数学悖论与谬误的区别与联系汇编
2．1．2数学悖论与谬误的区别与联系
2．1．2．1数学悖论与谬误的区别
“悖论"(Paradox)一词来源于哲学和逻辑学。意指一种自相矛盾的论述，中国古代关于“矛盾”的故事是对悖论最通俗的解释。悖论是一种导致自相矛盾的命题，这种命题如果承认它为真，那么它又是假的，如果承认它为假，那么它又是真的。②例如著名的“说谎者悖论”：古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯说：“所有克里特岛上的人所说的话都是谎话。”问题也就此出现了。我们如果认为这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，与岛上的人所说的话都是谎话相矛盾。如果认为这句话是假的，也就是说岛上也有人不说谎。因此，哲学家的这句话无论怎样也难以自圆其说，总是存在矛盾，这就构成了一个悖论。数学悖论历史悠久，一直可以追溯到2000多年前的古希腊和我国的先秦时期。数学中的悖论内容广泛，包括自相矛盾的陈述，对广泛认同的事实的误解和反驳，形似正确的错误命题和形似错误的正确命题。①现在“悖论"泛指那些推理过程看上去合理但结果却又违背客观事实的结论。数学悖论的出现极大的冲了数学的严谨性，因为当时的理论体系无法解决这一矛盾，导致很长的一段时间内整个学术界的恐慌。与此同时，大批数学家们投入极大的热情来解决这些问题，此过程中他们不断地完善原有的理论体系，甚至开辟出新的科学域，无形中让数学这门学科有了更加蓬勃的发展。
一个错误的结论通过似乎是合乎逻辑的解释而成为正确的结就
叫谬误。一般的，谬误是用来形容思维上的错误，把不正确的事情说成是正确的。在数学中，谬误可以看做是一种看似正确但经过检验可证其为错误的论证类型，也就是说经过一系列错误的推理而必然得到的结果。例如，某学生使用以下方法对分数进行化简：
在这种情况下，这个学生得到的是正确答案，但是这种方法没有逻辑根据，于是在一般的情况下这种方法将失效。
任何一个论证都是为了说明它的结果是真的，但这两种情形下是不可能的：一种是论证的前提是虚假命题的时候，无论如何推理、过程如何的正确，也无法确证它的结论为真；另外一种是论证的前提是真命题，但结论却是假的，那么说明其中间的推理过程出现了问题，也就是错误推理。习惯上，人们将“谬误”这个词用在那些虽然不正确但却具有一定说服力的论证。有些论证的错误是非常明显的，不能欺骗和说服任何人。但是，谬误有时也是危险的，因为大多时候会被某些谬误所愚弄。然而研究这些错误论证是非常有益的，因为当明确理解它们后，就可以最有效地避开它们布下的陷阱。
由上述可知，数学悖论和谬误都是一种矛盾命题，但两者之间也有不同之处。悖论是理论知识达到一定高度后的产物，随着科学体系的的不断充实和完善悖论也就随之消失。谬误在学习的任何过程中都有可能出现，但经过严密的推理可以找到其错误的根源。2．1．2．2数学悖论与谬误的联系
在数学的推理过程中，谬误和悖论有时是同时存在的。数学常常
被用来解释现实世界，然而有时经验会告诉我们，当推理和数学论证的结果与现实经验不一致时，这其中就可能存在一些比较复杂的谬误，这些谬误在无法用数学知识解释是什么的时候，就被认为是一种悖论。有些情况是发生在纯数学的领域，还有些时候会发生在语言学或现实生活的其他方面。对于数学的大量悖论来说，如果能删除那些“别扭"的谬误，那么数学就成为了一块“净土”。所以在某些谬误不能被解释之前，大多数的谬误可以被看成是悖论。例如：如果x2=Y2
那么这就是说，下面等式中至少有一个是成立的
X = Y，X = -y，-X =-y，-x=Y
这些等式中有两个是等效的，因此它们可以减少为
X =Y，X = -y除非x=0，否则要么这两个等式中有一个是错误的，要么就是这个等式有两个解。这个推导的过程中存在谬误，因为忽略了取平方根的规则或者不熟悉负数，从而不知道它是怎么变成错误的时候，就是一个悖论。
这在数学这门学科不断完善的过程中是经常会遇到的，当0还没被发现之前，某些运算，如被除中有0的运算中出现的谬误，就是一个悖论，在O出现以后，这些还没被纠正的错误就是谬误。这样的情形在取平方根、根式的运算、虚数的运算等均能被发现。
前面曾提到数学悖论的起源最早可以追溯到古希腊和我国的先秦时期。在此之后的两千多年发展历史中，因为悖论的产生，以严谨著称的数学经历了三次数学危机。以下的几节内容当中将对这
些著名的悖论进行简单的介绍。并列出一些中学数学中所涉及到的数学谬误，以供同学们欣赏和研究。
2．2著名悖论举例
2．2．1芝诺悖论
芝诺(Zeno，约公元前490——前430年)是古希腊伊利亚学派创始人巴门尼德的学生，他生活在古代希腊的埃利亚城邦，因其悖论而闻名于世，是一位伟大的数学家和哲学家。遗憾的是芝诺并没有什么著作流传下来，他的生平只能从亚里士多德的《物理学》和普里西奥斯为《物理学》作的注释中可见一斑。据说芝诺一生推出了40多个各不相同的悖论，现存的芝诺悖论至少有8个，其中以下关于运动的4个悖论尤为著名。
(1)阿基里斯(Achilles)永远追不上乌龟
传说中，阿基里斯是古希腊时期的一名长跑健将。芝诺说，他可以证明，如果先让乌龟爬出一段距离，那么阿基里斯将永远也追不上行动缓慢的乌龟。芝诺是这样证明的，如图2—1，
假设乌龟先爬一段距离当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经向前又前进了一段路程a1，到达A1点，阿基里斯要想追到乌龟必须先到达A1点。当阿基里斯跑过距离a1，到达a1点时，乌龟同时又
爬出一段距离a2到达A2点，阿基里斯要想追上乌龟，就又得跑到A2点，乌龟同时又爬出一段距离a3，到达A3点。这样下去，阿基里斯跑到A3时，乌龟又跑到A4点。如此这般下去，阿基里斯就会永远追不到乌龟。
(2)二分说(运动不存在)
由于运动的物体在到达目的地彳前必须到达其半路上的中点B，同理在到达占点之前，又应该先到达剩下距离的终点C，如此下去，该物体永远也不会到达它的终点，运动也就不可能。
(3)飞矢不动
一支飞行的箭是静止的。由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态；但由于箭要达到每一时刻的固定位置必须存在动能，所以箭必须是运动状态，这就产生了矛盾。
(4)游行队伍悖论
首先假设在操场上，观众席彳、队列曰、队列C如图2—2排列，在一瞬间(一个最小时间单位)里，相对于观众席彳，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。
观众席A
队列B---向右移动(一)
▲▲▲▲队列C---向左移动(一)
B、c两个列队开始移动，如图2-3所示相对于观众席A，B和C
