高三数学高考一本通立体几何第一轮复习教案 棱柱
棱柱
[考点注释]
了解多面体的概念，了解凸多面体的概念，了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图，会解特殊棱柱的计算与证明问题。
1、高考中，棱柱的出现概率较大，考查形式很灵活，既可在选择，填空中，又可在解答题中，考查内容通常借助其性质解决有关的位置关系及角、距离、面积、体积等。
2、对于棱柱主要考查（1）棱柱性质的讨论：（2）面积及体积的计算：（3）以棱柱为载体进行有关角与距离的计算
[知识整合]
1棱柱的概念及性质
（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱是多面体中最简单的一种，对棱柱的概念应正确理解，
准确把握，它有两个本质特征：①有两个面（底面）互相平行，
②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行。
因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形。但是要
注意“有两个面都是平行四边行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱，如图的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱。
（2）棱柱的分类：①按侧棱是否垂直于底面分为直棱柱和斜棱柱，在直棱柱中，若底面是正多边形，则为正棱柱。例如：正方体是正四棱柱，但正四棱柱不是正方体。
②按底面多边形的边数，棱柱可分为三棱柱，四棱柱，五棱柱，……
（3）棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形，②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
（4）特殊的四棱柱：一些特殊的四棱柱是本节研究的一个重点，为便于理解与掌握，我们把四棱柱与平行六面体及特殊的平行六面体之间的关系图示如下：
（5）长方体的对角线有下面的性质 ①长方体一条对角线的长的平方等于一个项点上三条棱的长的 ②长方体一条对角线与过同一个端点的三条棱成角为γβα，、则γβα222cos cos cos ++ ＝
③长方体一条对角线与过同一端点的三个面所成角,,,321θθθ则322212cos cos cos θθθ++＝
16、棱柱的侧面积和体积
①S Δ斜侧＝S 1＋S 2＋……＋S n ＝C 直截面l （l 为侧棱长），S 直侧＝C 底·l （C 底指底面多边形的周长）。
②V 直棱柱＝ ，V 斜柱＝ （用直截面的有关几何量来表示）。
[基础再现]
1、设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。
以上四个命题中，真命题的个数是（ ）
A ：1
B ：2
C ：3
D ：4
2、长方体全面积为11，十二条棱长底的和为24，则长方体的一条对角线长为（ ） A ：32 B ：14 C ：5 D ：6
3、长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，BB 1＝1，则A 到C1在长方体表面上的最短距离为（ ）
A ：3
B ：5
C ：23
D ：35
4、长方体的一条对角线与两组平行的面所成的角都是30°，则长方体的这条对角线与另一组平行的面所成的角是（ ）
A ：45°
B ：60°
C ：30°
D ：45°或135°
[例题精析]
例1、在下面的四个命题中，正确的个数是（ ）
1、有两个面互相平行，其余的面都是平行四边行的多面体叫棱柱。
2、四个面是全等的等腰三角形的四面体叫正三棱锥。
3、四个侧面都是矩形的四棱柱是长方体
4、各棱都相等、不共面的任意两条棱都互相垂直的四棱柱是正方体
A ：1个
B ：2个
C ：3个
D ：4个
例2、如图所示，已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与对
角面A 1B 1CD 所成角为30°，求证：此四棱柱为正方体。
分析；本题的关键是证明正棱柱的底面边长等于侧棱长，
故只需证ΔB 1BC 为等腰直角三角形即可。
例3、（1）如图若A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点。
①证明：AB 1∥平面DBC 1
②假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面
的二面角α的度数。
评析；转化是数学的基本思想，本题中，证线面平行转化为
线线平行，求二面角的大小转化为求平面角的大小，故要掌握这种转化思想。
（2）已知正三棱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为10cm ，高为12cm 过底面一边AB 作与底面ABC 成60°角的截面，求此截面面积。
（3）过底面一边AB 作与底面ABC 成30°角的截面，求此截面面积。
例3、（1）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长AB ＝AC ＝2b ，BC ＝b 22，AA 1＝l ，且∠A 1AC ＝∠A 1AB=60°，求这个三棱柱的侧面积及体积。
[点拨]本题应要求掌握求斜棱柱的侧面积的方法：其一可求各
侧面面积之和；其二可利用公式S 侧＝直截面周长×侧棱长
（2）在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A ：29
B ：5
C ：6
D ：2
15 （3）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1＝1，且AC ⊥BC ，过C 1作截面分别交AC 、BC 于E 、F ，且二面角C 1－EF －C 这60°，则三棱锥C 1－EFC 体积的最小值为（ ）
A ：91
B ：31
C ：6
1 D ：186
例4、（2004年北京高考，16）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求
①该三棱柱的侧面展开图的对角线长；②PC 和NC 的长；
③平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。
[分析]本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，
考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
例5、（2003年福州市高考模拟题）斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ， ∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝32，AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C 。
