数学建模试题

2012-2013第一学期

《数学建模》试题卷

班级：2010级 统计 姓名：石光顺 成绩：

一、用Matlab 求解以下优化问题（10分） 用Matlab 求解下列线性规划问题：

解：首先化Matlab 标准型，即

123121114123x x x ??

-??????≤??????---????

????

， 然后编写Matlab 程序如下： f=[-3,1,1];

a=[1,-2,1;4,-1,-2]; b=[11,-3]; aeq=[-2,0,3]; beq=1;

[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x,y=-y 运行结果：

x = y =

即当1230, 2.3333,0.3333x x x ===时，max 2.6667z =-。

二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab 求解（20分）

某厂生产三种产品I ，II ，III 。每种产品要经过A , B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以A 1, A 2表示；有三种规格的

设备能完成B工序，它们以B1, B2, B3表示。产品I可在A, B任何一种规格设备上加工。产品II可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2与B2设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。

表1

解：（1）根据题意列出所有可能生产产品I、II、III的工序组合形式，并作如下假设：

按(A1，B1)组合生产产品I，设其产量为

x ;

1

按(A1，B2)组合生产产品I，设其产量为

x;

2

按(A1，B3)组合生产产品I，设其产量为

x;

3

按(A2，B1)组合生产产品I，设其产量为

x;

4

按(A2，B2)组合生产产品I，设其产量为

x;

5

x;

按(A2，B3)组合生产产品I，设其产量为

6

x;

按(A1，B1)组合生产产品II，设其产量为

7

x;

按(A2，B1)组合生产产品II，设其产量为

8

x;

按(A2，B2)组合生产产品III，设其产量为

9

则目标函数为：

约束条件为：

目标函数整理得：

（2）用Matlb程序求解目标函数，编写程序如下：

f=[;;;;;;;;];

a=[5,5,5,0,0,0,10,0,0

0,0,0,7,7,7,0,9,12

6,0,0,6,0,0,8,8,0

0,4,0,0,4,0,0,0,11

0,0,7,0,0,7,0,0,0];

b=[6000;10000;4000;7000;4000];

[x,y]=linprog(f,a,b,[],[],zeros(9,1));

x,y=-y

输出结果为： x = y = +003 即当

可以获得最大利润1152元。

三、使用图论知识求解下面问题，并使用Matlab 求解（20分）

北京（Pe ）、东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)各城市之间的航线距离如表2。

表2

由上述交通网络的数据确定最小生成树。

解：（1）根据表2得北京（Pe ）、东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)之间的无向连线图如下：

（2）用prim 算法求上图的最小生成树

用n result 3的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。Matlab 程序如下： a=zeros(6);

a(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60; a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70; a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68; a(4,5)=51;a(4,6)=61; a(5,6)=13; a=a+a';

a(a==0)=inf;

result=[];p=1;tb=2:length(a); while size(result,2)~=length(a)-1 temp=a(p,tb);temp=temp(:); d=min(temp);

[jb,kb]=find(a(p,tb)==d); j=p(jb(1));k=tb(kb(1));

result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[]; end result

输出结果为： result =

1 1 3 1 5 4 3

2 5 6

21 35 21 51 13

由输出结果可知最小生成树的边集为1413321556{,,,,}v v v v v v v v v v ,且有

141332155621,35,21,51,13v v v v v v v v v v =====。

最小生成树的值为sum=1413321556141v v v v v v v v v v ++++=。 该图的最小生成树如下图：

四、综合题（50分） 飞机降落曲线

在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图1）. 根据经验，一架水平飞行的飞机，

其降落曲线是一

条五次多项式. 飞行的高度为h ，飞机着陆点O 为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u . 出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过

10

g

，此处g 是重力加速度. 1.若飞机从距降落点水平距离s 处开始降落，试确定出飞机的降落曲线. 2. 求开始下降点s 所能允许的最小值.

关于飞机降落曲线的研究

摘要

飞机的降落过程是飞机技术人员十分关注的一个问题，为了能够实现飞机安全降落着地，本文采用待定系数法首先对飞机的降落曲线作出相应的假设，然后对飞机在降落过程中作出合理的假设，利用微分学复合函数的求导法则，确定出了符合实际的飞机降落曲线以及飞机在一定的高空中开始降落时距离着地点的最小水平距离。

图1

关键词：微分学 复合函数求导 竖直加速度

一、问题重述

经验表明，水平飞行的飞机，其降落曲线为一条五次多项式. 飞机的飞行高度为h ，着陆点为原点O ，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u . 现考虑飞

机能够安全着陆，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过10

g

，其中g 是重力加速度.若飞

机从距降落点水平距离s 处开始降落，试解决以下两个问题：

问题一：确定出飞机的降落曲线.