分别向右和左各移动了一个距离单位。
口口口口观众席A
■■■■队列B
▲▲▲▲队列C
而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间(一个最小时间单位)里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。
综上四个悖论，芝诺的悖论除了涉及空间和时间的概念外，还与无限问题有关。这些表明当时人们对无限的认识缺乏严密逻辑基础，所以当时的芝诺悖论促进了数学的发展。
2．2．2理发师悖论
数学中著名的悖论是罗素(B．Russell，1872—1970)于1902年提出的，这位英国近代哲学家和数学家对新创立的集合论发起了猖狂的进攻，更让逻辑学家们不知所措，悖论的通俗表述是：一理发师宣称：他给所有自己不刮脸的人刮脸，而不给自己刮脸的人刮脸。
一个智者问：理发师先生，你是否应该为自己刮脸? 理发师无言以答，假如他给自己刮脸，就与他宣称的“不给自己刮脸的人刮脸”相矛盾。假如他不给自己刮脸，根据他的原则，他就应该给自己刮脸，也产生了矛盾。
罗素根据集合论的定义制造出一个集合
即集合么是由一些不属于自身的那些集合所构成的集合,换言
之，对任一集合Z，如果，z就是么的元素；反之，如果z∈A，则．
如果A是A的元素，应该有A A；如果A不是A的元素，按A的定义，A应该属于A，得到不可调和的矛盾。
而理发师悖论就是这个悖论的通俗表述。罗素悖论从根本上动摇了集合论体系，使数理逻辑家不得不重新创立公理化体系。高中一年级刚开始学习集合的概念，所以这一悖论可以作为使学生更好理解集合的概念。
2．2．3几何悖论
不可能图形是几何悖论中的一种。荷兰画家埃舍尔十分擅长画这样的图形。如下图2—4，2～5是其中两个。几何悖论所构造的图案是仅存在于2维平面世界里的图形，是一种通过素描、线描等立体绘画手法表现出3维立体世界中不可能存在的图像。
在教学中向学生介绍这些几何悖论的知识，不仅可以扩大学生的视野，而且告诫学生不能忽视正确的作图规则，同时也锻炼了学生的思维，激发学生的学习兴趣。
2．3悖论与三次数学危机
2．3．1无理数的发现与第一次数学危机\
无理数的发现归功于毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯(大约公元前580一公元前500)出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，被誉为希腊论证数学的鼻祖。他在大希腊(今意大利东南沿海的克洛托内)建立了一个秘密的宗教会社，也就是今天所说的毕达哥拉斯学派。该学派致力于哲学与数学方面的研究，并取得了很大的成就。
以毕达哥拉斯的名字命名的毕达哥拉斯定理(我们所说的勾股定理)，就是直角三角形的斜边上的正方形等于其余两边上的正方形之和(如图2—6)。
这是在古代埃及、印度和中国被独立发现的，但我们还不知道其详细情况。公元前580年左右，毕达哥拉斯及其学派因研究了这个命题而著称于世。①毕达哥拉斯学派另一项成就是正多面体作图，在三维空间中正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。其中正十二面体的作图尤为特殊。它与著名的“黄金分割”有关，这个名称虽是后人在两千多年以后
才开始启用，但毕达哥拉斯学派在当时已经知道了该分割的性质。
毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”。他们认为任何量都可以表示为两个整数之比，翻译成几何语言相当于说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。他们称这样的两条线段为“可公度量”，意思是有公共的度量单位。但在公元前470年左右，该学派的弟子希帕索斯却发现边长为1的正方形对角线与其一边却是不可“公度”的。原因如下：
假设该对角线与一边之比为m
n(m，n互素)，由勾股定理知：
即m2=2n2。这里，m2为偶数，则m为偶数，假设m=2p，那么4p2=2n2也即甩n2=2 p2，于是n也是偶数，与假设m，n互素矛盾。
此时，单位正方形的对角线长为，是一个无理数，显然是没有办法表示为整数比。但当时，这个不可公度量的发现却使得毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的思想受到了极大的冲击，他们拒绝接受无理数的出现，惊恐不已。后来人们又陆发现了其他的无理数，这些数字的出现深深地困惑着古希腊的数学家，因此人们也把希腊数学中出现的这一逻辑困难称为“第一次数学危机”。大约一个世纪之后，欧多克斯提出了新的比例理论，这一危机才暂时消除。但是无理数问题直到19世纪戴金德和康托尔等人建立了实数理论才得以彻底解决。当人们的认识从有理数的领域扩展到实数领域后，毕
达哥拉斯悖论自然消失。
第一次数学危机使得古希腊数学从以数为基础转向了以几何为基础。公元前300年左右欧几里得在柏拉图、欧多克斯等人工作的基础上建立起历史上第一个数学公理体系——《几何原本》。2．3．2贝克莱悖论与第二次数学危机
进入十七世纪以后，科技的发展给人们带来了前所未有的惊奇与挑战。1608年，人类的第一架天文望远镜对准了星空，展现给世人的不只是令人惊奇不已的天文奇观，同时也提出了亟待解决的四个问题：瞬时速度问题，曲线的切线问题，函数极值问题，求积问题(曲线长度、曲面面积)。
此后长达半个世纪的时间里，几乎所有的科学家都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的的时期内取得了迅速的发展。代表人物有伽利略、开普勒、笛卡尔、费马等。遗憾的是，这些科学家虽然沿着不同的方向逼近了微积分这一新的科学领域，对于求解各类微积分问题做出了宝贵的贡献，但由于其所用方法缺乏一般性，最终也只能说为微积分的创立奠定了基础。
英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹就是在这样的情况下登场了，时代的需要与个人的才华使他们站在一个更高的高度，将前人的贡献与分散的努力综合起来完成了创立微积分最关键的一步。牛顿于伽利略去世那年(1642)的圣诞出生于英格兰林肯郡的一个农民家庭，是遗腹子且早产。少年牛顿并不是神童，但酷爱读书与制
作玩具。17岁那年被母亲从就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农。后在其舅父和格兰瑟姆校长史托克斯的劝下，九个月后重回学校读书。有意思的是，史托克斯校长的劝说词当中的一句话可以说是科学史上最幸运的预言：在繁杂的农活中埋没这样一位天才对世界来说将是多么巨大的损失!