（1）求侧棱AA 1与底面ABC 所成角的大小；
（2）求侧面AA 1B 1B 与底面ABC 所成二面角的大小；
（3）求点C 到侧面AA 1B 1B 的距离。
[分析]本题是研究斜棱柱中的有关问题，要充分挖掘题设中的隐含条件：面面垂直、线线垂直、线面垂直。利用垂直问题找出线面角和二面角的平面角；利用等积代换或面面垂直求出点面距离。[误区警示]求线面角和二面角时，学生不指出这些角的形成过程而是直接解三角形，书写不规范。
[解题回顾]利用直线与平面所成的角的定义，二面角的平面角的定义找出所要求的角，用面的平行线把要求的点到面的距离转化到平面的垂面上的点到平面的距离，是求点到面距离的常用方法，利用三棱锥的体积代换也是求点面距离的常用方法。
[精采小结]
1、准确判断一个棱柱是某种特殊棱柱的具体要求是：
（1）概念要正确掌握和运用：（2）要对特殊棱柱的基本特征和性质熟练掌握；（3）要善于利用反例否定有关的结论。
2、对于直棱柱、正棱柱中的特殊线（如高、侧棱、对角线等）的性质应熟悉并掌握，从几何体中的线面平行或垂直关系中找出其它平行或垂直关系及空间的角和距离。
3、平行六面体是一类特殊的棱柱，我们要特别注意它的分类以及各自的特征：侧棱垂直于底面的平行六面体是直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方休，底面是正方形的长方体是正四棱柱，高和底边长相等的正四棱柱或棱长都相等的长方体是正方体，另外，长方体是研究问题时经常用的几何体，它有许多重要的性质和结论，学习时要引起重视。
[随堂巩固]
1、下列命题中，真命题的个数是（ ）
（1）正棱柱的棱长都相等；（2）直棱柱的侧棱就是直棱柱的高；（3）直棱柱的侧面是矩形；
（4）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（5）有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱。 A ：2个 B ：3个 C ：4个 D ：5个
2、长方体的高等于h, 底面积等于S ，过相对侧棱的截面面积为S 1，则长方体的侧面积为（ ）
A B C D
3、（2004，北京春季高考）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长底是（ ） A ：77cm B ：72cm C ：55cm D ：102cm
4、如图，已知多面体ABC －DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，
平面ABC // 平面DEFG ，平面DEF ⊥ 平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，
AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为（ ）
A ：2
B ：4
C ：6
D ：8
5、斜三棱柱的一个侧面面积为S ，另一条侧棱到这个侧面的距离为a ，则这三个棱柱的体积是（ ）Ａ：31Ｓa Ｂ：41Ｓa Ｃ：21Ｓa Ｄ：3
2Ｓa 6、斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，各棱长为a ，A 1B ＝A 1C ＝a ，则该棱柱的侧面积和体积分别为（ ）
A ：（123＋）a 2, 42 a 3
B ：(13＋) a 2，4
2a 3 C ：(
123＋) a 2，123a 3 D ：(13＋) a 2，123a 3 7、平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，对角面 BB 1D 1D 是边长为a 的正方形，且∠B 1BC ＝60°，此平行六面体的高为 。
8、如右图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD
满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条件即可）
9、一个正本棱柱形容器ABC －A 1B 1C 1，以三角形ABC 为底面成水平放置，其高为2a ,内盛水若干，水面高度为x ,若将此容器放倒，使它的一个侧面为底面成水平放置，这时水面恰为中截面，则x ＝ 。
10、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知对角线A 1C ＝4，BD 1＝2，若空间一点P 使PA 1＝3，PC ＝5，则PB 2＋PD 12＝ 。
11、（1）已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面成60°角，底面是边长为a 的正三角形，侧面BB 1C 1C 是菱形且与底面垂直
①求侧棱AA 1与侧面BB 1C 1C 间的距离 ②求证：AB 1⊥BC
（2）如图所示，已知在斜平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
AB ＝AD ，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD
①求证：平面B 1D 1DB ⊥平面A 1C 1CA
②当A 1B 1＝2，且直线A 1A 到平面B 1D 1DB 间的距离为1时，求∠BAD
12、（1）如图，将长AD ＝2a ，宽AB ＝a 的长
方形ABCD 沿痕折成一个正三棱柱的三个侧面，则原对角
线AC 成了绕在三棱柱面上的折线段，求此折线段相邻两段
所成的角。
（2）如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面为直
角三角形，∠ACB ＝90°，BC ＝2，B 1在下底面上的射影为D ，
D ∈BC ，且D 为BC 的中点，侧棱BB 1和底面成60°角，侧面
AA 1B 1B 和侧面CC 1B 1B 成30°角，求这个三棱柱的侧面积和体积。
13、如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2a ，AB ＝a ,点D 是AC 之中点。
（1）求证：平面A 1BD ⊥平面AA 1C 1C ；（2）求二面角B －A 1C 1－D 的平面角的正切值
（3）若AB 1?A 1B ＝E ，求四面体C 1BED 的体积。
14、如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点
（1）若
NC
BN MA MB ＝，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN （2）若D 1P :PD ＝1:2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的大小
