常微分方程考研复试题库及答案

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----------184 185―――――189 190――――192 193――――194 195――――198

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242将（2x-4y+6）dx+(x+y-3)dy=0化为齐次方程。

243求解dx

dy =f(x+y+1) 244说明当p(x 连续时，线性齐次方程的0解唯一。

245证明线性齐次方程任意两个解的和与差仍是它的解。

246常数变易法用变换y=C(x)exp(-?)(x p dx)与线性齐次方程通解有什么不同 248 dy/dx--21x x

-y=0.

249求初值问题的解1

)0(cos ==???y x y dx dy 250求解dx

dy －2xy=4x.

251求解方程y `－2y= x 2exp(2x),y(0)=0.

252解方程dx dy =y

x +1 253设y 1(x),y 2(x)是一阶线性方程两个不相同的特解，试用这两个特解来表示通解。 254.用变量替换或微分方法将下面方程化为线性

（1） xdx=( x 2－2y+1)dy

（2） (x+1)(y y `-1)= y 2

（3） y(x)=?+x

dt t y 0)(x+1

255化下列方程为线性方程

（1） y’-x

4y=x y （2） y’= y 2-- x 2-1

256将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。

257试证明：凡具有通解为y=C φ(x) +? (x)式的一阶方程都是线性方程。其中φ(x) ， ? (x)为可微函数。

常微分方程2答案

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242方程变形为dx

dy =2642-+-+-y x y x ，它的分子，分母两条直线交点为（1,2） 作变换???+=+=2

1v y u x ，于是得到du dv ＝v u v u ++-42，它已经是齐次方程。 243令z=x+y+1,则dx dz ＝1＋dx dy ，于是dx

dz =1+f(z), 只要＋f(z)≠0,可分离变量得 x=?+)(1z f dz +C

244因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx x

?0x p(x))在p(x)连续的区间有意义，而exp(-dx x ?

0x p(x))

＞0。如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯一。

245设有两个解y 1(x),y 2(x),则

y `1 (x)+p(x) y 1(x)≡0, y `2(x)+p(x) y 2(x) ≡0,则

（y 1(x)± y 2(x)）'`

＋y(x)( y 1(x)+y 2(x))=( y `1 (x)+p(x) y 1(x))+ y `

2(x)+p(x) y 2(x) ≡0表明

y 1(x)±y 2(x)仍是解。

246在线性齐次方程通解公式中C 是任意常数而在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性非齐次方程求解问题，这一方法成功了，称为常数变易法。

247用线性齐次方程通解公式得 y=Cexp （sinx ）

249p(x)=-cosx 用线性齐方程初值问题解公式即得 y=exp(sinx)

250用线性方程通解公式：

y=exp(-?xdx 2)(C+?

xdx 2)dx)=exp(-x 2)(C+2exp (-x 2))=2+Cexp(-x 2) 251公式求得方程通解

y(x)=exp(2x) (C+? x 2exp(2x) exp(-2x)dx)=exp(2x)(c’+3

1x 3) 利用初始条件代入上式y(0)=0=C,故y=3

1x 3 exp(2x) 252x 看作自变量，y 看成函数，则它是非线性方程，经变形为

dy

dx ＝x+y 以x 为未知函数,y 是自变量，它是线性方程，则通积分为

x=exp(?dy )(c+))exp(dy y y ?-=cexp(y)-y-1

253 任一解y(x)满足（y(x) -y 1(x)）/ y 2(x)- y 1(x))=C,或(y 2(x)- -y 1(x))+| y 1(x) 这就是一阶方程通解的结构。

254令z= x 2,则dz=2xdx,代入方程得

1/2dz=(z-2y+1)dy

它已经是线性方程。

（1） 令u=y 2

,则dx

du =2yy’,代回原方程得 （x+1）(1/2u '-1)=u,变形为dx du =12+x u ＋2 这已经是线性方程。

（2） 它不是微分方程，但对它求导后得

dx

x dy )(＝y(x)+1, 这已经是线性方程。

dx

dy -2xy=exp(x 2)cosx 此为线性方程，从而通解为

y=exp(?xdx 2)(C+?)exp(2x cosxexp(-?

xdx 2)dx)=exp(x 2)(C+sinx)

dx

dy +y φ(x) φ'(x),( φ(x)是已知可微函数) 此方程为线性方程，从而通解为

y=exp(--?dx

d ?dx)(C+??(x) ?'(x)exp(?'(x)dx)dx =exp(-?(x))(C+exp(?(x))( ?(x)-1)=Cexp(-?(x))+ ?(x)-1

255此为贝努利方程。令z=y 得dx dz －x 2z=2

x ,它是线性方程。 （1） 此为黎卡提方程，通过观察知它有一特解y=-x 作变换y=z-x,得贝努利方程

z '+2z=z 2,再

将方程ydx+(y-x)dy=0给两种解法。

试证明：凡具有通解为y=C φ(x) +? (x)式的一阶方程都是线性方程。其中φ(x) ，? (x)为可微函数。