牛顿对微积分问题的研究始于1664年初，他在大量研究了前人成果的基础上首创了无限小且最终趋于零的增量。后来他又以运动学为背景，从解决具体问题的方法中提炼、创立出普遍适用的微积分方法。
莱布尼兹(1646—1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，早年在莱比锡大学学习法律，也就在那时他开始接触开普勒、笛卡尔等人的科学思想。与荷兰数学家、物理学家惠更斯的交往更是激发了他对数学的浓厚兴趣，并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题。与牛顿的运动学背景不同，莱布尼兹创立微积分是出于对几何问题的思考，并于1677年，在一篇手稿中明确陈述了微积分的基本定理。牛顿与莱布尼兹创立的微积分为整个自然科学史带来了革命性的影响。但在随后的发展过程中人们发现它并不是十分严格的，在使用“无限小”概念上特别混乱。正因如此，导致了数学发展史上的第二次危机。1734年，英国大主教贝克莱出于宗教的动机以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家，或一篇致一位不信神的数学家》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论中关于无限小量的混乱假设进行了攻击。例如
△x=0? △x ≠0?y=x 2
y+△x =(x+△x)2=x 2+2x △x +(△x )2
△y=2x △x +(△x)2△y/△x=2x 牛顿假设x 有一个无限小的增量△x ，并以它去除Y 的增量，然后又让这个增量消失，得到了y 2的微分，贝克莱指出关于增量△x 的假设前后矛盾。他讥讽道：“这些消失的量究竟是什么呢?也不是无限小，又不是0，难道我们不能称他们为消失量的鬼魂吗?"
另外，下面的论断也让人不可小视：首先这个x 应该为0，这是因为
x=(1一1)+(1—1)+…=0
其次，可以证明x 等于l ，因为
x=l 一(0—1)一(0一1)一…=1
最后，还可以证明x 等于12 ，因为
x=1一(1—1+1—1+…一)
x=1一x
2x=1
x=12 零表示没有，由于这个x 可以等于零，等于l ，等于12 ，所以。0=1=12 而1和12 表示确实存在，这不是“没有”等于“有”吗? 贝克莱的抨击虽是出于宗教动机，但也确实击中要害，揭露了牛顿与莱布尼兹微积分的缺陷，导致数学家们长达百年的辩护与争论。最终在19世纪引入了极限论，建立了严密的实数理论才得以解
决。
2．3．3罗素悖论与第三次数学危机
数学发展史上的第三次危机发生在19世纪末，20世纪初。上一节内容当中曾提到第二次数学危机的发生其本质就是微积分的基础无穷小量的不严格造成的，因此使数学的基础严格化就成了数学家们最终的目标。
康托尔的集合论就是在这种情况下诞生了。它是19世纪末分析严格化的最高成就，它的概念和方法渗透到数学的各个分支中，成为其统一的基础理论。数学家们认为集合论或许可以彻底解决数学的基础危机，这一点令他们兴奋不已。法国数学家庞加莱甚至在1900年的巴黎国际数学大会上宣称“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天我们可以说绝对的严格已经达到了……”。固但就在第二年英国数学家罗素提出的悖论却使这段话陷入了无限尴尬的境地，并引发了对数学基础的第三危机。
罗素提出的悖论作了如下假设：设M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合，那么集合N是否是其自身的成员呢?分析可知，如果N是其自身的成员，那么N就应该在M里与其前提中的假设矛盾；如果N不是其自身成员，那么Ⅳ就应该在集合N里，也就说明N是它自身的成员，无论如何也会导出矛盾的结果。
通俗一点来讲，就是罗素后来所提出的“理发师悖论”：某乡村理发师为自己定下了一条原则，他只给村里那些不给自己理发的人
理发。问题就是他到底该不该给自己理发呢?假如他给自己理发那么就与他定下的原则相矛盾；如果他不给自己理发，那么按他提出的原则他又应该给自己理发。
罗素关于集合论的悖论涉及到了集合当中最基本的概念，元素、集合、属于等，进而引发了撼动整个数学基础的严重危机。为了解决这一悖论，演化出了逻辑主义直觉主义和形式主义等数学学派，产生出了集合论的公理化系统。该系统保留了康托集合论的精华，又有效地排除了已经发现的集合悖论，而且至今未发现新的悖论。纵观数学的发展史，可以得到如下的结论：悖论的产生虽然为数学这门古老而又严谨的的学科带来了危机，但每一次解决危机的过程中数学学科也得到了蓬勃的发展。
2．4中学数学中的悖论与谬误
带着辩证的眼光看，社会和自然界的万事万物都有正反两个方面，如果只看重正面的事情，不注意反面的情况，这样看到的问题就不是全面的。在数学的教与学的过程中也存在这样的情况。在数学问题解决的过程中，从正面解决问题较多而且学生也很容易理解，但是从反面分析问题不仅能够使学生更好的理解定义、定理等，而且在锻炼学生的逻辑思维能力方面起着不可忽视的作用。中学数学中经常会遇到一些具有悖论性质的逻辑错误，对这些谬误的分析可以提高学生的学习数学的能力。中学数学中出现的谬误可分为以下几类：错误的使用数学术语或以错误的条件为基础进行公式化；忽视了定理的适用条件；在运算中进行不允许的运算。
在校本课程的开发过程中，将以下中学数学中常见的悖论和谬误作为内容体系，分代数、几何、概率统计三个方面，将其在课余时间向学生介绍和讲解，对于学生尽快理解高中的数学知识有很大的帮助。
2．4．1代数中的悖论
高一刚入学的学生在初中阶段是经历了从算术到代数的阶段，成绩一般的学生在对代数的理解还是很模糊的，为了很好地进入高中代数知识的学习，在校本课程中加入一些代数方面由于谬误而导致的一些误解和误证，对于学生正确理解数学内容，掌握数学概念起到了举一反三的作用。
(1)负数大于正数．
证明：对于任意的正数a，下列皆能成立：(-a)：(+a)= -1 但( -2)：(+2)亦等于一1，故(--2)：(+2)=(-a)：(+a)在上面的比例式中，第一项大于第二项(+2>-2)，故第三项应大于第四项，即-a>+a．
(2)设a≠b，c=a+b
2a=b．首先可得a+b=2c左右两边同乘a-b，则
(a+a)(a-b)=2c(a—b)
即a2一b2=2ac一2bc
移项有a2—2ac= b2—2bc
左右两边同加c2得a2—2ac + c2= b2—2bc+ c2
即(a—c)2=(b—c)2，再两边开平方a—c=b—c
两边同加c就得到a=b
与假设矛盾。为什么? 分析说明：此式出现数学“悖论”的原因是
世界十大驳论的最终解答
