 1为半径作圆，按上述比例尺量取些二者的交点D1，D2横坐标，即得：

6

2361110600.,.........10800--?-==?==OD OD εε

再从应变圆上量得：

所示的方向如图（，主应变故)11,2221a ε?? ==

图 8.11

8.8用直角应变花测得构件表面上某点处ε0=+400×10-6

, ε450

=+260×10-6

, ε900

=-80×10-6

, 试求该点处三个应变的数值和方向。

[解] 因

6

040010x εε-==? 6

908010y εε-==-?

利用公式得

()()(

)

2

2

1120454590

2x y εεεεεεε?

?

??=++-+-???????

?

()()()226666661400108010240010260102601080102------????=??-?+??-?+?+???

?????

? 66

132010520102--??=??+???

642010-=?

()()()2

2

2045

45

90

122x y εεεεεε

ε?

?

??=+-?-+-??

?????

?

66

132010520102--??=??-???

ε

γ/2

C

D2

y

εx

ε

610010-=-?

()()0

6666

450902226010400801020010xy γεεε----=-+=??-?-?=?

8.9 用直角应变花测得受力构件表面上某点处的应变值为ε0=-267×10-6

,ε45

0=-570

×10-6 及ε900 =79×10-6 ,构件材料为 Q235 钢,E=2.1×105

MPa, μ=0.3 。试利用应变圆求主应变,再求出该点处主应力的数值和方向。

图 8.12

[解] 选比例尺和纵坐标轴如图8.12所示,已知

x 0?

ε=σ

x y u 9045

,,δε=σε=εε=ε

先做La 、Lb 、Lc ，过上的任一点作与Lb 线成顺时针转向45度角的BA 线,交La 线于A 点;作与Lb 线成逆时针转向45度角的BC 线交Lc 线于C 点,作BA 与BC 线 交线于C 点.作BA 与BC 两线的垂直等分线,相交于O1点作横坐标轴即轴.并以为半径作圆,按上述比例

11.9α=?

()

()

66666

226010400108010220.416

400108010u x y x y

arctg arctg

εεεμεε-----??-?-?-+===-?+?2α

尺即此二者的交点的横坐标,即得

61141010od ε-==?

6

3260010od ε-=-=-?

根据虎克定律得:

()()

()1112x x y E

σμεμεμμ??=

-+??+-

()()

()()566

2.11010.3267100.3791010.3120.3--???=?-?-?+????+?-?

=-66MPa

()()

()1112y y x E

σμεμεμμ??=

-+??+-

()()

()()566

2.11010.379100.32671010.3120.3--???=?-??+?-???+?-?

=-10MPa 根据主应变求主应力:

[]1131

E εσμσ=

-

[]61

351

410100.32.110σσ-?=-? []2311

E εσμσ=-

[]

63151

600100.32.110σσ--?=-?

可解得:

MPa MPa

1105331-==σσ

根据:

13

2

σσ-=

可解得:

MPa x 5.76=τ

2276.5

2 2.73

6610

x x y tg τ?σσ?=-

=-=--+

035?=

从X 轴到主应力1σ所在平面外法线,其角?是沿顺时针转向量取的。

8.10 图 8.13 示矩形截面简支梁在集中载荷P 作用下。

(1)在 A 、B 、C 、D 、E 五点取单元体,定性分析这五点的应力情况,并指出单元体属于哪种应力状态。

(2)若测得图示梁上 D 点在 x 及 y 方向上的正应变为εx =4.0×10-4

及εy =1.2 × 10-4

, 已知 E=200GN/m 2

, μ=0.3, 试求D 点 x 及 y 方向上的正应力。

图 8.13

[解] （1）A 、 B 、 C 、 D 、 E 五点的应力状态如图8.14所示，其中σＡ、σＢ均为压应力，σＤ、σE 均为拉应力。A 、 B 、 D 、 E 为平面应力状态，C 为纯剪切应力状态。

图 8.14

(2) 根据广义虎克定律得

=24.6MPa

=78.5MPa

8.11图 8.15 示一钢质圆杆,直径 D=20mm, 已知 A 点与水平线成 60度 方向上 的正应变ε600

=4.1×10-4

,试求载荷 P 。已知 E=210GN/m 2

, μ=0.28。

图 8.15

[解] 过A 点取单元体,根据题意有

0x τ= 0x σ= y σσ= 6033cos120sin1202

2

44x y

x y

x y σσσσστσσ

+-=

+

-== 1501

cos150sin1502

2

4x y

x y

x σσσσστσ

+-=

+

-=

()()()

[]410.7 4.00.3 1.210112x x y E σμεμεμμ-??=-+=?+???

?+-

()()()[]4

10.7 1.20.30.410112y y x E σμεμεμμ-??=-+=?+???

?+-

31

4

44

6060150

0.28

1

4.110

E E E

σσ

εσμσ-

?

??

=-=-=?

??

P

126.6MPa

A

σ==

P A39.8kN

=σ=

8.12 如图8.16所示,外力矩 Mn=2.5×103N·m, 作用在直径 D=60mm 的钢轴上,若E=210GN/m2, μ =0.28.试求圆轴表面上任一点在与母线成α=300方向上的正应变。

图 8.16

[解] 过表面A点取单元体,根据题意有

x y z

σσσ

===

x max

τ=-τ

3

max a

3

P

x y x y

x

30

120

4

11

3030120

M 2.510

59MP

1

W 3.14(0.06)

16

cos2sin251MPa

22

3

58.951MPa

11

()(510.2851) 3.1110

E 2.110

-

?

τ===

??

σ-σσ-σ

σ=+α-τα=

σ=-=-

ε=σ-μσ=+?=?

?

8.13 己知油压缸 (薄壁) 的平均直径为 d, 壁厚t, 壁受到油压强户的作用,其弹性模量 E 及泊松比μ均为已知。试求其直径的增量为多少?

[解] 薄壁圆筒承受压后,外表面各点将产生周向应力θ

σ

和轴向应力x

σ

,

2

2

x

pd

t

θ

σσ

==

根据广义虎克定律

x 1pd ()(1)E 2Et 2θθμε=

σ-μσ=-

环向线应变为

2d '/22d /2(d 'd)d

2d /2d d θπ-ππ-?ε=

==

ππ

直径的增量为

2pd d (1)

2Et 2μ

?=-