量子场论三种绘景的不同表示关系
量子力学中的薛定谔绘景和海森堡绘景
天津大学物理系材料物理与化学 2011级硕士研究生孙明宇 (2011210009)
【摘要】量子力学是一门描述物体微观相互作用的一门物理学分支学科，在对物体运动状态的描述中与经典力学迥异。对量子系统随时间的运动我们有三种不同而又相互等价的方式进行描述,称为绘景(picture或representation,也称表象)。文章主要描述薛定谔绘景、海森堡绘景以及相互作用绘景三种绘景，并联系经典力学参照系对三者进行比较和讨论。
【关键词】量子力学绘景变换参考系
引言
对量子系统随时间的运动我们有三种不同而又相互等价的方式进行描述,称为绘景(picture或representation,也称表象)。量子力学中的绘景可以看作是经典力学中参考系概念的推广它描述了算符和态矢随时间的演化。有关绘景的问题,是量子力学中最基本的问题之一。对于前两种绘景问题的讨论,可以追溯到量子力学建立初期关于薛定谔的波动力学(1926年)与海森堡的矩阵力学(1925年)等价性的讨论.
量子力学中，可观测物理性质与物理算符?在状态Ψ下的平均值〈?〉=〈Ψ,?Ψ〉相联系.量子系统随时间演化，算符平均值一般也随时间演化。描述量子系统随时间的演化有三种不同的方式：（1）算符形式保持不变而态矢量随时间改变；（2）态矢量保持不变而算符形式随时间改变；（3）算符形式和态矢量都随时间改变，分别为薛定谔绘景、海森堡绘景以及相互作用绘景。
三种绘景各有优缺点，并针对于不同问题的解决。本文主要讲述三种绘景特点，并联系经典力学的参照系展开讨论。
1. 薛定谔绘景
考虑薛定谔方程：，
可以形式地解为：。
某力学量的期望值为：s
如果我们认为物理系统的动力学行为( 随时间演化的行为 )完全由决定，算符不含时间，就是薛定谔绘景( Schordinger picture )。
设t0时刻的系统状态波函数是Ψ(t0)，定义一时间演化算子U(t,t0)，则有某一时刻t的状态波函数为Ψ(t)。其中，
|Ψ(t)> = U(t,t0) |Ψ(t0)>，
带入薛定谔方程，可有：，
显然，t=t0时，U(t,t0) =1，
一般时刻下，演化算子。
演化算子一般由量子力学系统的特性及其哈密顿算符决定.薛定谔绘景对于实际计算比较方便,因为许多情况下求解薛定谔方程都可以归结为解较简单的微分方程。Hs比较简单时，可以采用微扰论方法解决，但如果面对不便用微扰论处理的问题（如强作用问题）则不适用。
2. 海森堡绘景
和薛定谔绘景恰恰相反，在海森堡绘景中，动力学行为完全由算符描述，而不含时间，即力学量及平均值的分布随时间的演化归结为算符随时间的变化。
根据量子力学，通过一个幺正矩阵，我们可以得到新的波函数和算符的表述，可见，海森堡绘景实际上对应一种特殊的幺正矩阵( 算符 )，即海森堡绘景中的态矢满足薛定谔绘景态矢的幺正变换，如：
|ΨH(t)> = U-1(t,t0) |ΨS(t)>
F H(t) = U-1(t,t0)F S U(t,t0)，
结合|ΨH(t)> = U(t,t0) |ΨH(t0)>，
有|ΨS(t)> = U-1(t,t0) U(t,t0) |ΨH(t0)> = C，
可见任何时刻下海森堡绘景的波函数均与时间t无关，即：
。
利用算符对时间t求导，可有 =[H H, F H] ，
若算符显含t，则有海森堡方程：
= [H H, F H]，
容易证明，对海森堡绘景而言，动力学问题由关于算符的运动方程给出：
。
海森堡绘景与经典力学的对应关系更为直接，处理微扰问题时较薛定谔绘景更为方便。但计算比较繁琐，不如直接解薛定谔方程简便。
3. 相互作用绘景
量子力学中波函数和算符均不可以精确测量，所以我们也可以定义波函数和算符均随时间变化。在实际问题中，某一时刻物体的运动状态可以看作是原状态经一微扰动后变化的结果。所以我们可以定义一种新的描述——相互作用绘景，来描绘算符和波函数的变化。这里我们定义Ht = H0+ H’，其中，H0对应于海森堡绘景中的相互作用量，H’ 是一微扰项。
对薛定谔绘景中的算符和波函数进行变换，
|ΨI(t)> = T (t,t0) |ΨS(t)>
F I(t) = T (t,t0)F S T-1 (t,t0)，
其中，T-1 (t,t0) = T+ (t,t0)，
,
显然，T(t, t0) = 1,
可以解得：，
其中， T (t,t0)H’T-1 (t,t0)。
对相互作用算符求导得：
不显含时间时： = [H0I, F I]，
显含时间时： = [H0I, F I]。
若设H0为0，则方程蜕变成薛定谔方程；若H’为0，则方程蜕变为海森堡方程。
4. 三个绘景与经典力学参照系的联系与对比
量子力学的绘景可以看作是经典力学中参考系概念的推广。经典力学中存在多种惯性参考系：固定参考系，刚体随动参考系以及局部随动参考系。
薛定谔绘景类似第一种，即主要针对确定的测量空间以及手段下的变化问题(即随时间确定算符但波矢变化)，类似于实验室、工厂等确定空间(坐标系)下，生产测量的位置改变。
海森堡绘景类似于第二种，即一个刚体(或参考系)随时间在不断变化，而参考坐标随刚体一起运动，此时好比算符在随时间变化，但波函数(空间
坐标)不发生变化。
相互作用绘景中，一部分作用量不随时间变化，另一部分是受外界扰动而随时间变化。因此可以看作是部分固定，部分随时间变化的参考系下的问题。
表1给出了三种绘景的各种表示
| | |
S
> = |> =
|
F S F S
|ΨS(t)> |ΨH(t)>=0 |Ψ
(t)> =|ΨI(t)>
I
=0
表1 三种绘景的不同表示关系
量子场论1