（一）电车难题（The Trolley Problem） 引用： 一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？ 解读： 电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的，用来批判伦理哲学中的主要理论，特别是功利主义。功利主义提出的观点是，大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。 引用完毕。 Das曰： 人，应当为自己的行为负责，这里的“行为”是什么意思？人为自己的行为负责的理论依据是什么？ 承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。不承认自由意识存在，也就否认了一切法律和道德的合理性。如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、政府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。他杀人放火是由于其他原因，是他本身不可改变的，惩罚这个人显然是不合理的，惩罚他也于事无补、毫无用处。 人具有自由意识，可以做出自由选择，并且他应当对自己的选择负责任——这是一切法律和道德合理化的最根本基础。 那么，我们现在可以解释“行为”是什么意思：行为，是人在所有可能性中做出的一个唯一的选择。 今天早晨你可以选择吃包子，也可以选择吃油条。结果你吃了包子，这是你的行为、你选择的结果。问题是吃包子或者吃油条，这并不是“所有可能性”，你也可以选择什么也不吃，选择饿肚子减肥。作为一个理性人，你应当预见到饿肚子减肥可能造成身体伤害，你选择了饿肚子减肥这种行为，就应当为这种行为负责。 行为并不是行动，你什么也不干也是一种选择，因而也是一种行为。 我们将这个思想实验稍作修改，就可以看到什么也不干确实是一种实实在在的行为：加入电车的前方帮着5个人，你拉动一下拉杆就能使将电车驶向岔道——而岔道上什么也没有，不会造成任何危害。这时候你动不动拉杆呢？如果你不拉，你什么也不干，眼睁睁看着五个人被轧死，这显然是不道德行为——你本来有选择的余地，轧死五个人并不是唯一可能的结果，你只要举手之劳就能挽救五个人的生命，但是你选择了什么也不干，你就应当
《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》
《“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论》 “四次”数学危机 第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。 我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的，都无法用来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。 第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？ 直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。 而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。 第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。 我从很早以前就读过“理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那
世界十大著名悖论
世界十大著名悖论。 来自: 哔。黑猫警嫂。(Dream maker, heart breaker.) 2011-11-30 18:34:34 十个著名悖论的最终解答 （一）电车难题（The Trolley Problem） 引用： 一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？ 解读： 电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的，用来批判伦理哲学中的主要理论，特别是功利主义。功利主义提出的观点是，大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。 引用完毕。 Das曰： 人，应当为自己的行为负责，这里的“行为”是什么意思？人为自己的行为负责的理论依据是什么？ 承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。不承认自由意识存在，也就否认了一切法律和道德的合理性。如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、政府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。他杀人放火是由于其他原因，是他本身不可改变的，惩罚这个人显然是不合理的，惩罚他也于事无补、毫无用处。 人具有自由意识，可以做出自由选择，并且他应当对自己的选择负责任——这是一切法律和道德合理化的最根本基础。 那么，我们现在可以解释“行为”是什么意思：行为，是人在所有可能性中做出的一个唯一的选择。 今天早晨你可以选择吃包子，也可以选择吃油条。结果你吃了包子，这是你的行为、你选择的结果。问题是吃包子或者吃油条，这并不是“所有可能性”，你也可以选择什么也不吃，选择饿肚子减肥。作为一个理性人，你应当预见到饿肚子减肥可能造成身体伤害，你选择了饿肚子减肥这种行为，就应
几个有趣的悖论的数学辨析
几个有趣的悖论的数学辨析 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态, 它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾, 对于这一矛盾的处理与研究, 丰富了数学的容, 促进了数学的发展。作为一名数学教师, 学习有关这方面的知识, 并进行研究, 既能提高自己的专业水平, 又能使授课容生动有趣; 作为学生了解这方面的容,不但能扩大知识面, 而且能提高学习兴趣 1 芝诺悖论 在西方的数学史上有一个非常有名的数学悖论——芝诺悖论。芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺本人既不是一位科学家, 更不是一位数学家, 芝诺的老师是埃利亚学派的创始人巴门尼德。巴门尼德是个一神论者, 他认为世界的本原是“不生不灭、完整、唯一和不动的”。但世界显然是丰富多彩、复杂纷繁的,怎么会是“唯一” 的呢?一个完全不动的世界怎么可能呢? 于是引起同时代人的反驳。芝诺为了捍为他老师的学说, 提出了一些论述。其中最有名的有四个, 历史上称为芝诺悖论。作为巴门尼德的继承人, 他力图证明, 如果承认“ 多” 和“ 运动” , 就会招致更加荒谬的结果。限于篇幅, 在此只辑录其二。 二分法: 你不能在有限的时间穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前, 你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境, 所以在任何一定的空间中都有无穷个点, 你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。
