第一章-中点模型的构造

中点模型的构造

技巧提炼：很多几何题会给出“点×是线段××的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该想到什么

呢？“中点”有哪些作用呢?

1、已知任意三角形一边上的中点,可以考虑：

（1）倍长中线或类中线(与中点有关的线段）构造全等三角形。如图

（２)三角形中位线定理。

２、已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线。

３、已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。

4、有些题目的中点不直接给出,此时需要我们挖掘题目中的隐含中点,

例出直角三角形中斜边中点,等腰三角形底边上的中点,当没有这些条

件的时候,可以用辅助线添加。

典例精讲

例1 如图所示，在△ＡＢＣ中,AB=１2,AC=2０，求ＢC边上的中线AD的取值范围。

例２如图所示，已知在△AＢC中,AD是BC边上的中线,Ｅ是AD上一点,连接BE并延长交ＡC于点F,AF＝EF,求证：AC=BE。

变式练习：

1、如图,已知在△ABC中,AＤ是BC边上的中线,Ｅ是ＡＤ上一点,且BE=AC，延长BE交AＣ于点F，AF与EＦ相等吗，为什么？

2、如图，在△ABC中，AD交BC于点Ｄ，点E是ＢC中点，EF∥ＡＤ交CA的延长线交于点F,交AB于点G,若ＡＤ为△ABＣ的角平分线,求证:BG=ＣF。

例3 如图,在R t △ABC 中，∠BA Ｃ=90°,点D 为BC 的中点,点E 、Ｆ分别为ＡB 、AC 上的点,且ED ⊥F Ｄ,以线段BE 、E Ｆ、ＦC 为边能否构成一个三角形？若能,该三角形是锐角三角形,还是直角三角形，或者是钝角三角形？

变式练习：

1、如图，已知M 为△ＡBC 中BC 边上的中点,∠ＡMB 、∠AM Ｃ的平分线分别交AB 、ＡC 于点E 、F ，连接ＥＦ。

求证：BE+CF>E Ｆ。

2、如图，在△AB Ｃ中，D 是BC 的中点,DM ⊥ＤN,如果ＢM 2+CN 2=DM 2+DN 2,求证：AD 2=4

1(AB 2＋ＡC 2）。

例4 已知,如图,在△ABC 中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高,Ｄ为B Ｃ的中点,D Ｍ⊥EF 于点M ，求证：FM=EM 。

例5 △A ＢD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠AC Ｅ=9０°,如图，连接D Ｅ,设M 为ＤE 的中点,连接MB 、MC 。求证:ＭB=MC 。

例6问题一:如图(ａ），在四边形ＡBCD中,AB=CD，E、F分别是BC、AＤ的中点，连接EＦ并延长,分别与BA、AD的延长线交于点Ｍ、N，求证:∠BMＥ＝∠CNＥ。

问题二：如图（b）,在四边形AＢＣD中，AB与CD相交于点O,AB=ＣD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF，分别交DC、AＢ于点M、N,判断△OMN的形状，请直接写出结论。

问题三：如图(c）,在△AＢＣ中，AC＞AB，Ｄ点在ＡC上,ＡB=CＤ,E、F分别是BC、ＡＤ的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点Ｇ，若∠ＥFC＝６0°,连接GD,判断△AGD的形状并证明。

例７如图,已知在△ＡBC中,AB=AC,CE是AＢ边上的中线，延长AB至点D,使BD＝ＡＢ，求证:ＣD=2CE。

例8 问题1：如图（a),三角形ＡBC中,点D是AB边的中点,AE⊥ＢC，BF⊥ＡC，垂足分别为点E、F，ＡE、BF交于点M,连接DＥ、DＦ，若DＥ=k DF，则k的值为。

问题２：如图(ｂ),三角形AＢC中，CB＝CA,点D是AＢ边的中点,点M在三角形ABＣ的内部,且∠MAC=∠ＭBC,过点Ｍ分别作业ME⊥BC,MＦ⊥AC,垂足分别为点E、F,连接ＤE、DF。求证DE=DF。

问题3:如图（c),若将上面问题２中的条件“CB=CA”变为“CB≠CＡ”,其他条件不变，试探究DＥ与ＤＦ之间的数量关系，并证明你的结论。

牛刀小试：

*１、如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABＣ中,∠AＢC=9０°,D为AC边上中点，过点D作DE⊥DF,交ＡB于点E，交BＣ于点F，若AE=4，FC＝3。求ＥＦ长。

＊２、如图，在△ABC中,D是BＣ延长线上一点,CD=BC，E是CA延长线上一点，AE=2AC，若AD=ＢE,求证:△AＢＣ是直角三角形。

**３、如图,在正方形ABCD中,F是AB中点，连接CF,作DE⊥CF交BＣ于点E,交CF于点M，求证：AM＝AD。

**4、如图，∠BAC=∠ＤAE＝９0°,M是BE的中点，ＡB=AC,ＡD=AE，求证：ＡＭ⊥CD。

*＊5、如图,在等腰梯形ABCD中，AＢ∥CD,ＡＤ=ＢC,AC与BD交于点O,∠AＯＢ=60°,P、Q、Ｒ分别是ＯA、

ＢC、OD的中点,求证:△PQR是正三角形。

**6、如图，在△ＡBC中，若∠B＝2∠C,AD⊥ＢC,E为BC边的中点,求证:AB=2DE。

*＊*7、如图，分别以△ＡBC的边AＢ,AC为边,向三角形的外侧作正方形ABＤＥ和正方形ACFG,点M为BC 中点，

(１）求证:ＡM⊥EG；(2）求证:ＥG=２AＭ。

***８、如图,在△AＢC的两边AB、AC向形外作正方形ＡBDE和ACＦG,取BE、BC、ＣG的中点M、Ｑ、Ｎ，判断△MNQ的形状并证明。

***9、如图，在五边形ＡＢCＤE中,∠ABC=∠AED＝90°，∠ＢAC＝∠ＥAD,点Ｆ为CD的中点，求证：ＢＦ=EF。

眺望中考：

数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:

●操作发现：

在等腰△ABC中,AB=AＣ，分别以AＢ和AＣ为斜边，向△ＡＢC的外侧作等腰直角三角形,如图１所示,其中DF⊥AB于点F,ＥG⊥AＣ于点G，M是ＢC的中点,连接MD和MＥ，则下列结论正确的是．(填

序号即可）①AＦ＝ＡG＝AB；②MD=MＥ;③四边形AFMG是菱形；④整个图形是轴对称图形；⑤MD⊥ＭE．●数学思考:

在任意△ABC中,分别以AB和AＣ为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点,连接ＭD和ME,则ＭＤ和ME具有怎样的数量关系和位置关系?请给出证明过程;

●类比探索：

在任意△ABＣ中，仍分别以ＡB和AC为斜边，向△AＢＣ的内侧作等腰直角三角形,如图３所示,M是BＣ的中点,连接MD和MＥ，试判断△MED的形状.答：