量子场论1 课程编号：Y08037D 量子场论 Quantum Fields Theory 开课单位：理学院教学大纲撰写人：冯笙琴课程学分 2.5 课程学时：45 学生层次：硕士研究生课程性质：选修课授课方式：讲授考试方式：考查适用专业：凝聚态物理 教学目标： 课程主要内容： 一、绪论 物理理论的发展和量子场论的建立；组成物质的基本粒子；自然单位、度规与记号； 二、相对论波动方程 广义Lorentz变换；张量；电磁场方程；Klein-Gordon方程；Dirac方程；电子的自旋角动量；Dirac方程的协变性；Dirac方程的平面波解；Dirac方程的解的正交归一性与完备性；二分量中微子理论； 三、经典场论 最小作用量原理与场方程；Noether定理；时空平移与能量、动量守恒定律；时空旋转 变换与角动量守恒定律；第一规范变换与电荷守恒定律； 四、场量子化概述 场量子化的物理基础；二次量子化；场量子化的正则形式； 五、标量场量子化
实标量场量子化；复标量场量子化； ,介子的同位旋； 六、旋量场量子化 经典场；场的量子化和粒子性；协变形式的对易关系；核子的同位旋； 七、矢量场量子化 经典场；场的量子化和粒子性；Lorentz条件；不定度规； 八、Green函数 Green函数的形式定义；标量场的传播函数；电磁场的传播函数；旋量场的传播函数； 九、量子场的相互作用 相互作用的描述；相互作用的分类；电磁相互作用；强相互作用；弱相互作用； 十、散射矩阵和协变微扰论 相互作用图象；量子场论的求解和U矩阵；散射矩阵S和跃迁振幅；S矩阵的化简； 费曼图；动量表象； 十一、微扰论的应用 跃迁几率与反应截面；对自旋（极化）求和与求平均；矩阵的性质和求迹公式；Compton,散射；正、负电子湮没；轫致辐射； 十二、重整化理论 发散困难和重整化思想的引进；闭合回路、真空起伏；自由电子的自能；电子自能部 分；真空极化；顶角部分；重整化一般理论； 十三、规范场
第7章关系数据库规范化理论复习题
第7章关系规范化理论 一、单项选择题 1．关系规范化中的删除操作异常是指①，插入操作异常是指②。 A．不该删除的数据被删除 B．不该插入的数据被插入 C．应该删除的数据未被删除 D．应该插入的数据未被插入 答案：①A ②D 2．设计性能较优的关系模式称为规范化，规范化主要的理论依据是。 A．关系规范化理论 B．关系运算理论 C．关系代数理论 D．数理逻辑 答案：A 3．规范化理论是关系数据库进行逻辑设计的理论依据。根据这个理论，关系数据库中的关系必须满足：其每一属性都是。 A．互不相关的 B．不可分解的 C．长度可变的 D．互相关联的 答案：B 4．关系数据库规范化是为解决关系数据库中问题而引入的。 A．插入、删除和数据冗余 B．提高查询速度 C．减少数据操作的复杂性 D．保证数据的安全性和完整性 答案：A 5．规范化过程主要为克服数据库逻辑结构中的插入异常，删除异常以及的缺陷。 A．数据的不一致性 B．结构不合理 C．冗余度大 D．数据丢失 答案：C 6．当关系模式R(A，B)已属于3NF，下列说法中是正确的。 A．它一定消除了插入和删除异常 B．仍存在一定的插入和删除异常 C．一定属于BCNF D．A和C都是 答案：B 7. 关系模式1NF是指_________。 A. 不存在传递依赖现象 B. 不存在部分依赖现象
C．不存在非主属性 D. 不存在组合属性 答案：D 8. 关系模式中2NF是指_______。 A.满足1NF且不存在非主属性对关键字的传递依赖现象 B.满足1NF且不存在非主属性对关键字部分依赖现象 C.满足1NF且不存在非主属性 D.满足1NF且不存在组合属性 答案：B 9. 关系模式中3NF是指___________。 A.满足2NF且不存在非主属性对关键字的传递依赖现象 B.满足2NF且不存在非主属性对关键字部分依赖现象 C.满足2NF且不存在非主属性 D.满足2NF且不存在组合属性 答案：A 10．关系模型中的关系模式至少是。 A．1NF B．2NF C．3NF D．BCNF 答案：A 11．关系模式中，满足2NF的模式，。 A．可能是1NF B．必定是1NF C．必定是3NF D．必定是BCNF 答案：B 12．X→Y为平凡函数依赖是指__________。 A．X 1、证明Dirac 场的非等时对易关系在lorentz 变换下的不变性。 2、若lorentz 变换：νμνμμx a x x =→'，场变换中)()(''x x φφφ=→，设四维时空的)(2 1φφφμμV L -??=。问作用量x Ld I ?=4在lorentz 变换下是不变的。求相应的Nother 守恒说。 3、由电荷守恒定律推导复标量场的总电荷的表达式? --=]1)()()()([**3k b k b k a k a x d e Q 。 4、说明下列困难产生的原因及克服这些困难的办法。 5、比较经典电磁场和量子电磁场的lorentz 条件，并说明其物理意义。 6、何为相互作用图像？它与Schrodinger 图像关系如何？在量子场论中利用相互作用图像有何好处？ 7、写出量子电动力学的S 矩阵一级微扰项，并算出一级S 矩阵对应的费曼图。说明分别代表什么物理过程，这样的过程实际上能否发生？为什么? 8、试写出电子和电子辐射后的费曼图，并按费曼规则写出相最低数的S 矩阵元。 1、论述产生下列困难的原因及克服这些困难的办法。 （1）负几率困难；（2）负能困难；（3）真空中场物理量（能量、动量、电量）为无穷大困难。 2、电磁波是横波。将电磁场量子化之后，理论上不仅有横光子，还有纵光子和标量光子。如何解决这一矛盾？ 3、以某一场（标量场、或者电磁场、或者旋量场）为例简述场量子化的正则方法。 4、Klein-Gordon 方程描述自旋为零的标量光子，它有平面波解。（1）写出其平面波展开式，并说明解的物理意义；（2）试以场的动量（x d x x p ? ?-=→3)()(?π）为例标量场的量子特性。 5、何谓相互作用图像？它与Schrodinger 图像的关系如何？在量子场论中采用相互作用图像有何好处？ 6、说明下列Feynman 图代表的物理过程，这些过程能否实现？为什么？ 7、在QED 中，最低级的S 矩阵为 ??????=∧∧+∞∞ -+∞∞-??))()()(())()()((!2222_111_24142)2(x x A x N x x A x N x d x d e S ψψψψ （1）用Wick 定理将)2(S 展开为正则乘积； （2）上图展开式中，哪些项对一对电子的散射有贡献？ （3）画出一对电子散射过程的Feynman 图，并按Feynman 规则写出其最低能级S 矩阵元，并化简。 第一章预备知识 §1 粒子和场 以现有的实验水平，确认能够以自由状态存在的各种最小物质，统称为粒子。电子、光子、中子、质子等是最早认识的一批粒子，陆续发现了大量的粒子、介子和共振态，粒子的数目达数百种，它们是物质存在的一种形式。 场是物质存在的另一种形式，这种形式主要特征在于场是弥散于全空间的，全空间充满着各种不同的场，它们互相渗透和相互作用着。按量子场论观点，每一种粒子对应一种场，场的激发表现为粒子的出现，不同激发态表现为粒子的数目和状态不同，场的退激发，表现为粒子的湮沒。场的相互作用可以引起激发态的改变，表现为粒子的各种反应过程，也就是说场是物质存在的更基本的形式，粒子只是场处于激发态时的表现。 1. 四种相互作用 目前已确定的粒子之间的相互作用有四种，即在经典物理中人们早已认识到了的引力相互作用和电磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的强相互作用和弱相互作用。四种相互作用的比较见表 电磁相互作用的强度是以精确结构常数 2 3 1 7.297310 4137.036 e c α π - ===? h 来 表征的，可以同时参与四种相互作用的粒子（例如质子p）为代表，通过典型的反应过程的比较研究，确定各种作用强度的大小。 2. 粒子的属性 不同粒子有不同的内禀属性，这些属性不因粒子产生的来源和运动状态而改变。 最重要的属性有： 质量m ，粒子的质量是指静止质量，以能量为单位，它和能量E 和动量→ P 的关系为42222c m c p E =- 电量Q ，粒子的电荷是量子化的，电荷的最小单位是质子的电荷。 自旋S ，粒子的自旋为整数或半整数，如π介子的自旋为0，电子的自旋为1/2 ，矢量介子的自旋为1。 平均寿命τ，粒子从产生到衰变为其它粒子所经历的时间称为粒子的寿命。由于粒子的寿命不是完全确定值，具一定的几率分布，如果0N 个相同粒子进行衰变，经过时间t 后还剩下N 个，则t e N N τ 10-=，式中τ即为粒子的平均寿命。 磁矩μ，指粒子的自旋磁矩μ。它与粒子的自旋S 满足关系：S m e g 2=μ，式中e 是粒子电荷，m 为粒子质量，g 是数量因子。 宇称P ，描述粒子在空间反演下的性质的一个量子数。若在空间反演下)(x x ? ?-→，若粒子的态函数改变符号，此粒子具奇宇称（P ＝－1）。若态函数保持不变，粒子具偶宇称（P=1）。 粒子的性质，可查阅有关资料。例如：Particle Data Group 编的 Review of Particle Physics , 刊登于Plys .Lett . B592 (2004)。 3. 粒子的分类 可按多种方式对粒子分类。 按参与相互作用的性质，可分为三类： （a ） 强子， 既参与强相互作用，也参与弱相互作用。已发现的粒子大多数 是强子，包括重子，介子。 （b ） 轻子，不参与强相互作用的粒子，有的参与电磁作用和弱作用，如电 子和μ 子，有的只参与弱作用。 （c ） 规范玻色子，传递作用力的粒子，如γ ，-+W W ,，0Z 。 按轻子——夸克层次可分三类： 按强子夸克结构理论，强子不是“基本”粒子，强子是复合粒子，是若干个夸克构成的复合体，夸克是构成强子的组元粒子。夸克有6种：上夸克（u ），下夸克（d ），奇异夸克（s ），粲夸克（c ），底夸克（b ）和顶夸克（t ）。按Gell_Mann & Zweig 理论，夸克带有分数电荷，理论上称有“六味”夸克，其所带电荷如下表： 研究生院物理科学学院研究生培养方案 为了进一步加强研究生培养工作，规范和优化研究生培养过程，提升研究生培养质量，以适应国家战略和社会需求，根据《中华人民共和国学位条例》、《中华人民共和国学位条例暂行实施办法》，并根据研究生院直属院系学科特点，特制定培养方案总则，本方案适用于研究生院直属院系科学学位研究生。 一、培养目标 培养德智体全面发展、具有坚定的社会主义信念、爱国主义精神和社会责任感，具有进取、创新、协作、唯实的科研道德，具备严谨认真的科学态度，理论联系实际的工作作风的科学研究或专门技术领域的高级专业人才。 二、学科及研究方向 （0702）物理 （070201）理论物理 1. 基本粒子理论 2. 量子场论、弦论及数学物理 3. 粒子宇宙学 4. 原子分子物理 5. 凝聚态理论 6．统计物理、非线性动力学及复杂系统理论 7．天体物理 8．生物物理 （070202）粒子物理与原子核物理 1.粒子物理 2.原子核物理 3.核技术及应用 4.加速器物理 （070203）原子与分子物理 1．原子分子激发、电离和解离的实验和理论研究 2、天体物理、等离子体中的原子分子过程； 3、量子物理与量子信息、 （070205）凝聚态物理 1.凝聚态理论物理 2.凝聚态实验物理 3.原子分子物理 4.量子物理和量子信息理论 （0801）力学 （070102）固体力学 1.冲击动力学 2.弹塑性力学 3.非线性动力学 4.结构动力学 （080103）流体力学 1. 生物流体力学 2. 空气动力学与气动热力学 3. 电磁流体力学 4. 流动稳定性及湍流 5. 非定常流与涡运动 6. 计算流体力学 7. 实验流体力学 8. 环境流体力学 2020年高考备考之古代诗歌阅读 一、筛题：以教材为主线，以唐宋诗词为主导 2019年高考考纲关于古诗阅读的能力要求是“鉴赏评价D”，前提是“阅读浅易的古代诗文”。鉴赏包括“文学作品的形象、语言和表达技巧”等三个要点，评价包括“文章的思想内容和作者的观点态度”等两个要点。在命制试题时，命题人从教材出发，首先考虑选材要浅易，其次综合权衡考点分布要合理，最后设置具体问题情境要科学。从中国古代诗歌发展历史看，唐宋诗词代表最高成就。其思想内容之丰富，艺术手法之圆熟，风格流派之繁多，空前绝后。更兼有名家评论、鉴赏辞典等可靠资源。故古诗阅读题选材范围往往圈定唐宋诗词。 