问题二：开始下降点s 所能允许的最小值。

二、模型假设与符号约定

、模型假设

1.飞机的降落曲线为2345012345(0)y a a x a x a x a x a x x s =+++++≤≤；

2.飞机自身的高度不计；

3.飞机降落过程中垂直加速度的最大绝对值不得超过

10

g ； 4.飞机降落过程中，都保持水平飞行姿态；

5.为了能够保证飞机安全着陆，假设有飞机开始降落时竖直方向的加速度与速度大小均为0，飞机在原点着地时竖直方向上的加速度与速度大小也为0.

、符号说明

1.h ：飞机开始降落时的竖直高度；

2.u ：飞机降落过程中的水平恒定速度；

3.s ：飞机开始降落时与着陆点o 的水平距离；

4.y :飞机降落过程中与地面的竖直高度;

5.x ：飞机降落过程中与着陆点o 的水平距离；

6.22d y

dt

：飞机降落过程中竖直方向的加速度； 7.

dy

dt

：飞机降落过程中竖直方向的速度。

三、问题分析

本模型主要是对飞机降落曲线进行模拟，以便更好的预测飞机开始降落到着陆点的水平距离，为飞机驾驶员提供一定的数据支撑，以此避免发生不必要的危险。飞机降落过程中，都保持水平飞行姿态，能过让乘客感觉不到有任何的不适；在模型中采用待定

系数法，列出飞机的飞行曲线，并根据飞机的竖直加速度的最大绝对值不能超过10

g

，以

此求解s 的最小值。

四、模型建立与求解

、问题一模型建立与求解

根据微分学中复合函数求导法则有：

飞机在竖直方向的速度大小

'()dy dy dx y x u dt dx dt

==?； 飞机在竖直方向的加速度大小2

22()''()dy d d y

dt y x u dt dt ==?.

由假定飞机降落曲线为2345012345y a a x a x a x a x a x =+++++得：

根据模型假设以及飞机从高度为h 的高空开始降落时，距降落点（原点O ）水平距离

为s ，飞机在降落的过程中保持水平；有

即01

2345012345234

1

234522

223234500(2345)020(261220)0

a a a a s a s a s a s a s h u a a s a s a s a s a u u a a s a s a s =??=??+++++=??++++=??=??+++=? 解得：012345345101560,0,0,,,.h h h

a a a a a a s s s

====

=-= 因此，飞机的降落曲线为： 345

34510156[0,]h h h y x x x x s s s s

=-+∈.

、问题二的模型建立与求解

由问题一飞机的降落曲线为345

34510156[0,]h h h y x x x x s s s s

=

-+∈，则飞机在竖直方

向的加速度222223

234560180120d y h h h u x u x u x dt s s s

=-+；

记22()d y

a x dt

=.则

令2222

34560360360'()0h h h a x u u x u x s s s

=-+=得：

当

136x s =

时，()a x 在[0,]s 2

；

当

236x s +=

时，()a x 在[0,]s 上取得最小值2

. 即飞机在降落过程中的最大加速度的绝对值2

|()|a x =. 于是根据题目要求有

所以10s ≥=

即开始下降点s 所能允许的最小值为10. 五、模型检验

由上述设计可知在飞机的降落曲线为一个五次多项式与实际相符，飞在机开始降落

距离着地点的水平距离10s ≥竖直方向上的加速度不超过10

g

（远小于重力加速度g ），所以在降落曲线为该五次多项式下飞机的降落过程是安全的。

六、模型的评价

优点：飞机在降落过程中，考虑比较全面，利用微分的知识解决了相关问题；模型

假设合理，基本上符合实际，具有可推广型。

缺点：不能很直观地看出模型。

参考文献：

[1] 欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传璋，数学分析—3版，北京：高等教育出版社，.

[2] 赵静但琦，数学建模与数学实验—3版，北京：高等教育出版社，.

第四题分以下几部分完成

1. 论文题目；

2. 论文摘要（不得超过300字）

3. 关键词（不得少于三个）

4. 论文正文：问题提出（按你的理解对所给题目做更清晰的表述）；问题分析（根具问题的性质，你打算建立什么样的数学模型）；模型假设（有些假设须作必要的解释）；模型设计（对出现的数学符号必须有明确的定义）；模型的解法与结果；模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等；模型的优缺点及改进的方向；必要的计算机程序。

5. 参考文献

说明

1. 文件名：学号+姓名+班级.

2. 2012年12月12-13日上课时以班为单位将电子文档、打印文档统一交给老师.

3. 纸质文档从左边装订.

4. 将你不做的题目全部删去.

5. 电子文档用Word2003排版.