2018年高考数学总复习不等式选讲

第三节不等式选讲(选修4-5)

考纲解读

1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.

2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.

3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.

4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.

命题趋势探究

本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.

知识点精讲

一、不等式的性质

1.同向合成

（1）,a b b c a c >>?>；（2）,c a b d a c b d >>?+>+；（3）0,c 0a b d ac bd >>>>?>.

（合成后为必要条件）

2.同解变形

（1）a b a c b c >?+>+；

（2）0,0,a b c ac bc c ac bc >?>>?<<；（3）11

000a b a b b a

>>?

>>?>>. （变形后为充要条件）

3.作差比较法

0,0a b a b a b a b >?>->

二、含绝对值的不等式

（1）0,||a x a a x a >-<<；0,||,a x a x a x a >>?>><-或（2）2

||||a b a b >?>

（3）||||x a x b c +++<零点分段讨论

三、基本不等式

（1）22

2a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）

（2）0,0,

a b

a b ab +>>≥（当且仅当等号成立条件为a b =）；

0,0,0,

a b c a b c abc ++>>>≥（当且仅当a b c ==时等号成立）（3）柯西不等式

22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号） ①几何意义：2222||ad bc a b c d ??+≤

++a b a b ||||||≤

②推广：22

2222

12121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++

++++≥++

+.当且仅

当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.

四、不等式的证明

（1）作差比较法、作商比较法.

（2）综合法——由因到果. （3）分析法——执果索因. （4）数学归纳法.

（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式. （6）反证法. （7）放缩法.

题型归纳即思路提示

题型201 含绝对值的不等式

一、解含绝对值的不等式思路提示

对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：

|()|()()()()f x g x g x f x g x

|()|()()()()()f x g x f x g x f x g x >?><-或；

|()||()|()()(()())(()())0f x g x f x g x f x g x f x g x >?>?+->. 有时去绝对值也可根据2

||x x =来去绝对值.

例16.14 在实数范围内，不等式||2|1|1x --≤的解集为 .

解析由于||2|1|1x --≤，即1|2|11x -≤--≤，即|2|2x -≤，所以222x -≤-≤，所以04x ≤≤.所以不等式的解集为[0,4].

变式1 不等式|5||3|10x x -++≥的解集是（）

A. [5,7]-

B. [4,6]-

C. (,5][7,)-∞-+∞

D. (,4][6,)-∞-+∞

变式2 已知函数()|2||5|f x x x =---.

（1）证明：3()3f x -≤≤；

（2）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集.

二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题

例16.15 （2012辽宁理24）已知()|1|()f x ax a =+∈R ,不等式()3f x ≤的解集为

{}|21x x -≤≤.

(1)求a 的值；

(2)若|()2()|2

x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围.

解析（1）由|1|3ax +≤得42ax -≤≤，又()3f x ≤的解集为{}|21x x -≤≤，所以当

0a ≤时，不合题意.当0a >时，42

x a a

≤≤得2a =. (2)记()()2()2x h x f x f =-，则1,11()43,1211,2

x h x x x x ?

?≤-?

=---<<-??

-≥-??，

所以|()|1h x ≤，因此1k ≥，即k 的取值范围是[1,)+∞.

变式1 （2012新课标理24）已知函数()|||2|f x x a x =++-.

（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；

（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.

变式2 (2013重庆理16) 若关于实数x 的不等式|5||3|x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是 .

变式3 (2013全国新课标I 理24) 已知函数()|21||2|f x x x a =-++,g()3x x =+. (1)当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； (2)设1a >-，且当1

[,)22

a x ∈-

时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.

三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题

例16.16 若关于x 的不等式|||1||2|a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围

是 .

解析不等式|||1||2|a x x ≥++-有解，则min ||(|1||2|)3a x x ≥++-=，故实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞.

变式1 (2012陕西理15)若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .

变式2 已知a ∈R ，关于x 的方程2

||||04

x x a a ++-

+=有实根，求a 的取值范围. 四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围

例16.17 （2013福建理23）设不等式|2|()x a a *

-<∈N 的解集为A ，且31,22

A A ∈? .