笔者整理了近五年高考全国卷古诗阅读题选材与考点的对应情况（详见表1），通过表格我们可以看到：①高考古诗阅读题选材范围主要集中在唐宋诗词，考题涉及的作者或作品内容至少有一项与教材紧密关联；②2018年3套全国卷古诗阅读题赋分均从以前的11分降到9分，选择题的选项内容主要是对诗句进行简要的解说；③选择题和简答题的考点分布每年都会略有变动，简答题不仅考查对思想感情或艺术手法的分析概括，还考查对诗句含意、抒情角度等的分析。 在复习阶段，时间非常宝贵，各类参考资料和模考试卷如雨后春笋，应接不暇。语文教师筛题时应明确考纲要求，不可见题就淘，泥沙俱下。应以唐宋诗词为主导，选用其思想内容或艺术特色与教材选篇有某种关联的诗作，精读细读，读懂为止，有效增加诗词储备量。比如，2019年3月福建省质检卷古诗阅读题： 阅读下面这首唐诗,完成14~15题。 有瞩 韩偓 晚凉闲步向江亭，默默看书旋旋行。 风转滞帆狂得势，潮来渚水寂无声。 谁将覆辙询长策，愿把棼丝属老成。 安石本怀经济意，何妨一起为苍生。 注:东晋名相谢安,字安石。 14.下列对这首诗的赏析,不正确的一项是（）（3分） A.首联写晚凉中诗人在江边散步、看书, 交代了诗题“有瞩”的具体情境。 B.颔联描绘风劲帆动、潮来水寂的景象,象征小人得势、英雄落寞的时代。 C.“棼丝”,原指乱丝,这里喻指纷乱之事,暗含了诗人对晚唐时局的担忧。 D.本诗写景与抒怀有机结合,状物绘景,气势壮阔,借典抒怀,蕴涵深厚。 15.本诗后四句与《永遇乐（千古江山）》末尾三句（凭谁问：廉颇老矣，尚能饭否？）皆以前人自况自勉,思想感情同中有异,请简要分析。（6分） 该考题选用唐朝韩偓的诗作，内容浅易，用典自然。思想内容与课内教材杜甫的《登高》《登岳阳楼》《旅夜书怀》紧密关联，表达技巧与辛弃疾的《永遇乐·京口北固亭怀古》及陆游的《书愤》等，都有相似之处。第14题赏析不正确的一项是B，颔联描绘风劲帆动、潮来水寂的景象，暗示唐末时局动荡，诗人内心寂寞。“小人得势”的解说不准确。第15题要先概括相同点，再分析不同点。相同点是：都以历史名人自况自勉，表达了烈士暮年的壮志以及壮志难酬的愤懑。不同点是：①韩偓以名相谢安自况自勉，期待为民出仕（韩偓是期待朝廷能采纳自己安邦定国的策略）。②辛弃疾以名将廉颇自况自勉，渴望为国出征（辛弃疾是渴望朝廷能派他出征，歼灭敌人，恢复国土）。这道题学生的得分率很低，可能是唐宋诗词储备量少，读不懂诗句，找不到课内外的关联点。 复习唐诗，要以李杜为中心，辐射到边塞、思乡、山水田园、咏史怀古等流派。复习宋词，要以苏轼、陆游为中心，辐射到婉约、豪放的名家常篇或常家名篇，最好选用 2、量子场论中的量子真空概念 现代真空理论实质上是量子的。具体说来，真空的众多新奇物理性质，正是被量子场论逐步的研究所揭示。可见在当今，只有理解量子场论，才有可能深刻而正确地掌握真空概念的物理内涵。量子场论是研究量子场的结构、运动及相互作用规律及其时空特征的物理理论。当今量子场论有阿贝尔的和非阿贝尔两种形式。在量子场论中，研究电磁作用的量子理论，是量子电动力学，属于阿贝尔量子规范场论；研究强作用的量子理论是量子色动力学，研究弱作用和电磁作用统一的量子理论是量子味动力学，两者都属于非阿贝尔量子规范场论。 1.量子电动力学真空 （1）光子真空 不少物理学家认为，量子理论中的真空概念，最早起源于P.狄拉克（Dirac，1902—— 1984）对电子相对论波方程的负能态研究，然而事实并非如此。量子真空的思想源于狄拉克对辐射电磁场量子化的探讨，所以最早的量子真空并非电子真空，而是光子真空。 1927年，狄拉克发表了题为《辐射的发射和吸收的量子理论》论文，标志着量子电动力学的诞生。在这篇文章中，狄拉克用两种不同的方法，研究了原子和电磁辐射场的相互作用问题，可称为微扰方法和波动方法。在微扰方法处理中，光量子被视为一种粒子集合，在这个粒子集合中没有相互作用，粒子以光速运动，并且满足爱因斯坦波色统计。狄拉克在证明哈密顿量能导致辐射和吸收所遵循的爱因斯坦定律时，首次提出和应用了真空思想。 狄拉克假定对于光量子，存在一种零态。在这种态中有无数个光子，但它们都是不可观测到的。这些光子可以从这些零态跃迁到生成可观测到的实光子，即零态的激发；而实光子也可跃迁回到这种零态，成为不可观测到的虚光子，即激发态的消失。这种实光子的产生和湮没图像是狄拉克第一次提出来的。可以看到这正是现今量子电动力学中真空态的概念和光子真空的思想，而电子真空的概念则是在他的这种思想的基础上提出来的。 （2）电子真空 1928年，狄拉克在电子量子理论方面发表了两篇文章。在这两篇论文中，狄拉克讨论了克莱因. 高登（Klein-Gordon）方程解的困难，并提出了著名的电子相对论波方程。利用这个方程来研究氢原子能级分布时，给出氢原子的能级结构，并和当时的实验很好符合。从这个方程还可以自然地导出电自旋为1/2，并且电子自旋的回磁比为轨道角动量回磁比的2倍，使得人们相信，这是一个正确描述电子运动的相对性量子力学波方程。 规范化理论习题1. 解释下列名词： 函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递函数依赖、候选关键字、主关键字、全关键字、1NF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF、连接依赖、5NF、最小函数依赖集、无损分解 函数依赖：FD(function dependency)，设有关系模式R(U)，X，Y是U的子集， r是R的任一具体关系，如果对r的任意两个元组t1,t2,由t1[X]=t2[X]导致t1[Y]=t2[Y], 则称X函数决定Y,或Y函数依赖于X，记为X→Y。X→Y为模式R的一个函数依赖。 部分函数依赖：即局部依赖，对于一个函数依赖W→A，如果存在X W(X包含于W)有X→A成立，那么称W→A是局部依赖，否则称W→A为完全依赖。 完全函数依赖：见上。 传递函数依赖：在关系模式中，如果Y→X，X→A，且X Y（X不决定Y）， A X（A不属于X）,那么称Y→A是传递依赖。 