弯曲切应力强度条件.
- - 1 - - 工程力学
切应力强度计算
就全梁而言，最大切应力一般发生在最大剪力Q max F 所在截面的中性轴上各点处。对于不同形状的截面，m ax τ的计算公式可归纳为 Q max z max max z F S I d
τ= 为了保证梁安全正常工作，梁不但要满足正应力强度条件，同时还要满足梁的切应力强度条件，即梁内的最大切应力值不能超过材料在纯剪切时的许用切应力[]τ，即
[]Qmax z max max z F S I b
ττ?=≤ 在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和切应力两个强度条件。但对于梁的跨度比截面高度大得多的细长梁，正应力强度条件是梁强度计算的控制条件。因此按照正应力强度条件所设计的截面（或确定的荷载），常可使切应力远小于许用切应力。所以，只需按正应力强度条件进行分析即可。但是，对于下面这些情况，则不仅应考虑正应力强度条件，而且还要考虑切应力强度条件。
（1）薄壁截面梁：因腹板较薄，使得中性轴处的切应力值较大；
（2）短而粗、集中荷载作用在支座附近的梁：通常引起梁的最大弯矩较小，而剪力值较大；
（3）木梁：在横力弯曲时,中性轴处将产生较大的切应力，根据切应力互等定理,中性层也将产生相同的切应力值，由于木材在顺纹方向的抗剪能力较差，因而可能使木梁在顺纹方向发生剪切破坏。
弯曲应力计算 (1)
第7章弯曲应力 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 弯曲正应力 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m-m、n-n和平行于轴线的纵向线d-d、
b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时 可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长 了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲 了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行 如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压， 每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在 纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近 下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶 作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于 对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面 的相对转角为d ?，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度 相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a) 上式表明，线应变ε?随y 按线性规律变化。 物理方面 根据单向受力假设，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量E 相等，则由 虎 克定律，得 ρ y E E εσ== (b) 式(b)表明，纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面上中性轴处，y =0，因而 ?=0，中性轴两侧，一侧受拉应力，另一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应 力数值相等（图7-5）。 静力学方面 虽然已经求得了由式(b)表示的正应力分布规律，但因曲率半径?和 中性轴的位置尚未确定，所以不能用式(b)计算正应力，还必须由静力学关系来解决。 在图7-5中，取中性轴为z 轴，过z 、y 轴的交点并沿横截面外法线方向的轴为x 轴，作用于微面积dA 上的法向微内力为dA σ。在整个横截面上，各微面积上的微内
《纯弯曲时的正应力》教案
《纯弯曲时的正应力》教案 南京航空航天大学刘荣梅 一、教学目标 1．明确纯弯曲和横力弯曲的概念，理解基本假设。 2．掌握纯弯曲正应力公式的推导方法。 3．掌握弯曲正应力公式的应用，解决工程问题。 4．运用问题探索研究式教学方法，激发学生的求知欲和探索动机；锻炼学生分析问题解决问题的能力；培养学生应用实践能力。 二、教学重点和难点 1．纯弯曲和横力弯曲 （1）纯弯曲杆件横截面上仅有弯矩，而无剪力的状态称为纯弯曲。 （2）横力弯曲杆件的横截面上既有弯矩又有剪力的状态称为横力弯曲。 2．中性层和中性轴 （1）中性层杆件弯曲变形时，沿轴线方向既不伸长又不缩短的一层，称中性层。在教学中以立体图形的方 式加以解释。 （2）中性轴中性层和横截面的 交线，即横截面上正应力为零的各点 的连线，称为中性轴。在教学中以立 体图形的方式演示。 （3）中性轴的位置纯弯曲时，直梁的中性轴通过横截面的形心且垂直于载荷作用面。强调这一结论是在轴力为零的情况下得到的。
z M y I σ= m ax M W σ= 3．直梁横截面上弯曲正应力公式 横截面上任一点正应力的大小和该点至中性轴的距离成正比，中性轴一侧为拉应力，另一侧则为压应力。横截面上最大正应力 其中W 为抗弯截面模量，几种常见横截面的W 计算公式： （1） 矩形截面 2 6 bh W = （2） 实心圆截面 3 32 d W π= （3） 空心圆截面 3 4 (1) 32 D W πα = - （4） 型钢 查型钢表或用组合法求。 注意：如果中性轴不是横截面对称（如T 形钢)，m ax y 有两个，对应W 也应有两个。 三、 教学手段 综合运用演示实验、多媒体课件等教学手段。 四、 教学方法 问题探索研究式教学方法。 五、 解决方案及时间安排
梁弯曲时横截面上的正应力
梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q同时存在，故梁在这些段内发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F Q，梁的这种弯曲称为纯弯曲。 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。
弯曲正应力实验报告
弯曲正应力实验 一、实验目的：1、初步掌握电测方法和多点测量技术。； 2、测定梁在纯弯和横力弯曲下的弯曲正应力及其分布规律。 二、设备及试样： 1. 电子万能试验机或简易加载设备； 2. 电阻应变仪及预调平衡箱； 3. 进行截面钢梁。 三、实验原理和方法： 1、载荷P 作用下，在梁的中部为纯弯曲，弯矩为1 M=2 Pa 。在左右两端长为a 的部分内为横力弯曲，弯矩为11 =()2 M P a c -。在梁的前后两个侧面上，沿梁的横截面高度，每隔 4 h 贴上平行于轴线上的应变片。温度补偿块要放置在横梁附近。对第一个待测应变片联同温度补偿片按半桥接线。测出载荷作用下各待测点的应变ε，由胡克定律知 E σε= 另一方面，由弯曲公式My I σ=，又可算出各点应力的理论值。于是可将实测值和理论值进 行比较。 2、加载时分五级加载，0F =1000N ，F ?=1000N ，max F =5000N ，缷载时进行检查，若应变差值基本相等，则可用于计算应力，否则检查原因进行复测(实验仪器中应变ε的单位是 610-)。 3、实测应力计算时，采用1000F N ?=时平均应变增量im ε?计算应力，即 i i m E σε?=?,同一高度的两个取平均。实测应力，理论应力精确到小数点后两位。 4、理论值计算中,公式中的3 1I=12 bh ，计算相对误差时 -100%e σσσσ= ?理测 理 ，在梁的中性层内，因σ理=0，故只需计算绝对误差。 四、数据处理 1、实验参数记录与计算： b=20mm, h=40mm, l=600mm, a=200mm, c=30mm, E=206GPa, P=1000N ?, max P 5000N =, k=2.19 3 -641I= =0.1061012 bh m ? 2、填写弯曲正应力实验报告表格
第15讲 弯曲切应力、弯曲强度条件
第15讲教学方案——弯曲切应力、弯曲强度条件
§5-3 弯曲切应力 梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 σ，又有剪应力 τ。但一般情况下，剪应力对 梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。 1．矩形截面梁 对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q 。现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q 的方向一致。由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与Q 的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q 。又因截面高度h 大于宽度b ，剪应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设： 1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力 Q 。 2）剪应力沿截面宽度均匀分布。 基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a 的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图6-6b 所示。梁的横截面尺寸如图6-6c 所示，现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的剪应力 τ。过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图6-6d ）。根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中 * 1I 1** z z A z A S I M dA I My dA N == =??σ （a ）
弯曲应力和强度.
第六章 弯曲应力和强度 1、 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时， 0≠=Q dx dM 。 ，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。 根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。 （2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。 （2）物理关系 根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为 y E E ρ εσ= = 该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上 ρ E 为常数，说 明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 （3）静力关系 截面上的最大正应力为 z I My max max = σ 如引入符号 m a x y I W z z = 则截面上最大弯曲正应力可以表达为
z W M = max σ 式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[] 3 长度。矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面： 62 1223 max bh h bh y I W z z === 直径为d 的圆截面： 322 6433 max d d d y I W z z ∏=∏== 至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。 若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如 T 形截面。这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。 最大拉应力为： z t I My 1 )(= σ 最大压应力为： z e I My 2 )(= σ 2、横力弯曲时的正应力 z I My = σ 对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。
