3.3.1几何摡型--新授课教案

几何摡型

整体分析

教材分析

本节内容是数学3 第三章第3.3.1节几何摡型，本节是新增的内容，但是对于几何摡型的要求仅限于初步体会几何摡型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的。几何摡型是另一类的等可能模型，它与古典概型的区别在于试验结果不是有限个。利用几何摡型可以很容易的举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，本教案主要讲解几何摡型的概念、公式及应用。

教学目标

重点: 几何摡型的概念及公式。

难点：几何摡型的应用。

知识点：1、几何摡型的概念，2、几何概型的概率公式。

能力点：会用几何摡型的公式解决几何摡型问题。

教育点：通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题。

自主探究点：几何摡型与古典概型的区别与联系。

考试点：用几何摡型的公式解决几何摡型问题。

易错易混点：对于含有两个变量的“相会”问题，不容易处理。

拓展点：学会从复杂的问题中，找到适用的数学模型。

教具准备多媒体课件、教科书中的转盘模型

课堂模式合作探究

一、问题引入

引例：下图中有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。在这两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？

为了解决这个问题，我们学习几何摡型。

【设计意图】通过这个实际问题，引发学生的好奇心，让学生带着疑问去学习新知识。

二、概念形成

（一）探究新知

提出问题：

（1）随意抛掷一枚均匀的硬币两次，求两次出现相同面的概率？

（2）试验1.取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断。问剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？

试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的得分环。从外向内为白色，黑色，

蓝色，红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm ，

靶心直径为12.2cm 。运动员在70m 外射箭。假设射箭都能射中靶面内任何一点

都是等可能的，问射中黄心的概率为多少？

（3）问题（1）（2）中的基本事件有什么特点？两事件的本质区别是什么？

（4）什么是几何摡型？它有什么特点？

（5）如何计算集合概型的概率？有什么样的公式？

（6）古典概型和几何摡型有什么区别与联系？

[设计意图] 学生自主建构知识。学生根据问题思考讨论，回顾古典概型的特点，把问题转化为学过的知识解决，教师引导学生比较概括。

讨论结果：

（1）硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。每种结果出现的概率相等，P （正，正）=P （正，反）=P （反，正）=P （反，反）=14。两次出现相同面的概率为111442

+=。 （2）经分析，第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断的位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点。

第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点。

在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解。

考虑第一个问题，如右图，记“剪得两段的长都不小于1m ”为事件A ，

把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生。由于中间一段的长度等于绳长的13

， 于是事件A 发生的概率1()3

P A =. 第二个问题，如右图，记“射中黄心”为事件B ，由于中靶随机落在面积为

2211224cm π??的大圆内，而当中靶点落在面积为22112.24

cm π??的黄心内时，事件B 发生的概率22

22

112.24()0.0111224cm P B cm ππ??==??. （3）硬币落地后出现四种结果（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）是等可能的，绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断的位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点，也是等可能的，射中靶面内任何一点都是等可能的，但是硬币落地后只出现四种结果，是有限的；而剪断绳子的点和射中靶面的点都是无限的；即一个基本事件是有限的，而另一个基本事件是无限的。

（4）几何摡型

对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域随机地取一点，该区域中的每

122cm

一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某一个指定区域中的点，这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等，用这种方法处理随机实验，称为几何摡型。

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何摡型。

几何摡型的基本特点：

a ，试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个，

b ，每个基本事件出现的可能性相等。

（5）几何摡型的概率公式：

()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

。 （6）古典概型和几何摡型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的；区别是古典概型的基本事件是有限的，而几何摡型的基本事件是无限的，另外两种概型的概率计算公式的含义也不同。

（二）概念深化

例1：某人欲从某车站乘车出发，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于20分钟的概率。

分析：假设他在0~60分钟之内任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之内有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率，可以通过几何摡型的求概率公式得到事件发生的概率。因为客车每小时一班，他在0到60分钟之内任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在那个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何摡型的条件。 解：设A=｛等待的时间不多于10分钟｝，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[40,60]这一时间段内，因此由几何摡型的概率公式，得60-401()=

=603P A 。 即此人等车时间不多于20分钟的概率为13

. 点评：在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的。 变式训练

在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？

分析：石油在1万千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可以看作是构成事件的区域面积，由几何摡型公式可以求得概率。

解：记“钻到油层面”为事件A ，则()0.004P A =。

答：钻到油层面的概率是0.004。

例2：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30~7:30之间把

报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间，问你

父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？

分析：我们可以利用几何摡型的公式来计算该事件的概率。

解：如右图，设送报人到达的时间为x ，父亲离开家的时间为y 。

(,)x y 可以看成平面中的点。试验的全部结果所构成的区域为

{(,)|6.57.5,78}x y x y Ω=≤≤≤≤，这是一个正方形区域，面积为111S Ω=?=。事件A 表示父亲在离开家前能得到报纸，所构成的区域为{(,)|,6.57.5,78}A x y y x x y =≥≤≤≤≤，即图中的阴影部分，

面积为

1117

1

2228

A

S=-??=。这是一个几何摡型，所以

7

()

8

A

S

P A

S

Ω

==.

变式训练

1、回答引例中提到的问题。

2、在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随即取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？

分析：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成时间的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算出其概率。

解：取出10毫升种子，其中“含有这种病种子”的这一事件记为A,则()0.01

P A=，所以取出的种子中含有麦锈病的种子概率是0.01。

[设计意图]通过对于例题的讲解及变式训练题的练习，让学生进一步体会利用几何摡型概率计算公式解题。

三、当堂检测，巩固提升

1、两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率。

解：记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则P（A）=21 63 =。

2、在500mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL的水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是多少？

解：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的

体积与总体积之比

2

0.004 500

=。

[设计意图] 综合思考，合理的利用公式。

四、课堂小结

让学生自主回顾和归纳本节的内容。

1、几何摡型的特点；

2、几何摡型的公式；

3、几何摡型与古典概型的区别。

五、布置作业

课本142页，习题3.3， B组，第1题。

[设计意图]作业的布置，是为了让学生能够运用课堂上的知识，以及解题步骤，解决简单的数学问题。六、教后反思

本节课通过设置疑问引入新课，接着设计了多个试验，从课题的引入，到问题的提出都非常有针对性，引人入胜，接着从用古典概率公式不能求几何概率的问题引出几何摡型这一不同于古典概型的又一概率模型，并通过探究，归纳出几何摡型的概率计算公式，同时比较了古典概型和几何摡型的区别与联系，再通过例题和变式训练，让学生更好的掌握几何摡型题目的解法。

七、板书设计

3.3.1 几何摡型

一、几何概率模型

概念

特点

二、计算公式

()

P A

三、几何摡型与古典概型的区别与联系四、知识应用

例1：

题目的分析，与解题过程

变式1：

引例：

例2：

变式2：

五：当堂检测