(1)求a 的值；

(2)求函数()|||2|f x x a x =++-的最小值.

分析先根据不等式的情况求出字母取值，在利用不等式求解最值. 解析（1）因为

3,2A ∈且12A ?，所以3|2|2a -<，且1|2|2a -≥，解得1322

a <≤.又a *∈N ，所以1a =.

(2)因为|1||2||(1)(2)|x x x x ++-≥

+--=，当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为3.

变式1 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >. (1) 当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；

(2)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值. 变式2 (2013辽宁理24) 已知函数()||f x x a =-，其中1a >. (1) 当2a =时，求不等式()4|4|f x x ≥--的解集；

(2) 已知关于x 的不等式|(2)2()|2f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤，求a 的值. 变式3 (2012山东理13) 若不等式|4|2kx -≤的解集为{}|13x x ≤≤，则实数k = .

题型202 不等式的证明

一、比较法（差值法和比值法）思路提示

将待比较的两个代数式通过作差或作商，与0与1进行比较，得到大小关系. 例16.18 已知,,a b m 均为正实数，且a b <，求证：a m a

b m b

+>+. 分析比较

a m

b m ++与a

的大小可通过作差法. 解析

a m a

b m b +-=+ ()()()b a m a b m b b m +-+=+()bm am b b m -=+ ()()

b a m

b b m -+.因为,,a b m +∈R ，a b <，所以0b a ->,0m >,0b m +>.故

()0()

a m a

b a m

b m b b b m +--=>++.所以

a m a

b m b +>+. 评注作差比较的基本步骤为：（1）作差.（2）变形.（3）判断符号.

变式1 已知,,a b +

∈R ，且a b ≠,n *∈N . 求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++<+.

二、利用函数的单调性证明思路提示

使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.

解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为0，另一端为所

作辅助函数()f x .

（2）求()f x 并验证()f x 在指定区间上的单调性.

（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为0或已知符号，作比较即得所证.

例16.19 已知01x <<，求证：31sin 6

x x x -<

. 分析属于在某区间上成立的不等式，通过移项使得一端为0，另一端为所作的辅助函数，利用函数的单调性证明. 解析原不等式等价于3

1sin 0(01)6

x x x x -+

><<. 令3

1()sin (01)6

f x x x x x =-+

≤<，21()cos 12f x x x '=-+2212sin 22x x =-+.

令()sin (01)22

x x

g x x =-≤<，则11()cos 0222x g x '=-≤，

故()g x 在[0,1)上是减函数，所以当01x <<时，()sin (0)022

x x

g x g =-<=，故

sin 22x x <. 故22()2()022

x x f x '>-+=，所以()f x 在[0,1)上是增函数.

又(0)0f =，所以当01x <<时，()0f x >成立. 于是3

1sin 6

x x x -<成立.

变式1 证明：当02

x π

时，

2sin x

x x π

<<.

三、综合法与分析法思路提示

字母12,,,

,,n A A A A B 分别表示一组不等式，

其中B 为已知不等式，A 为待证不等式.若有12n A A A A B ?????，综合法是由B 前进式地推导A ，分析法是由A 倒退

式地分析到B .用分析法时，必须步步可逆.

1.综合法（由因到果）

例16.20 证明：2367-<-. 分析观察到

23-与67-是负数，被开方数分别为2,3,6,7，显然满足

23671-=-=-，这样可以考虑将分子有理化.

解析 12323--=

+，16767--=+，11

2367

>++，

故

2367

--<++，即2367-<-.

评注类似的问题可以总结为112m m m m -+<+-+d 的形式或者更广泛的形式

11()m m m k m k k *-+<+-++∈N .

变式1 设2()1()f x x a b =+≠，求证：|()()|||f a f b a b -<-.