（3）在棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论。
[综合创新]
（2004年上海春季高考题）如图62－3所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N
（1）求证CC1⊥MN
（2）在任意?DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcosDFE，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明。
棱锥
[考点诠释]
了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
1、高考中棱锥与棱柱一样出题概率较大，形式较灵活，尤其棱锥注意等积法的灵活运用，对五种正多面体，重点掌握正四面体和正六面体，它们是高考中常考模型。
2、简单的几何体中求锥体的侧面积、体积的体形还会出现，等积变换、割补思想的应用仍将有所体现，关于棱锥可能与代数、三角、空间向量进行综合，出现综合性问题。以棱锥为载体考查点、线、面的位置关系，或求空间角、距离和面积、体积，也有可能会利用不等式或导数研究最值问题。
[知识整合]
1、棱锥的概念及性质
（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶
点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥，棱锥是多面体中
重要的一种，它有两个本质特征：①有一个面是多边形；②其余
的各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可，因此棱锥有
一个面是多边形，其余各面都是三角形。但是要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必是棱锥，如图，此多面体底面是四边形，其余各面都是三角形，但它不是棱锥。一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体。
（2）正棱锥的概念
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。判断一棱锥是否是正棱锥必须满足下面两个条件：一是底面是正多边形，二是顶点在底面上的射影必须是底面正多边形的中心，这也是掌握正棱锥定义的两个要点。
（3）正棱锥的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。由此可知，正棱锥的各侧面都是等腰三角形，但
“各侧面都是全等的等腰三角形”的棱锥不一定是正棱锥。
如图三棱锥S－ABC中，可令SA＝SB＝BC＝AC，SC＝AB，且SB＞AB，
则此三棱锥的各侧面为全等三角形，但它不是正三棱锥。
②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。除此两个直角三角形外，正棱锥的底面半径，边心距和
半边长也组成一个直角三角形。这三个直角三角形称为棱锥中的特征三角形，有好多立体问题都是转化到平面中的这三个直角三角形中去处理，如有关侧棱与底面、侧面与底面所成二面角的计算，有关侧棱、斜高、底面边长的计算等，要熟练掌握。
（4）一般棱锥的性质定理：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和原棱锥的高的平方比。
一般棱锥的重要性质定理应用很广泛，其结论还可加以引申：截面面积与底面面积的比等于截得的小棱锥与原棱锥的侧棱长的平方比；截得的小棱锥的侧面积与原棱锥的侧面积之比，也等于截得的小棱锥的棱长与原来棱锥对应棱长的平方比，也等于截面面积与底面积之比等等。
（5）棱锥的侧面积和体积公式
①侧面积：S 侧＝S 1＋S 2＋…＋S n (n 棱锥)；正棱锥的侧面积S 侧＝21C 底h 1，其中C 底是底面的 ，h 1是 ②体积；V 锥＝
[基础再现]
1、一个四棱锥是正四棱锥的充分不必要条件是……（ ）
A ：各侧面与底面成相等的二面角
B ：各侧面都是等腰三角形，且底面是正方形
C ；各侧面是正三角形
D ：各侧棱与底面成相等的角 2、正六棱锥底面边长为a ，体积为2
33
a ，那么侧棱与底面所成的角等于……（ ） A ：6π B ：4π C ：3
π D ：125π 3、一个正四棱锥的中截面面积是Q ，正四棱锥的底面边长是……（ ） A ：
4Q B ： 2Q C ：Q D ：2Q 4、正四面体ABCD 中，AB ＝a ，相邻两面所成二面角的大小是_______；AB 与底面BCD 所成的角是 ；若顶点A 在底面BCD 内的射影为O ，则OB ＝ ，OA ＝ ，正四面体的体积为 。
[例题精析]
例1、（1）有四个命题：①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有面可能都是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形，正确的命题有 。
（2）已知正四面体P －ABC 的棱长为4，用一平行于底面的平面截此四面体，所得截面面积为39
16，求截面与底面之间的距离。 分析：因截面平行于底面，可以考虑用棱锥的平行于底面的截面面积与底面面积之比等于截得的棱锥与原棱锥的对应边之比的平方来解。
评注：由棱锥平行平底面的截面性质进一步可得截面面积与底面积之比等于截得棱锥与原棱锥的对应边长的平方比等，只要是边相对应即可。
例2、（1）如图所示，在三棱锥D －ABC 中，DA ⊥平面ABC ，
∠ACB ＝90°，∠ABD ＝30°，AC ＝BC ，求异面直线AB 与
CD 所成的角的余弦值。
【思路分析】本题是以棱锥为背景考查异面直线所成的角，求异面直线所成的角抓平移，化为平面内的角，利用正弦、余弦定理求解。也可以补体、构造成长方体，然后求解。
【解题回顾】（1）求异面直线所成角常要作出所成角的平面图形，作法有：①平移法；在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解法一，或利用中位线，如解法二。②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解法三。（2）解立体几何计算题要先作出所求的角，并要有严格的推理论证过程，还要合理的计算步骤，例如解法三把等腰三角形转化为直角三角形使得计算简单。
（2）已知正四棱锥P －ABCD 的侧面与底面所成的角为α，相邻侧面所成的角为β 求证：0cos cos 2=+βα
分析：可将α，β用正四棱锥中的某些三角形的内角来表示，再利用解三角形求出βαcos cos 、
评注：解决这类问题的关键是要掌握正棱锥的性质及各无素间的关系，用好正棱锥的有关特征直角三角形。
例3、（1）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两所成