阿喀琉斯追不上大乌龟: 阿喀琉斯是古希腊《荷马史诗》中一个跑得最快的大英雄, 他怎么会跑不过大乌龟呢? 假定他的速度是乌 龟的10倍, 阿喀琉斯与乌龟赛跑的路程是1千米, 让乌龟先跑1 10 千 米, 然后让阿喀琉斯去追。于是问题来了。当阿喀琉斯追到1 10 千 米的地方, 乌龟又向前跑了 1 100千米, 当阿喀琉斯又追到 1 100 千米时, 乌龟又向前跑了 1 10000千米, … …, 这样一来, 一直追下 去, 阿喀琉斯会追上大乌龟吗? 之所以说这两个论证是悖论, 是因为我们知道, 无论是谁, 不管身高身低, 只要一迈步, 都可以在有限的时间越过无穷多个点; 无论是谁, 都不会相信大英雄阿喀琉斯竟会跑不过大乌龟。然而在当时的人们的知识围, 却找不出芝诺的论证错在什么地方。 1 . 1 芝诺悖论的数学意义 芝诺的“二分法” 和“ 阿喀琉斯追不上大乌龟”的论证, 本意是要用结论的荒谬性来否定其前提关于时空的可无限分割的观点, 该两个论证与另外两个论证(“ 飞箭” 与“ 运动场” ) 组合得出了时空既是不可无限分割, 又是可以无限分割的矛盾结论。“ 芝诺悖论” 促进了以严格的思维规律为研究对象的逻辑学和以严格的求证思想为基础的数学的发展。芝诺论证问题的方法是我们今天数学中仍在使用的反证法。可以说, 这是对反证法的最早的运用。大家知道, 当一个数学命题无法直接证明时, 我们就求助于反证法。
十大著名的哲学假设
世界上最著名的十大思想实验 思想实验，哲学家或科学家们常常用它来论证一些容易让人感到迷惑的理念或假说，主要用于哲学或理论物理学等较为抽象的学科，因为这类实验往往难以在现实世界中开展。这些实验看似简单，其间却蕴含着很多“剪不断、理还乱”的哲理。它们就像是一顿丰盛的精神盛宴，等待餐客前来饕餮。然而，这类盛宴往往菜式复杂，并非人人都能“饱餐一顿”。因此，我们列出世界上最有名的十大思想实验，并在哲学、科学或伦理方面对这些实验进行了阐释： 10. 电车难题（The Trolley Problem）
“电车难题”是十分有名的伦理学思想实验，其内容如下：一个疯子将5名无辜的人绑在一条手推车轨道上，而一辆失控的电车正向他们冲去。幸运的是，你可以拉动操纵杆将电车转至另一轨道。然而，该名疯子在那条轨道上也绑了一个人。此时此刻，这根操纵杆，你拉，还是不拉？ 深度解析： 这道“电车难题”由哲学家菲利帕·富特（Philippa Foot）提出，目的在于批判伦理学的主要理论，特别是其中的功利主义（utilitarianism）。此类理论认为，“将大多数人的利益最大化”才是最道德的。根据功利主义哲学，牺牲1个人可以挽救5个人，则毫无疑问应该拉动操纵杆。但这样做的问题在于，拉了操纵杆，你就成为杀死“1个人”的同谋，那么很明显你做了一件不道德的事，因为你对此人之死负有部分责任。同时，还有人认为，但凡遇到这种情况，你就必须有所作为，不作为同样会被视为不道德。简而言之，不管你做不做、怎样做，都无法让自己在道德的世界里无懈可击，而这正是问题之关键。很多哲学家都以“电车难题”来说明：在现实世界中，人们通常会让自己的道德标准不断妥协，因为真实而完满的道德，并不存在于这个世上。 9. 奶牛在田野（The Cow in the Field）
十大数学悖论
… 十大数学悖论 1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的
哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。:
公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对用‘是’或‘不是’来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 3．跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}
是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗 4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB 上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么 5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天
十大数学悖论
十大数学悖论 1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人
所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。 : 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以
自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 3．跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有
一样多的元素吗？ 4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？ 5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。 你能说出为什么这场考试无
战略管理十大悖论(doc5)