2.分析法（由果索因）

例16.21 设1212,,,a a b b +∈R ，求证：11221212()()a b a b a a b b ++≥+. 分析利用分析法将证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口. 解析要证明11221212()()a b a b a a b b ++≥+，只要证112212121212()()2a b a b a a b b a a b b ++≥++，即证122112122a b a b a a bb +≥. 因为1212,,,a a b b +

∈R ，

所以12211212

2a b a b a a bb +≥. 故原不等式成立.

评注在证明不等式时，经常用分析法探寻证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程步步可逆.

变式1 若a b c >>，且0a b c ++=，求证：23b ac

a -<.

四、反证法思路提示

从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.

例16.22 已知,,a b c 为不小于1的正数，求证：(1),(1),(1)a c b a c b ---不可能同时大于

. 分析假设三式都大于1

，经过推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论的正确性.

解析假设三式都大于

14，即111(1),(1),(1)44 4

a c

b a

c b ->->->，有11(1)22a c a c +-<-≤ ①

同理11(1)22b a

b a +-<-≤ ②

11(1) 22

c b

c b +-<-≤ ③

三式相加得33

<，矛盾，故原命题成立.

评注对于从正面证明不易着手，但从反面证明相对简单的命题，利用反证法解题会很方便.这也体现了数学中“正难则反”的思想.

变式1 已知,,a b ∈R ，3

2a b +=,求证：2a b +≤.

五、放缩法思路提示

预证A B ≥，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得

112,,,K B B B B B A ≤≤≤或112,,,K A A A A A B ≥≥≥，再利用传递性，达到证明目的，

常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.

例16.23 已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：6161616a b c +++++<. 分析采用“添项”放缩法

解析 2

261961(31)31a a a a a +<++=

+=+ ①

同理6131b b +<=+ ② 6131c c +<=+ ③

①+②+③得6161613()36a b c a b c +++++<+++=.

评注放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：

2(616161)3(616161)2736a b c a b c +++++≤+++++=<，

所以6161616a b c +++++<. 变式1 证明：1(1)(2,)n n n n n n -*>+≥∈N .

例16.24 求证：12(,,,)b c d a

a b c d a b c b c d c d a d a b

+++<∈++++++++R .

分析采用“分母”放缩法证明. 解析由题意，,,,a b c d +∈R ，则

b c d a

a b c b c d c d a d a b +++

++++++++1a b c d a b c d +++>=+++， b c d a a b c b c d c d a d a b +++++++++++2b c d a

a b c d c d a b

<+++=++++.

所以原不等式成立.

例16.25 设,,,a b c m +

∈R ，且满足m

a b c =+，问m 取何值时，以,,a b c 为边可构成

三角形，并判断该三角形的形状.

解析由幂函数性质可知a b >，a c >，要构成三角形，只需b c a +>，故()m m

b c a +>，

即证明()m

b c b c +>+，只需证明1(

)()m m

b c b c b c

>+++，即()()m m b c b c b c b c b c b c

+<+++++. ① 由0m >，且

,(0,1)b c b c b c

∈++，由指数函数(01)x

y a a =<<单调递减可知，要使得式①成立，只需1m >. 因此可知，要b c a +>成立.只需1m >成立. 当2m =时，2

a b c =+，三角形为直角三角形；当12m <<时，2

2222()m

m m m m m m m a a a

b c a b a c a ----=?=+?=?+?

22m m m m b b c c -->?+?22b c =+

即222

a b c >+，此时三角形为钝角三角形；

当2m >时，22222()m m m m m m m m m a a a b c a b a c a ----=?=+?=?+?

22m m m m b b c c --

即2

a b c <+，此时三角形为锐角三角形.

六、三角换元法思路提示

若2

1x y +=，2

y x +=等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，但是务必注意换元前后参数的范围变化.

例16.26 设实数,,,a b x y 满足2

1a b +=，223x y +=，求证：3ax by +≤.

分析由2

1a b +=，22

3x y +=联想到三角换元.

解析令cos ,sin a b θθ==([0,2))θπ∈，3cos ,3sin x y ββ==([0,2))βπ∈， cos 3cos sin 3sin ax by θβθβ+=?+?3cos()3θβ=-≤. 当0θβ-=，即θβ=时，ax by +取得最大值3，证毕.