角都为60°，PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，求三棱锥P －ABC 的体积。
【思路分析】由条件∠APB ＝∠APC ＝60°，可以得到顶点A 在底面ABC 上的射影H 应在∠BPC 的平分线上，但这个结论一定要先证明才能使用。
【解题回顾】（1）把A 、B 、C 中任一个点作为顶点（其余三点构成的三角形作为底面）是解题的关键，这说明改变几何体的放置方式或改变对几何体的观察角度在解题中是十分重要的（2）当a=b=c 时得到正四面体的体积是3122a （3）若在PA 、PB 、PC 上各任取一点M 、N 、R ，设PM ＝m ，PN ＝n ，PR ＝r,则容易证明abc
mnr V V ABC P MNR P ＝－－，这一结论与PA 、PB 、PC 成多大的角度无关。
（2）四棱锥P －ABCD 中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是面积为32的菱形，∠ADC 为菱形的锐角。
①求证：PA ⊥CD ；
②求二面角P －AB －D 的度数；
③求棱锥P －ABCD 的侧面积。
例4、（2004年天津高考，19）如图，在四棱锥P －ABCD 中，
底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底在ABCD ，PD ＝DC ，E
是PC 的中点，作EF ⊥ PB 交PB 于点F
①证明：PA ∥平面EDB
②证明：PB ⊥平面EFD
③求二面角C －PB －D 的大小。
【思路分析】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间相象能力和推理论证能力。
例5、如图所示，在正三棱锥S-ABC 中，过底面顶点B
和侧棱SA 、SC 上的E 、F 点做一截面BEF 和侧面SAC 的垂直
（1）若E 、F 分别为SA 、SC 中点时，求此三棱锥的侧面积与底
面积之比
（2）若AB =8，斜高h 1=838，求截面BEF 的面积。 分析：计算面积时，离不开计算对应底边上的高，尤其是斜高，底面三角形的高和截面三角形的高，相互间的关系，这种关系应通过直截面来体现。
评注：在本题的图形条件下，可进一步思考，若求BEF 分三棱锥所成的两个多面体的体积比是多少？若截面BEF 与侧面SAC 所成角为)2
0(π
＜Q s <时，这类问题的如何解？ [精彩小结]
1、深刻理解棱锥、正棱锥的定义及性质，平行于棱锥底面的截面性质，是解决有关棱锥问题的基础，判断一个棱锥是否为正棱锥的条件是：（1）底面是正多边形；（2）顶点在底面上的射影为底面多边形的中心，两者缺一不可。
2、充分利用正棱锥中的三个“特征直角三角形”，把空图形转化为平面图形，是解决正棱锥有关问题的基础，
3、几个重要结论：
（1）棱锥的侧棱均相等，则顶点在底面上的射影是底面多边形的外心；棱锥的各侧面与底面所成的二面角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的内心；如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。
（2）由正棱锥的定义以及三角形全等，我们不难得到正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等，侧棱与底面所成的角都相等，相邻两侧面所成的二面角也相等。
4、三棱锥的等（体）积变换是解决点到面的距离的常见方法之一，同时也是使计算简化的灵活手法；“割”“补”是解决体积问题常用技巧，正棱锥的四个“特征”直角三角形，是将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁。
[随堂巩固]
一、选择题
1、具有下列性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥（ ）
A ：顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等
B ：底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形
C ：相邻两条侧棱的夹角相等
D ：三条侧棱相等，侧面与底面所成的角也相等
2、两个平行于底面截面将棱锥的侧面积分成三个相等的部分，则两截面将棱锥的高分成的三段（自上而下）之比是（ ）
A 、1:2 :3
B 、1:（12－） : ）－（13
C 、1: （12－）: ）－（23
D 、1: （12＋）: ）＋（23
3、例如某平行六面体各棱长均为4，在由顶点P 出发的三条棱上分别截面取PA=1、PB ＝2、PC ＝3，则三棱锥P －ABC 的体积是原平行六面体体积的（ ）
A 、641
B 、321
C 、643
D 、32
3 4、如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V 、P 、Q 、R 分
别是侧棱AA 1、BB 1、CC 1、上的点且AP+CR=AA ，则四棱锥Q －ACRP
的体积为（ ）
A 、2V
B 、3V
C 、4V
D 、6
V 5、如图所示，已知三棱柱A －BCD 中，E 、F 分别是
AB 、BC 的中点，EF DE ，且BC=1，则正三棱锥A －BCD
的体积是（ ）
A 、122
B 、242
C 、12
2 D 、24
3 6、如图所示，E 、F 、M 、N 是正方体的四个顶点，记d1为E
到面FMN 有距离；d2为F 到面EMN 的距离，d3为M 到面
EFN 的距离，那么d1 、d2 、d3的大小关系为……（ ）
A 、d1＜d2＜d3
B 、d2＜d3＜d1
C 、d2＜d1＜d3
D 、d3＜d2＜d1
二、填空题
7、三棱锥的各个侧面与底面都成60°的二面角，底面三角形的边长是7cm 、8cm 、和9cm ，那么这个三棱锥的体积是 cm 3。
8、在正四棱锥内有一内接正方体，这正方体的四个顶点在棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱锥底面内，若棱锥底面边长为a ，高为h ，则内接正方体的棱长为 。
9、（2001年武汉重点中学联考）在三锥S －ABC 中，下面能使顶点S 在底面内的射影是底面三角形外心的条件是： （把你认为正确的都填上）。
①侧棱与底面所成的角相等；②侧面与底面所成的角相等；③侧棱两两相垂直；④侧棱满足SA 2+SB 2+SC 2=SA ?SB+ SB ?SC+ SC ?SA
10、若三棱锥P －ABC 中过点P 的三条侧棱两两垂直，长都是a ，则底面上任一点到三侧面的距离之和为 ；正四面体ABCD 的棱长为a ，体内任一点P 到四个侧面的距离分别d 1、d 2、d 3、d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝
三、解答题