弯曲正应力实验报告
弯曲正应力实验报告
矩；y为所求应力点至中性轴的距离。由上式可知，沿横截面高度正应力按线性规律变化。 实验时采用螺旋推进和机械加载方法，可以连续加载，载荷大小由带拉压传感器的电子测力仪读出。当增加压力P?时，梁的四个受力点处分别增加作用力/2 ?，如下图所示。 P 为了测量梁纯弯曲时横截面上应变分布 规律，在梁纯弯曲段的侧面各点沿轴线方向布置了3片应变片，各应变片的粘贴高度见弯曲梁上各点的标注。此外，在梁的上表面和下表面也粘贴了应变片。 如果测得纯弯曲梁在纯弯曲时沿横截面高度各点的轴向应变，则由单向应力状态的虎 克定律公式E σε =，可求出各点处的应力实验值。将应力实验值与应力理论值进行比较，以验证弯曲正应力公式。 σ =E 实 ε 实 式中E是梁所用材料的弹性模量。
图 3-16 为确定梁在载荷ΔP 的作用下各点的应力，实验时，可采用“增量法”，即每增加等量的载荷ΔP 测定各点相应的应变增量一次，取应变增量的平均值Δε实来依次求出各点应力。 把Δσ实与理论公式算出的应力Z I MY =σ比较，从而验证公式的正确性，上述理论公式中的M 应按下式计算： Pa ?= M 2 1 （3．16） 四、实验步骤 1、检查矩形截面梁的宽度b 和高度h 、载荷作用点到梁支点距离a ，及各应变片到中
性层的距离i y 。 2、检查压力传感器的引出线和电子秤的连接是否良好，接通电子秤的电源线。检查应变仪的工作状态是否良好。分别采用1/4桥，1/2桥，全桥的接线方法进行测量，其中1/4桥需要接温度补偿片，1/2桥通过交换接线方式分别进行两次试验来比较试验结果。 3、根据梁的材料、尺寸和受力形式，估计实验时的初始载荷0 P (一般按00.1s P σ=确定)、最 大载荷max P (一般按max 0.7s P σ≤确定)和分级载荷P ? (一般按加载4～6级考虑)。 本实验中分四次加载。实验时逐级加载，并记录各应变片在各级载荷作用下的读数应变。 4、实验完毕后将载荷卸掉，关上电阻应变仪电源开关，并请教师检查实验数据后，方可离开实验室。 五、数据处理 1、原始数据。 其中a=80mm b=19.62mm h=39.38mm 1/4桥 荷载 测点 测点 测点 测点 测点
弯曲应力计算
第7章弯曲应力 7.1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 7.2 弯曲正应力 7.2.1 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截
面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m -m 、n -n 和平行于轴线的纵向线d -d 、b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d θ，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 θy ρb'b')d (+= 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 θρO'O'OO bb d === 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a)
弯曲正应力强度条件例题.
例题 一T 形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图（a ）所示。若已知此截面对形心轴z 的惯性矩4763c m z I =，且152m m y =，288mm y =；铸铁的许用拉应力 []30M P a t σ=，许用压应力[]90MPa c σ=。试校核梁的正应力强度。 解：（1）求支座反力。 由静力平衡方程求得支座反力分别为：()25kN Ay F .=↑，() 105kN By F .=↑ 例题图 （2）绘制梁的内力图，确定最大的内力值及其所在位置（危险截面）。 该梁内力图如图（b ）所示。对于脆性材料做成的横截面关于中性轴不对称的梁，其最大拉应力和最大压应力不一定都发生在弯矩绝对值最大的截面上。因此，进行强度校核时，应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面做最比分析，从而求得梁内的最大拉应力和最大压应力。所以C 、B 截面均为危险截面，且两截面弯矩值分别为： 25kN.m zC M .=， 4kN.m zB M = （3）强度校核。 C 截面强度校核：C 截面产生最大正弯矩，最大拉应力发生在截面的下边缘，最大压应力发生在截面的上边缘，如图6-21（c ）所示，其值分别为： []62a a 4 251088288MP 30MP 76310zC t max t z M y ..I σσ??===<=? []61a a 4 251052171MP 160MP 76310zC c max c z M y ..I σσ??===<=? B 截面强度校核：B 截面产生最大负弯矩，最大拉应力发生在截面的上边缘，最大
压应力发生在截面的下边缘，如图所示（c ），其值分别为： []62a a 4410522726MP 30MP 76310 zB t max t z M y .I σσ??===<=? []62a a 4 410884613MP 160MP 76310zB c max c z M y .I σσ??===<=? 此梁强度符合要求。
材料力学的基本计算公式-材料力学弯曲公式