评注三角换元在不等式证明以及求函数的最值、解析几何中参数的范围及最值方面有着极大的作用，常常可化难为易.

变式1 设,x y ∈R ，2

1x y +=，求证：5|

|3412

x y +≤. 七、构造法思路提示

一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：（1）构造辅助函数. （2）构造辅助数列. （3）构造几何图形.

例16.27 设,x y ∈R ，0b ≠，若10a b <<，求证：211

b b a -<+. 分析构造一次函数证明. 解析 10a b <<

即1(0,)a b ∈.若视a 为未知数，并用x 代替，即证明1

(0,)x b

∈时，2()(1)1

b b x -+<.即证2

()(1)10b b x -+-<. 设2

()()(1)1f x b b x =-+-2

()1b b x b b =-+--,

即证1(0,)x b

∈时，()0f x <.

而()f x 是关于x 的一次函数，且22(0)1(1)0f b b b b =--=--+<，2

1()0f b b

=-<，因此当1(0,)x b

∈时，()0f x <成立，从而原不等式成立.

评注本题也可利用如下解法：1

(0,)a b

∈，

1(,1)11b a b ∈++，即证2

b b b b -<+，0b >，即证111b b -<+，即211b -<，由20b >，得2

11b -<，故21

b b b b -<+成立.

例16.28 已知,,a b c 为三角形的三边长，求证：111a b c a b c

<++++. 分析不等式左右两边的3个式子具有相同的结构形式1x

+，故考虑构造函数

()1x

f x x

=+.

解析 ()()1x f x x x +=∈+R ，22

1+1()011x x f x x x -'==>++（）（）

，说明函数()f x 在+

R 上单调递增，又,,a b c 为三角形的三边长，故a b c <+，则

111111a b c b c b c a b c b c b c b c

+<=+<++++++++++. 变式1 证明：

||||||

1||1||1||

a b a b a b a b +<+++++.

变式2 已知0x >且1x ≠，0m n >>，求证：11m

m n

x x x x +

>+. 例16.29 证明：当1x >-且0x ≠时，有(1)1(N )n

x nx n *+≥+∈.

分析本题通过构造辅助数列证明.

解析构造数列1(1)n n nx a x +=+，因为2

111

1(1)10(1)(1)(1)

n n n n n n x nx nx a a x x x ++++++--=-=<+++，所以数列{}n a 为单调递减数列.所以

111(1)

nx a x +≤=+，即(1)1(N )n x nx n *

+≥+∈. 评注本题将x 看作参数构造辅助数列{}n a ，判断数列的单调性从而证明结论.

例16.30 设,,a b c +

∈R ，求证：2222222()a b b c a c a b c +++++≥

++.

分析根据已知式的形式特征联想勾股定理，构造几何图形证明. 解析如图16-34所示，构造正方形ABCD ，

设1111,,AA a A B b B B c ===，1122,,,BC b C C c CC a === 则222222||,||,||AB a b B C b c CC a c ''''=

+=+=+，

则222222||a b b c a c AC +++++≥2()a b c =++. 变式1 设,x y +∈R ，求证：2

222333336x x y y x xy y -++-++-+≥.

八、利用柯西不等式证明不等式思路提示

柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接. 1.二维形式的柯西不等式

设1212,,,x x y y ∈R ，2222

211221212()()()x y x y x x y y ++≥+.等号成立1221x y x y ?=.

证明设1122(,),(,)x y x y ==a b ，由|cos ?=a b a ||b |a,b ，得cos |?=

a b

a,b a ||b |

，

又|cos |1≤a,b ，即

1|?≤|a b |a ||b |

，|?≤|a b |a ||b |，故22222

12121122()()()x x y y x y x y +≤++

等号成立即1221x y x y =. 2.一般形式的柯西不等式设12,,

,n a a a 及12,,,n b b b 为任意实数，

则21122()n n a b a b a b ++

+≤22

2222

1212()()n n a a a b b b ++

+++

+，

C c '

b B b

' 21a

C c C b

A b

B c D

A 图 16-34

当且仅当

a a a

b b b ===

（规定0i a =时0i b =，1,2,,i n =）时等号成立.