11、（1）棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，不通过此棱的一个侧面与底面所成的二面角为45°，且最长的侧棱为15cm，求棱锥的高。
（
2）已知四棱锥V－ABCD的高为h，底面为菱形，侧面VDA 和侧面CDV所成的角为120°，且都垂直于底面，另两侧面与底面所成的角为45°，求棱锥的全面积。
12、（1）在如图所示的三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，
PA＝AC＝1，PC＝BC，PB和平面ABC所成的角为30°
①求证：平面PBC⊥平面PAC
②求AB的中点M到直线PC的距离。
（2）如图所示，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1,F为CE的中点
①求证：BF⊥平面CDE
②求多面体ABCD 的体积
③求平面BCE和平面ACD所成的二面角的大小。
13、（1）如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC=90°,SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝
2
1
①求四棱锥S－ABCD的体积
②求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
（2）如图，在正三棱锥S－ABC中，高SO＝3，底面边长为
33
4
，
过棱AB作截面ABD交侧棱SC于D，设截面与底面所成的二面角为α，问α为何值时，SC⊥平面ABD。
14、（2004年全国高考Ⅰ，20）如图，已知四棱锥P－ABCD，PB⊥ AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD
所成的二面角为120°
①求点P到平面ABCD的距离；
②求面APB与面CPB所成二面角的在大小。
[综合创新]
（1）（2002年全国）（1）给出两块面积相同的正三角形纸片（1）、（2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标在图9－8－10）（1）、（2）中，并作简要说明；
（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在（3）中，并作简要说明；
分析：紧扣正三棱锥，正三棱柱的定义，正三棱柱底面是正三角形，侧棱垂直于底面且侧面是全等的矩形，在要求全面积为已给三角表面积的前提下关键是去构造上底面三角形，如何由原三角形去剪拼，如图（2），将下底面三角形分成面积相等的三个四边形，从面构想原三角形在一个角处剪出相同的四边形。
评注：本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、控究能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力。
（2）如图所示，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）
①将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明。
②试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。
高三数学知识点总结：立体几何
2019年高三数学知识点总结：立体几何 由查字典数学网高中频道提供，2019年高三数学知识点总结：立体几何，因此老师及家长请认真阅读，关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱： 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱： 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台： 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
高中数学立体几何全部教案
第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？
3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业 课本P8 练习题1.1 B组第1题 课外练习课本P8 习题1.1 B组第2题
届高三文科数学立体几何专题训练
2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点． （1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求证：AE ⊥BD ； （3）求三棱锥D —A 1BA 的体积 ． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ， 将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F
F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点， 且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ； （2）求证：//AD 平面CEF ； （3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边 形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线 为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥：有一个面是多边形，其余各面是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)
高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1．直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β，a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系： 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面
文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线． ②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个平 面垂直 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图，已知三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D 为PB 中点， 且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ； （Ⅲ）若BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C