候 选关键字：设K 为关主关键字：若关系模式R有多个候选码，则选定其中一个作为主关键字 （Primary Key），有时也称作为主码。 全关键字：若关系模式R整个属性组都是码，称为全关键字（All Key）或全码。 1NF：第一范式。如果关系模式R的所有属性的值域中每一个值都是不可再分解的值, 则称R是属于第一范式模式。如果某个数据库模式都是第一范式的，则称该数据库存模式属于第一范式的数据库模式。第一范式的模式要求属性值不可 再分裂成更小部分，即属性项不能是属性组合和组属性组成。 2NF：第二范式。如果关系模式R为第一范式，并且R中每一个非主属性完全函数依赖于R的某个候选键，则称是第二范式模式；如果某个数据库模式中每个关系模式都是第二范式的，则称该数据库模式属于第二范式的数据库模式。 (注：如果A是关系模式R的候选键的一个属性，则称A是R的主属性，否则称A是R 的非主属性。) 。 3NF：第三范式。如果关系模式R是第二范式，且每个非主属性都不传递依赖于R的候选键，则称R是第三范式的模式。如果某个数据库模式中的每个关系模式都是第三范式，则称为3NF的数据库模式。 BCNF：BC范式。如果关系模式R是第一范式，且每个属性都不传递依赖于R 的候选键，那么称R是BCNF的模式。 多值依赖：设R(U)是属性集U上的一个关系模式，X，Y，Z是U的子集，并且Z=U-X-Y, 用x,y,z分别代表属性集X,Y，Z的值，只要r是R的关系，r中存在元组(x,y1,z1)和(x,y2,z2)时，就也存在元组(x,y1,z2)和(x,y2,z1),那么称多值依赖(MultiValued Dependency MVD) X→→Y在关系模式R中成立。 4NF：第四范式。设R是一个关系模式，D是R上的多值依赖集合。如果D中成立非平凡多值依赖X→→Y时， X必是R的超键，那么称R是第四范式的模式。 连接依赖：关系模式R(U)中，U是全体属性集，X，Y，…，Z是U的子集，当且仅当R是由其在X，Y，…，Z上投影的自然连接组成时，称R满足对X，Y，…，Z的连接依赖。记为JD（X，Y，…，Z）。 5NF：关于模式R中，当且仅当R中每个连接依赖均为R的候选码所蕴涵时，称R属于5NF。 量子场论 1、书名：量子场论第2版 书名(英文)：Quantum Field Theory 2nd ed. 作/译者：L. H. Ryder 定价：89.00 现价：89.00 ISBN：978-7-5062-6644-4 本书是一本非常好的量子场论的入门书，虽然作者本是为不了解量子场论知识的基本粒子物理学专业的学生撰写的，但理论物理学领域的高年级大学生和低年级研究生都是能够阅读的。书中给出了量子场论的概念和方法的最新介绍，1985年第1版出版后，受到了大家的好评，这第2版在初版的基础上作了补充，增加了“超对称”一章。目次：粒子物理学概要；单粒子相对论波方程；拉格朗日表述，对称和规范场；正则量子化和粒子解释；路径积分和量子力学；路径积分量子化和费恩曼规则：标量场和旋量场；路径积分量子化：规范场；自发对称破缺和Weinberg角。 2、书名：量子场论导论 书名(英文)：An Introduction to Quantum Theory 作/译者：M.E.Peskin, D.V.Schroeder 定价：79.00 现价：79.00 ISBN：978-7-5062-7294-0 本书是一部曾被美国许多大学选用的研究生教材，并受到普遍好评。与同类教材相比，该书的内容非常丰富。全书分三个部分。第一部分集中介绍场的正则量子化方法。量子电动力学和费曼图。第三部分是关于非阿贝尔规范场的详细讨论。而第二部分是在这两个部分之间搭建的一个桥梁，着重阐述泛函方法、重整化和重整化群以及临界指数等问题。作者从教学角度对于这三个部分的安排提出了详细的建议。鉴于作者的背景，这三个部分的全部内容是针对粒子物理专业研究生的需要而编排的。对于凝聚态和实验物理专业的研究生，作者建议可以把后两部分合并而舍弃用星号标记的章节即可。 作为一本教科书，作者很注重使其易读易懂和富于启发性，公式的推导和例题的分析尽可能地详尽。每一章都给出了几个习题，它们的总量虽然不大，但每个题目都经过了精心挑选，使其对深入理解课程内容和应用其解决实际问题有实质性的帮助。 我们相信，这本书不仅对于量子场论的教学(特别是双语教学)很有实际的应用价值，对于相关专业的科研人员也是一本很好的参考书。 3、书名：量子场论第1卷 书名(英文)：The Quantum Theory of Fields Vol. 1 作/译者：S. Weinberg 定价：108.00 现价：108.00 ISBN：978-7-5062-6637-6 本书由诺贝尔物理学奖得主S.Weinberg教授撰写,是量子场论领域最具权威性的一套书,也是这一领域最优秀的一部研究生教材。本书给出了量子场论的最新的 理论物理专业（070201）培养方案 （学术型硕士研究生） Theoretical Physics 一、培养目标和要求 1.努力学习马列主义、毛泽东思想和邓小平理论，坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品德良好，学风严谨，具有较强的事业心和献身精神，积极为社会主义现代化建设服务。 2. 培养掌握坚实宽广的理论基础和系统深入的专门知识，能将物理理论与实际问题关联起来的、具有理论与实践相结合能力的研究与应用性专业人才。 3. 积极参加体育锻炼，身体健康。 4. 硕士研究生应达到的要求： (1)掌握本学科的基础理论和相关学科的基础知识，有较强的自学能力，及时跟踪学科发展动态；能广泛获取各类相关知识，对科技发展具有敏感性。 (2)具有项目组织综合能力和团队工作精神，具有强烈的责任心和敬业精神。 (3)有扎实的英语基础知识，能流利阅读专业文献，有较好的听说写译综合技能。 (4)获得具有创新价值的研究结果。 5. 本专业的主要学习内容有：高等量子力学，群论，广义相对论，统计物理和多体理论，量子场论，宇宙学，物理中的数学方法，激光物理，光电子物理，计算物理，专业英语等课程，另外还要参加教学实习，全国性学术交流会议，撰写毕业论文等实践环节。