证法一：当i a 全为0时，命题显然成立. 否则

i a

=>∑，考查关于x 的二次函数21

()()n

i i i f x a x b ==-∑，显然()0f x ≥恒成立.

注意到22

()(

)2()n

n n i i i i

i i i f x a x

a b x b ====-+∑∑∑，而()0f x ≥恒成立，且21

i i a =>∑，

故()f x 的判别式不大于零，即2

221

)

40n

n n

i i i i i i i a b a b ===?=-?≤∑∑∑，

整理后得

2221

()n

i i

i i i i i a b

a b ===?≥∑∑∑.

证法二：向量的内积证法. 令12(,,

,)n a a a =a ，12(,,,)n b b b =b ，θ为a 与b 的夹角.

因为|cos ?=a b a ||b |a,b ，且|cos |1≤a,b ，所以|cos ||?=≤|a b |a ||b ||a,b a ||b |

222|??≤|a b |a ||b |，即21122()n n a b a b a b +++≤22

222

1212()()n n a a a b b b ++++++，

等号成立0θ?=?或180??a,b 平行12

a a a

b b b ?

===

. 柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.

例16.31 已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-. ①求m 的值； ②若,,a b c +

∈R ，且

11123m a b c

++=，求证：239a b c ++≥. 解析 ①因为(2)||f x m x +=-，(2)0f x +≥等价于||x m ≤.由||x m ≤有解，得0m ≥，且其解集为{|}x m x m -≤≤.又(2)0f x +≥的解集为[1,1]-，故1m =.

②由①知

111123a b c

++=，又,,a b c +∈R ，由柯西不等式得111

23(23)()23a b c a b c a b c

++=+++

+ 2

111(23)923a b c a b c

≥?

+?+?=.

变式1 已知1a b c ++=，0,0,0a b c >>>，求证：31313132a b c +++++≤. 变式2 已知0,0,0a b c >>>，2

cos sin a b c θθ+<.

求证：2

2cos

sin a b c θθ+<.

例16.32 设实数,,a b c 满足2

3232

a b c ++=

，求证：39271a b c

---++≥. 解析由柯西不等式，222222(23)[1(2)+(3)][(2)(3)]9a b c a b c ++≤+++=2.所以233a b c ++≤，所以33(23)3392733331a b c a b c ----++-++≥≥=.

评注有些证明不等式的题，表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等. 变式1 已知n *

∈N ,且2n ≥，求证：

1111112

17234

2122

n n <-+-++

-. 变式2 已知正实数,,a b c 满足1abc =，求证：333

1113()()()2

a b c b c a c a b ++≥+++.

最有效训练题61(限时45分钟)

1.不等式|21|23x x -<-的解集是（）

A. 1|2x x ??<

???? B. 13|25x x ??≤

?>???

? 2.设,,(,0)a b c ∈-∞，则111

,,a b c b c a

++（） A. 都不大于2- B. 都不小于2- C. 至少有一个不大于2- D. 至少有一个不小于2- 3.若7P a a =++，34(0)Q a a a =+++≥，则,P Q 的大小关系是（） A. P Q > B. P Q = C. P Q < D. 由a 的取值决定 4.用数学归纳法证明某不等式，左边111

111234

212n n

+-++

--，“从n k =到1n k =+”应将左边加上（）

A. 11k +

B. 112124k k -++

C. 122k -+

D. 11

2122

k k -++

5. ()231f x x x =+-的最大值为（）

A. 5

121313 C. 13 D. 52

6.若正数,a b 满足3ab a b =++，则①ab 的取值范围是；②a b +的取值范围是 .

7.在实数范围内，不等式|21||21|6x x -++≤的解集为 . 8.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 . 9.已知0,0,0a b c >>>,a b c +>.求证：111a b c

a b c

+>+++. 10.已知函数()|||2|f x x a x =++-.

(1) 当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；

(2)若()|x 4|f x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围.