立体几何最全教案
直线、平面垂直的判定及其性质 一、目标认知 学习目标 1．了解空间直线和平面的位置关系； 2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤． 3．通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力． 4．通过有关定理的发现、证明及应用，提高学生的空间想象力和类比、转化的能力，提高学生的逻辑推理能力． 重点： 直线与平面平行的判定、性质定理的应用； 难点： 线面平行的判定定理的反证法证明，线面平行的判定和性质定理的应用． 二、知识要点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 1.直线和平面垂直定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足. 要点诠释： (1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同， 注意区别. (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式. (3)若，则. 2.直线和平面垂直的判定定理 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 要点诠释： (1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视. (2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线 垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要. 知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 要点诠释： (1)直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线. (2)直线与平面垂直射影是点. (3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上. (4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 0°的角. 知识点三、二面角 1.二面角定义 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以 外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面 角或. 2.二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体球教
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体球教案 内蒙巴盟奋斗中学傅裕东 教学目标 1．掌握球的定义． 2．掌握球的性质，并能熟练应用； 3．通过球的教学，培养学生分析问题解决问题的能力． 教学重点和难点 重点：球的截面性质． 难点：球面距离的计算． 教学设计过程 一、复习提问 师：圆柱是怎样定义的． 生：以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆柱． 师：是矩形的边为旋转轴吗？ 生：是 师：同学们请读p．21定义，然后教师强调指出，是以矩形的一边所在的直线为轴． 师：同学们再考虑：圆锥、圆台是怎样定义的．教师要强调边所在的直线为轴． 二、讲课题 师：以上同学们清楚了圆柱、圆锥、圆台的形成过程．那么球是怎样形成的呢？是否也可以通过某一个几何体旋转而形成呢？学生经过思考不难发现，半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面围成的几何体．（待学生回答后）教师展示教具，（从而得出球面的旋转定义）（板书）半圆以它直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体（简称球），（接着教师画出下图并介绍球的有关概念：球心、球半径、直径、球的表示，特别要强调球面与球二者的区别） 师：球面与球的区别是什么？ 生：球是包括球面在内的一个几何体，球面是一个面． 师：在平面几何里，从点集的观点看圆是怎么定义的，我们是否也可用类似的方法定义球面．
生：在同一平面内，一动点到一定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为圆心，定长为半径的圆． 师：在空间到定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为球心的球面． 球的性质： 师：通过上面的讨论我们不难看出：球面两种定义和圆有联系．比如说：从点集的观点看圆与球面的定义，这个定义就其内容来说，都是指到定点的距离等于定长的点的集合，它们的不同之处只在于定义适用的范围，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，因此可以说，球面的概念是圆的概念在空间的推广，既然如此我们不禁要问，它们之间会不会有某些相似的性质，我们能否从圆的某些性质去推测并证明球的某些性质． （显而易见，上面的引入和启发为学生对球性质的进一步探讨在思维方法上做好了必要的准备，学生已形成了一定的“定势”思维，教师要牢牢把握住既定的思维轨道去探索） 师：我们知道圆的割线在圆内的部分是一条线段，球被平面所截其截面是什么？ 生：是圆面． 师：为什么是圆面，教师出示教具演示，并指出教材不做证明要求．（请有兴趣的同学下去完成证明） （下面的证明仅供教师参考） 证明：设球的半径是R，下面分两种情况研究． （1）设平面α与球面相交，如果点O∈α（如上图2），设A是球面和平面α的交线上的任意一点，因为A 在球面上，所以AO=R． 所以A在平面α内以O为圆心，R为半径的圆上．反过来，如果B是这个圆上的任意一点．因为OB=R，所以点B在球面上． 点B在球面上，又在平面α内，就是说点B在平面α和球面的交线上． 因此，平面α和球O的截面是一个圆面． （2）如果点Oα（如图3），自点O作OK⊥α，垂足为K， 设A是平面α和球面交线上的任意一点，连结AK．因为OK⊥α，所
2019年高考试题汇编文科数学--立体几何
（2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE
（2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)
立体几何全部教案.