材料力学的基本计算公式 外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横 截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角 a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样 标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 5.纵向线应变和横向线应变 6.泊松比 7.胡克定律
8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 10.轴向拉压杆的强度计算公式 11.许用应力，脆性材料，塑性材料 12.延伸率 13.截面收缩率 14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系 式 16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩 T，所求点到圆心距离r）
18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式 19.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径） 扭转切应力计算公式 21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的 关系式 22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的 直径不同（如阶梯轴）时或 23.等直圆轴强度条件 24.塑性材料；脆性材料 25.扭转圆轴的刚度条件? 或 26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力 计算公式,
27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 28.平面应力状态的三个主应力 , , 29.主平面方位的计算公式 30.面内最大切应力 31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 32.三向应力状态最大与最小正应力, 33.三向应力状态最大切应力 34.广义胡克定律
梁弯曲时横截面上的正应力
# 梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、 同时存在，故梁在这些段内c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。 Q 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 》 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必
纯弯曲梁的正应力实验
实验七 纯弯曲梁的正应力实验 一、实验目的 1．测定梁纯弯曲时的正应力分布规律，并与理论计算结果进行比较，验证弯曲正应力公式。 2．掌握电测法的基本原理。 二、实验设备 1．纯弯曲梁实验装置。 2．静态电阻应变仪。 三、实验原理 已知梁受纯弯曲时的正应力公式为 z I y M ?= σ 式中M 为纯弯曲梁横截面上的弯矩，z I 为横截面对中性轴Z 的惯性矩，y 为横截面中性轴到欲测点的距离。 本实验采用铝制的箱形梁，在梁承受纯弯曲段的侧面，沿轴向贴上五个电阻 变应片，如图7－1所示，1R 和5R 分别贴在梁的顶部和低部，2R 、4R 贴在 4 H y ±=的位置，3R 在中性层处。当梁受弯曲时，即可测出各点处的轴向应变实i ε（i=1、2、3、4、5）。由于梁的各层纤维之间无挤压，根据单向应力状态的胡克定律，求出各点的实验应力为： 实i σ= ?E 实i ε（=i 1、2、3、4、5） 式中，E 是梁材料的弹性模量。 这里采用的增量法加载，每增加等量的载荷△P ，测得各点相应的应变增量为△实i ε，求出△实i ε的平均值实i ε?，依次求出各点的应力增量△实i σ为： △实i σ = ?E 实i ε? （7－1）
把△实i σ与理论公式算出的应力增量： i σ?理 = z i I y M ?? （7－2） 加以比较从而验证理论公式的正确性。从图 7－l 的试验装置可知， a P M ??=?2 1 （7－3） 图7－1 纯弯曲梁装置 四、实验步骤 1．拟定加载方案。在0～20kg 的范围内分4级进行加载，每级的载荷增量kg P 5=?。 2． 接通应变仪电源，把测点1的应变片和温度补偿片按半桥接线法接通应变仪，具体做法是：将测点1的应变片接在应变仪的A 、B 接线柱上，将温度补偿片接在B 、C 接线柱上。调整应变仪零点（或记录应变仪的初读数）。 3．每增加一级载荷（kg P 5=?），记录引伸仪读数一次，直至加到20kg 。注意观察各级应变增量情况。 4．按步骤3再做一次，以获得具有重复性的可靠试验结果 5．按测点1的测试方法对其余各点逐点进行测试。 五、实验结果的处理 1．根据测得的各点应变值，，逐点算出应变增量平均值实i ε?代入公式 （7－1）求出△实i σ。 2．根据公式（7－3）、（7－2）计算各点的理论弯曲正应力值△理i σ。
弯曲应力、强度计算参考资料
第六章 弯曲应力和强度 一、授课学时:6学时 二、重点与难点: 重点:弯曲正应力、剪应力分布,弯曲强度条件应用 难点:弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念 重点处理:从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的分布进行对比，加强学生理解和记忆。分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义,计算方法,结合T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析,并在作业中进一步强化训练. 难点处理: 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。对照A N = σ,P I T ρτ= 的推导消化难点,以学生理解这一推导思路.结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲理解弯曲中心. 