硕士生毕业可以继续深造攻读博士学位，或从事中学教学以及在相关企事业任职。 二、学习年限 1. 学习年限 硕士研究生：学制3年，培养年限总长不超过5年。在完成培养要求的前提下，对少数学业优秀的研究生，可申请提前毕业。 三、研究方向与导师 （一）研究方向 1.引力与宇宙学，导师主要有翟向华教授、冯朝君副研究员、奚萍副研究员等。 2. 量子宏观效应与量子场论，导师主要有刘道军研究员、张一副教授、Sven Ahrens 副研究员等。 3.光与物质相互作用，导师主要有张敬涛研究员、冯勋立研究员等。 4.计算物理，导师主要有叶翔研究员。 （二）导师简介： 翟向华，女，理学博士，博士生导师，教授，上海市学位委员会学科评议组成员。1969年7月生，1998年于华东理工大学获得理学博士学位，上海市启明星学者，主要在宇宙真 1 ****************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************** *********** ********************** ********************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************************* 密封线准考证号姓 名职业技能鉴定湖北省题库 三级动画设计师理论知识试卷 (闭卷120分钟) 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、填空（每空0.5分，共20分） 1．动画片即动画电影片，是用图画表现 的一种影片，可以说是画出 来的电影片，又称 美术片 。 2．“动画”，顾名思义是 动 的图画，即英文中的“ Animation ”, 指赋 予图画以生命。 3．中国的影灯技术——皮影戏和 木偶 ，虽然是电影的先驱， 但现 代电影自1895年在 法国，巴黎 诞生以后，经过25年，于1920 年前后由美 国传入中国。 4．动画又称“卡通”，而现代卡通艺术包括了三种独立又相互关联的艺术形式— —漫画、 、 。 5．动画作为一种艺术文化类型，是文化信息的大众传播媒介；动画片作为电影 电视片种之一，是集 和 与一体的独特影片形式。 6．动画片（美术片）是运用美术造型所拍摄的特殊电影片，既具有作为 的 特征，又具有 的属性，它们是构成动画影片的两个基本要素。 7．1937年， 制作的 是世界上第一部彩色动画 长片。 8．计算机科学与动画的结合和计算机动画的出现，充分显示了科技给动画带来 的变化，1995年第一部全三维动画片 到《怪物史莱克》获得第 奥斯卡最佳动画长片奖，人们深切感受到了动画日新月异的更新和计 算机三维动画技术的惊人进步。 9．动画的形式多种多样，其造型大体可分为写实类、 、卡通类、装 饰类和 等类。 10．在当今许多国家和地区，动画应用已渗透到人们的生活之中，使得动画已逐 步进入到商业化阶段，从而成为一种发达的产业， 和 是当今 世界商业动画最发达的国家。 11．动画片中，所有完整的连续性动作，都必须经过 和 这 两道工序的分工合作，密切配合，才告完成。 12．根据表现的空间及手段,计算机动画一般可分为 和 两 类。 13．动画电影或电视片的拍摄与通常影视片采取连续拍摄、真实再现实体运动的 技术不同，采用的是“ ”技术，记录在胶片（或磁带）上，再 以 的速度，放映到屏幕上，使所创造的形象获得栩栩如生的活动 效果。 14．在1961年和1963年，由特伟担任艺术指导，钱家骏担任技术指导的 和 他们导演的 两部水墨动画影片，把中国水墨与动画电影像结合，创 造了最具中国特色的动画艺术风格。 15．木偶片 造型夸张，语言幽默，生动地刻画了新疆维吾尔 民族的一个传奇人物，后来发展到多集系列片。 16．1963年，日本动画家手冢治虫创作的 成为日本第一部 动画系列片，并且在20世纪80年代进入我国，占领了我国电视屏幕。 17．1984年，改编自日本动画家宫崎峻的同名长篇漫画 ，是宫崎 的第一部影院动画片。 第5章关系数据库规范化理论 1. 理解并给出下列术语的定义：函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传 递依赖、超键、候选键、主键、外键、全键、1NF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF、连接依赖、5NF。 2. 设关系模式R有n个属性，在模式R上可能成立的函数依赖有多少个？其中 平凡的函数依赖有多少个？非平凡函数依赖有多少个？ 3. 设有关系模式R(ABCD)，F是R上成立的函数依赖之集，F={AB→CD，A→D}。 (1) 说明R不是2NF模式的理由。 (2) 将R分解成2NF模式集。 4. 设有关系模式R(ABC)，F是R上成立的函数依赖之集，F={C→B，B→A}。 (1) 说明R不是3NF模式的理由。 (2) 将R分解成3NF模式集。 5. 设有关系模式： R(职工名，项目名，工资，部门名，部门经理)。 如果规定每个职工可参加多个项目，各领一份工资；每个项目只属于一个部门管理；每个部门只有一名经理。 (1) 写出关系模式R的函数依赖集合与关键码。 (2) 说明R不是2NF模式的理由，并把R分解成2NF模式集。 (3) 进而把R分解为3NF模式集，并说明理由。 6．现在要建立关于系、学生、班级、学会诸信息的一个关系数据库。语义为：一个系有若干专业，每个专业每年只招一个班，每个班有若干学生，一个系的学生住在同一个宿舍区，每个学生可参加若干学会，每个学会有若干学生。 描述学生的属性有：学号、姓名、出生日期、系名、班号、宿舍区； 描述班级的属性有：班号、专业名、系名、人数、入校年份； 描述系的属性有：系名、系号、系办地点、人数； 描述学会的属性有：学会名、成立年份、地点、人数、学生参加某回有一个入会年份。 1）请写出关系模式。 2）写出每个关系模式的最小函数依赖集，指出是否存在传递依赖。