11. 已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ，且(2)0f x +≥的解集为[1,1]-. ①求m 的值； ②若,,a b c +

∈R ，且11123m a b c

++=，求证：239a b c ++≥.

12.已知函数3

()(1)1

x f x x x +=

≠-+.设数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=，数列{}n b 满

足|3|n n b a =-，12n n S b b b =+++ ()n *∈N .

（1）用数学归纳法证明：1

(31)2n

n n b --≤；

（2）证明：23

n S <

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取

不等式选讲-2019年高考理科数学解读考纲

16 不等式选讲选考内容（二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）. （2）. （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. （1）柯西不等式的向量形式：（2）. （3）. （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等. 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一绝对值不等式的求解样题1 （2018新课标全国Ⅱ理科）设函数．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．样题2 （2018新课标全国Ⅲ理科）设函数．（1）画出()y f x =的图象；

（2）当[)0x +∞∈，，，求a b +的最小值．【解析】（1）()y f x =的图象如图所示．

(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)

高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案

高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

专题七不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥，在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D

高考数学《不等式选讲》专项复习

高考数学《不等式选讲》专项复习一、考纲解读 1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值. 4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成（1）, >>?>； a b b c a c （2）,c >>?+>+； a b d a c b d （3）0,c0 >>>>?>. a b d ac bd （合成后为必要条件） 2.同解变形 >?+>+；（1）a b a c b c （2）0,0, >?>>?<<； a b c ac bc c ac bc

（3）11 000a b b a >>? >>?>>. （变形后为充要条件） 3.作差比较法 0,0a b a b a b a b >?>->-<<；0,||,a x a x a x a >>?>><-或（2）22||||a b a b >?> （3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =）（2）0,0, 2 a b a b +>>≥a b =）； 0,0,0, 3 a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立）（3）柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号） ①几何意义：||ad bc ??+≤a b a b ||||||≤②推广：22222 2 212 121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++ +≥++ +.当且仅当向量 12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.

2020年高考数学复习题：基本不等式及其应用

基本不等式及其应用 [基础训练] 1．下列结论中正确的个数是( ) ①若a >0，则a 2 ＋1 a 的最小值是2a ； ②函数f (x )＝sin 2x 3＋cos 2x 的最大值是2； ③函数f (x )＝x ＋1 x 的值域是[2，＋∞)； ④对任意的实数a ，b 均有a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＝－b . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 : 答案：B 解析：①错误：设f (a )＝a 2 ＋1 a ，其中a 是自变量，2a 也是变化的，不能说2a 是f (a )的最小值； ②错误：f (x )＝sin 2x 3＋cos 2 x ≤sin 2x ＋3＋cos 2x 2 ＝2，当且仅当sin 2x ＝3＋cos 2x 时等号成立，此方程无解， ∴等号取不到，2不是f (x )的最大值； ③错误：当x >0时，x ＋1 x ≥2 x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时等号成立；当x <0时，－x >0，x ＋1 x ＝－? ?? ??－x ＋1－x ≤－2 －x ·1 －x ＝－2，￥当且仅当－x ＝－1 x ，即x ＝－1时等号成立． ∴f (x )＝x ＋1 x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)； ④正确：利用作差法进行判断．

∵a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b 2≥－2ab ，其中等号成立的条件是a ＋b ＝0，即a ＝－b . 2．[2019河北张家口模拟]已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则 2 a －1＋1 b 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 答案：D 解析：因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2， \ 所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b ＝? ????2 a －1＋1 b ·[(a －1)＋2b ] ＝4＋4b a －1 ＋a －1b ≥4＋2 4b a －1·a －1 b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1 b 时等号成立，所以2a －1 ＋1b 的最小值是8，故选D. 3．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] ！答案：D 解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)， ∴2 x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2.故选D. 4．已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) B ．2 2 D ．2 答案：D 解析：∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ， ∴4≤4xy －22xy ，

【高中数学】公式总结(均值不等式)

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

2020高考理科数学不等式问题的题型与方法

专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科）一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络

其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，