三、主要内容: （一） 弯曲正应力 1、 纯弯曲时的正应力 图所示简支梁AB ，载荷P 作用在梁的纵向对称面内，梁的弯曲为对称弯曲，其计算简图如图所示。从AB 梁的剪力图）和弯矩图可以看到，AC 和DB 梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，这种弯曲称为横力弯曲；而在CD 梁段内，横截面上则只有弯矩而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。横力弯曲时， 0≠=Q dx dM 。 可以知道，梁的各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，由于 0==Q dx dM ，可知梁的各 截面上弯矩为一不变的常数值，即M =常量。因此，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。下面，首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。 纯弯曲时，根据梁的静力关系知道，横截面上的正应力σ组成的内力系的合力矩即为弯矩M 。但是，只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的，因此，所研究的问题是超
工程力学 第九章 梁的应力及强度计算
课时授课计划 掌握弯曲应力基本概念； 掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算； 掌握弯曲剪应力强度校核。
教学过程： 复习：1、复习刚架的组成及特点。 2、复习平面静定刚架内力图的绘制过程。 新课： 第九章梁的应力及强度计算 第一节纯弯曲梁横截面上的正应力 一、纯弯曲横梁截面上的正应力计算公式 平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。 1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察 现象： （1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角； （2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。 2、假设
（1）平面假设：梁变形后，横截面仍保持为平面，只是绕某一轴旋转了一个角度，且仍与变形后的梁轴曲线垂直。 中性层：梁纯弯曲变形后，在凸边的纤维伸长，凹边的纤维缩短，纤维层中必有一层既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴将横截面分为两个区域——拉伸区和压缩区。 注意：中性层是对整个梁而言的； 中性轴是对某个横截面而言的。 中性轴通过横截面的形心，是截面的形心主惯性轴。 （2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。各纵向纤维只产生单向的拉伸或压缩。 3、推理 纯弯曲梁横截面上只存在正应力，不存在剪应力。 二、纯弯曲横梁截面上正应力分布规律 由于各纵向纤维只承受轴向拉伸或压缩，于是在正应力不超过比例极限时，由胡克定律可知 ρ εσy E E =?= 通过上式可知横截面上正应力的分布规律，即横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴之间的距离成正比，也就是正应力沿截面高度呈线性分布，而中性轴上各点的正应力为零。
弯曲时的内力和应力
一、填空题： 1 的作用。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________ 力矩的代数和。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力 为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中 力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 18、在梁的某一段内，若无分布载荷q（X）的作用，则剪力图是__________于X轴的直线。 19、在梁的弯矩图上，某一横截面上的弯矩有极值（极大值或极小值），该极值必发生在对应于剪力___________的横 截面上。 21、梁在发生弯曲变形的同时伴有剪切变形,这种平面弯曲称为__________弯曲。 24、梁在弯曲时的中性轴，就是梁的___________与横截面的交线。 28、梁弯曲时,横截面中性轴上各点的正应力等于零,而距中性轴________处的各正应力为最大。 29、梁弯曲变形后，以中性层为界，靠__________边的一侧纵向纤维受压力作用,而靠__________边的一侧纵向纤维受 拉应力作用。 31、等截面梁内的最大正应力总是出现在最大___________所在的横截面上。 32、在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线将成为一条连续而光滑的平面曲线，此曲线被称为_______。 33、梁在平面弯曲变形时的转角，实际上是指梁的横截面绕其________这条线所转动的角度。 二、判断题： 1、以弯曲为主要变形的杆件，只要外力均作用在过轴的纵向平面内，杆件就有可能发生平面弯曲。（） 3、梁发生平面弯曲时，其轴线必然弯成位于外力作用面内的平面曲线。（） 4、通常将安装在车床刀架上的车刀简化为悬臂梁。（） 5、梁横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力的代数和。（） 6、用截面法确定梁横截面的剪力或弯矩时，若分别取截面以左或以右为研究对象，则所得到的剪力或弯矩的符号通常 是相反的。（） 9、梁的最大弯矩值必定出现在剪力为零的截面处。（） 10、在简支梁上有一移动的集中载荷作用，要使梁内产生的弯矩为最大，此集中载荷并不一定作用在梁跨度中央。（） 11、梁上某一横截面的弯矩等于作用于此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对截面形心力矩的代数和，利用此 规律，可不列出平衡方程，就能直接确定横截面弯矩值的大小。