战略管理十大悖论 一、理论VS创造性 战略思维的本质应该是什么？无论是战略实践者还是战略理论研究人员对这一问题都存在着截然不同的认识。有人认为，战略思维是一种最为复杂的分析推理方式，它表现出建立在严谨推理基础上的理性；而另一些人则认为战略思维从本质上来讲就是打破正统的信条和思维模式，进行富有创造性和非常规的思维。因此对战略思维的不同认识便产生了理性与创造性之间的悖论。 基于理性的战略思维的认知模式是分析性的，其推理过程依赖于正式和固定的规则，表现出了计算的性质，同时强调严谨和一致性，对于现实的假设是客观和可认知的，战略决策完全基于计划，因此从这些方面来看，战略可以被认为是一门科学。 而与此相对应，基于创造性的战略思维的认知模式是直觉性的，其推理过程依赖于非正式和可变的规则，表现出了想象的性质，它强调的是非正统和洞察力，对于现实的假设则是主观和可创造性的，战略决策完全基于判断，因此在这里，战略变成了一门艺术。 二、深思熟虑VS随机应变 第一个悖论体现了表现在个体上的战略思维过程，而第二个悖论则反映了组织中的战略是如何形成的，以及形成过程的本质是什么。一方面，有人认为组织是以一种深思熟虑的方式来制定战略，即首先制定明晰的、综合全面的计划，然后再逐一实施而也有人认为现实中的大部分战略是在一段时间中实时出现的，它们之间呈现出一种不连续变化，甚至更有人极端地提出组织中事实上存在着“战略缺失”。 视战略形成的过程为深思熟虑的一派认为，战略是刻意设计的，而战略的形成是计算出来的，因此形成的过程是规范化和结构化的，其步骤是先思考后行动，因此他们视战略为一系列决策，强调资源的最优配置和协调，对未来的发展视为可预测的，因此对于未来的工作是积极投入，做好准备，战略实施则强调程序化和组织的效率。 与此相对应，视战略形成过程为随机应变的一派认为，战略是逐渐形成的，而战略的形成是发现出来的，形成的过程则是非结构化和分散的，其步骤是思考和行动结合在一起，他们视战略为一系列行动，强调不断的试验和首创行动，对未来的发展视为不可知和难以预测的，因此对于未来的工作是保持战略的柔性而非积极投人，战略实施则强调学习和组织的发展。 三、突变VS渐变 随着科技的迅速发展、竞争程度的不断加剧以及消费者偏好等的快速变化，企业所处的环境日益呈现出动态化的特征，因此企业的战略也不得不进行动态调整和更新，战略更新的方式便成了一个重要的研究内容。战略更新应该在企业现有的状态上逐渐演变还是进行脱胎换骨的突变？战略更新应该是逐渐的、连续的还是大幅度的、不连续的？对于战略更新的形式和性质存在着不同的看法和观点。 一部分战略学者认为，企业中的战略更新应该以一种突变的方式推进，通过采取激进的、快速的和全面的措施来实施战略更新；而另一部分战略学者认为，战略更新应该通过渐变的方式加以实施，更多地强调持续性的学习和连续性的改善，因此采用的是一种持续变化的方式。由此产生了战略更新的突变和渐变之间的悖论。 采用非连续变化视角的观点视战略更新为破坏性的创新和转折，因此战略更新过程就是
世界十个著名悖论的最终解答
世界十个著名悖论的最终解答 （一）电车难题（The Trolley Problem） 引用： 一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？ 解读： 电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的，用来批判伦理哲学中的主要理论，特别是功利主义。功利主义提出的观点是，大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。 引用完毕。 Das曰： 人，应当为自己的行为负责，这里的“行为”是什么意思？人为自己的行为负责的理论依据是什么？ 承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。不承认自由意识存在，也就否认了一切法律和道德的合理性。如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、政府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。他杀人放火是由于其他原因，是他本身不可改变的，惩罚这个人显然是不合理的，惩罚他也于事无补、毫无用处。 人具有自由意识，可以做出自由选择，并且他应当对自己的选择负责任——这是一切法律和道德合理化的最根本基础。 那么，我们现在可以解释“行为”是什么意思：行为，是人在所有可能性中做出的一个唯一的选择。 今天早晨你可以选择吃包子，也可以选择吃油条。结果你吃了包子，这是你的行为、你选择的结果。问题是吃包子或者吃油条，这并不是“所有可能性”，你也可以选择什么也不吃，选择饿肚子减肥。作为一个理性人，你应当预见到饿肚子减肥可能造成身体伤害，你选择了饿肚子减肥这种行为，就应当为这种行为负责。 行为并不是行动，你什么也不干也是一种选择，因而也是一种行为。 我们将这个思想实验稍作修改，就可以看到什么也不干确实是一种实实在在的行为： 加入电车的前方帮着5个人，你拉动一下拉杆就能使将电车驶向岔道——而岔道上什么也没有，不会造成任何危害。这时候你动不动拉杆呢？如果你不拉，你什么也不干，眼睁睁看着五个人被轧死，这显然是不道德行为——你本来有选择的余地，轧死五个人并不是唯一可能的结果，你只要举手之劳就能挽救五个人的生命，但是你选择了什么也不干，你就应当为你的行为负责任，即使法律不去惩罚你，你的行为最
数学上的悖论谬论
这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。 1=2？史上最经典的“证明” 设a = b，则a·b = a^2，等号两边同时减去b^2就有a·b - b^2 = a^2 - b^2。注意，这个等式的左边可以提出一个b，右边是一个平方差，于是有b·(a - b) = (a + b)(a - b)。约掉(a - b)有b = a + b。然而a = b，因此b = b + b，也即b = 2b。约掉b，得1 =2。 这可能是有史以来最经典的谬证了。TedChiang在他的短篇科幻小说DivisionbyZero中写到： 引用 There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with somedefinitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equalstwo. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proofhas stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allowsone to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real orimaginary, rational or irrational—are equal. 这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以a - b的，因为我们假设了a = b，也就是说a - b是等于0的。 无穷级数的力量(1) 小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？ 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … 一方面： 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … = [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + … = 0 + 0 + 0 + …
数学悖论和三次数学危机