在函数依赖左部是多属性的情况下，讨论函数依赖是完全依赖，还是部分函数依赖。 3）指出各个关系模式的侯选关键字、外部关键字，以及有没有全关键字. 7．设关系模式R(A,B,C,D,E,F),函数依赖集F={A→C,C→A,B→AC,D→AC,BD→A}. 1)求出R的侯选码。 2）求出F的最小函数依赖集。 3）将R分解为3NF,使其既具有无损连接性又具有函数依赖保持性。 8．设关系模式R〈A，B，C，D，E，F〉，函数依赖集F=｛AB→E，AC→F，AD→B，B→C，C→D｝。 1）证明AB、AC、AD均是候选关键字。 2）证明主属性C部分依赖于关键字AB，传递依赖于AD。同时证明主属性D 部分依赖于关键字AC，传递依赖于关键字AB。 9．设关系模式R〈A，B，C，D，E，F〉，函数依赖集F=｛AB→E，BC→D，BE→C，CD→B，CE→AF，CF→BD，C→A，D→EF｝，求F的最小函数依赖集。 10．判断下面的关系模式是不是BCNF，为什么？ 1）任何一个二元关系。 2）关系模式选课（学号，课程号，成绩），函数依赖集F=｛（学号，课程号）→成绩｝。 3）关系模式R（A，B，C，D，E，F），函数依赖集F=｛A→B，C→F，E→A，CE→A｝，将R分解为p=｛ABE，CDEF｝。判断p是否是无损连接。 11．设关系模式R{B，O，I，S，Q，D}，函数依赖集F={S→D，I→S，IS→Q，B →Q}。 1）找出R的主码。 2）把R分解为BCNF，且具有无损连接性。 物理学硕士研究生培养方案 （学科代码：0702 ） 一、培养目标 本学科培养的硕士研究生应是热爱祖国、崇尚科学，能自觉遵守学术道德和学术规范，学风严谨、踏实勤奋、积极进取，身心健康，有良好的团队协作能力；具备扎实的理论基础知识和熟练的数理推演能力，具备实验研究的设计和操作技能，并有一定的创新能力，熟练使用一门外语，有及时了解本专业前沿动态的能力；初步具有独立从事和物理学科相关专业的教学、科研和管理等方面的专业人才。 二、学科专业 1. 理论物理（070201） 2. 原子和分子物理（070203） 3. 等离子体物理（070204） 4. 凝聚态物理（070205） 5. 光学（070207） 三、学习年限及应修学分 全日制硕士研究生的学习年限一般为3年。在完成培养要求的前提下，对少数学业优秀、科研成果突出的硕士生，可推荐提前攻读博士学位或允许申请提前毕业，提前毕业期一般不超过1年。如确需延长学习年限的，延长期一般不超过1年。 各专业的硕士研究生应至少须修满35学分，其中课程学习32学分，实践环节3学分。 四、课程设置及考核方式（具体见本学科课程设置和教学计划表） 五、培养方式 依据本学科理论物理、原子和分子物理、等离子体物理、凝聚态物理以及光学等专业特点，硕士研究生的主要培养环节由学院隶属的各研究所统筹安排，按导师及指导小组制定的具体培养计划执行。基础理论课的教学采取教师讲授为主的方式进行，通过测试取得学分；专业课及专业选修课的教学采取教师讲授和小组讨论相接合的方式进行，通过测试（或考查）取得学分；实践教学环节中的科研实践要求研究生除参加研究小组、研究所乃至学院例行的学术讨论会外，还要求每个研究生在不同场合至少分别各作一次文献综述报 【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站： https://www.360docs.net/doc/dd13457887.html, 12015年中国人民大学考研指导 育明教育，创始于2006年，由北京大学、中国人民大学、中央财经大学、北京外国语大学的教授投资创办，并有北京大学、武汉大学、中国人民大学、北京师范大学复旦大学、中央财经大学、等知名高校的博士和硕士加盟，是一个最具权威的全国范围内的考研考博辅导机构。更多详情可联系育明教育孙老师。 理论物理专业 理论物理是研究物质的基本结构和基本运动规律的一门学科,它既是物理学的理论基础,又与物理学乃至自然科学其它领域的很多重大基础和前沿研究密切相关。理论物理以解析分析与数值计算为手段，研究物质在不同层次上的基本物理规律，研究内容涵盖了从高能到低能，从微观到宏观甚至宇观的各个前沿研究领域，如：基本粒子物理、原子与分子物理、凝聚态物理、复杂系统以及广义相对论等。 【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站 ：https://www.360docs.net/doc/dd13457887.html, 2本专业主要培养具有坚实的理论物理基础和必要的数学功底，了解学科发展前沿，能够从事理论物理方面的科研教学的高层次、全面发展的学术型人才。毕业生既可以继续攻读博士学位或赴海外深造，也可以在科研机构、高等院校、国家政府部门和相关领域从事物理方面的教学、服务和管理工作，或在信息、材料、能源等相关高技术的企事业单位从事技术性工作。 目前理论物理专业的主要研究方向有：高温超导微观机理、低维强关联系统、量子临界现象、原子与分子物理中的与超冷原子相关理论问题、介观物理以及与统计力学相关的交叉学科。主要开设高等量子力学、群论、量子统计物理、高等固体理论、量子场论、相变与重正化群理论、计算物理、凝聚态物理前沿、经济与金融物理、理论生物物理等专业课程。此外，我们还将保持一定数量的由研究生、博士后和国内外访问学者组成的流动性科研队伍，促进学术交流与合作。同时，还计划组织每周一次的学术报告、每月一次名家讲坛或者前沿论坛、每个季度一次的期刊俱乐部，以及每年一两次的国内或国际的学术研讨会或夏（冬）季学校。 理论物理专业目前共计有十七位博士生导师和一位硕士生导师，博士生导师分别是Bruce Normand 教授、郭茵教授、韩强副教授、季威副教授、李涛教授、李茂枝教授、刘凯副教授、刘玉良教授、卢仲毅教授、同宁华副教授、王孝群教授、王雷教授、魏建华教授、张芃教授、张威副教授、俞榕副教授和朱传界教授，硕士生导师是徐靖讲师。