第一章:空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1.知识与技能 (1通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法 (1让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 (2让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观 (1使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。 (2培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具 (1学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2实物模型、投影仪 四、教学思路 (一创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗?这些建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体,你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗?这是我们所要学习的内容。 (二、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们的共同特点是什么? 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1有两个面互相平行;(2其余各面都是平行四边形;(3每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类?
高中数学立体几何知识点总结
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定
立体几何综合复习教学设计
《高三立体几何综合复习》教学设计 一、教材分析 立体几何是高中数学的重要概念之一。最近几年高考对立体几何的要求发生了很大的变化，注重空间的平行与垂直关系的判定，淡化空间角和空间距离的考查，因此立体几何的难度和以往相比有大幅度的降。因此依据考试说明的要求在高三复习中制定以下目标： 1.高度重视立体几何基础知识的复习，扎实地掌握基本概念、定理和公式等基础知识。 2.复习过程中指导学生通过网络图或框图主动建构完整的知识体系，尤其要以线线、线面、面面三种位置关系形成网络，能够熟练地转化和迁移。 3.重视模型复习，强化学生的“想图、画图、识图、解图”的能力，重视图形语言、文字语言、符号语言转化的训练。尤其重视对所画的立体图形、三视图与真实图形思维理解上的一致性。 4.在完成解答题时，要重视培养学生规范书写，注意表述的逻辑性及准确性，要注意训练学生思考的严谨性，在计算相关量时应做到“一作、二证、三算”。 做好本节课的复习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有重要的意义。 二、学情分析 在传统的高中数学立体几何的学习中，采取的基本方法：面面俱到的知识点整理，典型的例题解答，课堂的跟踪训练，灌输解题规律，这种模式由于缺乏新意，学生思维难以兴奋，发散性思维受到抑制，创新意识逐渐消弱，学习的效果可想而知。因此立体几何的学习只有深入到学科知识的内部，充分调动学生的思维，触及学生的兴奋点，这样才能达到高效学习的目的。 三、设计思想 在新课程理念下，在立体几何教学中我进行了研究性学习的尝试，所谓研究性学习就是应用研究性学习的理念、方法去指导立体几何，学生在教师的引导下尽可能地采取自主性、探究性的学习方式，不仅要注意基础知识的学习，更应该关注自身综合素质、创新意识的提高。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、媒体手段
高三文科数学立体几何专题练习加详细答案
高三文科数学专题立体几何 1. （2013汕头二模）设I、m是不同的两条直线, 题中为真命题的是（） A ?若I ,，则I// C .若I m, // ,m ，则1 【答案】D 【解析】T I ,// ,?- I ,- .■ m D .若I , // ,m ，则I m 2. （2013东城二模）给出下列命题： ①如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n—定不相交； ②如果不同直线m、n都垂直于平面，则m、n—定平行； ③如果平面、互相平行，若直线m ，直线n ，则m//n ； ④如果平面、互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m 则n 则真命题的个数是（） A . 3 B . 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】只有②为真命题. 3. 设I为直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A .若I // ,I// ，贝U // B.若1 ,I ，则// C .若1 ,I// ，贝U // D .若,I// ，则I 【解析】B 4. (2013 东莞 -模）如图，平行四边形ABCD 中，CD 1, BCD 60，且BD CD ,正方形ADEF和平面ABCD垂直，G, H是DF ,BE的中点. （1）求证：BD 平面CDE ; （2）求证：GH //平面CDE ; （3）求三棱锥D CEF的体积. C 是不重合的两个平面，则下列命 B.若I// , ，则I//
【解析】（1）证明：平面 ADEF 平面ABCD ，交线为AD , ?/ ED AD , ? ED 平面 ABCD , ?- ED BD ? 又 BD CD , ?- BD 平面 CDE . (2) 证明：连接 EA ，则G 是AE 的中点, ??? EAB 中，GH//AB , 又 AB//CD , ? GH // CD , ? GH // 平面 CDE ? (3) 设Rt BCD 中BC 边上的高为h ， 是棱PA 上的动点. (1) 若Q 是PA 的中点，求证: PC // 平面BDQ CQ ； (2) PC , PB PD ，求证：BD 解析：证明：（1）连结AC ，交BD 于O ,如图: 若 PB 3, ABC 60°，求四棱锥P ABCD 即：点C 到平面 DEF 的距离为 … V D CEF V C DEF _3 2 _3 3 5.（2013丰台二模）如图所示，四棱锥P ABCD 中, 底面ABCD 是边长为2的菱形，Q
高三数学立体几何专题复习课程
高三数学立体几何专 题
专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．
高中数学选修1-1教学设计-立体几何中的向量方法第一课时