数学悖论与三次数学危机 “……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。” ——N·布尔巴基 什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这 样的数学危机。 希帕索斯悖论与第一次数学危机 希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面 积割补给出它的第一种证明。
在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。 因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
(完整版)解读战略管理的十大流派
解读战略管理的十大流派 明茨伯格（H．Mingt zberg）、阿尔斯特朗（BruceAhl strand）和拉蒙珀（Joseph Lampel）等，将战略管理的各种理论梳理成十大学派，即设计学派、计划学派、定位学派、企业家学派、认识学派、学习学派、权势学派、文化学派、环境学派和结构学派。各学派的代表人物都从不同视角，对战略管理提出了各自的主张，见仁见智，莫衷一是。明茨伯格认为，战略管理的真谛其实就象一头大象，十大流派只是从不同的侧面看到大象的局部，只有综合集成各派的观点，才能对大象有整体的认识和体悟。 一、设计学派（Design School） 设计学派把战略形成看作是一个主观概念作用的过程，主张战略形成应当深思熟虑，严谨缜密；同时，战略应该简明清晰，易于理解和传达，便于执行、检验和不断改进。事实上，设计学派的代表人物安德鲁斯（K．Andrews）提出的著名SWOT战略分析模型，就很好地体现了这些要求。设计学派强调，战略管理者应当是整个战略计划的顶层设计者，应切实地承担起应尽的责任，但不必承担具体战略计划的制定工作。设计学派的代表作包括菲利浦·塞兹尼克（P．Selznick）1957年出版的《经营管理中的领导力》、阿尔弗雷德·钱德勒（A．Chandler）1962年出版的《战略与结构》，以及肯尼斯·安德鲁斯1965出版的《经营策略：内容与案例》和1972年出版的《公司战略概念》。 二、计划学派（Planning School） 计划学派认为，战略的形成应当是一个受到控制的、有意识的、详细具体而正规化的过程。原则上，决策者对整个过程承担责任，并尽可能详尽清楚地阐明这一过程形成的战略，以便具体地落实战略目标、预算程序和各种运作计划。计划学派继承了设计学派SWOT分析的思想，但克服了设计学派过于主观的分析方法，引进了以决策科学为代表的数量分析方法，提出了许多制定企业战略的数学模型和定量分析工具。计划学派代表人物安索夫（Ansoff）1965年出版的《企业战略》堪称经典，申德尔和霍夫的《战略管理》（1979）亦是重要文献。此外，在斯坦纳（Steiner）、艾考夫（Ackoff）等人的推动下，计划学派的理论与实践紧密结合，产生了如经验曲线、增长-份额矩阵、市场份额与获利能力关系PIMS（Prof it impacto n market share）（PIMS）等概念和研究方法，进一步丰富了战略管理理论。 三、定位学派（Positioning School） 波特1980年出版的《竞争战略》，以及随后于1985年、1990年分别出版的《竞争优势》（和《国家竞争优势》，不仅使他本人声名远播，赢得了定位学派掌门人和“竞争战略之父”的美誉，同时也正是由于波特的这“三部曲”，确立了定位学派在整个战略管理理论中的占优地位。定位学派把战略形成看作是一个分析的过程，强调外部环境分析的重要性。波特指出，企业在考虑竞争战略时，必须将企业与所处的环境相联系；行业是企业经营的最直接的环境；行业的结构决定了企业的竞争范围，从而决定了企业的潜
世界十大著名战役
世界十大著名战役 世界十大著名战役 世界发展至今日，已经有很长的历史，世界格局在一次又一次的战争中也不断的发生变化。在过去几千年里，世界历史上的重大战役对后世有什么样的影响，只有去了解才能有深刻的认识。下面就去看看发生在世界各地的十次著名战争：一、古战场上升起不灭的圣火——马拉松大战。 一名战士成了奥林匹克马拉松竞赛的创始人，一个激动人心的“荷马史诗”的战争续篇。这次战役发生在公元前490年，是波斯帝国对雅典发动的侵略战争。雅典方面参战的一万一千人全部是重装步兵，他们按照惯例，在马拉松平原的西侧排出八行纵深的密集方阵。当时正值雨季，马拉松平原只有中间地势较高，两边都是泥沼地，雅典利用地形靠智谋获得胜利。 双方参战人数：希腊联军1.1万，波斯帝国约10万人。波斯军队阵亡6400人，雅典方面仅阵亡192人。双方阵亡数字的悬殊差距，充分体现了希腊密集阵对波斯方阵的压倒性优势。 此战对于希腊文明在之后三个世纪中所达到的辉煌成就而言，无疑是这一成就的最初台阶，这也是整个希腊第一次靠自己的力量击退波斯的一场会战。
二、惊天动地的空前大厮杀——长平血战。 两千多年前的黄土高坡上，一位古代名将用青铜剑拨开了世界上最大规模围歼战的序幕。公元前262年（周赧王五十三年），秦国攻打并占领了韩国野王（今河南沁阳），切断了韩国上党地区与韩国本土的联系。韩国国君韩桓惠王自知实力不济，不敢跟秦国较真，打算把上党郡让给秦国，以求息兵。上党地区军政一把手冯亭想利用赵国的力量抗击秦国，就写信给赵孝成王，表示愿把上党的十七座城池献给赵国。以为有便宜可占的赵孝成王派兵进驻上党，引发了此次战役。秦国名将白起率秦领军在长平（今山西省晋城高平市西北）同赵国的军队开展决战，赵军最终战败，秦军大获全胜进占长平。 参战双方兵对比：赵军包括支前民工超过45万，秦军正规军达60万再加上超过100万的平民。赵国被杀、和被俘后被坑杀40多万；秦军伤20多万。 长平之战赵国的军事力量基本损失殆尽，再也无力与秦国抗衡。而秦国则扫清了统一路上最大的绊脚石，因此可以说是秦国在统一中国的大决战提前了。 三、名垂史册的光辉一页——坎尼会战。 骑在大象上的战争，巧借东风赢得了地中海畔的“龙争虎斗”。该战役发生于公元前216年，是第二次布匿战争中的主要战役。此前迦太基军队主汉尼拨入侵意大利，并且屡败
十大数学悖论
十大数学悖论 1．?理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 ???? 2．?说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。”
如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。? 所以怎样也难以自圆其说，这就是着名的说谎者悖论。?:? 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ ?????? 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论