（） 14、若梁某段内各横截面上的弯矩均为零，则该段内各横截面上的剪力也均为零。（） 17、在梁某一段内的各个横截面上的，若剪力均为零，则该段内的弯矩必为常量。（） 20、梁的弯矩图上某一点的弯矩值为零，该点所对应的剪力图上的剪力值也一定为零。（） 23、从左向右检查所绘剪力图的正误时，可以看出，凡集中力作用处，剪力图发生突变，突变值的大小与方向和集中 力相同，若集中力向上，则剪力图向上突变，突变值为集中力大小。（） 24、在梁上集中力偶作用处，其弯矩图有突变，而所对应的剪力图为水平线，并由正值变为负值或由负值变为正值， 但其绝对值是相同的。（） 30、梁弯曲时，梁内有一层既不受拉又不受压的纵向纤维就是中性层。（） 35、弯曲正应力公式是由矩形截面梁推导出的，故只适用于纯弯曲，而不适用于横力弯曲。（） 三、选择题： 1、工程实际中产生弯曲变形的杆件，如火车机车轮轴、房屋建筑的楼板主梁，在得到计算简图时，需将其支承方式简 化为：（）
弯曲应力计算
第7章弯曲应力 7、1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时得内力——剪力与弯矩.但就是，要解决梁得弯曲强度问题，只了解梁得内力就是不够得,还必须研究梁得弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力,如何计算各点得应力。 在一般情况下,横截面上有两种内力——剪力与弯矩。由于剪力就是横截面上切向内力系得合力,所以它必然与切应力有关;而弯矩就是横截面上法向内力系得合力偶矩，所以它必然与正应力有关.由此可见,梁横截面上有剪力时，就必然有切应力；有弯矩M时,就必然有正应力。为了解决梁得强度问题，本章将分别研究正应力与切应力得计算。 7、2 弯曲正应力 7、２、1 纯弯曲梁得正应力 由前节知道,正应力只与横截面上得弯矩有关,而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩,而无剪力作用得弯曲情况来讨论弯曲正应力问题. 在梁得各横截面上只 有弯矩,而剪力为零得弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁得各横截面上，同时存 在着剪力与弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图7 —1所示得简支梁中,BC段 为纯弯曲,AB段与CD段为 横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力得方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样,需要综合考虑 问题得变形方面、物理方 面与静力学方面。图7—1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应得纵向线应变,首先观察梁在纯弯曲时得变形现象。为此,取一根具有纵向对称面得等直梁,例如图７－2(ａ）所示得矩形截面梁,并在梁得侧面上画出垂直于轴线得横向线m—ｍ、n—ｎ与平行于轴线得纵向线ｄ-d、b-b。然后在梁得两端加一对大小相等、方向相反得力偶,使梁产生纯弯曲。此时
可以观察到如下得变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线、，靠顶面得aa线缩短了，靠底面得bb线伸长了。横向线m—m、n—n在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定得角度,且仍与弯曲了得纵向线保持正交，如图7-２（ｂ）所示。 梁内部得变形情况无法直接观察，但根据梁表面得变形现象对梁内部得变形进行如下假设: (1)平面假设梁所有得横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后得梁得轴线。 (2) 单向受力假设认为梁由许许多多根纵向纤维组成,各纤维之间没有相互挤压,每根纤维均处于拉伸或压缩得单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到得变形现象已经可以推广到梁得内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动,靠近上面部分得纵向纤维缩短，靠近下面部分得纵向纤维伸长。由于变形得连续性,中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层（图7—３）。中性层与横截面得交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁得纵向对称面内因此梁得变形也应该对称于此平面,在横截面上就就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴,但具体在哪个位置上,目前还不能确定. 考察纯弯曲梁某一微段ｄｘ得变形(图７－4).设弯曲变形以后,微段左右两横截面得相对转角为dθ，则距中性层为y处得任一层纵向纤维bb变形后得弧长为 式中，为中性层得曲率半径.该层纤维变形前得长度与中性层处纵向纤维ＯO长度相等,又因为变形前、后中性层内纤维OO得长度不变,故有 由此得距中性层为ｙ处得任一层纵向纤维得线应变 (a） 上式表明,线应变 随y按线性规律变化. 物理方面根据单向受力假设,且材料在拉伸及压缩时得弹性模量E相等，则由虎克定律，得 (b) 式(ｂ)表明，纯弯曲时得正应力按线性规律变化,横截面上中性轴处,y=０，因而σ=０，中性轴两侧,一侧受拉应力，另一侧受压应力,与中性轴距离相等各点得正应力数值相等（图7—5）. 静力学方面虽然已经求得了由式（ｂ)表示得正应力分布规律,但因曲率半径ρ与中性轴得位置尚未确定,所以不能用式（b）计算正应力,还必须由静力学关系来解决。 在图7-５中，取中性轴为ｚ轴，过z、y轴得交点并沿横截面外法线方向得轴为x轴,作用于微面积上得法向微内力为。在整个横截面上,各微面积上得微内力构成一个空间平行力系。由静力学关系可知，应满足,,三个平衡方程。 由于所讨论得梁横截面上设有轴力，,故由,得 （ｃ）将式(b)代人式(c）,得