§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量 【学情分析】： 教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学. 【教学目标】： （1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系. （2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。 （3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势. 【教学重点】： 平面的法向量. 【教学难点】： 用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系. 【教学过程设计】：
答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为 247 2 29 。 四、训练与 提高 1．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果 (2,1,4) AB=-，(4,2,0) AD=，(1,2,1) AP=-- （1）求证：AP是平面ABCD的法向量； （2）求平行四边形ABCD的面积． （1）证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0 AP AB ?=--?--=， (1,2,1)(4,2,0)0 AP AD ?=--?=， ∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A =，AP⊥平面ABCD， ∴AP是平面ABCD的法向量． （2）222 ||(2)(1)(4)21 AB=+-+-=，222 ||42025 AD=++=， ∴(2,1,4)(4,2,0)6 AB AD ?=--?=， ∴ 63105 cos(,) 105 2125 AB AD== ? ， ∴ 932 sin1 10535 BAD ∠=-=， ∴||||sin86 ABCD S AB AD BAD =?∠=． 引导学生进行应 用. 对法向量作理解. 巩固以往知识，培 养运算技能. 五、小结1．点、直线、平面的位置的向量表示。 2．线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。 反思归纳 六、作业A，预习课本105～110的例题。 B，书面作业: 1， 2， 练习与测试： （基础题） 1，与两点和所成向量同方向的单位向量是。 解：向量，它的模 则所求单位向量为。 2，从点沿向量的方向取长为6的线段，求点坐标。 解：设点坐标为，由题设有； )4,4 ,6( ), 5,2,2 ( )1(- = - =v u )4,4 ,2 ( ), 2 ,2,1( )2(- - = - =v u )4 ,1,3 ( ), 5,3 ,2( )3(- - = - =v u 的一个单位法向量。 求平面 已知点 ABC C B A),5,0,0( ),0,4,0( ),0,0,3( . ),0,1 ,1 ( ),1,0,1( , 的大小。 所成的锐二面角的度数 求这两个平面 的法向量分别是 若两个平面 - - = =v u β α
高考文科数学专题5 立体几何 高考文科数学 (含答案)
专题五 立体几何 第一讲 空间几何体 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 2．三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高； (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 3．几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何 问题． 4．柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )； ③圆台的表面积S ＝π(r ′2 ＋r 2 ＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2 . (2)体积公式 ①柱体的体积V ＝Sh ； ②锥体的体积V ＝1 3 Sh ；
③台体的体积V ＝1 3(S ′＋SS ′＋S )h ； ④球的体积V ＝43 πR 3 . 1． (2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 ( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 答案 B 解析 由三视图知四棱台的直观图为 由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋1×1＋2×2×1×1)×2＝14 3. 2． (2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 ( )
《立体几何》专题(文科)
高三文科数学第二轮复习资料 ——《立体几何》专题 一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图： 二、练习题： 1． 1∥ 2，a ，b 与 1， 2都垂直，则a ，b 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交、异面都有可能 2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点，且满足AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 A ． V 21 B ．V 31 C ．V 41 D ．V 3 2 3．设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥ C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥ D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥ 4．如图1，在棱长为a 的正方体ABCD A B C D -1111中， P 、Q 是对角 D 1 B 1
线A C 1上的点，若 a PQ= 2 ，则三棱锥P BDQ -的体积为 A3 B3 C3 D．不确定 5．圆台的轴截面面积是Q，母线与下底面成60°角，则圆台的内切球的表面积是 A 1 2Q B 2 3 Q C 2 π Q D 2 3π Q 6．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H； （3）A1O⊥平面BDF； （4）平面BDF⊥平面AA1C． 7．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形， 侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求 此三棱柱的侧面积和体积． 8．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积V P-ABC．
高中数学立体几何重要知识点(经典)
立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π