有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 ????? 3．?跟无限相关的悖论： ????? {1，2，3，4，5，…}是自然数集： ????? {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。? 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？? ????????4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会
世界十大著名悖论
世界十大著名悖论 (一)电车难题（The Trolley Problem） 引用： 一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？ （二）空地上的奶牛（The Cow in the field） 引用： 认知论领域的一个最重要的思想实验就是“空地上的奶牛”。它描述的是，一个农民担心自己的获奖的奶牛走丢了。这时送奶工到了农场，他告诉农民不要担心，因为他看到那头奶牛在附件的一块空地上。虽然农民很相信送奶工，但他还是亲自看了看，他看到了熟悉的黑白相间的形状并感到很满意。过了一会，送奶工到那块空地上再次确认。那头奶牛确实在那，但它躲在树林里，而且空地上还有一大张黑白相间的纸缠在树上，很明显，农民把这张纸错当成自己的奶牛了。问题是出现了，虽然奶牛一直都在空地上，但农民说自己知道奶牛在空地上时是否正确？ （三）定时炸弹（The Ticking Time Bomb） 引用： 如果你关注近几年的政治时事，或者看过动作电影，那么你对于“定时炸弹”思想实验肯定很熟悉。它要求你想象一个炸弹或其他大规模杀伤性武器藏在你的城市中，并且爆炸的倒计时马上就到零了。在羁押中有一个知情者，他知道炸弹的埋藏点。你是否会使用酷刑来获取情报？
（四）爱因斯坦的光线（Einstein’s Light Beam） 引用： 爱因斯坦著名的狭义相对论是受启于他16岁做的思想实验。在他的自传中，爱因斯坦回忆道他当时幻想在宇宙中追寻一道光线。他推理说，如果他能够以光速在光线旁边运动，那么他应该能够看到光线成为“在空间上不断振荡但停滞不前的电磁场”。对于爱因斯坦，这个思想实验证明了对于这个虚拟的观察者，所有的物理定律应该和一个相对于地球静止的观察者观察到的一样。 （五）特修斯之船（The Ship of Theseus） 引用： 最为古老的思想实验之一。最早出自普鲁塔克的记载。它描述的是一艘可以在海上航行几百年的船，归功于不间断的维修和替换部件。只要一块木板腐烂了，它就会被替换掉，以此类推，直到所有的功能部件都不是最开始的那些了。问题是，最终产生的这艘船是否还是原来的那艘特修斯之船，还是一艘完全不同的船如果不是原来的船，那么在什么时候它不再是原来的船了哲学家Thomas Hobbes后来对此进来了延伸，如果用特修斯之船上取下来的老部件来重新建造一艘新的船，那么两艘船中哪艘才是真正的特修斯之船？ （六）伽利略的重力实验（Galieo's Gravity E）
数学悖论推理题
数学悖论推理题 1=2？史上最经典的“证明” 设 a = b ，则a·b = a^2，等号两边同时减去 b^2 就有a·b - b^2 = a^2 - b^2 。注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差，于是有b·(a - b) = (a + b)(a - b) 。约掉 (a - b) 有 b = a + b。然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。约掉 b ，得 1 = 2 。 这可能是有史以来最经典的谬证了。 Ted Chiang 在他的短篇科幻小说 Division by Zero 中写到： 引用 There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal. 这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以 a - b 的，因为我们假设了 a = b ，也就是说 a - b 是等于 0 的。 无穷级数的力量(1) 小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？ 1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + … 一方面：
网络文化的十大悖论(doc 25页)
网络文化的十大悖论(doc 25页)
网络文化的十大悖论 【内容提要】网络文化有两方面的含义：网络的文化特性和文化的网络形态。网络文化存在着技术与人文、一元与多元、开放与封闭、自由与规范、民主与集中、虚拟与实在、理性与价值、神性与物性、传统与创新、个人与社会等要素之间的张力，构成了一系列本质性的悖论和困境。要解决这些悖论和困境，需要采取经济、技术、社会、法律、伦理、文化等多种手段。 【关键词】网络文化/悖论/开放/自由/虚拟 所谓“网络文化”有两方面含义：一是网络不仅是一种技术与社会现实，更是一种文化现实，网络本身就是一种新兴文化形态；二是文化是以网络的形态存在和发展的，人无时无刻不生活在文化之网中，网络文化是人类文化发展的网络化形态的最典型体现。简言之，就是“网络的文化(特性)”与“文化的网络(形态)”。 网络的文化特性有三方面含义：一是网络的形成和发展有一种文化动力和文化支柱，即人们内在的文化需要和文化精神——互相交流、获取信息的“文化本性”——推动着网络的发展；二是网络产生了各种新的文化现象，形成了自己独特的文化形态；三是网络中蕴含着独特而丰富的文化价值
和文化精神，并对其他文化形态产生或多或少、或大或小的冲击和影响，促进其他文化形态的变革。 文化的网络化形态有两方面含义：一是外向的网络化，即特定文化形态与其他文化形态及整个外部环境形成一个网络系统，特定文化形态在与其他文化形态及外部环境的互联互动中存在与发展；二是内向的网络化，即同一文化形态内部表现为一个由主体、客体和中介等不同要素组成的网络系统，文化就是一张网，把人、自然、社会、历史网在一起。从人类文化发展的历史趋势看，文化发展程度越高，文化的开放性就越高，不同文化之间的交流互动就越发达，同一文化内部的层次结构也越复杂，文化内部不同要素和层次之间的互动也就越发达。一句话，文化越先进，其内外两方面的网络化程度就越高。 网络文化方兴未艾，远未定型，很难做系统的、定性的研究。不过，在令人眼花缭乱的现象背后，我们还是能够发现它的一个最突出也是最根本的特点：存在着许多“悖论”(二律背反)现象，即在多层次、多方面具有二元因素的冲突、对立、混杂、互补的特点。尽管在表面上，它消解了或试图消解其他文化形态中的二元对立和中心意识形态，但它并不能真正摆脱二元冲突对立，只是使之具有了更新的形态，并为