这批教师年龄在33岁-52岁之间，正处于科学研究的活跃时期，并且已在计算凝聚态物理、超导物理、高温超导机理，超冷原子物理、杂质物理、复杂系统等领域取得了大量科研成果，这些科研成果的人均影响因子和引用次数均居全国著名高校物理系得前几位。除刚回国的成员外，其他成员都拥有自然科学基金项目和/或科技部973项目等。 首先要明确的几点：第一，不同的考试有不同的复习方法，千万不要把高考、四六级、期末考等考试的方法照搬到考研上，无论你这些考试考得有多好都不行。第二，每个人的具体情况都不同，有些方法对别人很有效，对你可能就没什么用，比如我，很多人都喜欢早上起床后学英语，而我却喜欢学数学，学英语的话就会打瞌睡。所以，大家不要照搬我的复习经验，一 关系数据库规范化理论常见试题及答案 1．关系规范化中的操作异常有哪些？它是由什么引起的？解决的办法是什么？ 答：关系规范化中的操作异常有插入异常、更新异常和删除异常，这些异常是由于关系中存在不好的函数依赖关系引起的。消除不良函数依赖的办法是进行模式分解，即将一个关系模式分解为多个关系模式。 2．第一范式、第二范式和第三范式的关系的定义是什么？ 答：不包含非原子项属性的关系就是第一范式的关系；对于第一范式的关系，如果此关系中的每个非主属性都完全函数依赖于主键，则此关系属于第二范式；对于第二范式的关系，如果所有的非主属性都不传递依赖于主键，则此关系就是第三范式的。 3．什么是部分依赖？什么是传递依赖？请举例说明。 答：部分依赖关系是指某个属性只由构成主键的部分列决定，而和另一些列无关。例如对关系：学生选课（学号，姓名，课程号，成绩），此关系的主键是（学号，课程号），而“姓名”列只由“学号”决定，与“课程号”无关，这就是部分依赖关系。 传递依赖指的是某个非主键属性是由另一个非主键属性决定的，而这个非主键属性再由主键决定。例如对关系：学生（学号、姓名、所在系，系主任），此关系的主键为（学号），而“系主任”由“所在系”决定，“所在系”又由“学号”决定，因此“系主任” 对“学号”是传递依赖关系。 4．第三范式的表是否一定不包含部分依赖关系？ 答：是的。 5．对于主键只由一个属性组成的关系，如果它是第一范式关系，则它是否一定也是第二范式关系？答：是的。因为如果一个关系的主键只由一个属性组成，则此关系中一定不会存在部分依赖关系。 6．设有关系模式：学生修课管理（学号，姓名，所在系，性别，课程号，课程名，学分，成绩）。设一名学生可以选修多门课程，一门课程可以被多名学生选修。一名学生有唯一的所在系，每门课程有唯一的课程名和学分。请指出此关系模式的候选键，判断此关系模式是第几范式的；若不是第三范式的，请将其规范化为第三范式关系模式，并指出分解后的每个关系模式的主键和外键。 答：候选键为：（学号，课程号），它也是此关系模式的主键。由于存在函数依赖：学号→姓名，课程号→课程名 因此，存在非主属性对主键的部分函数依赖关系，因此它不是第二范式的表。分解如下：学生表（学号，姓名，所在系，性别），主键为“学号”，已属于第三范式。 课程表（课程号，课程名，学分），主键为“课程号”，已属于第三范式。 选课表（学号，课程号，成绩），主键为（学号，课程号），已属于第三范式 7．设有关系模式：学生表（学号，姓名，所在系，班号，班主任，系主任），其语义为：一名学生只在一个系的一个班学习，一个系只有一名系主任，一个班只有一名班主任，一个系可以有多个班。请指出此关系模式的候选键，判断此关系模式是第几范式的；若不是第三范式的，请将其规范化为第三范式关系模式，并指出分解后的每个关系模式的主键和外键。 量子场论笔记 WangHongyu June22,2011 1Why Quantum Field Theory is So Di?cult?The key point 对于量子场论有两种比较容易的理解，一是标准量子力学的相对论形式：传统量子力学是非相对论的，为了处理高能量粒子的运动，必须引入相对论效应，将量子力学改写成协变形式；然而在这修改过程中必然出现反粒子问题和粒子对的产生过程，于是原来针对单粒子的量子力学转变成了粒子数可变（随时增减）体系的量子力学，为了处理粒子数的改变，需要使用将原来的波函数改写成算符，这就是所谓“二次量子化”过程，完成了二次量子化的量子理论被看作量子场论。 第二种理解要更加简单而直接：许多物理体系都是场体系，例如光本身就是一种电磁场，为了研究其量子效应，需要按照量子力学的原则对电磁场运动方程进行量子化。由于场是全空间分布的连续目标，其量子力学理论将是具有无穷自由度体系的量子理论；为了求解这样的体系，需要对自由度进行分解，得到的平面波解称为粒子或者量子，而这种理论就是量子场论。 1.1量子化 我们采用第二种理解。和传统量子力学一样，量子场论也是基于量子化的手续，比较流行的方案包括正则量子化手续和路径积分量子化。在大部分情况下，两种手续都要交替使用。 正则量子化的基本手续就是写出场的拉格朗日量，定义正则坐标和正则动量，引入正则坐标和正则动量之间的对易关系： [?(x,t),Π(x′,t)]=iδ3(x?x′) 原则上就完成了正则量子化步骤。 在实践中，由于自由度之间可能存在复杂的耦合，上述量子化需要对独立的正则动量来完成，因此首先要分解出独立的自由度。对于连续存在于平直空间的的场，最简单的方法是进行傅立叶分解。对场变量的傅立叶分解得到一系列平面波态，而自由场的哈密顿变成所有平面波哈密顿的和。对每个平面波态求解得到其能量和动量，结果表明每个态的能量和动量都是分立的，于是将这种平面波态称为“粒子”。 1量子场论
量子场论讲义1-4
中科院研究生院物理学院毕业要求
2020年高考备考之古代诗歌阅读【刘希国】
2、量子场论中的量子真空概念
数据库规范化理论习题
量子场论
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(三)动画设计师理论卷
第5章 关系数据库规范化理论
#物理学硕士研究生培养方案
2015年中国人民大学理论物理专业真题解析,考研真题,考研笔记,复试流程,考研经验
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